Bảng 3.3. Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 3
Nhóm Chiến lược
Ghi chú
Câu 3.1 Câu 3.2 Câu 3.3 Câu 3.4
I II III IV V
Phân tích những câu trả lời của các nhóm đối với câu 3.1
Nhìn chung, các em biết vận dụng phép lặp bằng cách tăng số lần lặp, rồi dựa vào việc biểu diễn các điểm trên trục số và bảng giá trị trên màn hình để tìm số lần tiến quân ứng với khoảng cách từ đồn và thành là 0.1km. Điều được thể hiện thông qua việc các nhóm đều chọn chiến lược như sau:
Bảng 3.4. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.1
Nhóm Phần trả lời câu 3.1
I
58
III
IV
V
Ở đây chúng tôi nhận thấy các em trả lời đúng kết quả là số lần tiến quân thứ 11 thì quân ta vào được thành B và C. Sở dĩ có kết quả như thế là do việc chọn biến V2 (khoảng cách từ đồn A đến thành B và C) có giá trị lớn.Từ đónó tạo điều kiện thuận lợi cho các nhóm dựa vào hình biểu diễn dãy số trên trục số và bảng giá trị dãy số trên màn hình để trả lời kết quả.
Phân tích những câu trả lời của các nhóm đối với câu 3.2
Trong câu 3.2 các nhóm tiếp tục sử dụng chiến lược . Tuy nhiên, kết quả trả lời của các nhóm không chính xác, xem bảng 3.2 sau:
Bảng 3.5. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.2
Nhóm Phần trả lời câu 3.2
I
II
Do sự lựa chọn biến V2 có giá trị nhỏ nên khoảng các giữa hai thành B và C rất gần nhau. Nếu các nhóm tiếp tục dựa vào kết quả trên màn hình để trả lời câu hỏi 3.2 là rất khó. Tuy nhiên, ở nhóm IV các em thay đổi từ chiến lược sang sau khi các em tìm ra được hướng giải quyết cho câu 3.3 và 3.4 như sau:
Phân tích những câu trả lời của các nhóm đối với câu 3.3
Trong câu 3.3, các nhóm đã từ bỏ chiến lược do khoảng cách từ đồn A đến thành B và C rất nhỏ (AB = BC = 0,0001). Khi đó hai điểm B và C trên màn hình rất gần nhau, làm cho các nhóm không thể căn cứ vào kết quả biểu diễn dãy số trên trục để trả lời câu hỏi. Tuy nhiên, không có nhóm nào bỏ cuộc, các em đã chuyển sang một hướng khác và hầu hết các nhóm đều từ bỏ kết quả trên màn hình để trả lời câu hỏi. Cụ thể, chúng ta xem diễn biến để đưa đến câu trả lời của nhóm IV được trích trong protocole pha 3 như sau:
“55. H23: Tình hình có thay đổi rồi mấy bạn ơi! Tui thay AB = AC = 0,0001km thì B với C nó muốn dính liền luôn rồi!
56. H25: Lúc này khó rồi đó! Hết dùng phần mềm để trả lời rồi! 57. H26: Không lẽ bế tắt.
58. H23: Không đâu, tui tăng số lần lặp có mấy điểm màu đỏ chạy vào giữa BC nè, nhìn đi. Tại B, C nó sát quá mình khó nhìn thôi
60
59. H26:Ừ! đúng rồi!
60. H25: Như vậy thì mình luôn tìm được số lần tiến quân phải không? 61. H23: Phải!
62. H27: Ê mấy cái điểm màu đỏ là biểu diễn dãy số đó.
63. H24: Bạn nào có ý tưởng gì thêm không?
64. H29: Nếu những điểm màu đỏ vào giữa BC thì un phải lớn hơn hoành độ của B và nhỏ hơn hoành độ của C hợp lí không mấy bạn?
