dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường sketchpad

Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng tôi điểm qua một số công trình nghiên cứu đã có trong nước liên quan đến giới hạn như sau: - L

BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

D ẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

D ẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD

Chuyên ngành : Lí lu ận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những trích d ẫn trong luận văn đều chính xác và trung thực

Xin cảm ơn quý lãnh đạo, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học trường ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học của mình

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến BGH trường THPT Châu Văn Liêm cùng tập

thể học sinh lớp 10A6 đã giúp đỡ tôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm

luận văn Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Didactic toán K23 đã cùng tôi sẻ chia những khó trong học tập suốt hai năm qua

Cuối cùng tôi xin chân thành biết ơn những người thân trong gia đình và

những người bạn thân thiết đã cỗ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học

tập của tôi

NGUY ỄN ANH QUỐC

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Mục lục

Lời cảm ơn

Danh mục viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình vẽ

M ỞĐẦU 1

Chương 1 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN 6 1.1 Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn 6

1.2 Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn 7

1.2.1 Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn 7

1.2.2 Các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn 8

1.3 Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn 8

1.4 Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn 9

1.5 Các quan điểm về khái niệm giới hạn 10

1.6 Các tổ chức toán học tham chiếu 11

1.7 Kết luận chương I và một số câu hỏi nghiên cứu 12

Chương 2 GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA THPT 14

2.1 Phân tích chương trình 14

2.1.1 Đối với chương trình chuẩn 14

2.1.2 Đối với chương trình nâng cao 16

2.2 Phân tích SGK 17

2.2.1 Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số 17

2.2.2 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 19

2.2.3 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn 22

2.2.4 Vai trò của giới hạn dãy số 26

2.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số 29

2.4 Kết luận chương 2 36

Chương 3 THỰCNGHIỆM 39

trường phản hồi từ phần mềm 49

3.6 Phân tích hậu nghiệm 54

3.6.1 Phân tích Phiếu số 1 (Pha 1) 54

3.6.2 Phân tích phiếu số 2 (pha 2) 55

3.6.3 Phân tích phiếu số 3 (pha 3) 57

3.6.4 Phân tích pha 4 65

3.6.5 Phân tích phiếu số 4 (pha 5) 68

3.6.6 Phân tích phiếu số 5 (pha 6) 68

3.6.7 Phân tích phiếu số 6 (pha 7) 69

3.6.8 Phân tích pha 8 73

3.7 Kết luận thực nghiệm 75

K ẾT LUẬN 77

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 80

PH ỤCLỤC

DANH M ỤC VIẾT TẮT

SBT : Sách bài tập

SBTC11 : Sách bài tập chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SBTN11 : Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGK :Sách giáo khoa

SGKC11 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGKN11 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGVC11 : Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGVN11 : Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

THPT : Trung học phổ thông

Bảng 3.5 Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.2 58

Bảng 3.6 Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.4 63

Bảng 3.7 Thống kê các câu trả lời của phiếu số 4 68

Bảng 3.8 Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 5 68

Bảng 3.9 Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 6 69

Bảng 3.10 Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 6.2 72

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Biểu diễn dãy số 33

Hình 2.2 Hình "mô phỏng" bài tập 8a SGKN11 trang 135 34

Hình 2.3 Biểu diễn dãy số (un) với 35

Hình 2.4 Biểu diễn dãy số (un) với với số lần lặp là 100 36

Hình 3.1 Biểu diễn trục tọa độ 41

Hình 3.2 Biểu diễn vị trí đóng quân của ta và địch 42

Hình 3.3 Biểu diễn dãy số (un) với 43

Hình 3.4 Hình vuông điều khiển bởi hai điểm A và B 44

Hình 3.5 5 hình vuông………43

Hình 3.6 Hình vẽ bằng phép lặp 44

của các khái niệm trước đây Do sự khó khăn trong việc dạy học khái niệm giới hạn

và thời gian dạy học có hạn, nên đã xảy ra tình trạng, giáo viên ở một số nơi ít quan tâm đến việc giảng dạy lí thuyết giới hạn hoặc dạy lí thuyết một cách đối phó mà

chỉ hướng dẫn học sinh giải các bài tập một cách máy móc Hơn nữa, cả hai SGK chương trình chuẩn và nâng cao không dùng ngôn ngữ ε, ℕ để định nghĩa giới hạn dãy số khi đó khó có định nghĩa nào mô tả đúng bản chất của khái niệm giới hạn theo nhận định SGVC11 Mặt khác theo Bùi Thành Vinh (2013), quan điểm đại số hóa chiếm ưu thế gần như tuyệt đối trong tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm

