Các nhóm phát hiện được độ dài cạnh của n hình vuông từ hình vuông thứ nhất đến hình vuông thứ n là một cấp số nhân cũng như tính tổng cấp số nhân Sn
trong câu 6.1 qua protocole pha 8 (từ câu 3 đến 6).
Phép lặp của phần mềm tiếp tục là công cụ giúp các em dự đoán giới hạn dãy số Snlà 1 khi n → +∞. Hầu hết các nhóm đã vận dụng được định nghĩa giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ để chứng minh limSn =1, chỉ trừ nhóm I thể hiện qua đoạn trích từ protocole pha 8 sau đây:
“7. GV: Thầy nhận xét là các nhóm phần trả lời rất tốt đối với câu 6.1, tiếp theo thầy mời các em nêu ý tưởng của nhóm mình cho câu 6.2? Thầy mời đại diện nhóm I, mời em!
8. HS5: Thưa thầy! Trước hết chúng em tăng số lần lặp từ phần mềm, rồi thấy tổng các cạnh hình vuông Sn nó gần bằng với AB khi n càng lớn, mà AB = 1 nên tụi em dự đoán Sn bằng 1 khi n dần đến + ∞. Còn việc chứng minh thì tụi em dựa vào hình ảnh biểu diễn từ phép lặp phần mềm ạ!
9. GV: Cảm ơn em, mời em ngồi xuống! Thầy mời đại diện nhóm III nêu ý tưởng giải quyết câu 6.2 của nhóm, mời em!
10. HS20: Dạ thưa thầy! Giống như nhóm I tụi em cũng dự đoán tổng Sn bằng 1 bằng phép lặp phần mềm. Chỉ có khác nhóm I ở chỗ phần chứng minh tụi em dùng định nghĩa giới hạn dãy số vừa học để chứng minh ạ! Tụi em tính , rồi kết luận nó nhỏ hơn số dương bất kì kể từ số n0 nào đó, như
74
phần trình bày trên bảng ạ!
11. GV: Cảm ơn em, mời em ngồi xuống! Thầy mời đại diện nhóm IV nêu ý tưởng phần trình bày của nhóm mình, mời em!
12. HS26: Dạ giống hai nhóm kia nhóm em dự đoán tổng Sn bằng 1 khi n dần đến +∞ bằng phần mềm. Còn chứng minh thì nhóm em dựa vào định nghĩa giới hạn dãy số ạ. Tụi em cho số ε dương, rồi tìm số n từ bất đẳng thức
rồi trình bày như trên bảng ạ!”
Theo đoạn trích trên chúng tôi khẳng định rằng phép lặp phần mềm là môi trường giúp các em dự đoán giới hạn. Một điều quan trọng nữa quan điểm xấp xỉ được các em sử dụng để chứng minh Sn→ 1 khi n → +∞.
Những tri thức đã được các em tiếp thu qua thực hành phiếu 5 và 6 là thấy được sự nối kết giữa hình học trong dạy học khái niệm giới hạn được thể hiện qua câu trả lời của học sinh ở protocole pha 8“30.HS31: Dạ thưa thầy! Tụi em biết được sự nối kết giữa hình học và đại số!”. Bên cạnh đó các em đã hiểu được một tổng vô hạn có thể có kết quả có hữu hạn qua trao đổi giữa giáo viên và học sinh trong protocole pha 8 từ câu 23 đến câu 28:
“23. GV: Các em lưu ý, ta xét tổng là một tổng vô hạn,
mà
, hãy cho thầy biết tổng S bằng bao nhiêu? Vì sao?