65. H24: Tôi đồng ý. Vậy mình có b < un< c với b, c lần lượt là hoành độ của B và C
66. H30: OK, hồi nảy hoành độ của B là 2 – AB, còn của C là 2 + AB vậy mình thế vào là được
67. H29: Nên chúng mình cần giải bất phương trình: 2 – AB < un< 2 + AB tìm n”
(Trích thảo luận nhóm IV)
Từ sự khó khăn ban đầu khi không còn dựa vào kết quả trên màn hình để trả lời, nhưng các học sinh của nhóm IV vẫn giữa niềm tin hai cánh quân của ta luôn tiến được vào thành qua đoạn hội thoại trên từ dòng 55 đến 61. Từ đây cho thấy phép lặp của phần mềm Sketchpad có thể xem là môi trường tạo ra niền tin và động lực để các nhóm có thể chuyển sang chiến lược tốt hơn. Một sự phát triển trong nhận thức các em để hướng đến hình thành tư tưởng xấp xỉ là hình ảnh “những điểm màu đỏ vào giữa BC” từ phần mềm, được chuyển thành ngôn ngữ toán học là b < un< c (với b, c lần lượt là hoành độ của B và C). Điều đó đã dẫn dắt các em đến việc giải bất phương trình 2 – AB < un< 2 + AB và tư tưởng xấp xỉ giới hạn đã được thể hiện rõ trong việc trình bày câu trả lời của nhóm IV như sau:
Ở đây rõ ràng, nhóm IV đã sử dụng chiến lược để tìm được số lần tiến quân. Cái có thể quan sát được ở phần trình bày trong phần trả lời của nhóm IV thể hiện tính tổng quát, chặt chẽ và thể hiện quan điểm xấp xỉ giới hạn rất rõ ràng. Đối với các nhóm khác, các em cũng sử dụng chiến lược trong câu trả lời của mình, mặc dù cái có thể quan sát được ở mỗi nhóm có phần khác nhau. Chẳng hạn như đối với nhóm I, tư tưởng xấp xỉ giới hạn cũng được thể hiện khá rõ nét trong phần trả lời của mình. Tuy nhiên do sự nhận định của nhóm là những điểm màu đỏ muốn vào giữa B và C thì phải vượt qua B (xem câu 3.3 nhóm I protocole pha 3) đã hướng phần trả lời của nhóm như sau:
Khác với nhóm I, nhóm II nhận định unphải nhỏ hơn hoành độ của của điểm C thì những điểm màu đỏ mới vào giữa B và C (xem câu 3.3 nhóm II protocole pha 3). Điều này đưa đến phần trả lời của nhóm như sau:
62
Chúng ta thấy rằng quan điểm xấp xỉ giới hạn cũng được nhóm II sử dụng trong phần trả lời của mình. Chiến lược được nhóm sử dụng và đã tìm ra được số lần tiến quân của ta để vào được thành B và C. Ở nhóm III và V, câu trả lời của các em tương tự như câu trả lời của nhóm IV, chiến lược mà hai nhóm sử dụng cũng là chiến lược .
Nhận xét: Chúng tôi thấy rằng các nhóm đã sớm nhận ra rằng không thể dựa vào kết quả từ phép lặp của phần mềm để trả lời kết quả cho câu 3.3. Tuy nhiên, kết quả từ phần mềm đóng vai trò là môi trường để tạo niềm tin và động lực để các nhóm có thể đưa đến chiến lược tối ưu là chiến lược . Một điều quan trọng hơn là các nhóm đã vận dụng được tư tưởng xấp xỉ giới hạn trong phần trả lời của mình.
Phân tích câu 3.4
Trong phần trình bày câu 3.4, các nhóm đã kế thừa ý tưởng từ câu 3.3 bằng cách xem AB là giá trị tổng quát. Cụ thể ta xem xét đoạn hội thoại của nhóm IV trong protocole pha 3 để đưa đến phần trả lời của nhóm mình cho câu 3.4 như sau:
“56. H24: Câu này không cho khoảng cách từ đồn A đến B, C cụ thể mà ông thầy cho nó nhỏ tùy ý nè mấy bạn ơi!
