Tư tưởng giới hạn đã xuất hiện ngầm ẩn từ thời Euclide, nhưng phải đợi đến thế kỉ XIX nhân loại mới có một định nghĩa chính xác. Điều đó chứng tỏ những khó khăn mang bản chất tri thức luận (chướng ngại tri thức luận) mà bất cứ ai cũng có thể gặp phải trong quá trình lĩnh hội khái niệm tinh tế này. Ở bậc THPT trong các sách giáo khoa hiện hành với mục đích làm giảm khó khăn cho học sinh khi học khái niệm này. Tuy nhiên, chọn lựa sư phạm này chưa đủ để học sinh vượt qua các chướng ngại để chiếm lĩnh đầy đủ ý nghĩa của khái niệm giới hạn.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ DẠY VÀ HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG* TĨM TẮT Tư tưởng giới hạn xuất ngầm ẩn từ thời Euclide, phải đợi đến kỉ XIX nhân loại có định nghĩa xác Điều chứng tỏ khó khăn mang chất tri thức luận (chướng ngại tri thức luận) mà gặp phải trình lĩnh hội khái niệm tinh tế Ở bậc THPT, định nghĩa ngôn ngữ , biến sách giáo khoa hành với mục đích làm giảm khó khăn cho học sinh học khái niệm Tuy nhiên, chọn lựa sư phạm chưa đủ để học sinh vượt qua chướng ngại để chiếm lĩnh đầy đủ ý nghĩa khái niệm giới hạn ABSTRACT Teaching and learning the concept of limit function at secondary high schools The notion of limit first appeared implicitly in the Euclidean time, but until the 19th century, there was an exact definition on it This fact showed that epistemological difficulties (obstacles) in the process of acquiring of this subtle concept are inevitable At the level of secondary high school, the language definitions of and disappeared in the current mathematics textbooks aiming at reducing the difficulties for students to learn them However, this pedagogical choice is not enough for students to overcome obstacles to acquire the full meaning of the term “limit” Bài báo đề cập đến số kết nghiên cứu dựa công cụ lý thuyết nhân học (Chevallard 1985) lý thuyết tình (Brousseau 1998) Sau giới thiệu điều tra quan niệm học sinh lớp 12, chúng tơi trình bày quan điểm tri thức luận khái niệm giới hạn rút từ phân tích lịch sử tốn học Việc so sánh quan niệm học sinh khái niệm giới hạn với quan điểm tri thức luận cho phép chúng tơi làm rõ ý nghĩa thiếu học sinh khái niệm Trong phần cuối báo, giới thiệu đồ * TS, Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP HCM 62 án dạy học nhắm vào mục tiêu bổ sung ý nghĩa thiếu khái niệm giới hạn học sinh Quan niệm học sinh sau học khái niệm giới hạn hàm số Theo chương trình chỉnh lí hợp chương trình hành, khái niệm giới hạn giảng dạy lớp 11 Nhằm tìm hiểu phần quan niệm học sinh sau học khái niệm giới hạn hàm số, tiến hành thực nghiệm 131 học sinh lớp 12 (chương trình chỉnh lí hợp nhất) Thực nghiệm gồm hai câu hỏi sau : Câu hỏi Hãy tính lim x3 x 1 x 3 Lê Thái Bảo Thiên Trung Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Câu hỏi Hãy giải thích cho học x2 sinh lớp 10 biết kí hiệu lim có x1 x nghĩa ? Kết thu sau : - Đối với câu hỏi 1: 86% học sinh hỏi áp dụng quy tắc đại số để khử dạng vô định (0/0) cho kết số cụ thể kí hiệu (mặc dù giới hạn không tồn tại) - Đối với câu 2, 73% học sinh hỏi soạn dẫn để tính giới hạn Đặc biệt, cố học sinh lưu ý « làm mà chẳng cần hiểu lim » Kết cho thấy, học sinh hiểu khái