24. H33: Dạ thưa thầy tổng S = 1 vì limSn = 1 ạ!
25. GV: Cảm ơn em, mời em ngồi xuống! Các em có đồng ý với ý kiến của bạn không?
26. HS: Dạ có ạ!
27. GV: Đúng rồi! Như vậy việc ta kết luận một tổng vô hạn luôn có kết quả là vô hạn là đúng hay sai?
28. HS: Dạ, sai ạ!”
phần mềm để biểu diễn dãy số tượng trưng cho những điểm tiến của quân ta ở phiếu số 2. Ở phiếu số 3 phép lặp phần mềm đã giúp các nhóm giải quyết câu 3.1 một cách dễ dàng, tuy nhiên ở câu 3.2 thì nó lại gây khó khăn cho các nhóm. Việc dựa vào kết quả biểu diễn dãy số bằng phép lặp từ phần mềm không đơn thuần chỉ gây ra sự bế tắt cho việc giải quyết câu 3.3 mà trái lại nó lại tạo ra những động lực để các nhóm giải quyết câu 3.3 theo chiến lược . Đây là chiến lược thể hiện quan điểm xấp xỉ giới hạn và quan điểm này càng được thể hiện sâu sắc hơn khi các nhóm giải quyết câu 3.4. Do đó, chúng tôi có thể nói rằng phép lặp phần mềm là một trường tạo ra một niềm tin và động lực để các nhóm đi đến chiến lược , thể hiện tinh thần quan điểm xấp xỉ giới hạn một cách toàn diện. Qua tình huống 1, cho thấy định nghĩa giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ giới hạn được các em tiếp nhận một khá dễ dàng.
Một chướng ngại mà nhiều học sinh gặp phải khi học khái niệm giới hạn dãy số là “một tổng vô hạn luôn có kết quả vô hạn”. Điều này được chúng tôi kiểm chứng ở phiếu số 4 của thực nghiệm với tỉ lệ 81.58% học sinh có suy nghĩ như vậy. Đây cũng là một trong những động lực để chúng tôi tiến hành thực nghiệm tình huống số 2.
Thực nghiệm tình huống 2 cho thấy một lần nữa phép lặp được các nhóm vận dụng khá thành thạo để tạo ra hình “mô phỏng” ở phiếu số 5, nhằm tạo tiền đề tốt hơn để thực hành phiếu số 6. Qua thực hành câu 6.1 đã giúp các em thấy được sự nối kết giữa hình học và đại số là độ dài một cạnh của hình vuông tương ứng với một số, một dãy độ dài các cạnh hình vuông tương ứng với một cấp số nhân và độ dài liên tiếp của các cạnh hình vuông từ hình vuông thứ nhất đến hình vuông thứ n
76
tương ứng với một tổng cấp số nhân. Một lần nữa phép lặp phần mềm lại tạo ra môi trường giúp học sinh dự đoán giới hạn của Sn là 1 khi n → +∞. Một điều đáng quan tâm là các nhóm đã vận dụng được định nghĩa giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ để chứng minh limSn = 1. Từ đó nó tạo cơ sở để kết luận một tổng vô hạn có kết quả hữu hạn, đã giúp học sinh thoát khỏi chướng ngại nói trên. Qua tình huống này các em thấy được sự nối kết giữa hình học và đại số trong dạy học khái niệm giới hạn dãy số và cũng thấy được phạm vi tác động của giới hạn vào hình học, song song đó nó cũng giúp các em thoát khỏi chướng ngại “ một tổng vô hạn luôn có kết quả vô hạn”.
Tóm lại thực nghiệm này cho thấy từ một tình huống thực tế kết hợp với việc vận dụng phép lặp phần mềm Sketchpad chúng ta có thể tạo ra tình huống dạy học khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ, một khái niệm rất quan trọng trong toán học mà SGK hiện hành thể hiện nó một cách khá mờ nhạt. Hơn nữa qua những câu trả lời của các nhóm trên các phiếu cho thấy tư tưởng xấp xỉ này được hình thành một cách tự nhiên ở học sinh thông qua việc giải quyết các tình huống và thao tác với phần mềm. Ngoài ra, dưới sự hỗ trợ của phép lặp của phần mềm Sketchpad cho phép ta tạo ra tình huống giúp học sinh thoát khỏi chướng khi học khái niệm giới hạn, thấy được sự nối kết giữa hình học và đại số trong việc dạy học khái niệm giới hạn đồng thời cũng cho các em thấy được giới hạn dãy số có phạm vi tác động vào những bài toán hình học.
- Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn gồm 3 giai đoạn: giai đoạn 1: Tiến trình của khái niệm vô hạn (từ thời Hi Lạp cổ đại đến thế kỷ XVII), giai đoạn 2: Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé (từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII), giai đoạn 3: Xây dựng lý thuyết giới hạn (từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế kỷ XIX).
