Theo SGVN11, mục tiêu của chương trình là:
“Về kiến thức
Làm cho học sinh nắm được
- Định nghĩa dãy số có giới hạn 0;
- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn;
- Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực;
- Định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của hàm số;
- Các định lí và các quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và giới hạn một bên của dãy số và hàm số;
- Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn;
- Một số tính chất quan trọng của hàm số liên tục. Về kĩ năng
Giúp học sinh biết vận dụng linh hoạt các định lí và các quy tắc tìm giới hạn của dãy số và hàm số để từ một số giới hạn đã biết tìm được giới hạn của những dãy số và những hàm số khác, biết chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn.” [8, tr 167]
Thông qua mục tiêu của chương trình nâng cao, đối tượng giới hạn được nghiên cứu một cách chi tiết hơn và sâu sắc hơn chương trình chuẩn. Chương trình
phần giới hạn dãy số ở hai chương trình chuẩn và nâng cao không khác nhau nhiều. Do đó để tiến hành phân tích SGK chúng tôi chọn bộ SGKN11.
2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số
Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số của SGKN11 mở đầu bằng việc cho dãy số (un) với rồi liệt kê các phần từ của dãy và biểu diễn hình học dãy số trên trục số được trình bày cụ thể như sau:
[7, tr127]
Việc trình bày như thế giúp học sinh có cái nhìn trực quan hơn đối với dãy số (un) với . Theo chúng tôi việc chọn dãy số là dãy đan dấu có một số thuận lợi sau đây:
-Học sinh sẽ thấy được sự “chụm lại” của các điểm biểu diễn của dãy số xung quanh điểm 0.
18
-Dấu giá trị tuyệt đối trong biểu thức (khoảng cách từ đến 0) sẽ phát huy tác dụng.
Hơn nữa, SGKN11 sử dụng cụm từ “ta thấy khi n tăng thì các điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0”. Cụm từ này dường như gợi cho học sinh hình ảnh các điểm biểu diễn chuyển động càng lúc càng gần và vây quanh điểm 0. Tuy nhiên số lượng những điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0 không nhiều và chúng tôi thấy rằng chưa có nhiều hình ảnh trực quan cho thấy khi n tăng thì số lượng điểm được biểu diễn chụm quanh điểm 0.
Sau đó SGKN11 lại đưa ra nhận xét: “Khoảng cách từ điểm un đến điểm 0 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.” Mệnh đề này có thể gây ra cho học sinh cảm giác mơ hồ, khó hiểu vì đây là lần đầu tiên họ tiếp xúc với khái niệm giới hạn. Để giải thích cho nhận xét trên SGKN11 đưa ra bảng như sau:
[7, tr128]
Ở hoạt động này học sinh tìm số n thỏa mãn bất các bất đẳng thức:
Trước khi kết thúc hoạt động H1, SGKN11 đưa ra kết luận: “Như vậy mọi số hạng của dãy số đã cho, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương tùy ý cho trước. Ta nói dãy số có giới hạn là 0.” Từ nhận xét này cho thấy tư tưởng xấp xỉ về giới hạn được thể hiện trong hoạt động này.Tuy nhiên chỉ với 4 số dương thì SGKN11 đưa ra kết luận, liệu sự tổng quát này có thuyết phục được tất cả học sinh hay không?
2.2.2. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
SGKN11 hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0 theo con đường qui nạp thông qua dãy số .Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 được trình bày như sau:
20
[7, tr128] Ở đây chúng tôi nhận thấy rằng định nghĩa này thể hiện quan điểm xấp xỉ, nhưng không dùng ngôn ngữ ε,ℕ do tuân thủ chương trình. Quan điểm xấp xỉ được thể hiện không rõ ràng trong định nghĩa tức là với một số dương bé tùy ý cho trước, trong định nghĩa không chỉ ra cụ thể cách tìm số n0 để giá trị tuyệt đối của un nhỏ hơn số dương đó với n ≥ n0.
