khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông

Trong luận văn của mình, tác giả đã tiến hành nghiên cứu khoa học luận và nghiên cứu thể chế về mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm để đi đến giả thuyết cho rằng: “Học sinh nhưng mối

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Ngô Minh Đức

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Ngô Minh Đức

Chuyên ngành: Lý lu ận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã s ố: 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

1

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người đã

bỏ nhiều công sức hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương Các Thầy Cô ấy đã bỏ nhiều

thời gian và công sức giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan

trọng của bộ môn didactic Toán

Ngoài ra, tôi cũng cảm ơn những chỉ dẫn, giải thích của PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về chuyên ngành này Những định hướng và góp ý

của hai giáo sư là những điều rất quý giá đối với tôi trên bước đường nghiên cứu

Tôi chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này

Cũng không thể không nhắc đến tập thể lớp 12A3 trường Trung học Thực Hành Đại học Sư

Phạm Cám ơn các em vì những tiết thực nghiệm đầy hào hứng và thú vị

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn từ tận đáy lòng đến những người thân trong gia đình Ba mẹ

và các em là nguồn động lực lớn lao giúp tôi vượt qua những khó khăn trong suốt hành trình đã qua

Ngô Minh Đức

2

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

M Ở ĐẦU 4

1 Lý do ch ọn đề tài 4

2 T ổng quan về một số công trình liên quan đến khái niệm đạo hàm trong dạy học toán ở Việt Nam 5

3 Hướng nghiên cứu đặt ra và nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Khung lý thuy ết tham chiếu 7

5 Phương pháp nghiên cứu 7

6 C ấu trúc luận văn 8

CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 10

1.1 L ịch sử hình thành và phát triển khái niệm đạo hàm 11

1.1.1 Thời kì chuẩn bị và những mầm mống nảy sinh (Thế kỉ 17 trở về trước) 11

1.1.2 Newton, Leibniz và giai đoạn phát minh ra đạo hàm (thế kỉ 17) 17

1.1.3 Giai đoạn mở rộng và phát triển các tính chất của đạo hàm với sự thúc đẩy đến từ Vật lí (Thế kỉ 18) 24

1.1.4 Giai đoạn xây dựng cơ sở lý thuyết chặt chẽ (thế kỉ 19) 29

1.2 Phát bi ểu câu hỏi nghiên cứu 34

CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC VẬT LÍ 37

2.1 S ử dụng đạo hàm ngầm ẩn trong SGK lớp 10 và 11 37

2.2 Đạo hàm trong SGK vật lí lớp 12 39

2.3 V ấn đề giải thích các xấp xỉ và chính xác hóa các định luật vật lí 41

2.3.1 Các xấp xỉ hàm dùng trong vật lí 41

2.3.2 Chính xác hóa các định luật vật lí 42

2.4 K ết luận về phân tích thể chế I 1 42

CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN 44

3.1 Phân tích các bài toán d ẫn đến khái niệm đạo hàm 44

3.1.1 Sách giáo khoa chuẩn 11 (SGKC 11) 44

3.1.2 Sách giáo khoa 11 ban nâng cao (SGKNC 11) 47

3.2 Phân tích định nghĩa đạo hàm 47

3.3 Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm 48

3.3.1 Sách giáo khoa chuẩn 11 48

3.3.2 Sách giáo khoa nâng cao 11 49

3.4 Đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm 49

3.5 K ết luận về cách xây dựng lý thuyết trong SGK 11 51

3

3.6 Các t ổ chức toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm 51

3.6.1 Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng tốc độ biến thiên 52

3.6.2 Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng xấp xỉ 54

3.7 K ết luận về phân tích thể chế I 2 54

CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 56

4.1 Th ực nghiệm thứ nhất : tìm hiểu quan hệ cá nhân của học sinh 56

4.1.1 Mục đích thực nghiệm 56

4.1.2 Đối tượng, hình thức và nội dung của thực nghiệm 56

4.1.3 Phân tích tiên nghiệm 56

4.1.4 Phân tích hậu nghiệm 59

4.1.5 Kết luận chung cho thực nghiệm 63

4.2 Th ực nghiệm thứ hai: một đồ án dạy học 64

4.2.1 Đối tượng và mục đích thực nghiệm 64

4.2.2 Các bài toán thực nghiệm 64

4.2.3 Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm 67

4.2.4 Dàn dựng kịch bản 72

4.2.5 Phân tích kịch bản 77

4.2.6 Phân tích hậu nghiệm 81

4.2.7 Kết luận cho đồ án dạy học 89

K ẾT LUẬN 91

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 93

PH Ụ LỤC 95

Nếu như phải chọn một ngành khoa học có nhiều liên hệ mật thiết nhất với toán học thì

có lẽ đó là vật lí Tri thức toán học được ứng dụng rất nhiều trong nghiên cứu vật lí, và đặc

biệt nếu xét trong chương trình phổ thông thì đạo hàm là một trong những khái niệm được ứng dụng nhiều nhất Về điểm này chúng tôi ghi nhận được một sự kiện:

Liên quan đến khái niệm đạo hàm, Sách giáo khoa Toán 12 chỉ đưa vào hai ứng dụng trong vật lí, đó là công thức tính vận tốc và gia tốc tức thời của một chất điểm: v t( ) =s t'( ) và

( ) '( )

a t =v t , trong đó s t( ) là hàm số quãng đường của chất điểm theo thời gian còn v t a t( ), ( )

lần lượt là hàm số vận tốc và gia tốc Sách giáo khoa cơ bản còn đưa thêm vào công thức xác định cường độ dòng điện là đạo hàm của điện tích q: i t( ) =q t'( ) Tuy nhiên, các ứng

dụng của đạo hàm trong vật lí phổ thông là rất phong phú và liệu học sinh có biết vận dụng khái niệm này trong các tình huống khác hay không? Nói rộng ra thì mối quan hệ liên môn

giữa dạy học toán và vật lí liên quan đến khái niệm đạo hàm đã được đảm bảo chưa? Việc đặt ra câu hỏi này đặt là rất xác đáng bởi lẽ, nó khiến chúng tôi phải nhìn nhận lại việc dạy

học khái niệm đạo hàm hiện nay đã hợp lí hay chưa trong thời điểm mà quan điểm dạy học liên môn đang ngày càng được chú trọng Ngay sau đó hàng loạt những câu hỏi được đặt ra:

- Việc dạy học đạo hàm ở trường phổ thông hiện nay đã phục vụ cho dạy học vật lí như

thế nào?

- Đạo hàm mang những nghĩa gì trong toán học cũng như trong vật lí?

- Có hay không sự ngắt quãng giữa hai phạm vi Giải tích và Vật lí trong việc dạy học khái niệm đạo hàm?

Những câu hỏi mở đầu này đã dẫn chúng tôi vào một hướng nghiên cứu đầy hấp dẫn và đó cũng là lí do để chúng tôi chọn cho luận văn thạc sĩ của mình đề tài:

“Khái ni ệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông”

5

2 T ổng quan về một số công trình liên quan đến khái niệm đạo hàm trong dạy

h ọc toán ở Việt Nam

• Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, luận văn thạc sĩ

trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh

Trong luận văn của mình, tác giả đã tiến hành nghiên cứu khoa học luận và nghiên cứu

thể chế về mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm để đi đến giả thuyết cho rằng: “Học sinh

nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong quan hệ cá nhân

Một thực nghiệm sau đó được tác giả xây dựng đã chứng minh giả thuyết này và còn cho thấy được ảnh hưởng mạnh mẽ của quan điểm đại số trong thể chế dạy học ở Việt Nam

Chúng tôi đã tìm thấy những gì từ công trình này? Như các phân tích mà chúng tôi trình bày ở các chương sau của luận văn, một trong những nghĩa quan trọng của khái niệm đạo hàm là đặc trưng xấp xỉ mà về mặt hình học chính là xấp xỉ đường cong của một hàm số

bằng tiếp tuyến của nó Kết quả của tác giả Bùi Thị Thu Hiền dù nghiên cứu trên Sách giáo khóa đợt chỉnh lý trước đây (2000) nhưng vẫn là một nguồn tham khảo quan trọng cho chúng tôi trong các phân tích của mình