- Phạm vi tác động của giới hạn và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn:
Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn có thể được tóm tắt như sau: Hình học → Cơ học → Đại số → Số
(Cổ Hi Lạp) (thế kỉ XVII) (thế kỉ XVIII) (thế kỉ XIX)
Các bài toán và các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn: diện tích, thể tích tổng chuỗi, đạo hàm…
- Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn: Vô hạn, diện tích, thể tích, thời gian, dãy số, chuỗi số, vô cùng bé, cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến, khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân…
- Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới: khía cạnh vô hạn của khái niệm, vận dụng các quy tắc hữu hạn vào quá trình vô hạn, Sự chuyển đổi sang phạm vi số, khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn, khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn, mô hình đơn điệu, một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn, hai đại lượng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại tiến về một lượng hữu hạn.
- Các quan điểm về giới hạn: quan điểm xấp xỉ, quan điểm đại số và quan điểm động học.
78
OM1đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại số.
OM2tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số. Trong chương 2, sau khi phân tích SGK Đại số và Giải tích 11 hiện hành chúng tôi thu được một số kết quả sau:
- Chương trình chuẩn và nâng cao không dùng ngôn ngữ ε, ℕđể định nghĩa giới hạn dãy số. Nhưng khái niệm giới hạn dãy số được tiếp cận theo quan điểm xỉ không rõ ràng. Quan điểm xấp xỉ chỉ xuất hiện trong định nghĩa và định lí 1 rồi vắng bóng mà thay vào đó là quan điểm đại số.
- Dãy số có vai trò công cụ để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và định nghĩa giới hạn hàm số.
- Đối với các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn dãy số trong SGK, qua thống kê cho thấy quan điểm đại số giữ vị trí thống trị còn quan điểm xấp xỉ xuất hiện khá mờ nhạt và yếu ớt.
- Một số kiểu nhiệm liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số có thể có kĩ thuật giải quyết dựa vào phép lặp của phần mềm Sketchpad, chẳng hạn như kiểu nhiệm vụ T1, T3 và T6. Phép lặp của phần mềm cho phép biểu diễn dãy số trên trục số và bảng cũng như tạo ra những hình “mô phỏng” giúp dự đoán giới hạn một cách tiện lợi.
Từ sự phân tích trên chúng tôi đã đưa ra thực nghiệm với hai tình huống được trình bày trong chương 3 và kết quả đạt được như sau:
Ở tình huống 1, từ một bài toán thực tế kết chúng tôi giúp học sinh xây dựng mô hình trong phần mềm Sketchpad. Trong phiếu số 1, 2 và 3 đã giúp các em làm quen được một số tính năng cơ bản của phần mềm đặc biệt là biểu diễn dãy số trên trục số và bảng bằng phép lặp của phần mềm. Ở đây, phép lặp phần mềm đóng vai trò môi trường giúp các em có được niềm tin và động lực để trả lời phiếu số 3. Hình ảnh biểu diễn từ phiếu số 3 trong phần mềm đã giúp các em chuyển sang mô hình toán học đưa các em đến câu trả lời chính xác và tổng quát trong bài toán tìm số lần tiến để quân ta vào thành. Đây là một bước quan trọng để giúp các em chuyển sang khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ. Hơn nữa, tư tưởng xấp xỉ này
hình “mô phỏng”. Một lần nữa phép lặp phần mềm đóng vai trò là môi trường giúp các em dự đoán dãy số (Sn) có giới hạn là 1 khi n dần đến + ∞. Quan trọng hơn là các em đã vận dụng định nghĩa giới hạn dãy số theo quan điểm điểm xấp xỉ để chứng minh limSn=1. Sự chuyển đổi từ độ dài cạnh của mỗi hình vuông thứ nhất đến thứ n tương ứng với số u1 đến un, tổng độ dài các cạnh hình vuông từ u1 đến un
tương ứng với Sn tổng cấp số nhân đã giúp các em thấy được sự nối kết giữa hình học và đại số. Hơn nữa, việc tính tổng vô hạn
đã giúp các em thoát khỏi chướng ngại “một tổng vô hạn luôn có kết quả vô hạn”.