giới hạn Điều này cho thấy quan điểm xấp xỉ xuất hiện khá mờ nhạt mà bản chất

của giới hạn là sự xấp xỉ

Ngày nay dưới sự hỗ trợ của công nghệ thông tin nhiều phần mềm dạy học toán ra đời và có ứng dụng mạnh mẽ Qua tìm hiểu chúng tôi nhận thấy rằng phần

mềm Sketchpad có nhiều chức năng thích hợp cho việc dạy học toán nói chung và

việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số nói riêng Bởi vì, phép lặp của phần mềm Sketchpad cho phép biểu diễn dãy số trên trục số và bảng dưới dạng động cũng như

tạo ra những hình ảnh “mô phỏng” Những chức năng này giúp học sinh có thể dự đoán được giới hạn của dãy số đồng thời tạo điều kiện thuận lợi cho việc xây dựng các hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ

Qua thực tế dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh gặp một số chướng ngại khi học khái niệm giới hạn, chẳng hạn như nhiều học sinh luôn cho rằng “một tổng vô hạn luôn có kết quả là vô hạn” Ngoài ra, nhiều học sinh nghĩ, toán giới hạn là môn học thuộc lĩnh vực đại số và không liên quan gì đến hình học Tuy nhiên, giới hạn lại có nguồn gốc từ hình học

- Xây dựng tình huống tiếp cận khái niệm giới hạn dãy sốtheo quan điểm xấp

xỉ dưới sự hỗ trợ của phần mềm Sketchpad như thế nào?

- Tình huống nào cho phép học sinh vượt qua một số chướng ngại khi học khái niệm giới hạn dãy số đồng thời thấy được sự nối kết giữa hình học và đại số trong dạy học khái niệm giới hạn dưới sự trợ giúp của phần mềm Sketchpad?

Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi tiến hành chọn đề tài nghiên cứu: Dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường Sketchpad

2 Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề

Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng tôi điểm qua một số công trình nghiên cứu đã có trong nước liên quan đến giới hạn như sau:

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): Nghiên cứu vềkhái niệm giới hạn hàm số trong dạy - học toán: Đồ án Didactic trong môi trường máytính bỏ túi

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004): Nghiên cứu Didacticvề khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt (2010): Dạy học khái niệm giới

hạn hữu hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2010): Dạy học khái niệmgiới hạn vô hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông

- Luận án tiến sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007): Nghiên cứudidactic mối liên hệ giữa khái niệm giới hạn và sự thập phân hoá các số thực trong môitrường máy tính bỏ túi

- Luận văn thạc sĩ tác giả Bùi Thành Vinh (2013): Sự nối khớp giữa dạy học khái niệm giới hạn ở THPT và ở trường Đại học sư phạm

Qua việc tổng kết các công trình trên chúng tôi nhận thấy chưa có công trình nào nghiên cứu việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường

hỏi xuất phát có thể viết lại như sau:

Q1: Khái niệm giới hạn có những đặc trưng khoa học luận nào?Những chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến khái niệm giới hạn?

Q2: Đối tượng khái niệm giới hạn dãy số được trình bày như thế nào trong

thể chế dạy học THPT?

Q3: Xây dựng đồ án dạy học như thế nào để cho phép học sinh tiếp cận với khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ, giúp học sinh vượt qua một số chướng ngại khoa học luận khi học khái niệm giới hạn của dãy số đồng thời giúp cho học sinh thấy được sự nối kết giữa đại số và hình học trong dạy học khái niệm

giới hạn của dãy số?

Để đạt được mục tiêu đề ra phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi chọn được

sơ đồ hóa như sau

Lược đồ có thể giải thích như sau: trước hết chúng tôi nghiên cứu khoa học

luận về khái niệm giới hạn bằng cách tổng kết các công trình đã có Sau đó chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn dãy số ở trường THPT

Nghiên cứu khoa học luận khái niệm giới hạn

(tổng kết các công trình đã có)

Phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn

dãy số ở THPT

Xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn dãy số có ứng

dụng công nghệ thông tin (phần mềm Sketchpad)

4

Từ đó làm cơ sở để chúng tôi đưa ra các tình huống dạy học khái niệm giới hạn dãy

số có ứng dụng công nghệ thông tin

4 Tổ chức luận văn

Luận văn được cấu trúc trong 5 phần

Phần mở đầu

Chương 1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

1.1 Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn

1.2 Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn 1.3 Các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn

1.4 Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn

1.5 Các quan điểm về khái niệm giới hạn

1.6 Các tổ chức toán học tham chiếu

1.7 Kết luận chương 1 và một số câu hỏi nghiên cứu

Chương 2 Giới hạn dãy số trong chương trình và Sách giáo khoa THPT 2.1 Phân tích chương trình