• Lê Anh Tuấn(2009), Một nghiên cứu Didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ

Luận văn của Lê Anh Tuấn lại cung cấp cho chúng tôi một nghiên cứu thể chế liên quan đến khái niệm đạo hàm trong thể chế dạy học Toán hiện nay Cụ thể hơn, tác giả này đã tập trung phân tích định nghĩa, các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm để đi đến

một số kết luận và 2 quy tắc hợp đồng Hai kết luận quan trọng mà tác giả đã chỉ ra là:

- Định nghĩa đạo hàm có vai trò mờ nhạt đối với cá nhân học sinh, mối quan hệ giữa đạo hàm và giới hạn hàm số được nêu trong định nghĩa đạo hàm hầu như không tồn tại đối với học sinh

- Khi tính đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại điểm x=x0 bằng định nghĩa, việc tính

0

'( )

y x bằng 0

0 0

∆ →

∆

∆

6

Hai quy tắc hợp đồng mà tác giả chỉ ra là:

RE1: “Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã có”

RE1: “Trong các bài toán tìm đạo hàm của một hàm số, học sinh không có trách nhiệm

kiểm tra hàm số đã cho có đạo hàm hay không mà chỉ việc tính đạo hàm”

Trong luận văn này, dù tác giả không tập trung tìm hiểu các đặc trưng cơ bản của khái

niệm đạo hàm, tuy nhiên những nghiên cứu thể chế đã thực hiện vẫn sẽ là một nguồn tham khảo quan trọng cho chúng tôi

• Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic về ∆x trong toán học và trong vật

lý, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh

Thông qua lớp vỏ bọc là kí hiệu hình thức ∆x xuất hiện cả trong vật lí và toán học, tác

giả đã đi sâu phân tích và tiến hành một nghiên cứu thể chế liên quan đến khái niệm vi phân Trong thể chế Vật lí, tác giả đưa ra kết luận rằng: ∆x xuất hiện trong vật lí chủ

yếu đóng vai trò kí hiệu Kết quả phân tích thể chế dạy học toán lại chỉ ra: ∆x mặc dù

xuất hiện với vai trò công cụ trong việc tính đạo hàm bằng định nghĩa và tính gần đúng

bằng vi phân, tuy nhiên theo tác giả thì vai trò công cụ của ∆x trong toán học là khá mờ

nhạt

Bên cạnh đó kết quả thực nghiệm của tác giả còn cho thấy chỉ khi ∆x được gắn với một đối tượng vật lí thì học sinh mới hiểu đúng đắn về ý nghĩa đại lượng này Như vậy, đối

với học sinh, ∆x chỉ sống được khi gắn với mô hình vật lí

Vì mối liên hệ mật thiết giữa khái niệm đạo hàm và vi phân, cùng với đó là vai trò của

số gia ∆x trong định nghĩa của đạo hàm cho nên việc phân tích đối tượng này trong hai

thể chế dạy học toán và vật lí cũng đem đến cho chúng tôi nhiều tham khảo đáng quý

3 Hướng nghiên cứu đặt ra và nhiệm vụ nghiên cứu

Điều chúng tôi quan tâm là nghiên cứu việc giảng dạy khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn với vật lí Rõ ràng điều đầu tiên cần tìm hiểu là nghĩa của đạo hàm trong toán và trong vật lí, liệu khái niệm đạo hàm có những đặc trưng cơ bản nào và

những đặc trưng đó đem đến những ứng dụng gì trong các lĩnh vực khác? Trả lời câu

7

hỏi này sẽ giúp chúng tôi nhận ra những ràng buộc mà việc thõa mãn chúng sẽ là tiền đề

tạo ra sự phù hợp trong mối quan hệ liên môn mà chúng tôi đã đề cập

Hướng đi tiếp theo sẽ là tiến hành phân tích khái niệm đạo hàm trong cả hai thể chế dạy

học toán và vật lí, kết quả nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi trả lời câu hỏi đã đặt ra từ ban đầu: Có hay không sự ngắt quãng giữa hai phạm vi Giải tích và Vật lí trong việc

dạy học khái niệm đạo hàm? Nếu câu trả lời là có thì rõ ràng việc dạy học khái niệm đạo hàm hiện nay đã không đem đến sự nối khớp đảm bảo cho mối quan hệ liên môn

với vật lí Trong hoàn cảnh đó, việc xây dựng một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm

hợp lí hơn sẽ là nhiệm vụ quan trọng mà chúng tôi đặt ra cho mình

4 Khung lý thuy ết tham chiếu

Để tìm cơ sở cho nghiên cứu của mình, chúng tôi vận dụng các công cụ của lý thuyết didactic toán Một cách rõ ràng hơn, chúng tôi đang muốn nói về các khái niệm của thuyết nhân chủng học trong didactic toán, bao gồm: chuyển đổi didactic, quan hệ thể

chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, khái niệm tổ chức toán học Ngoài ra, lý thuyết tình huống với khái niệm đồ án dạy học cũng cần thiết cho chúng tôi Những khái niệm này đã được trình bày trong cuốn giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu

tố cơ bản của Didactic Toán của Bessot A và các tác giả, rồi lại được rất nhiều luận văn

nhắc lại, nên chúng tôi sẽ không trình bày lại ở đây

5 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được những mục đích kể trên chúng tôi xác định cho mình phương pháp nghiên

cứu tóm tắt bằng sơ đồ sau:

8

6 Cấu trúc luận văn

+ Chương 1 : Một điều tra khoa học luận về khái niệm đạo hàm

Chương 1 sẽ đem lại những hiểu biết về đối tượng tri thức đạo hàm: Lịch sử hình thành

và tiến triển, các đặc trưng cơ bản và mối quan hệ của nó với vật lí Từ đó chúng tôi có thêm

cơ sở để đặt ra những câu hỏi nghiên cứu có ý nghĩa

+ Chương 2 : Khái niệm đạo hàm trong dạy học Vật lí

Chương này là một nghiên cứu về cuộc sống của đối tượng đạo hàm trong thể chế vật lí Nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi hiểu rõ những ứng dụng của đạo hàm và hơn nữa là

những mong đợi mà thể chế Vật lí đặt ra cho việc dạy học khái niệm này trong thể chế dạy Toán

+ Chương 3 : Khái niệm đạo hàm trong dạy học Toán

Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế liên quan đến khái niệm đạo hàm trong thể

chế dạy học Toán, từ đó tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm này

Mục đích của chương 2 và chương 3 nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi : sự nối khớp giữa

bộ môn toán và bộ môn vật lí được thực hiện ra sao trong dạy học khái niệm đạo hàm

+ Chương 4: Thực nghiệm

Chương này bao gồm hai nghiên cứu thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhất nhằm tìm

kiếm các yếu tố cho phép kiểm chứng (hay bác bỏ) giả thuyết (được hình thành từ nghiên

Nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của khái niệm đạo

Nghiên cứu thực nghiệm kiểm

tra mối quan hệ cá nhân và đồ

án dạy học

9

cứu thể chế thực hiện ở chương 3) về mối quan hệ cá nhân của học sinh liên quan đến khái

niệm đạo hàm Thực nghiệm thứ hai triển khai một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm nhằm đảm bảo mối quan hệ liên môn với vật lí

như công cụ, sau đó mới được phát minh, tiếp nữa là được mở rộng và phát triển, cuối cùng

hơn thì

Những thảo luận về phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Fermat là một minh

họa cho việc sử dụng đạo hàm như một công cụ giải quyết một bài toán cụ thể (dù rằng lúc

đó đạo hàm vẫn chưa xuất hiện) Sau đó thì khái niệm đạo hàm được phát minh, và rồi, nhiều tính chất của đạo hàm được giải thích và phát triển trong các ứng dụng cả cho toán

học và vật lý Cuối cùng, một định nghĩa nghiêm ngặt được đưa ra và khái niệm đạo hàm được lồng vào một lý thuyết chặt chẽ (Judith V Grabiner, 1983), tr.195)

Trong chương này, chúng tôi sẽ tiến hành tìm hiểu các đặc trưng khoa học luận của khái

niệm đạo hàm bằng cách phân tích và tổng hợp một số công trình đã có về lịch sử giải tích nói chung, khái niệm đạo hàm nói riêng Nghiên cứu này nhằm giải thích những nhận định

đã nêu ở trên, hơn thế, việc tìm hiểu lịch sử còn giúp chúng tôi trả lời những vấn đề mà chúng tôi rất quan tâm sau đây:

- Những động lực chính nào đã thúc đẩy khái niệm đạo hàm ra đời? Rõ ràng hơn, chúng tôi muốn làm rõ những bài toán mà việc giải quyết chúng đã làm nảy sinh khái niệm

đó

- Mối quan hệ giữa đạo hàm với Vật lý trong quá trình hình thành và phát triển?