Sau khi trình bày định nghĩa có dãy số có giới hạn 0, SGKN11 đưa ra một số dãy số có giới hạn 0 và định lí 1 như sau:
[7, tr129] Ta thấy rằng việc chứng minh định lý 1 dựa vào định nghĩa, tức là dựa vào tinh thần của quan điểm xấp xỉ. Định lý này có thể thay thế định nghĩa để chứng minh dãy số có giới hạn 0 và đây cũng là sự mở đầu cho việc xuất hiện của quan điểm đại số. Cụ thể là ngay sau đó SGKN11 đưa ra ví dụ 1 và hoạt động H2 cho thấy việc ứng dụng định lí 1 như sau:
[7, tr129] Chứng minh hoạt động H2
[8, tr171] Giới hạn dãy số tiếp tục được đại số hóa thông qua định lí 2, ví dụ 2 và hoạt động H3 như sau:
[7, tr129] Chứng minh định lí 2
22
[7, tr 129] Chứng minh hoạt động H3
[8, tr172]
2.2.3. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
Trước khi vào định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, SGKN11 thông qua ví dụ sau:
[7, tr130] Tiếp theo, SGKN11 đưa ra định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, như sau:
[7, tr131] SGK định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn thông qua định nghĩa dãy số có giới hạn 0 và rõ ràng quan điểm đại số lại tiếp tục được thể hiện trong định nghĩa này. Tuy nhiên sau đó SGKN11 lại đưa ra nhận xét:
[7, tr131] Nhận xét này lại thể hiện quan điểm xấp xỉ, phải chăng SGKN11 vừa muốn thể hiện quan điểm đại số vừa muốn thể hiện quan điểm xấp xỉ trong định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn? Mặc dù vậy, quan điểm xấp xỉ lại tiếp tục vắng bóng mà thay vào đó là tư tưởng đạisố hóa chỉ đạo xuyên suốt cho đến hết bài và nó được thể hiện cụ thể trong các ví dụ, hoạt động và định lí sau đây:
24
[7, tr131] Các định lí tính giới hạn hữu hạn và các ví dụ sau đây cho thấy vị trí ưu tiên hàng đầu của tư tưởng đại số hóa giới hạn.
26
[7, tr133]
2.2.4. Vai trò của giới hạn dãy số
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: về phương diện tiếp cận khái niệm tổng cấp số nhân lùi vô hạn, trước hết SGKN11 đưa ra định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn, dùng công thức tính tổng Sn (tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân và tính limSn thông qua định lí). Từ đó SGKN11 hình thành định nghĩa tổng cấp nhân lùi vô hạn, được trình bày như sau:
[7, tr134] Giới hạn dãy số còn giữ vai trò quan trọng đó là công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số (Giới hạn hữu hạn của hàm số, giới hạn một bên, giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số), chẳng hạn như định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số theo SGKN11:
28
[7, tr146] Ta thấy rằng giới hạn hàm số được định nghĩa thông qua dãy số, do cả hai chương trình chuẩn và nâng cao không dùng ngôn ngữ (ε, δ). Tuy nhiên, việc tính giới hạn hàm số bằng định nghĩa thông qua giới hạn dãy số lại ít được sử dụng mà thay vào đó là các định lí về giới hạn hàm số. Mặc dù thế định nghĩa giới hạn hàm số thông qua giới hạn dãy số lại tỏ ra hiệu quả trong một số nhiệm vụ là vết của tổ chức toán học OM2 chẳng hạn như bài tập 22 SGKN11 trang 151.
[8, tr151] Sau đây là lời giải trong SGVNC11 trang 187
[8, tr87]
Nhiệm vụ này cho thấy việc tính giới hạn hàm số bằng các định lí không phải lúc nào cũng thực hiện được. Đôi khi phải dùng định nghĩa giới hạn hàm số để tính, khi đó việc tính giới hạn dãy số lại đóng vai trò quan trọng.
2.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số
Để làm rõ phần này chúng tôi xin trình bày tóm lược những kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số đã được tác giả Bùi Thành Vinh (2013) hệ thống trong luận văn của mình như sau:
Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm giới hạn dãy số.
• Kĩ thuật τ11A: thay các giới hạn vào biểu thức xác định dãy số. τ11Acó phạm vi hoạt động là các giới hạn các giới hạn dãy số không thuộc dạng vô định.
• Kĩ thuật τ11B: biến đổi dãy số (để khử dạng vô định) và đưa về dạng τ11A. Công nghệ θ11: Các định lí giới hạn và các giới hạn cơ bản.
Kĩ thuật τ12:
τ12 có phạm vi tác động là các bài toán tính giới hạn bằng định nghĩa. Công nghệ θ12: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số và các quy tắc tính giới hạn 0 của dãy số.