2.1.1 Đối với chương trình chuẩn

2.1.2 Đối với chương trình nâng cao

2.2 Phân tích SGK

2.2.1 Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số

2.2.2 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

2.2.3 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn

2.2.4 Vai trò của giới hạn dãy số

2.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số

2.4 Kết luận chương 2

Chương 3 Thực nghiệm

3.1 Hình thức và đối tượng thực nghiệm

3.2 Nội dung thực nghiệm

3.2.1 Tình huống tiếp cận phần mềm Sketchpad

3.2.2 Tình huống thực nghiệm

3.6 Phân tích hậu nghiệm

6

Chương 1 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI

NIỆM GIỚI HẠN

M ục tiêu của chương: Tổng kết các công trình nghiên cứu đã có để tìm hiểu

lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn, phạm vi tác động của giới

hạn, các bài toán và các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn, đặc biệt là

những chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn cũng như các quan điểm

về khái niệm giới hạn và các tổ chức toán học tham chiếu.Từ đó làm cơ sở tham chiếu cho những phân tích ở các chương sau

Tài liệu tham khảo của chúng tôi sử dụng nghiên cứu chương này là

Luận văn Thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004)

Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004)

Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Phương Mai (2005)

Luận văn Thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt (2010)

Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2011)

Theo Nguyễn Thành Long (2004), lịch sử hình thành và phát triển của khái

niệm giới hạn có thể chia thành ba giai đoạn như sau:

a) Giai đoạn 1: Tiến trình của khái niệm vô hạn (từ thời Hi Lạp cổ đại đến thế

kỷ XVII), trong giai đoạn này giới hạn chủ yếu liên quan đến các đại lượng hình

học khi tính diện tích, thể tích,…Nhận thức về vô hạn đi từ thái độ phủ định sang thái độ khẳng định Khái niệm giới hạn bắt đầu xuất hiện ngầm ẩn qua các thuật ngữ

“terminus”, “hội tụ” Mầm mống của tư tưởng vô cùng bé cũng đã xuất hiện Nhiều đối tượng không được định nghĩa nhưng vẫn có sức thuyết phục do dựa vào hiệu

quả của chúng Có thể nói trong giai đoạn này khái niệm giới hạn lấy cơ chế của

một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa) và xuất hiện như

là một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết một số bài toán chủ yếu thuộc phạm vi hình học

b) Giai đoạn 2: Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé (từ thế kỷ XVII đến nửa

kỷ XIX) trong giai đoạn này cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới

hạn đã chuyển hẳn sang lĩnh vực số Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái

niệm giới hạn và vô cùng bé Thông qua gợi ý quan trọng của D’Alembert (1717 – 1783) là lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần để xây dựng một cơ sở vững

chắc cho Giải tích Cauchy (1789 – 1857) là người đã thực hiện thành công gợi ý đó

bằng cách phát triển một lý thuyết giới hạn, diễn đạt qua “ngôn ngữ ε, δ” mà ngày nay vẫn thường dùng Trước tiên, ông định nghĩa hàm số, sau đó định nghĩa sự hội

tụ, vô cùng bé, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan điểm về

giới hạn Tuy nhiên, lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên khái niệm trực giác đơn giản về hệ thống số thực Do đó muốn trình bày chặt chẽ lý thuyết giới hạn thì

phải có một sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực Weierstrass (1815 – 1897) đã

vận động thực hiện một chương trình “số học hóa giải tích” trong đó bản thân số

thực phải được làm cho chặt chẽ rồi từ đó mới rút ra tất cả các khái niệm cơ bản của

giải tích Định nghĩa giới hạn hàm số bằng khái niệm lân cận được ông đưa ra (năm 1880) Có thể nói rằng giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích Các khái niệm cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực…,đã được định nghĩa tường minh Vậy giới hạn chính thức có cơ chế của một khái niệm toán học Nó được định nghĩa và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học đồng thời nó cũng

là công cụ tường minh cho phép giải quyết nhiều bài toán của Giải tích

Nguyễn Thành Long (2004) chỉ ra khái niệm giới hạn đã xuất hiện ngầm ẩn trong hình học từ thời cổ Hi Lạp đến thế kỉ XVI nhằm giải quyết các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích Các bài toán này làm nảy sinh việc tính tổng vô hạn từ đó

8

khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác động là đại số nhưng ở mức độ kĩ thuật