- Đạo hàm có những đặc trưng cơ bản gì và chúng ta có thể định nghĩa nó theo những cách nào?

- Trong từng giai đoạn tiến triển, người ta quan niệm về đạo hàm ra sao? Đâu là những khó khăn và chướng ngại đã cản trở loài người trên bước đường phát minh, sử dụng

và thậm chỉ là hiểu rõ được nó?

11

Kết quả của việc nghiên cứu khoa học luận sẽ giúp chúng tôi trang bị cho mình vốn

hiểu biết sâu sắc hơn và một “tâm thế” mà đứng ở đó nhìn lại những câu hỏi xuất phát ban đầu, chúng tôi tin rằng mình sẽ tìm ra được hướng nghiên cứu đúng đắn và có thể đặt ra

những câu hỏi nghiên cứu có ý nghĩa Những kết quả của chương này, đến lượt mình sẽ đóng vai trò cơ sở phương pháp luận và cơ sở tham chiếu cho việc trả lời các câu hỏi nghiên

cứu và cho những phân tích về sau

1.1 L ịch sử hình thành và phát triển khái niệm đạo hàm

Có khá nhiều tài liệu trình bày về lịch sử của giải tích, chúng tôi chọn trong số đó ba tài

liệu sau đây và xem chúng như là nguồn tham khảo chính:

David B Johnson, Thomas A Mowry (2004), Mathematics: A Practical Odyssey,

Chương 13, Cengage Learning

Judith V Grabiner, (1983), The changing concept of change: The Derivative from

Fermat to Weierstrass, Mathematics Magazine, Vol 56 , pp 195 – 206

Carl Boyer(1959), History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover,

New York

Nếu như Johnson và Mowry tập trung làm rõ các bài toán làm động lực nảy sinh khái

niệm đạo hàm và trình bày lịch sử đạo hàm xoay quanh việc giải quyết các bài toán đó thì trong công trình của tác giả Grabiner chúng tôi lại nhìn thấy được một hướng tiếp cận lịch

sử khác Grabiner đã nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của đạo hàm theo dòng

chảy của thời gian và từ đó mà nhìn thấy được sự tiến triển của khái niệm qua từng giai đoạn Còn với công trình của Boyer một bước tranh chi tiết và đầy đủ về lịch sử đã được tái

hiện lại, đây cũng có thể xem là một trong những nghiên cứu tiêu biểu về lịch sử phép tính

vi tích phân Việc chọn những tài liệu này không chỉ giúp chúng tôi có cái sâu sắc và đầy đủ hơn khi được tiếp cận với lịch sử khái niệm ở cả hai xu hướng, mà các kết quả nghiên cứu

của các tác giả còn là nguồn tham khảo quý giá để chúng tôi trả lời những vấn đề đã đặt ra cho mình

1.1.1 Th ời kì chuẩn bị và những mầm mống nảy sinh (Thế kỉ 17 trở về trước)

Mặc dù những ý tưởng gợi mở cho sự ra đời của phép tính vi tích phân đã xuất hiện từ

rất sớm trong những nghiên cứu về tốc độ và về diện tích thì thật ra, cơ hội để chúng có thể

nảy mầm và phát triển chỉ xuất hiện từ khi có sự ra đời của đại số và hình học giải tích Các nhà toán học Châu Âu sau khi tiếp thu nền toán học của người Hy lạp và đại số của người

bất kì đều có thể xác định một đường cong Lớp đường cong có thể nghiên cứu trở nên đa

dạng và phức tạp hơn rất nhiều và phương pháp của người Hi Lạp trong hình học tổng hợp không còn hiệu quả Lúc này người ta phải nhìn nhận lại định nghĩa khái niệm tiếp tuyến2

3

và đi tìm một phương pháp tổng quát hơn để giải bài toán tìm tiếp tuyến này Lớp đối tượng

mới mẻ này còn kéo người ta quay trở lại với những bài toán quen thuộc như tìm diện tích hay chiều dài cung Ngoài ra còn một loại bài toán rất được quan tâm đó là bài toán “đẳng chu”, mà một trong các dạng của nó được phát biểu như sau: “trong các miền phẳng bị chặn

đường tròn, và theo đó, một lớp các bài toán tìm cực trị hình học nói chung được đặt ra nhưng để tìm một phương pháp tổng quát cho những bài toán dạng này là rất khó khăn Các nhà toán học thế kỉ 17 tin tưởng rằng hệ thống đại số kí hiệu và hình học giải tích sẽ giúp họ

bằng một cách nào đó giải quyết được những vấn đề trên

Một trong những học giả đi tiên phong trong vấn đề này chính là nhà toán học Pháp Pierre de Fermat khi ông đã giới thiệu một phương pháp mới trong việc giải các bài toán

cực trị và xác định tiếp tuyến đường cong Fermat minh họa phương pháp tìm cực trị của

mình năm 1630 qua việc giải bài toán đơn giản sau đây : “Cho trước một đoạn thẳng, hãy

4 Thật ra bài toán này có thể phát biểu dưới dạng một bài toán đẳng chu: Trong tất cả các hình chữ nhật

có cùng chu vi, hay tìm hình có diện tích lớn nhất

13

Lời giải bài toán này đã được biết từ rất lâu tuy nhiên cách giải của Fermat thì lại rất

mới:

Hình 1.1 : Phương pháp tìm cực trị của Fermat

Gọi chiều dài đoạn ban đầu là B, chiều dài đoạn thứ nhất là A thì chiều dài đoạn thứ hai

sẽ là: B−Avà tích của 2 phần là: 2

A B−A =AB−A Nhà toán học Hi Lạp Pappus ở Alexandria trong một tác phẩm của mình có đưa ra một nguyên lý: “Một bài toán nào đó

trường hợp nghiệm kép) Điều này đã gợi ý cho Fermat đưa ra một phương pháp mới mẻ trong việc tìm cực đại và cực tiểu Ông giả sử rằng bài toán trên còn có thêm một đáp số thứ hai nữa (tức là có một cách chia khác để tích hai đoạn lớn nhất), với đáp số thứ hai này chúng ta sẽ gọi đoạn thứ nhất là A E+ khi đó đoạn còn lại là: B− −A E Tích của chúng lúc

Mặt khác theo nguyên lý Pappus thì hai nghiệm này trong trường hợp đạt giá trị lớn

nhất phải trở nên bằng nhau nên nói chung E không hề tồn tại Nghĩa là có thể cho E = 0, từ

đó ông thu được kết quả

2

B

A= và đây cũng chính là đáp số của bài toán cực trị trên

Fermat cho rằng không thể mong đợi một phương pháp tổng quát hơn và ông thậm chí

đã sử dụng phương pháp mới mẻ này để giải quyết bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong

Dù vậy Fermat không gọi E là đại lượng vô cùng nhỏ, hay giới hạn hay cái gì đại loại thế Ông không giải thích tại sao lúc đầu có thể chia hai vế cho E (xem E khác 0), sau đó lại

“khử” nó đi (tức là xem E = 0) Fermat ở thời điểm đó đã không nhận ra rằng phương pháp ông tìm ra chẳng qua là một ứng dụng của một khái niệm tổng quát hơn Ông thậm chí còn