niệm giới hạn thông qua kí hiệu l im f ( x) việc thực biến đổi x a đại số để tính tốn giới hạn Như học sinh khơng hiểu ý nghĩa thực khái niệm giới hạn, khơng quan tâm đến tính thích đáng tốn khơng khảo sát hàm số dự đốn giới hạn cần tính Phần báo nhằm trả lời câu hỏi: lịch sử có quan điểm khái niệm giới hạn hàm số ? Những quan điểm khái niệm giới hạn lịch sử Quan điểm khái niệm giới hạn tồn từ thời Euclide (tư tưởng thể Phương pháp vét cạn) đến tận Newton (1642-1727) Chúng gọi quan điểm « xấp xỉ x » Trong quan điểm này, biến số « kéo » hàm số : Nếu đại lượng x tiến giá trị a đại lượng (theo nghĩa, nhận giá trị ngày gần a) đại lượng y – đại lượng phụ thuộc x (một hàm số biến x) – tiến giá trị l Nghĩa x lúc gần a kéo theo y lúc gần l Quan điểm thứ hai khái niệm giới hạn xuất Cauchy (1821) đưa định nghĩa xác cho khái niệm Chúng gọi quan điểm « xấp xỉ f(x)» Trong quan điểm « xấp xỉ f(x) » hiểu khái niệm giới hạn (thể kí hiệu đại ngày lim f ( x) l ) có nghĩa độ xấp xỉ xa f(x) với l mà ta mong muốn định độ xấp xỉ x với a cần chọn Chúng ta biết quan điểm thứ hai hình thành nghĩa khái niệm giới hạn Năm 1876, Weierstrass thể quan điểm « xấp xỉ f(x) » khái niệm giới hạn ngơn ngữ , Định nghĩ súc tích sử dụng bậc đại học ngày Với ngơn ngữ hình thức, người ta trình bày khái niệm giới hạn sau : lim f ( x) l ( > 0, >0 : x xa - a < f(x) - l < ) Hai quan điểm kể thể đối lập vai trò độ xấp xỉ biến độ xấp xỉ giá trị hàm số : quan điểm « xấp xỉ x », độ xấp xỉ kéo theo độ xấp xỉ ; quan điểm « xấp xỉ f(x) », độ xấp xỉ mong muốn định độ xấp xỉ Chẳng hạn, xét dãy số1 (u n) : un 0,98 98 ta thấy dãy số tăng n nghiêm ngặt gần n 63 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 _ lớn theo quan điểm « xấp xỉ x », khơng có giới hạn theo quan điểm « xấp xỉ f(x) » Nói cách khác chặn chặn nhỏ dãy (un) Tuy quan điểm « xấp xỉ x » chưa thể chất khái niệm giới hạn hàm số cho ta hình ảnh trực quan tiếp cận khái niệm Vì bắt đầu giảng dạy khái niệm giới hạn THPT người ta không loại bỏ quan điểm « xấp xỉ x » Ngay sau khái niệm giới hạn hàm số hoàn thiện theo quan điểm « xấp xỉ f(x) », nhà toán học thực việc mơ hình hóa quy tắc đại số hàm số chuyển qua giới hạn nghiên cứu giải tích Chẳng hạn, tìm thấy quy tắc đại số thực phép tính với vơ bé (kí hiệu 0) vơ lớn (kí hiệu + -) giáo trình Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique Cauchy ấn hành năm 1821 Như vậy, người ta thao tác theo quy tắc đại số giới hạn mà không đề cập đến ý nghĩa khái niệm giới hạn Lang (1986) xem tập hợp quy tắc đại số « tối tiểu » giới hạn hệ tiên đề Đến đây, quan điểm mà gọi « quan điểm đại số » khái niệm giới hạn xuất So sánh với kết thực nghiệm, thấy học sinh hiểu khái niệm giới hạn hàm số theo quan điểm cuối cùng, « quan điểm đại số » Sự thiếu vắng quan điểm « xấp xỉ x » « xấp xỉ f(x) » khiến học sinh cho 64 giới hạn khơng khác thực tính tốn mà khiến họ khó áp dụng khái niệm giải toán (của toán học, vật lí, hóa học ) liên quan đến việc chuyển qua giới hạn Ngoài ra, việc xây dựng khái niệm toán học khác hàm số liên tục, đạo hàm hàm số, tiệm cận… dựa việc chuyển qua giới hạn ý nghĩa Một đồ án dạy học nhằm xây dựng quan điểm xấp xỉ khái niệm giới hạn Chúng xây dựng, thực