Với những nghiên cứu của Newton về lý thuyết các fluxi và tỉ số biến thiên thì khái

niệm giới hạn đã đi vào cơ học Theo hướng đi khác, khởi đầu từ Leibniz với “đại

số các vô cùng bé” vào thế kỉ XVIII, Euler và Lagrange đã có nhiều công trình

nhằm đại số hóa giải tích song vẫn còn nhiều hạn chế Với những công trình của Cauchy và Weierstrass thì khái niệm giới hạn xuất hiện trong phạm vi số thực và được định nghĩa chính xác vào thế kỉ XIX

Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn có thể được tóm tắt như sau:

Hình học → Cơ học → Đại số → Số

(Cổ Hi Lạp) (thế kỉ XVII) (thế kỉ XVIII) (thế kỉ XIX)

1.2.2 Các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn

Các bài toán mà khái niệm giới hạn có cơ hội tác động là

• Tính diện tích hay thể tích chẳng hạn như: Xấp xỉ hình viên phân parabol

bằng tam giác, xấp xỉ tam giác cong bằng các hình chữ nhật, dùng tỉ số

biến thiên để chứng minh diện tích hình thang cong có đạo hàm là giá trị hàm số đó, …

• Tính tổng của chuỗi số

• Tính đạo hàm

Đối tượng ưu tiên hàng đầu theo Nguyễn Thành Long (2004) là khái niệm vô

hạn, nó vừa như là một chướng ngại và vừa như là một động cơ, không có thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu không có quan điểm thỏa đáng về vô hạn Bên cạnh đó

những khái niệm có vai trò quyết định trong lịch sử giới hạn như: diện tích, thể tích,

cấu trúc của các đại lượng này, khái niệm thời gian cũng được nhiều nhà toán học quan tâm Các khái niệm có tính chất kĩ thuật như: dãy số, chuỗi số, vô cùng bé, cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến cũng đi cùng lịch sử của giới hạn Khái niệm hàm số giữ vai trò quan trọng làm cho giới hạn trở thành một công cụ hoạt động trong lĩnh vực số Hơn nữa, khái niệm liên tục, đạo hàm và tích phân cho phép xác rõ hơn nữa khái

niệm giới hạn Mối quan hệ sâu xa giữa số thực và giới hạn giữ vai trò quan trọng vì theo Weierstrass có làm chặt chẽ hệ thống số thực mới định nghĩa chặt chẽ được

về khái niệm vô hạn, theo luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Phương Mai (2005), có nhiều quan điểm khác nhau về vô hạn:

« Vô h ạn chỉ một dạng vật chất không xác định là cơ sở đầu tiên của thế

gi ới

Vô h ạn đối với các số là một số lớn hơn tất cả các số hoặc nhỏ hơn tất

c ả các số

Vô h ạn là một quá trình liên tục, không có điểm kết thúc

Vô h ạn là phủ định của hữu hạn

Vô h ạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả những

gi ới hạn đã biết, không xác định được ranh giới

Vô h ạn được hiểu một cách trực giác bằng hình ảnh ở xa hai đầu của một đường thẳng

Vô h ạn là đại lượng dùng để chỉ lực lượng của một tập hợp vô hạn »

[6, tr.19-20]

Theo Lê Thành Đạt (2010), việc vận dụng những quy tắc hữu hạn vào quá trình vô hạn dẫn đến một số nghịch lí trong toán học chẳng hạn như:

“ Ngh ịch lý Asin đuổi rùa: Giả sử A-sin chạy với vận tốc 100km/h, rùa

ch ạy với vận tốc 1km/h Lúc xuất phát, rùa cách A-sin quãng đường là 100km H ỏi nếu A-sin và rùa xuất phát cùng một lúc thì A-sin có đuổi kịp rùa không? D Zenon lý gi ải rằng, khi A-sin chạy đến vị trí A (100km) thì rùa đã chạy đến vị trí A 1 (1km), khi A-sin ch ạy đến A 1 thì rùa đã chạy đến

v ị trí A 2 ( 1

100km ), … Do vậy A-sin không bao giờ đuổi kịp rùa Nghịch lí này xu ất phát từ quan niệm cho rằng tổng của một dãy số vô hạn không

10

th ể là một số hữu hạn.”