5 Giá trị này không nhất thiết phải là cực đại

14

không xem xét bản chất mối liên hệ của phương pháp giải bài toán cực trị với bài toán tiếp tuyến mà thay vào đó ông chỉ nói rằng một phương pháp tương tự như vậy có thể giúp xác định tiếp tuyến của đường cong Nghĩa là ban đầu hãy thêm vào E, tính toán và thu gọn đại

số rồi triệt tiêu E, cuối cùng bạn có thể tìm được tiếp tuyến

Vậy phương pháp của Fermat thật sự là gì? Bài toán mà Fermat giải là xác định A để hàm số f A( )lớn nhất, và việc Fermat xem f A E( + )− f A( )=0 sau đó rút gọn biểu thức cho

E rồi cho E= 0 nếu nói theo ngôn ngữ ngày nay là ông đã sử dụng đặc trưng sau đây của hàm số tại điểm cực trị của nó5

→

Có một sự kiện lý thú là Fermat đã ứng dụng phương pháp này vào các bài toán vật lí và thu được những kết quả rất phù hợp Cụ thể ông đã áp dụng trong quang học: Fermat phát

biểu một nguyên lý về cách “hành xử” của ánh sáng (nguyên lý tác dụng tối thiểu): “Ánh

sáng luôn đi theo con đường nhanh nhất” Theo nguyên lý này và khảo sát đường đi của ánh

sáng ngang qua bề mặt phân cách của hai môi trường trong suốt đồng tính ông đã tìm con đường nhanh nhất của ánh sáng (bằng phương pháp mới ở trên)6

7, chính là con đường tuân theo định luật Snell về khúc xạ (vốn đã tìm ra trước đó bằng thực nghiệm)

Hình 1.2 : Định luật Snell về khúc xạ ánh sáng

Vào thế kỉ 17, một vấn đề khác thậm chí còn được quan tâm hơn bài toán cực trị, đó chính là vấn đề xác định tiếp tuyến của đường cong Vào thời điểm này, tiếp tuyến thường

6 Sau này trở thành một định lý mang tên ông Cần nói thêm là ông không nhận ra rằng hệ thức này chỉ

là điều kiện cần để đạt cực trị tại điểm đó

7

Xem thêm Mahoney(1973), The Mathematical Career of Pierre de Fermat, Tr 387-390

15

được quan niệm là một cát tuyến mà hai điểm cắt của nó càng ngày càng gần lại cho đến khi trùng khít với nhau Việc một cát tuyến “trở thành” một tiếp tuyến như thế nào không hề được giải thích rõ ràng, tuy vậy các phương pháp tìm tiếp tuyến lại dựa trên cách tiếp cận này Fermat, Descartes, John Wallis, Isaac Barrow và nhiều nhà toán học thế kỉ 17 khác đều

đã có thể tìm được tiếp tuyến thông qua việc xem xét độ dốc của cát tuyến Chúng ta sẽ làm

rõ điều này bằng cách khảo sát cách làm của Barrow7F

8và để cho đơn giản chúng ta sẽ áp

dụng phương pháp của ông đối với bài toán cụ thể là tìm tiếp tuyến của đường Parabol:

Cho đường cong có phương trình: 2

Đến đây như Barrow nói rằng: “Hãy bỏ đi tất

c ả các số hạng có lũy thừa của a và e hoặc

tích c ủa chúng”

Từ đây chúng ta có thể xác định được tỉ số a

e

chính là độ dốc của tiếp tuyến tại P Cụ thể ở

trên sau khi bỏ đi số hạng 2

tiếp tuyến như là một cát tuyến PQ mà Q trở nên vô cùng gần P Việc Barrow tính hệ số góc

16

của tiếp tuyến thông qua tỉ số hai đại lượng “vô cùng bé” a

e cũng đã ngầm ẩn xuất hiện khái

niệm tỉ số hai vi phân mà sau này được đưa ra bởi Leibniz

Cách giải quyết của một số nhà toán học khác cũng dựa trên việc xem xét hệ số góc của

cát tuyến f x h( ) f x( )

h

+ −

Cát tuyến này sẽ “trở thành” tiếp tuyến khi h “dần đến” 0 Vì thế

nếu bằng một cách nào đó bỏ qua đại lượng h trong biểu thức hệ số góc cát tuyến thì chúng

ta sẽ thu được hệ số góc tiếp tuyến

Như vậy, đến thời điểm này thì một quy

trình tổng quát để giải quyết bài toán tìm tiếp

tuyến đường cong đã xuất hiện nhưng cơ sở lý

thuyết của nó vẫn chưa được thấu hiểu rõ ràng

Đến năm 1660, mối quan hệ giữa bài toán

cực trị và bài toán tìm tiếp tuyến đã được hiểu

rõ Đó là, cực đại hay cực tiểu được tìm thấy

bằng cách tính toán độ dốc của tiếp tuyến và yêu

cầu nó phải bằng 0 Như vậy là mặc dù đạo hàm

vẫn chưa xuất hiện nhưng nó đã được sử dụng

một cách ngầm ẩn trong một phương pháp tổng quát và đầy tiềm năng Tuy nhiên mối quan

hệ giữa phương pháp tìm tiếp tuyến với các bài toán hình học khác – chẳng hạn như tìm

diện tích – thì vẫn chưa được biết đến Cùng với đó, khái niệm tiếp tuyến vẫn chưa được định nghĩa một cách rõ ràng và hoàn thiện

Thỉnh thoảng có ý kiến cho rằng ý tưởng về đạo hàm được thúc đẩy từ các bài toán đến

từ Vật lí1

11 Và mặc dù Vật lí cung cấp sự chuẩn bị cho những đặc trưng sau này của đạo hàm (tốc độ biến đổi) và giúp đưa vào toán học khái niệm về sự biến thiên nhưng thật ra, trong giai đoạn khơi nguồn này thì sự ra đời của đạo hàm có động lực chủ yếu đến từ các bài toán hình học Bài toán đầu tiên được cả Newton và Fermat xem xét trong quá trình đi tìm một khái niệm tổng quát hơn là bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong1

12

V ật lí có lẽ đóng một vai trò quan trọng hơn trong giai đoạn phát triển sau này của giải tích Những

11 Newton, một trong hai nhà toán học phát minh ra giải tích đã xây dựng khái niệm đạo hàm phục vụ cho việc giải quyết các vấn đề Vật lí

12 Xem thêm Margaret Baron(1969), Origins of the Infinitesimal Calculus, Chương 7

Hình 1.4: Bài toán xác định tiếp tuyến

17

 K ết luận cho giai đoạn này

Đại số phát triển, rồi sự ra đời của hình học giải tích đã lôi kéo mối quan tâm và chuẩn

bị những công cụ cần thiết cho việc xuất hiện một phương pháp tổng quát giúp giải quyết các bài toán tiếp tuyến và cực trị Cơ sở của phương pháp mới này không được giải thích rõ

và mặc dù khái niệm đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn trong đó nhưng nó vẫn chưa được khám phá

Bài toán xác định tiếp tuyến đường cong là động lực thúc đẩy chủ yếu mà việc giải quyết nó giúp nảy sinh ra các ý tưởng về đạo hàm Khái niệm tiếp tuyến trong giai đoạn này được hiểu theo những quan niệm mới như là vị trí “tới hạn” của cát tuyến hay là đường

thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ với đường cong tại tiếp điểm Những mầm mống này

là bước chuẩn bị cần thiết cho một giai đoạn quan trọng sắp đến…

1.1.2 Newton, Leibniz và giai đoạn phát minh ra đạo hàm (thế kỉ 17)

Lịch sử đã thừa nhận rằng Newton và Leibniz, một cách độc lập với nhau đã phát minh

ra giải tích Nói là “phát minh ra giải tích” theo Grabiner1

13

là vì họ đã làm được ba điều sau:

Thứ nhất, họ đã nhận ra và nắm bắt được sức mạnh to lớn của những phương pháp đã tồn tại trước đó trong quá trình tìm kiếm lời giải cho bài toán tiếp tuyến, cực trị và diện tích Hơn

thế, tổng hợp được các phương pháp đó thành một nhóm 2 khái niệm tổng quát, mà ngày nay ta được biết dưới tên gọi là đạo hàm và tích phân

Thứ hai, cả hai ông đều xây dựng cho riêng mình hệ thống kí hiệu phù hợp làm cho việc sử

dụng những khái niệm mới này trở nên dễ dàng hơn Chúng ta ngày nay vẫn còn sử dụng kí

hiệu xcủa Newton (chỉ đạo hàm) và các kí hiệu ; ( ) x

ngữ ám chỉ tốc độ của dòng chảy Leibniz thì nhìn nhận đạo hàm như là tỉ số của hai đại lượng vô cùng nhỏ và gọi là “differential quotient”

Nhưng dù cho những thuật ngữ nào đã được sử dụng, khái niệm đạo hàm ngày nay đã được

lồng vào một khái niệm tổng quát – phép tính vi tích phân – và mối quan hệ của nó với một khái niệm cơ bản khác là tích phân đã được hiểu rõ

13

18

(Grabiner, Department of History, 1983), tr 199)

Cụ thể hơn thì Newton và Leibniz quan niệm về đạo hàm như thế nào?