Kiểu nhiệm vụ T2: Chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức về giới hạn của dãy số.
Kĩ thuật τ2dựa trên định nghĩa giới hạn 0 của dãy số.
Kiểu nhiệm vụ T3: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Kĩ thuật τ3:
30
- Xác định số hạng đầu tiên u1 và công bội q ( <1) của cấp số nhân. - Nhận dạng cấp số nhân lùi vô hạn (nếu nó chưa được chỉ rõ). - Thay u1và q vào công thức tính tổng.
Công nghệ θ3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Kiểu nhiệm vụ T4: Chứng minh dãy số (un) có giới hạn là một số thực a, - ∞ hoặc +∞
• Kĩ thuật τ41A
• Kĩ thuật τ41B
Phạm vi hoạt động của kỹ thuật τ41: các dãy số có giới hạn hữu hạn.
• Kĩ thuật τ42
Công nghệ θ42: định nghĩa giới hạn -∞ của dãy số.
• Kĩ thuật τ43
Công nghệ θ43: định nghĩa giới hạn +∞ của dãy số. Phạm vi tác động của kĩ thuật τ43: các dãy số có giới hạn +∞
Kiểu nhiệm vụ T5: Cho dãy số (un) với limun = a. Chứng minh kể từ số hạng nào đó trở đi , tất cả các số hạng của (un) đều nằm trong khoảng (a-m; a+ m) (m>0).
• Kĩ thuật τ5:
hạn dương vô cực.
Để thấy rõ hơn vị trí của quan điểm đại số và quan điểm xấp xỉ thể hiện ở phần giới hạn dãy số trong SGK và SBT, chúng tôi đưa ra bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ trong SGK và SBT như sau:
Bảng 2.1.Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn dãy số trongSGKC11, SGKN11, SBTC11 và SBTN11. Kiểu nhiệm vụ SGKC11 SBTC11 SGKN11 SBTN11 Tổng Tỉ lệ T1 19 33 71 71 194 68.79% T2 0 6 0 6 12 4.25% T3 8 6 9 5 28 9.93% T4 2 11 15 13 41 14.54% T5 0 1 0 0 1 0.07% T6 5 0 1 0 6 2.42% Tổng 34 57 96 95 282
Từ bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ ta thấy kiểu nhiệm vụ T1 chiếm vị trí độc tôn 68.79%, vị trí thứ hai thuộc về kiểu nhiệm vụ T4 14.54% , vị trí thứ ba là
32
kiểu nhiệm vụ T3 9.93% và vị trí rất thấp thuộc về các kiểu nhiệm vụ T2, T5 và T6. Hơn nữa các kiểu nhiệm vụ T1, T3 và T4 có các kĩ thuật tương ứng mang quan điểm đại số chiếm tỉ lệ 93.26%, còn các kiểu nhiệm vụ T2, T5 và T6 có kĩ thuật tương ứng mang quan điểm xấp xỉ chiếm tỉ lệ 6.74%. Điều này cho phép chúng tôi khẳng định quan điểm đại số giữ vị trí thống trị, còn quan điểm xấp xỉ chưa được SGK và SBT quan tâm nhiều.
Qua việc tìm hiểu những kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số trong SGK và SBT, chúng tôi thấy rằng các kiểu nhiệm vụ này hoàn toàn giải quyết trong môi trường giấy bút chưa được SGK và SBT khai thác công nghệ thông tin để giải quyết. Sau đây chúng tôi sẽ làm rõ một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số trong SGK và SBT có kỹ thuật có thể sử dụng công nghệ thông tin (phần mềm Sketchpad) để giải quyết cũng như những lợi ích của việc sử dụng phép lặp của phần mềm.
Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn dãy số trong SGK và SBT có kỹ thuật có thể sử dụng Sketchpad
Kiểu nhiệm vụ T1: Tìm giới hạn dãy số.
Kĩ thuật τ1’:
Bước 1: Biểu diễn dãy số (un) trên trục số bằng phép lặp của phần mềm Sketchpad (xem phần phụ lục số 2). Dựa vào kết quả biểu diễn dãy số trên trục số và trên bảng giá trị của phần mềm để dự đoán giới hạn dãy số (un) có là L.
Bước 2: Chứng minh lim .
Kĩ thuật τ2’:
Bước 1: Sử dụng phép lặp của phần mềm để xây dựng hình “mô phỏng”. Dựa vào hình mô phỏng dự đoán giới hạn dãy số dãy số (un) có giới hạn là L.