“ Ngh ịch lí chia đôi: Nếu có thể cắt đôi một đối tượng, bằng cách lặp quy trình này m ột cách vô hạn, thì về mặt Toán học luôn còn lại một đoạn nào đó Ngược lại về mặt vật lý ta biết rằng sẽ có một thời điểm ta không còn có th ể cắt đôi được nữa! Khó khăn là ở chỗ ta không thể trừ một số

vô h ạn các độ dài ngày càng bé và khó khăn để quan niệm tổng này có

Mặt khác theo luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004):

“Cornu (1983) cũng nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận xuất hiện và tiến tri ển trong suốt lịch sử của khái niệm giới hạn Theo tác giả, các chướng ngại khoa

h ọc luận chính của khái niệm giới hạn là:

- “S ự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất hiện trong tiến trình trừu tượng ngữ

c ảnh hình học và ngữ cảnh chuyển động học, “các đại lượng” được quy về phạm vi

s ố mà ở đó khái niệm giới hạn được hợp nhất

- Khía c ạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: đòi hỏi phải áp dụng một

ki ểu suy luận toán học mới gắn với khía cạnh vô hạn Đối với khái niệm này, không

ch ỉ còn là một dãy các suy luận logic, mà là suy luận trên các tiến trình vô hạn

- Khái ni ệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể “gán được” nữa? Có tồn tại hay không các đại lượng “tan dần” mà chỉ cần qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có ph ải một số nhỏ hơn tất cả các lượng (dương) cho trước thì bằng không?

- M ột giới hạn có thể đạt tới hay không?

- Ngoài ra còn có các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu Một tổng vô hạn

có th ể là một số hữu hạn Hai đại lượng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại

ti ến về một lượng hữu hạn”.[10, tr1]

Theo luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thành Long (2004) có ba quan điểm chủ

yếu về khái niệm giới hạn:

• Quan điểm xấp xỉ

không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ”

• Quan điểm động học

Theo Bkoucher (1996)“đúng như tên gọi của nó, quan điểm này gắn liền

v ới chuyển động Nếu đại lượng biến thiên x dần về một giá trị của đại lượng này (theo nghìa là nó lấy những giá trị càng ngày càng giá trị của a), thì m ột đại lượng y phụ thuộc đại lượng x (nghĩa là một hàm số của x)

d ần về một giá trị b nếu đại lượng x càng gần tới giá trị a thì đại lượng y cũng gần tới b” Để làm rõ sự khác biệt giữa quan điểm xấp xỉ và quan

điểm động học theo Bkoucher (1996):“Nếu trong khái niệm động học

chính bi ến kéo theo hàm số, thì trong khái niệm xấp xỉ, chính độ xấp xỉ

mà người ta muốn sẽ xác định xấp xỉ của biến”

• Quan điểm đại số: tìm cách xác định các quy tắc, các phép toán cho phép thao tác trên các đối tượng mà không cần quan tâm đến bản chất của

những đối tượng này

Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) chỉ ra, nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã

đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái niệm giới hạn sau đây:

- OM1đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại

bằng các thao tác đại số

- OM2tôpô các gi ới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số

Hai tổ chức toán học này được tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) làm rõ như sau:

Tổ chức toán học OM1 xuất phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và

chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của những hàm số quen thuộc Vấn

12

đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm số f(x) khi

x → a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản

dựa trên sự thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x)

OM2 có ý định muốn đề cập đến bản chất của đối tượng “giới hạn hàm số”

và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một kiểu xác định các hàm

số Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự

tồn tại hay không tồn tại các giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác định các hàm số; chứng minh các tính chất về các phép toán trên các giá trị giới

hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh các quy tắc tính toán, là công nghệ tối thiểu của OM1 Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử

dụng các tính chất giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn

ngữ

Từ việc tổng kết các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi thấy rằng các tác giả

đã đưa ra những kết luận khá rõ ràng và chi tiết về:

- Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn

- Phạm vi tác động của giới hạn, các bài toán và các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn

- Những chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn

- Các quan điểm về giới hạn

- Các tổ chức toán học tham chiếu

Từ đây, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: SGK Đại số và Giải tích 11 hiện hành có tiếp cận khái niệm giới hạn dãy

số theo quan điểm xấp xỉ không? Quan điểm đó được thể hiện ở những đối tượng tri

thức nào trong thể chế? Vị trí của quan điểm xấp xỉ so với quan điểm đại số trong

dạy học giới hạn dãy số như thế nào? Khái niệm giới hạn dãy số có vai trò gì đối

14

Chương 2 GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH

VÀ SÁCH GIÁO KHOA THPT

M ục tiêu chương: sử dụng tri thức tham chiếu ở chương 1, phân tích SGK

Đại số và Giải tích 11 hiện hành để trả lời cho các câu hỏi sau:

Q1: SGK Đại số và Giải tích 11 hiện hành có tiếp cận khái niệm giới hạn dãy

số theo quan điểm xấp xỉ không? Quan điểm đó được thể hiện ở những đối tượng tri

thức nào trong thể chế? Vị trí của quan điểm xấp xỉ so với quan điểm đại số trong

dạy học giới hạn dãy số như thế nào?Khái niệm giới hạn dãy số có vai trò gì đối với các khái niệm liên quan?