- Newton và t ốc độ biến thiên

Đối với Newton, dù ban đầu ông cũng tiếp cận với ý tưởng mới trong các phương pháp tìm tiếp tuyến của Fermat và đặc biệt là Barrow nhưng khái niệm đạo hàm mà ông xây dựng nên lại dựa trên những quan niệm cơ sở đến từ vật lí Quan niệm này được Newton đưa ra trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn” được viết vào khoảng 1671 nhưng đến 1736

mới xuất bản Ở đó ông xây dựng các yếu tố của giải tích trên cơ sở khái niệm chuyển động,

và đạo hàm được xem như là tốc độ biến đổi của một đại lượng theo thời gian Cụ thể hơn:

Newton xem một đường cong được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm Các đại lượng (kí hiệu bởi các chữ cái x y z, , ) được xem là biến đổi theo “thời gian”1

14

, và tốc độ biến đổi của chúng (chính là đạo hàm) được Newton gọi là “fluxion” và kí hiệu bởi những chữ cái

đó nhưng với dấu chấm trên đầu (x y z   , , ) Gọi ο là một quảng thời gian vô cùng bé, thì x (độ ο

thay đổi của x trong quãng thời gian ο và chính là khái niệm “vi phân” ngày nay) được ông gọi

là “moment” của đại lượng x (Boyer, 1959), tr 194)

Sau đó, Newton đưa ra một phương pháp nữa để trình bày lại giải tích của mình

Phương pháp liên quan đến “tỉ số tới hạn” (ultimate ratios) xuất hiện trong luận văn “cầu

phương đường cong” xuất bản năm 1704 Người ta xem đây là nỗ lực của Newton để làm cho lý thuyết của ông trở nên có cơ sở hơn Ở đó ông phát biểu rằng: “Trong toán học,

các dấu vết của những đại lượng vô cùng bé, và thay thế chúng bằng một thuyết mới về các

tỉ số tới hạn Đối với tỉ số tới hạn giữa các đại lượng vô cùng bé này, ông cho rằng phải hiểu

đó là “tỉ số giữa các đại lượng, không phải trước hay sau khi chúng bị triệt tiêu, mà là cùng

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu xem ông đã sử dụng khái niệm này như thế nào trong việc

giải các bài toán như tìm tiếp tuyến của đường cong hoặc chứng minh định lý cơ bản của

giải tích Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu thêm về những điểm mạnh và điểm yếu trong cách

hiểu về đạo hàm ở thời điểm ấy

14

“Th ời gian” ở đây không nhất thiết phải hiểu theo nghĩa đen mà có thể được thay thế bởi một đại lượng x nào đó tăng đều đặn cùng với thời gian thực Tức là có thể xem x=1

19

- Phương pháp xác định tiếp tuyến của Newton (tìm thấy trong luận văn “Cầu phương

15: Newton đã cải tiến phương pháp tìm tiếp tuyến của Barrow và chúng ta cũng sẽ xét một bài toán cụ thể để minh họa phương pháp này Hãy trở lại với bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong 2

y=x tại điểm P(2; 4) Newton xem biến x ở đây là biến “thời gian” và cho

x gia tăng một lượng vô cùng bé ο Gọi điểm Q là điểm

có hoành độ x+ο thị tung độ của nó là 2

(2+ο) Newton xét hệ số góc của cát tuyến PQ:

= (Cho ο=0 vì ο là lượng vô cùng bé)

Như vậy, Newton xem hệ số góc của tiếp tuyến như

là tốc độ biến đổi tức thời của hàm số y theo x tại thời điểm x=2 Việc tính toán hệ số góc

tiếp tuyến đưa đến việc phải đối mặt với tỉ số của hai đại lượng vô cùng bé mà Newton gọi chúng là “tỉ số tới hạn của các đạo hàm"

- Ch ứng minh của Newton cho định lý cơ bản của giải tích1

20

Newton nói rằng, hãy cho trước một hàm z x( ) bất kì, ông sẽ thiết lập một quy trình để

tìm y x( ) Để minh họa quy trình này, ông trước tiên chọn 2 32

3

z= x sau đó xét hàm tổng quát hơn n m n n

z=x cho thuận tiện

Trong hình vẽ trên, đường bd được chọn sao cho Bb=ο, với ο ≠ 0 Sau đó Newton xác định đoạn BK =υ sao cho diện tích hai hình BbHK và BbdD bằng nhau Từ đây suy ra diện tích BbdD bằng ου

Bây giờ khi x tăng thành x+ο, diện tích z sẽ thay đổi một lượng tương ứng là:

Đến đây Newton nói rằng:

“Nếu ta giả sử rằng Bb được thu nhỏ một cách vô hạn và biến mất (ο = ) Trong trường hợp 0này υvà y sẽ trở nên bằng nhau, và các số hạng nhân với οcũng bị triệt tiêu theo”

Như vậy chúng ta sẽ còn lại 2

3

y= x

Newton đã chỉ ra điều gì? Cái mà ông đang khảo sát là z x( + −οο) z x( )chính là tốc độ

biến đổi của diện tích z và theo trên thì tốc độ này lại chính là tọa độ y Nói cách khác, Newton đã chỉ ra rằng hàm y x( ) chính là đạo hàm (tốc độ biến đổi) của hàm diện tích z x( ) Như vậy, bài toán tìm tiếp tuyến và tính diện tích hóa ra lại là hai quá trình ngược nhau Về điểm này Leibniz cũng đưa ra được những kết luận tương tự

Hình 1.6: Ch ứng minh định lý cơ bản của Newton

21

Leibniz và các vi phân

Leibniz công bố phát minh của mình về giải tích trong khoảng thời gian từ 1673 đến

1676 Nếu như Newton xem đạo hàm như là

tốc độ biến đổi của một đại lượng rồi dùng khái

niệm này để giải quyết bài toán tiếp tuyến, thì

Leibniz lại dựa trên ý tưởng về cái gọi là “tam

giác đặc trưng” (chính là tam giác PQR trong

hình dưới đây)

Chúng ta sẽ làm rõ phương pháp của

Leibniz Giả sử đường cong y= f x( ) có tiếp

tuyến là đường thẳng τ tại tiếp điểm P(x;y) và

có tiếp ảnh là UV =t

Ta có ∆PQR đồng dạng với ∆UVP

Vì vậy, ngay cả khi dy dx, là các đại lượng vô cùng nhỏ thì tỉ số của nó, dy

dx vẫn là một giá trị xác định Cụ thể thì:

dy PV y

dx =UV = t

Dựa trên đánh giá này Leibniz đã đưa ra khái niệm “vi phân” năm 1675 và dùng nó làm

cơ sở cho lý thuyết của mình Theo đó, ông đưa ra kí hiệu dx chỉ một đoạn thẳng xác định tùy ý nào đó và định nghĩa dy bởi hệ thức dy y

dx = t , sau đó cung cấp những công thức cơ bản

để tính toán các vi phân này và dùng các vi phân để xác định tiếp tuyến Để hiểu rõ hơn chúng ta sẽ theo dõi lại cụ thể hơn phương pháp mà Leibniz đã thực hiện, đầu tiên là chứng minh một trong số những công thức vi phân của ông và sau đó là sử dụng các công thức này

để xác định tiếp tuyến của đường cong

- Ch ứng minh công thức vi phân một tích của Leibniz

Leibniz nói rằng: “d xy( )có th ể xem như hiệu của hai tích xy liên ti ếp, một cái là xy

còn cái kia là (x+dx y)( +dy)”, vậy nên:

Số hạng dx dy. mà theo Leibniz thì “nh ỏ không đáng kể so với các số hạng còn lại” nên

sẽ được “khử” đi Vì vậy, ta sẽ có công thức vi phân của một tích là:

Hình 1.2 : Phương pháp tìm tiếp tuyến

c ủa Leibniz

22

( )

d xy =xdy+ydx (*)

- Gi ải bài toán tìm tiếp tuyến bằng phương pháp của Leibniz

Chúng ta sẽ lại xét ví dụ đơn giản ở trên là xác định tiếp tuyến của đường cong 2

y=x

tại điểm P(2;4)

Như đã đề cập ở trên thì hệ số góc của tiếp tuyến chính là tỉ số hai vi phân dy

dx, sử dụng công thức (*) để tính vi phân dy, cụ thể là:

Lúc này chỉ cần thay giá trị x=2 là ta thu được hệ số góc của tiếp tuyến

Bên cạnh những thành tựu quan trọng, chúng ta cũng cần nói thêm về những lỗ hổng trong lý thuyết của Newton và Leibniz, đặc biệt là có những câu hỏi đến thời điểm đó vẫn chưa trả lời được

Chẳng hạn, với phương pháp của Leibniz thì tỉ số vi phân dy

dx một cách chính xác nghĩa

là gì? Leibniz và một số người theo trường phái của ông (như Johann Bernoulli) quan niệm

nó là tỉ số của hai đại lượng vô cùng bé, điều này là hợp lý theo như cách các vi phân được tính toán1

17

Tuy vậy, bản thân các vô cùng bé lại không hề tuân theo tiên đề Archimede trong khi đó nó lại là cơ sở cho số học, đại số, hình học của thời kì này

Trong định nghĩa của Newton, tuy rằng đạo hàm có thể được hiểu một cách trực giác là

tốc độ biến thiên nhưng như trên đã thấy, hầu hết các chứng minh của ông lại đều liên quan đến “đại lượng vô cùng bé ο ” Có lúc thì ο được xem là khác 0 (rút gọn được hai vế cho ο ),

có lúc lại xem nó bằng 0 (khử đi trong kết quả cuối cùng) Newton cũng cho rằng việc vứt

bỏ ο đi có lẽ là thiếu thuyết phục nên như đã nói ở trên ông đưa vào khái niệm “tỉ số tới hạn”

ở công trình sau đó Trong phần chú giải cuối cùng phần I quyển I cuốn sách nổi tiếng

“Những tỷ số tới hạn này khi các đại lượng bị biến mất thì không thực sự là tỷ số của các đại lượng tới hạn, mà là khi các đại lượng nhỏ dần một cách vô hạn thì tỉ số này luôn hội tụ về

một giới hạn nào đó Và như vậy, chúng sẽ tiếp cận càng ngày càng gần hơn với bất kì chênh

lệch cho trước nào Tuy vậy nó cũng không bao giờ vượt quá, cũng như sẽ không đạt đến

17 Ở trên Leibniz đã xem dx dy là r ất bé so với các số hạng khác nên được khử đi

23

điểm tới hạn đó cho đến khi các đại lượng nhỏ dần một cách vô hạn” (Trích theo Judith V Grabiner, 1983), tr.195)

Giải thích này của Newton dễ gợi cho chúng ta xem đó như một định nghĩa cho khái

niệm giới hạn sau này, thậm chí trong câu trên cách diễn đạt “tỉ số tới hạn” có vẻ rất gần với định nghĩa giới hạn ngày nay Tuy vậy Ferraro lại cho rằng:

“dù Newton đã có một ý niệm rất rõ ràng về cái gọi là “tiến đến một giới hạn”, nhưng đây chỉ

là một quan niệm trực quan và không mang bản chất toán học nên hoàn toàn khác so với khái

niệm giới hạn ngày nay” (Giovanni Ferraro, 2010, Some mathematical aspects of Newton’s Principia) , tr.3)

Grabiner còn lưu ý rằng:

Trong cụm từ “không bao giờ vượt quá” dường như quan niệm của Newton về “giới hạn” gần

giống như là một “biên giới” và các nhà toán học cùng thời với ông hay trích dẫn ví dụ về đường tròn được xem như là giới hạn của các đa giác nội tiếp Trong khi đó với khái niệm giới

hạn ngày nay thì giá trị của các đại lượng có thể dao động quanh giới hạn của nó Thêm vào

đó việc các tỉ số này “…không bao giờ vượt quá, cũng như sẽ không đạt đến điểm tới hạn đó cho đến khi các đại lượng nhỏ dần một cách vô hạn” dẫn đến một vấn đề gây tranh cãi là liệu giá trị của biến có thực sự đạt đến được giới hạn của nó? (Grabiner, 1983), tr 200)

Mặc dù còn nhiều điểm mơ hồ không rõ ràng nhưng các khái niệm về đạo hàm, vi phân cùng với hệ thống kí hiệu tiện lợi của Leibniz và định lý cơ bản của giải tích đã đem đến

một quyền lực vô cùng mạnh mẽ Từ đó mà các nhà toán học thế kỉ 18 đã đạt được những thành tựu tuyệt vời khi ứng dụng chúng để giải quyết một số lượng lớn các bài toán cả trong toán học và vật lí

K ết luận

Thừa hưởng những phương pháp xuất hiện trước đó trong việc giải quyết bài toán tìm

tiếp tuyến và tính diện tích, tiếp thu những ý tưởng của các nhà toán học đi trước như Fermat hay Barrow… Newton và Leibniz đã tổng hợp chúng trong hai khái niệm tổng quát

là đạo hàm và tích phân và chứng minh được “định lý cơ bản” nhờ đó chỉ ra rằng chúng là hai khái niệm đảo ngược của nhau

Nếu như Leibniz dựa trên khái niệm cơ sở là các vi phân để xây dựng lý thuyết của mình thì Newton lại tiếp cận theo cái nhìn mang tính vật lí Trong đó ông hiểu đạo hàm như

là tốc độ biến thiên của các đại lượng theo “thời gian”, quan niệm này đã thể hiện một đặc trưng quan trọng của khái niệm đạo hàm: Nó chính là thước đo tốc độ biến thiên cho một

vẫn hoạt động đầy hiệu quả và mang đến một công cụ vô cùng mạnh mẽ cho những giai đoạn phát triển về sau

1.1.3 Giai đoạn mở rộng và phát triển các tính chất của đạo hàm với sự thúc đẩy đến từ Vật lí (Thế kỉ 18)

Công c ụ đạo hàm trong Vật lí

Mặc dù những ứng dụng đầu tiên của đạo hàm trong Vật lí đã xuất hiện ngầm ẩn trong phương pháp tìm cực trị của Fermat khi ông sử dụng nó trong việc xác định đường đi của tia sáng thì thật ra, thời kì hoàng kim của công cụ giải tích trong nghiên cứu Vật lí chỉ mở ra từ sau khi có dấu ấn sâu đậm của Newton Newton có thể xem là cha để của cơ học cổ điển khi xây dựng một nền tảng vững vàng cho Vật lí dựa trên các định luật về chuyển động và lực

hấp dẫn Và sự thực thì phát minh ra phép tính vi tích phân nhằm xây dựng một công cụ toán học phù hợp để ông nghiên cứu các vấn đề Vật lí nên không gì lạ khi lý thuyết giải tích

mà ông xây dựng dựa trên ý niệm về chuyển động và đạo hàm được quan niệm như là vận

tốc biến đổi của các đại lượng

Trong cuốn sách nổi tiếng nhất của mình “Những nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” Newton đã phát biểu ba định luật quan trọng về chuyển động trong đó định luật thứ hai nói rằng: “Sự biến thiên của chuyển động1