Bước 2: Chứng minh lim .
Ví dụ: (bài 18a trang 143 SGKC11).
Biểu diễn dãy số trên trục số (xem phần phụ lục số 4) ta được hình 2.1
Hình 2.1. Biểu diễn dãy số
Dựa vào bảng giá trị u81 0.505 và những điểm biểu diễn dãy số (un) trên trục số tiến về điểm 0.5, điều này giúp ta dự đoán dãy số có giới hạn là , khi đó ta chứng minh limun = .
.
Nhận xét: Ứng dụng phép lặp của phần mềm trong ví dụ trên có lợi ích hết sức rõ ràng là giúp học sinh dự đoán được giới hạn dãy số bằng bảng giá trị dãy số trong phần mềm và hình ảnh những điểm biểu diễn dãy số (điểm màu đỏ) trên trục số của phần mềm tiến về giá trị 0,5. Hình ảnh những điểm màu đỏ tiến về giá trị 0,5 giúp học sinh thấy rõ tiến trình "chuyển động" của giới hạn mà môi trường giấy bút không mang lại được.
Ví dụ 2 : Dự đoán giới hạn của các dãy số (pn) và (sn) bài tập 8a SGKN11 trang 135: "Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn,…. Gọi p1, p2, …, pn,… và S1, S2,…, Sn,… theo thứ tự là chu vi và diện tích của tam giác A1B1C1, A2B2C2,…,AnBnCn,…
34
a) Tìm giới hạn dãy số (pn) và (Sn)".
Chúng ta có thể sử dụng phép lặp trong phần mềm Ketchpad để dựng được hình “mô phỏng” của bài trên như hình 2.2 (xem phần phụ lục số 4 để biết cách dựng chi tiết).
Hình 2.2. Hình "mô phỏng" bài tập 8a SGKN11 trang 135.
Khi n càng lớn dựa vào hình 2.2 học sinh dự đoán chu vi pn và diện tích Sn
của tam giác AnBnCncùng tiến về 0.
Nhận xét: Việc tăng số lần lặp của phần mềm với hình "mô phỏng" được tạo ra, giúp học sinh dễ dàng thấy được hình ảnh tam giác AnBnCn có độ dài các cạnh càng lúc càng nhỏ. Từ đây ta dễ dàng dự đoán Pn và Sn tiến dần về 0 khi n càng lớn và điều này không thực hiện được trong môi trường giấy bút.
Kiểu nhiệm vụ T6 : Cho dãy số (un) có lim un = 0 (hoặc limun = + ∞). Tìm n0sao cho mọi số hạng của (un) kể từ số hạng trở đi, đều nhỏ hơn (lớn hơn) một số dương cho trước.
Kĩ thuật τ6’
Bước 1: Giả sử số dương cho trước là ε và dãy số (un) có giới hạn là a. Vẽ A(a – ε; 0) và B(a + ε;0).
Bước 2: Dùng phép lặp phần mềm biểu diễn dãy số (un) (xem phụ lục số 2). Bước 3: Tăng số lần lặp cho đến khi thấy có những điểm màu đỏ trên trục số
Dùng phần mềm Sketchpad biểu diễn dãy số (un) với trên trục số (xem cách chi tiết phụ lục số 4) với số dương cho trước là 0,1 ta xem hình 2.3
Hình 2.3. Biểu diễn dãy số (un) với
Lúc này ta thấy có điểm màu đỏ vào giữa AB trên trục số khi đó nhìn vào bảng giá trị của dãy số ta có n0= 11 (cột thứ 2 ở dòng cuối cùng của bảng giá trị dãy số) với giá trị .
36
Với số dương cho trước 0,01 ta xem hình 2.4.
Nhìn vào hình ta thấy có điểm màu đỏ vào giữa AB trên trục số khi đó nhìn vào bảng giá trị của dãy số ta có n0 = 101 (cột thứ 2 ở dòng cuối cùng của bảng giá trị dãy số) với giá trị . Mặt khác ở đây ta có thể trả lời câu a, khi giá trị n càng lớn (số lần lặp càng lớn) thì khoảng cách từ un (những điểm màu đỏ) đến 0 (gốc tọa độ O) càng nhỏ.
2.4. Kết luận chương 2
Qua phân tích chương trình chuẩn và nâng cao cũng như SGK, chúng