Q2: Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến giới hạn dãy số có thể giải quyết được với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin (phần mềm Sketchpad)

Tài li ệu tham khảo

1 SGK Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn

2 SGK Đại số và Giải tích 11 chương trình nâng cao

3 SGV Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn

4 SGV Đại số và Giải tích 11 chương trình nâng cao

5 SBT Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn

6 SBT Đại số và Giải tích 11 chương trình nâng cao

7 Luận văn Thạc sĩ của Bùi Thành Vinh (2013)

2.1.1 Đối với chương trình chuẩn

Trong chương trình chuẩn, mục tiêu của chương giới hạn được thể hiện trong SGVC11 như sau:

- Chu ẩn bị những khái niệm và công cụ cơ bản nhất làm cơ sở cho việc nghiên c ứu các nội dung sẽ đưa vào sau đó như Đạo hàm ở lớp 11, Khảo sát hàm

s ố và Tích phân ở lớp 12.”[4, tr.20]

Qua mục tiêu tổng quát của chương giới hạn chúng tôi thấy rằng chương trình chỉ xem giới hạn là công cụ để nghiên cứu các tri thức có liên quan như: sự liên tục, đạo hàm, tích phân và chương trình không yêu cầu nghiên cứu sâu phần

giới hạn

Về khái niệm giới hạn dãy số, chương trình chuẩn yêu cầu:

“- Không dùng ngôn ng ữ ε, ℕđể định nghĩa giới hạn của dãy số

-Thông qua các ví d ụ cụ thể để hình thành khái niệm giới hạn 0, từ đó dẫn đến giới hạn khác 0

Nói cách khác, v ấn đề là đưa vào khái niệm giới hạn dãy số mà không trình bày định nghĩa hoàn toàn chính xác Vả lại, ở cấp độ phổ thông, khi đã không dùng ngôn ng ữ ε, ℕ th ì khó có định nghĩa nào có thể mô tả đúng bản chất của khái niệm

gi ới hạn.”

[4, tr 121-22] Chương trình chuẩn không dùng ngôn ngữ ε, ℕ để định nghĩa giới hạn của dãy số và cũng khẳng định “ở cấp độ phổ thông, khi đã không dùng ngôn ngữ ε, ℕ

thì khó có định nghĩa nào có thể mô tả đúng bản chất của khái niệm giới hạn”

Bài giới hạn của dãy số được giảng dạy trong 5 tiết, mục đích yêu cầu của bài dạy là:

“- Bi ết khái niệm giới hạn của dãy số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh

h ọa cụ thể Biết định nghĩa giới hạn của dãy số và vận dụng nó vào việc giải một số bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn

16

- Bi ết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để tính gi ới hạn của các dãy số đơn giản

- Bi ết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó Biết

nh ận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài toán liên quan có d ạng đơn giản.”[4, tr124]

Về mức độ nhận thức cần đạt được trong dạy học giới hạn dãy số là biết và

vận dụng vào một số bài toán đơn giản Điều này cũng có nghĩa là đối tượng giới

hạn chưa được chương trình khai thác nhiều.Qua đó, ta có thể khẳng định thêm chương trình chuẩn không đi sâu vào nghiên cứu giới hạn mà nó chỉ là công cụ cho các tri thức có liên quan về sau như tính liên tục, đạo hàm và tích phân

2.1.2 Đối với chương trình nâng cao

Theo SGVN11, mục tiêu của chương trình là:

“V ề kiến thức

Làm cho h ọc sinh nắm được

- Định nghĩa dãy số có giới hạn 0;

- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn;

- Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực;

- Định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của hàm số;

- Các định lí và các quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và

gi ới hạn một bên của dãy số và hàm số;

- Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên

m ột đoạn;

- M ột số tính chất quan trọng của hàm số liên tục

V ề kĩ năng

Giúp h ọc sinh biết vận dụng linh hoạt các định lí và các quy tắc tìm giới hạn

c ủa dãy số và hàm số để từ một số giới hạn đã biết tìm được giới hạn của những dãy s ố và những hàm số khác, biết chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên

m ột khoảng và trên một đoạn.” [8, tr 167]

Thông qua mục tiêu của chương trình nâng cao, đối tượng giới hạn được nghiên cứu một cách chi tiết hơn và sâu sắc hơn chương trình chuẩn Chương trình