18

là hướng của lực đó” Nếu chúng ta phát biểu nó theo ngôn ngữ của giải tích thì định luật

này có dạng: F = (mv ) ' =m v( ) '  =ma

(nếu khối lượng m là hằng số) Vậy là mọi thay đổi trong trạng thái chuyển động đều được gây ra bởi lực và mối quan hệ giữa chúng đã được làm rõ, đó là lực tác động tỉ lệ với đạo hàm cấp hai của hàm tọa độ chất điểm Lúc này nếu

biết trước được lực tác động chúng ta có thể tính toán được quỹ đạo cũng như dự đoán trước được tương lai của một sự kiện Định luật này đã mang đến cho các nhà Vật lí một quyền

lực ghê gớm, và quyền lực ấy rõ ràng đến từ sức mạnh của công cụ đạo hàm

18

Ngày nay chúng ta hi ểu đó là động lượng (mv

) c ủa chuyển động

25

Thế kỉ 18 là một thời kì nở rộ những ứng dụng phong phú đa dạng của giải tích trong

vật lí mà đặc biệt là trong cơ học

“Các nhà toán học cố gắng sử dụng giải tích để giải quyết được ngày càng nhiều các bài toán

vật lí và đã nhanh chóng nhận ra mình phải biết ơn nó như thế nào khi đã giải quyết được hàng loạt những vấn đề rất mới Họ thậm chí còn làm được hơn nhiều những gì đã mong

muốn” (Morris Kline,1972), tr 468)

Chúng ta sẽ xem xét sau đây một minh họa khá tiểu biểu trong việc ứng dụng giải tích

để nghiên cứu dao động điều hòa:

Khi khảo sát chuyển động của con lắc lò xo, nếu gọi x quãng đường1

19thì định luật hai Newton sẽ cho ta: F =mx'' Mặt khác lực tác động này có được do lực đàn hồi của lò xo gây nên, mà lực này theo định luật Hooke có dạng đại số là −kx Do đó chúng ta có: mx'' +kx= 0(1) Năm 1739, Euler là người đầu tiên đã thiết lập và giải được phương trình vi phân (1) để

mô tả được quy luật của dao động lò xo, đó là một hàm số dạng sin (hoặc cos)

Như vậy là nhờ đặc trưng mô tả tốc độ biến thiên của mình mà đạo hàm đã giúp vật lí thiết lập các phương trình mô tả các hiện tượng tự nhiên Nhu cầu giải các phương trình này đưa đến việc xây dựng lý thuyết về các phương trình vi phân và sau đó là phương trình đạo hàm riêng, nghiệm tìm được sẽ cho phép ta tìm ra quy luật vật lí của hiện tượng Đến gần

giữa thế kỉ 18, phương trình vi phân đã trở thành một công cụ toán học hữu hiệu nhất trong

lịch sử vật lí

Euler và s ự mở rộng các tính chất của đạo hàm

Một phát minh quan trọng khác được Brook Taylor đưa ra vào năm 17151

20 mà bây giờ chúng ta biết đến nó với tên gọi: Công thức khai triển Taylor

Khi khảo sát tính chất của các sai phân hữu hạn, Taylor đã biểu diễn f x( +h)theo f x( )

và các tỉ số vi phân của nó với các bậc khác nhau Taylor sau đó cho các vi phân này nhỏ đến vô cùng và thay thế các tỉ số vi phân bằng đạo hàm các bậc khác nhau và thu được công

thức sau:

( ) 2

'( ) ''( ) ( )

n n

n

Công thức Taylor sau đó đã trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu hàm số và

xấp xỉ nghiệm của phương trình, nhưng điều chúng ta muốn nhấn mạnh sau đây là việc

19 Chính xác hơn là li độ của con lắc (khoảng cách tính đến vị trị cân bằng) với quy ước dấu theo chiều dương được chọn trước.

20 Thật ra thì từ thế kỉ 17, Newton và James Gregory cũng đã tìm được những kết quả tương tự nhưng không tổng quát và trực tiếp như Taylor

26

nghiên cứu về chuỗi Taylor đã cung cấp một cách nhìn hoàn toàn mới về bản chất của đạo hàm Đầu tiên, Euler đã sử dụng khai triển này trong nghiên cứu của mình về chuỗi lũy thừa

và đã giải quyết triệt để bài toán tìm cực trị hàm số mà từ đó Lagrange đã giúp cho đạo hàm

có được một cách quan niệm mới

Năm 1755 khi nghiên cứu về chuỗi lũy thừa, trong cuốn “Phép tính vi phân” Euler đã

đưa ra một tiêu chuẩn về việc giữ lại một số hữu hạn các số hạng của chuỗi mà bỏ đi phần còn lại – tiêu chuẩn này rất hữu ích trong các xấp xỉ chuỗi lũy thừa

Tiêu chuẩn mà Euler có thể viết lại dưới dạng đầy đủ hơn như sau:

a+bx+cx +dx + chúng ta đều có thể tìm được giá trị x

đủ nhỏ sao cho nếu ta ngắt đi phần chuỗi số sau một số hạng nào đó – chẳng hạn 2

x , thì số

hạng chứa 2

x này sẽ luôn lớn hơn, về giá trị tuyệt đối, so với tổng của phần chuỗi đó”.(Trích theo Grabiner, 1983), tr 201 – 202)

Ông không đưa ra chứng minh cho nhận định này nhưng sau đó đã áp dụng nó để đi đến

những khảo sát đầy đủ nhất cho vấn đề cực trị vốn chưa được giải quyết triệt để Chúng ta

sẽ tìm hiểu lập luận của Euler, chẳng hạn cho trường hợp cực đại:

Xét hàm số f x( ) và f x( 0) là cực đại của nó, theo định nghĩa cực đại thì với h nhỏ ta

f x tiếp tục bằng 0 thì chúng ta lại phải xét đến các đạo hàm cấp cao hơn… Phân tích

của Euler đã cho thấy một điểm mới mẻ mà chuỗi Taylor mang lại, đó là bài toán cực trị

mới cho khái niệm đạo hàm Vào năm 1797, Lagrange phát biểu rằng, bất kì một hàm số nào (nghĩa là, một biểu thức giải tích bất kì, hữu hạn hay vô hạn) đều có một khai triển thành chuỗi lũy thừa:

(hệ số của số hạng tuyến tính theo h) và gọi hàm số này là “hàm số dẫn xuất cấp một” của

( )

f x Thuật ngữ “hàm số dẫn xuất” (derived function) chính là nguồn gốc của từ “đạo hàm”

mà chúng ta sử dụng bây giờ, cùng với đó Lagrange cũng đưa vào kí hiệu f x'( ) cho “hàm

số đạo hàm” này Ông định nghĩa f ''( )x là “hàm số dẫn xuất cấp một” của hàm số f x'( ) và

cứ như thế với các đạo hàm cấp cao hơn, và từ đó chứng minh được rằng trong khai triển (5)

Định nghĩa mới mẻ này về đạo hàm đã giải phóng đạo hàm khỏi những quan niệm hạn

chế trước đó: Từ việc Newton giải thích đạo hàm như là tốc độ biến thiên liên quan đến khái

niệm chuyển động trong toán học đến Leibniz khi ông xem đạo hàm như là tỉ số của hai vi phân, được hiểu là thương của hai số gia vô cùng bé Đạo hàm bây giờ là một hàm số, đạo

21 Phương pháp sử dụng chuỗi Taylor để đánh giá cực trị của hàm số theo dấu của đạo hàm các bậc khác nhau đã được đưa ra vào năm 1742 bởi Colin Maclaurin nhưng chỉ giải thích bằng hình học

22

Grabiner(1981), The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, Tr 118

23 Khác với chúng ta, Lagrange dùng kí hiệu i thay cho h.

24 Xem thêm chứng minh của Lagrange từ: Fraser, C (2005), Landmark Writings in Western

Mathematics 1640–1940 , Chương 19, Joseph Louis Lagrange,Théorie des fonctions analytiques, tr 263 –

264

28

hàm cấp hai hay cả các cấp cao hơn đơn giản cũng chỉ là những hàm số xuất hiện trong khai triển Taylor của hàm số ban đầu mà thôi.2

25

Mặc dù định nghĩa mới này của Lagrange là không hoàn toàn thỏa đáng bởi lẽ nó phải

giả thiết rằng mỗi hàm khả vi bất kì đều phải là tổng của một chuỗi Taylor nhưng quan niệm này của Lagrange lại dẫn ông đến một trong những đặc trưng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm Ông đi đến tính chất này bằng cách sử dụng tiêu chuẩn trên của Euler khi cắt bỏ

phần dư của chuỗi lũy thừa Cụ thể xét khai triển Taylor của hàm số f x( ):