nghiệm phân tích đồ án dạy học dựa vào cơng cụ lí thuyết tình Brousseau (1998) đặt nên móng Đồ án bao gồm hoạt động, khuôn khổ báo chọn giới thiệu hoạt động hoạt động 4, làm rõ ý đồ hoạt động khơng trình bày phân tích thực nghiệm Độc giả tham khảo đầy đủ phân tích [4] 3.1 Bài tốn sở lựa chọn cho đồ án Toàn đồ án dựa toán sở khái niệm giới hạn : « Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm n cặp (hay tất cặp) (x ; f(x)) cho f(x) thuộc vào khoảng(l - ; l + ) » Chúng chọn hàm số cho x 0,1x 0, 21 công thức sau: y x 0, x 0,3 Hàm số chọn có dạng hữu tỷ u( x ) thường xuất tính v( x) tốn giới hạn chương trình THPT Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Thái Bảo Thiên Trung _ Hàm số có miền xác định D=R\{-1 ; 0,3} lim f ( x) x 0,3 Các hệ số thập phân chọn nhằm gây khó khăn cho việc đặt nhân tử chung khử dạng vơ định tính tốn giới hạn Ngồi chọn lựa nhằm thiết kế hoạt động tính tốn gần máy tính bỏ túi Máy tính bỏ túi sử dụng thực nghiệm CASIO fx – 570MS (kiểu máy sử dụng phổ biến nhà trường nay) với chức nhập biểu thức chứa biến thực liên tiếp tính tốn gần giá trị f(x) với giá trị cụ thể biến x Chúng dạy học sinh sử dụng chức hoạt động 3.2 Hoạt động 2: ủy thác tình Hoạt động gồm hai câu hỏi Học sinh yêu cầu trả lời cách độc lập vào phiếu phát Các sản phẩm thu phục vụ cho việc phân tích chiến lược xuất lớp Câu hỏi 1: Giải phương trình f(x) =1 Với câu hỏi này, học sinh giáo viên đến tổng kết sau: « với tập xác định phương trình D= R\{-1 ; 0,3}, khơng tồn giá trị x cho f(x) » Kết luận làm xuất vấn đề : Khơng có giá trị x cho f(x) 1, liệu có giá trị x cho f(x) gần ? Nếu có giá trị ? Nếu khơng ? Vấn đề đặt bắt đầu ủy thác cho học sinh cách ngầm ẩn qua câu hỏi 2: Hãy tìm giá trị x cho f(x) thuộc vào đoạn [0,99 ; 1,01] Với câu hỏi học sinh sử dụng hai chiến lược Chiến lược 1: Giải hệ bất phương trình 0,99 f(x) 1,01 chọn giá trị x nằm tập nghiệm Chiến lược 2: Dùng máy tính bỏ túi dò giá trị x có giá trị gần f(x) thuộc vào đoạn [0,99 ; 1,01] Chiến lược tốn thời gian khó đến kết cuối so với chiến lược Chúng tơi đặt học sinh trước tình tạo thuận lợi cho chiến lược tính gần Với chọn lựa nhắm đến quan điểm xấp xỉ khái niệm giới hạn 3.3 Hoạt động 3: Trò chơi tìm cặp số tốt Lớp thực nghiệm chia thành nhóm hai học sinh Mỗi nhóm phát phiếu « Quy tắc trò chơi – câu trả lời nhóm » hai « Phiếu cá nhân » Quy tắc trò chơi « Tìm cặp số (x ; f(x)) tốt » Các em làm việc Mỗi nhóm gồm hai bạn (gọi bạn A bạn B) tìm cặp số (x ; f(x)) cho f(x) gần Q trình tìm kiếm bao gồm hai giai đoạn Giai đoạn (15 phút) A tìm kiếm với x < 0,3 B tìm kiếm với x > 0,3 Mỗi em ghi lại cặp mà tìm thấy vào « Phiếu cá nhân » khoanh tròn cặp số tốt (nghĩa cặp có f(x) gần nhất) Giai đoạn (10 phút) 65 Số 27 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ A B ghi cặp số khoanh tròn Nhóm chiến thắng nhóm có cặp vào phiếu số tốt lớp, nghĩa có cặp số Sau đó, thảo luận để (x ; f(x)) cho f(x) gần chọn cặp số « tốt » để trình bày trước lớp Giai đoạn Cặp số tốt A Cặp số tốt B Cặp số tốt nhóm Giải thích lại chọn cặp số làm cặp số tốt nhóm Phiếu cá nhân A (với x < 0,3) :………………… Nhóm…… X f(x) Nháp 0,7 Phiếu cá nhân B (với x > 0,3) :………………… Nhóm……………………… X f(x) Nháp 1,35 Chúng