Qua việc phân tích chương trình chúng tôi nhận thấy cấu trúc trình bày của

phần giới hạn dãy số ở hai chương trình chuẩn và nâng cao không khác nhau nhiều

Do đó để tiến hành phân tích SGK chúng tôi chọn bộ SGKN11

2.2.1 Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số

Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số của SGKN11 mở đầu bằng việc cho dãy số (un) với rồi liệt kê các phần từ của dãy và biểu diễn hình học dãy số trên trục số được trình bày cụ thể như sau:

[7, tr127]

Việc trình bày như thế giúp học sinh có cái nhìn trực quan hơn đối với dãy số (un) với Theo chúng tôi việc chọn dãy số là dãy đan dấu có một số thuận lợi sau đây:

- Học sinh sẽ thấy được sự “chụm lại” của các điểm biểu diễn của dãy số xung quanh điểm 0

- Tránh quan điểm sai lầm ở học sinh là dãy số có giới hạn 0 là dãy đơn điệu

18

- Dấu giá trị tuyệt đối trong biểu thức (khoảng cách từ đến 0) sẽ phát huy tác dụng

Hơn nữa, SGKN11 sử dụng cụm từ “ta thấy khi n tăng thì các điểm biểu diễn

chụm lại quanh điểm 0” Cụm từ này dường như gợi cho học sinh hình ảnh các

điểm biểu diễn chuyển động càng lúc càng gần và vây quanh điểm 0 Tuy nhiên số lượng những điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0 không nhiều và chúng tôi thấy rằng chưa có nhiều hình ảnh trực quan cho thấy khi n tăng thì số lượng điểm được biểu diễn chụm quanh điểm 0

Sau đó SGKN11 lại đưa ra nhận xét: “Khoảng cách từ điểm u n đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.” Mệnh đề này có thể gây

ra cho học sinh cảm giác mơ hồ, khó hiểu vì đây là lần đầu tiên họ tiếp xúc với khái niệm giới hạn Để giải thích cho nhận xét trên SGKN11 đưa ra bảng như sau:

[7, tr127-128]

[7, tr128]

Ở hoạt động này học sinh tìm số n thỏa mãn bất các bất đẳng thức:

Trước khi kết thúc hoạt động H1, SGKN11 đưa ra kết luận: “Như vậy mọi số

hạng của dãy số đã cho, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương tùy ý cho trước Ta nói dãy số có giới hạn là 0.” Từ

nhận xét này cho thấy tư tưởng xấp xỉ về giới hạn được thể hiện trong hoạt động này.Tuy nhiên chỉ với 4 số dương thì SGKN11 đưa ra kết luận, liệu sự tổng quát này có thuyết phục được tất cả học sinh hay không?

2.2.2 Định nghĩa dãy số có giới hạn 0

SGKN11 hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0 theo con đường qui nạp thông qua dãy số Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 được trình bày như sau:

20

[7, tr128]

Ở đây chúng tôi nhận thấy rằng định nghĩa này thể hiện quan điểm xấp xỉ, nhưng không dùng ngôn ngữ ε,ℕ do tuân thủ chương trình Quan điểm xấp xỉ được thể hiện không rõ ràng trong định nghĩa tức là với một số dương bé tùy ý cho trước, trong định nghĩa không chỉ ra cụ thể cách tìm số n0 để giá trị tuyệt đối của un nhỏ hơn số dương đó với n ≥ n0

Sau khi trình bày định nghĩa có dãy số có giới hạn 0, SGKN11 đưa ra một số dãy số có giới hạn 0 và định lí 1 như sau:

[7, tr129]

Ta thấy rằng việc chứng minh định lý 1 dựa vào định nghĩa, tức là dựa vào tinh thần của quan điểm xấp xỉ Định lý này có thể thay thế định nghĩa để chứng minh dãy số có giới hạn 0 và đây cũng là sự mở đầu cho việc xuất hiện của quan điểm đại số Cụ thể là ngay sau đó SGKN11 đưa ra ví dụ 1 và hoạt động H2 cho thấy việc ứng dụng định lí 1 như sau:

[7, tr129]

Chứng minh hoạt động H2

[8, tr171] Giới hạn dãy số tiếp tục được đại số hóa thông qua định lí 2, ví dụ 2 và hoạt động H3 như sau:

[7, tr129] Chứng minh định lí 2

[8, tr 172]

22

[7, tr 129] Chứng minh hoạt động H3

[8, tr172]

2.2.3 Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn

Trước khi vào định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, SGKN11 thông qua ví

dụ sau:

[7, tr130] Tiếp theo, SGKN11 đưa ra định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, như sau:

[7, tr131]