57. H23: Tui nghĩ câu này na ná câu 3.3 đó
58. H30: Tui cũng thấy vậy, hồi nảy AB = 0,0001 thì bây giờ mình cứ giữ nó như vậy, đừng có thế số gì vô hết là được.
59. H25: Vậy mình giải y như trên thôi!
Chúng tôi thấy rằng nhóm IV sử dụng chiến lược và đây là chiến lược tối ưu. Nhóm đã kế thừa ý tưởng câu 3.3. Ở đây tinh thần của tư tưởng xấp xỉ lại càng hiện rõ, hơn nữa phần trả lời mang tính tổng quát cao khi các em xem AB là giá trị tổng quát và đặc biệt hơn các em đã chỉ ra cụ thể số lần tiến quân để quân ta vào được thành B và C là n = a + 1 (a là phần nguyên khi lấy 1 chia AB). Mặt khác khi phát hiện ra quy luật tìm số lần tiến quân để quân ta vào được thành B và C thì các em đã chỉnh sửa lại câu 3.2 thông qua gợi ý dòng 129 (protocole pha 3) cùng với phần chỉnh sửa của mình:
Sự kế thừa ý tưởng của câu 3.3 cũng được các nhóm I, II, III và V vận dụng để giải quyết câu 3.4 được thể cụ thể qua protocole pha 3 (câu 3.4) và trong phần trình bày câu trả lời của mình như sau:
Bảng 3.6. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.4
64
I
II
III
V
Chúng tôi nhận thấy rằng các nhóm I, II, III và V đều sử dụng chiến lược và hầu hết các nhóm tìm được số lần tiến quân. Ở nhóm I, II, III và V các em cũng xem khoảng cách từ đồn A đến thành B và C là một số tổng quát hơn nữa tư tưởng xấp xỉ giới hạn được các nhóm thể hiện rất cụ thể.
Tóm lại ở pha 3 chúng tôi nhận thấy rằng, một sự tiến triển trong nhận thức của các nhóm rất dễ nhận ra. Đầu tiên trong câu 3.1 các nhóm đã sử dụng chiến lược để trả lời và đây là chiến lược tối ưu vì lúc này biến V2 có giá trị lớn. Trong câu 3.2 các nhóm lại tiếp tục sử dụng chiến lược , tuy nhiên mỗi nhóm lại có câu trả lời khác nhau và không chính xác. Bởi lẽ, giá trị của V2 nhỏ nên khoảng cách giữa B và C khá gần nhau nên việc sử dụng chiến lược chỉ làm tăng sự khó khăn và thiếu chính xác. Ở câu 3.2 có thể xem là ranh giới cho việc từ bỏ chiến lược để đến với chiến lược khác tối ưu hơn và việc chuyển sang một hướng khác trong
nó còn giữ vai trò là môi trường để tạo niềm tin và động lực mà các nhóm đã phát hiện được để chuyển sang chiến lược . Niềm tin ở đây là khi tăng số lần lặp thì các em thấy có những điểm màu đỏ rơi vào giữa B và C điều này cho phép khẳng định chắc chắn quân ta luôn tiến được vào thành B và C. Động lực ở đây là hình ảnh những điểm màu đỏ ở giữa B và C cho phép các em chuyển sang mô hình toán học đưa đến bất đẳng thức b < un< c (với b và c lần lượt là hoành độ của B và C). Từ đây quan điểm xấp xỉ giới hạn xuất hiện thông qua phần trả lời của các nhóm trong câu 3.3. Quan điểm xấp xỉ giới hạn càng được thể hiện rõ nét hơn và mang tính tổng quát hơn thông qua phần trả lời của các nhóm trong câu 3.4. Ở đây các nhóm xem AB là một giá trị tổng quát và việc trả lời cho câu 3.4 được kế thừa từ câu 3.3. Nói chung, từ sự khó khăn ban đầu trong việc sử dụng kết quả từ phép lặp của phần mềm nó mở ra một hướng đi mới là đưa các nhóm đến với tinh thần của quan điểm xấp xỉ.