Tóm lại, với những ghi nhận ban đầu và qua quá trình nghiên cứu cùng với những kết quả đạt được, chúng tôi nhận thấy rằng, luận văn đã trả lời được các câu hỏi mà chúng tôi đặt ra ban đầu.
Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn là xây dựng tình huống dạy học khái niệm giới hạn hàm số theo quan điểm xấp xỉ trong môi trường Sketchpad.
80
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Thị Kim Cúc (2011), Dạy học khái niệm giới hạn vô hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông, luận văn thạc sĩ, trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh. 2. Lê Thành Đạt (2010), Dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường
trung học phổ thông, luận văn thạc sĩ, trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
3. Nguyễn Huy Đoan (2006), Bài tập Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.
4. Trần Văn Hạo (2007), Đại sốvà giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục.
5. Trần Văn Hạo (2007), Sách giáo viên Đại sốvà giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục.
6. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu Didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
7. Nguyễn Thị Phương Mai (2005), Quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm vô hạn, Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
8. Đoàn Quỳnh (2007), Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục. 9. Đoàn Quỳnh (2006), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất
bản Giáo dục.
10. Vũ Tuấn (2007), Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục.
11. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy - học toán: Đồ án Didactic trong môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
12. Bùi Thành Vinh (2013), Sự nối khớp giữa dạy học khái niệm giới hạn ở THPT và ở trường Đại học sư phạm, Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.
PHỤ LỤC PHỤ LỤC SỐ 1 Protocole pha 1
Nhóm I: …
1. H3: Đề nó vẽ cho mình điểm O rồi nè! Mình xem đồn A là điểm A, thành B, C là điểm B và C, còn vị trí D là điểm D!
2. H2: Ê! mình dựng điểm A, B, C, D trước đi, A(2;0), D(4;0) 3. H1: còn B, C thì sao?
4. H6: AB =BC= 1,5 thì B(2-1.5;0) và C(2+1.5;0). 5. H7: còn u1, u2, u3, u4?
6. H6: Dễ ẹt, u1(1;0), , 7. H5: Ok! Quá dễ!
8. H4: Thành B, C di chuyển được đó nhe! Mấy bạn thay đổi độ dài AB coi thế nào?
9. H3: Sao nó không di chuyển được, trật rồi!
10.H6: Vậy mình dựng điểm theo tham số đi hồi nảy có làm rồi đó, AB = 1,5 là tham số đó.
11.H2: Ah! Dựng B(2-AB;0), C(2+AB;0).
Protocole pha 2 … Nhóm II … 1. H10: Để coi , , , vậy số hạng tổng quát rồi! 2. H14: Có lý!
3. H11: Ê! Sao ông thầy cho vẽ 20 điểm dễ vậy! Mình chỉ cần vẽ từng điểm là được rồi!
…
9. H35: Công thức số hạng quát phải dựa vào rồi mấy bạn ơi! 10.H31: Ừ!
11.H37: Vậy 12.H38: Đúng!
13.H32: Vẽ 20 điểm tiến quân làm như thế nào đây! 14.H35: Thì biểu diễn nó lên trục số đó!
15.H36: Dùng phép lặp, hồi nảy mình mới học! 16.H37: Ok! … Protocole pha 3 Nhóm I: … Câu 3.3 …
1. H2: Ê mọi người, AB = AC =0,0001km B và C nó muốn dính liền luôn rồi kìa!
2. H7: Lúc này mình tăng số lần lặp thì hết thấy luôn rồi! Bó tay!
3. H3: Nhưng quân ta luôn vào thành được mà!Tui tăng số lần lặp thấy có mấy điểm màu đỏ nhảy vào giữa BC nè!
4. H5:Đúng rồi.
5. H1: Mình không dựa vào màn hình để trả lời nữa rồi! Phải tìm cách khác rồi đó mấy bạn ơi.
6. H6: Ê mấy bồ nghĩ coi mấy cái điểm màu đỏ lọt vào giữa B và C khi nào?