dự kiến hai chiến lược chủ yếu mà học sinh sử dụng theo hai quan điểm xấp xỉ khái niệm giới hạn sau Chiến lược « xấp xỉ x »: học sinh chọn giá trị x lúc gần 0,3 để tính gần f(x) máy tính bỏ túi thấy f(x) lúc gần Tuy nhiên, đến lúc x đủ gần 0,3 (chẳng hạn x = 0,299999) máy tính bỏ túi cho kết tính f(x) = Điều tạo mâu thuẫn học sinh họ biết hoạt động « khơng có giá trị x cho f(x) = » Mâu thuẫn cho phép đến kết luận có giá trị x cho f(x) gần máy tính bỏ túi khơng phân biệt giá trị gần 66 với số Như tư tưởng « xấp xỉ f(x) » xuất Sau tổ chức tranh luận cho tất nhóm cặp số nhóm tốt nhất, giáo viên kết luận trò chơi câu hỏi sau : Có tồn hay không cặp số (x ; f(x)) cho f(x) gần ? Tại ? Thay cho lời kết Phân tích chương trình sách giáo khoa bậc THPT với nghiên cứu thực tế dạy học khái niệm giới hạn cho thấy kiểu nhiệm vụ tính giới hạn lấn át vấn đề khác mang lại ý nghĩa thực thụ cho khái niệm Những kiểu nhiệm vụ giới thiệu đồ án dạy học (vắng mặt dạy học nước ta) giúp học sinh Lê Thái Bảo Thiên Trung Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ hiểu rõ ý nghĩa giới hạn Ngoài ra, tham chiếu kết nghiên cứu tri thức luận, cho việc giảng dạy khái niệm giới hạn thực học có tên Giới hạn (khi khái niệm định nghĩa với tư cách đối tượng nghiên cứu) theo trình tự xuất sách giáo khoa nước ta (giới hạn – hàm số liên tục – đạo hàm – tiếp tuyến – tiệm cận – tích phân) Chẳng hạn, giáo viên cho học sinh tiếp cận khái niệm giới hạn gắn với quan điểm xấp xỉ nghiên cứu tốn tìm tiếp tuyến đường cong hay tốn tìm diện tích hình thang cong trước khái niệm giới hạn thức gọi tên định nghĩa Chọn lựa sư phạm giúp cho học sinh lĩnh hội ý nghĩa thực thụ giới hạn mà giúp họ hiểu xây dựng khái niệm khác (đạo hàm, tích phân …) nhờ vào khái niệm giới hạn : từ việc đánh giá xấp xỉ (chẳng hạn : xấp xỉ tiếp tuyến cát tuyến, xấp xỉ diện tích hình thang cong tổng diện tích hình chữ nhật …) chuyển qua giới hạn Một cách tổng quát ta xem dãy số hàm số f : N* R n tiến + TÀI LIỆU THAM KHẢO Brousseau G (1998), Théorie des situations didactiques, Pensée Sauvage, Grenoble Chevallard Y (1985), La transposition didactique – du savoir savant au savoir enseigné, éd Pensée Sauvage, Grenoble Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số dạy- học toán: Đồ án didactic mơi trường máy tính bỏ túi, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm TP HCM Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007), Etude didactique des relations entre notion de limite et décimalisation des nombres réels dans un environnement « calculatrice », thèse Université Joseph Fourier – Grenoble I 67 ... xây dựng khái niệm toán học khác hàm số liên tục, đạo hàm hàm số, tiệm cận… dựa việc chuyển qua giới hạn ý nghĩa Một đồ án dạy học nhằm xây dựng quan điểm xấp xỉ khái niệm giới hạn Chúng xây... thực tế dạy học khái niệm giới hạn cho thấy kiểu nhiệm vụ tính giới hạn lấn át vấn đề khác mang lại ý nghĩa thực thụ cho khái niệm Những kiểu nhiệm vụ giới thiệu đồ án dạy học (vắng mặt dạy học nước... giảng dạy khái niệm giới hạn thực học có tên Giới hạn (khi khái niệm định nghĩa với tư cách đối tượng nghiên cứu) theo trình tự xuất sách giáo khoa nước ta (giới hạn – hàm số liên tục – đạo hàm