SGK định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn thông qua định nghĩa dãy số có giới hạn 0 và rõ ràng quan điểm đại số lại tiếp tục được thể hiện trong định nghĩa này Tuy nhiên sau đó SGKN11 lại đưa ra nhận xét:

[7, tr131] Nhận xét này lại thể hiện quan điểm xấp xỉ, phải chăng SGKN11 vừa muốn thể hiện quan điểm đại số vừa muốn thể hiện quan điểm xấp xỉ trong định nghĩa dãy

số có giới hạn hữu hạn? Mặc dù vậy, quan điểm xấp xỉ lại tiếp tục vắng bóng mà thay vào đó là tư tưởng đạisố hóa chỉ đạo xuyên suốt cho đến hết bài và nó được thể hiện cụ thể trong các ví dụ, hoạt động và định lí sau đây:

24

[7, tr131] Các định lí tính giới hạn hữu hạn và các ví dụ sau đây cho thấy vị trí ưu tiên hàng đầu của tư tưởng đại số hóa giới hạn

[7, tr132]

26

[7, tr133]

2.2.4 Vai trò của giới hạn dãy số

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: về phương diện tiếp cận khái niệm tổng cấp số nhân lùi vô hạn, trước hết SGKN11 đưa ra định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn, dùng công thức tính tổng Sn (tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân và tính limSn thông qua định lí) Từ đó SGKN11 hình thành định nghĩa tổng cấp nhân lùi vô hạn, được trình bày như sau:

[7, tr133]

[7, tr134] Giới hạn dãy số còn giữ vai trò quan trọng đó là công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số (Giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số), chẳng hạn như định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số theo SGKN11:

28

[7, tr146]

Ta thấy rằng giới hạn hàm số được định nghĩa thông qua dãy số, do cả hai chương trình chuẩn và nâng cao không dùng ngôn ngữ (ε, δ) Tuy nhiên, việc tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa thông qua giới hạn dãy số lại ít được sử dụng mà thay vào đó là các định lí về giới hạn hàm số Mặc dù thế định nghĩa giới hạn hàm

số thông qua giới hạn dãy số lại tỏ ra hiệu quả trong một số nhiệm vụ là vết của tổ chức toán học OM2 chẳng hạn như bài tập 22 SGKN11 trang 151

[8, tr151] Sau đây là lời giải trong SGVNC11 trang 187

[8, tr87]

Nhiệm vụ này cho thấy việc tính giới hạn hàm số bằng các định lí không phải lúc nào cũng thực hiện được Đôi khi phải dùng định nghĩa giới hạn hàm số để tính, khi đó việc tính giới hạn dãy số lại đóng vai trò quan trọng

2.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số

Để làm rõ phần này chúng tôi xin trình bày tóm lược những kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số đã được tác giả Bùi Thành Vinh (2013) hệ

thống trong luận văn của mình như sau:

 Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm giới hạn dãy số

• Kĩ thuật τ11A: thay các giới hạn vào biểu thức xác định dãy số

τ11Acó phạm vi hoạt động là các giới hạn các giới hạn dãy số không thuộc dạng vô định

• Kĩ thuật τ11B: biến đổi dãy số (để khử dạng vô định) và đưa về dạng τ11A Công nghệ θ11: Các định lí giới hạn và các giới hạn cơ bản

Kĩ thuật τ2dựa trên định nghĩa giới hạn 0 của dãy số

 Kiểu nhiệm vụ T3: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Kĩ thuật τ3:

30

- Xác định số hạng đầu tiên u1 và công bội q ( <1) của cấp số nhân

- Nhận dạng cấp số nhân lùi vô hạn (nếu nó chưa được chỉ rõ)

- Thay u1và q vào công thức tính tổng

Công nghệ θ3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

 Kiểu nhiệm vụ T4: Chứng minh dãy số (un) có giới hạn là một số thực a,

Công nghệ θ43: định nghĩa giới hạn +∞ của dãy số

Phạm vi tác động của kĩ thuật τ43: các dãy số có giới hạn +∞

 Kiểu nhiệm vụ T5: Cho dãy số (un) với limun = a Chứng minh kể từ số

hạng nào đó trở đi , tất cả các số hạng của (un) đều nằm trong khoảng (a-m; a+ m)

(m>0)

• Kĩ thuật τ5:

- Chọn số dương được tính theo công thức:

hạn dương vô cực

Để thấy rõ hơn vị trí của quan điểm đại số và quan điểm xấp xỉ thể hiện ở phần giới hạn dãy số trong SGK và SBT, chúng tôi đưa ra bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK và SBT như sau:

B ảng 2.1.Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn dãy số