K ết luận cho giai đoạn này

Trong quá trình tiến triển của khái niệm đạo hàm, vật lí có một vai trò rất đặc biệt Từ cái nhìn của vật lí, Newton đã mang lại cho đạo hàm một đặc trưng rất trực quan và hữu ích: Đạo hàm là thước đo tốc độ biến thiên của một đại lượng Quan niệm này đã mở đường cho

những ứng dụng ồ ạt, mạnh mẽ và vô cùng hiệu quả của đạo hàm nói riêng và giải tích nói chung trong việc giải quyết nhiều vấn đề vật lí khác nhau Thế kỉ 18 ghi dấu thời kì hoàng kim của việc ứng dụng giải tích trong nghiên cứu vật lí mà đặc biệt là lý thuyết về phương trình vi phân trở thành một trong những công cụ hữu hiệu nhất

Dựa trên khai triển Taylor và tiêu chuẩn cắt cụt một chuỗi lũy thừa của mình, Euler lần đầu tiên đã đưa ra một phương pháp thuần túy đại số để giải quyết hoàn toàn bài toán cực trị (mà không dựa trên cách tiếp cận có tính hình học) Theo đó thì bài toán cực trị không chỉ liên quan đến đạo hàm bậc một hay bậc hai mà còn với cả các đạo hàm có bậc khác Ý

25

Kí hi ệu f x'( ) c ủa Lagrange cũng là nhằm thể hiện quan điểm xem đạo hàm như một hàm số.

29

tưởng của Euler là nghiên cứu giải tích dựa trên các chuỗi vô hạn và thao tác chúng theo các quy trình đại số

Lagrange dựa trên phương pháp của Euler khi ông ấp ủ ý định làm cho giải tích trở nên

chặt chẽ hơn bằng cách lược giảm nó thành một ngành đại số các chuỗi vô hạn Để thực

hiện ý định này, ông đã đưa ra một định nghĩa hoàn toàn mới cho khái niệm đạo hàm, theo

đó đạo hàm được định nghĩa bằng vai trò của nó trong khai triển Taylor – một định nghĩa tuy không hoàn toàn hợp lý nhưng điều quan trọng là Lagrange đã thiết lập một đặc trưng

rất quan trọng của đạo hàm f x( +h)= f x( )+hf x'( )+hH, rồi thể hiện đặc trưng này dưới

dạng một bất đẳng thức và sử dụng nó trong các chứng minh mà không cần phải dùng đến

những số gia vô cùng bé như Newton hay Leibniz

1.1.4 Giai đoạn xây dựng cơ sở lý thuyết chặt chẽ (thế kỉ 19)

Thế kỉ 18, giải tích mải mê với những khám phá thú vị và phong phú về đường cong,

những quá trình vô hạn và các ứng dụng tuyệt vời trong vật lí Và vì vậy, dù không thờ ơ

với tính chặt chẽ nhưng những nhà toán học thời kì này lại dành hầu hết các nỗ lực của họ cho việc phát triển và ứng dụng các phương pháp, mặc dù đầy hiệu quả nhưng một số trong chúng lại vẫn chưa có cơ sở đầy đủ Những nhà toán học thế kỉ 19 trái lại, tự đặt ra cho mình nhiệm vụ xây dựng lại giải tích dựa trên một cơ sở chặt chẽ Nhờ vậy mà lịch sử tiến triển của khái niệm đạo hàm đã bước sang mới giai đoạn mới mà ở đó, nó được định nghĩa

lại…

Cauchy và định nghĩa đạo hàm theo giới hạn

Trong tác phẩm “Giải tích vô hạn” (Calcul infinitesimal) xuất bản năm 1823, Cauchy

lần đầu tiên đã đưa ra một cách quan niệm mới rõ ràng và mạnh mẽ về khái niệm đạo hàm

Về thực chất, Cauchy cũng định nghĩa đạo hàm theo quan điểm như các nhà toán học đi trước đó là xem đạo hàm như là một giới hạn của tỉ số các vi phân Điểm khác biệt quan

trọng là ở cách hiểu rõ ràng và chính xác của ông về khái niệm giới hạn, cụ thể Cauchy định nghĩa đạo hàm của f x( ) như là một giới hạn, khi nó tồn tại, của tỉ số các số gia

f x h f x

h

+ −

khi h tiến dần đến 0 Có hai điểm mới trong quan điểm của Cauchy, một là

bỏ sự ràng buộc rằng các biến không bao giờ có thể nhận giá trị vượt quá giới hạn của nó Điều thứ hai là ông hiểu về giới hạn dường như theo quan điểm đại số Nghĩa là mỗi khi Cauchy cần một tính chất của giới hạn trong các chứng minh, ông thường sử dụng bất đẳng

dụng định nghĩa đó Cụm từ “đạo hàm là một giới hạn, khi nó tồn tại…” đã thể hiện sự chặt

chẽ và chính xác trong cách hiểu của Cauchy về đạo hàm Tuy nhiên vẫn còn một điểm chưa chính xác trong định nghĩa này, đó là ở chỗ ông đã giả sử rằng δ có thể được chọn cho

mọi x trong khoảng đang xét mà giả thiết này là tương đương với sự hội tụ đều của tỷ số hai

số gia

Sau đóng góp của Cauchy, giải tích đã được nhìn nhận khác hơn:

Nó được xem là một ngành chặt chẽ, với một tập hợp các khái niệm được định nghĩa tốt và các định lý được chứng minh dựa trên các định nghĩa này, hơn là chỉ đơn thuần là một tập

hợp các phương pháp có hiệu quả Công lao của Cauchy không chỉ là xây dựng được cơ sở

vững chắc và công bố được những kết quả mới, mà ông còn cung cấp một cái khung để từ đó tìm được nhiều kết quả mới, một số trong đó không thể nào được thiết lập trước đó (Grabiner, 1983), Tr.203)

Đến thời điểm này, chúng ta chỉ còn một đoạn ngắn nữa thôi là đến cuối chặng đường

tiến triển để đạo hàm có được diện mạo như ngày hôm nay, đó là định nghĩa chặt chẽ đạo hàm theo ngôn ngữ epsilon và delta2

26

và công lao này thuộc về Weierstrass

Vào năm 1850, Karl Weierstrass bắt đầu một khóa học đại Đại học của Berlin Trong khóa học của mình, ông đã tạo ra các bất đẳng thức đại số để thay thế các diễn đạt bằng lời trong những định lý của giải tích Cũng trong khóa học đó, ông sử dụng sự phân biệt rõ ràng

của mình giữa hội tụ đều và hội tụ theo từng điểm cùng với kĩ thuật delta-epsilon để hình thành nên một hệ thống chặt chẽ cho giải tích Dù Weierstrass không xuất bản bài giảng của mình nhưng học trò của ông đã phổ biến tính chặt chẽ Weierstrass đến các trung tâm toán

học ở Châu Âu Thế nên, mặc dù định nghĩa của đạo hàm theo kiểu delta-epsilon như ngày nay của chúng ta chưa thể được công nhận từ các công trình của Weierstrass, nhưng sự thật

nó đúng là công lao của ông

26 Cách phát biểu định nghĩa và chứng minh các định lý của Cauchy vẫn còn nhiều chỗ thể hiện bằng lời.

31

Hơn thế nữa, với quan niệm “tĩnh” của các biến, ông đã giải đáp được câu hỏi dai dẳng

tồn tại từ trước đó Đó là trong cách hiểu của Newton và Leibniz về đạo hàm như là tỉ số tới

hạn hay tỉ số các vi phân thì liệu rằng trong khi tiến dần đến giới hạn của nó, có thể nào đạt đến giới hạn đó hay không? Điều này cũng là điểm then chốt trong nghịch lý Achilles của Zeno

Dưới cái nhìn chính xác của học thuyết Weierstrass về giới hạn thì câu hỏi này đã không còn thích hợp nữa Khái niệm giới hạn không liên quan gì đến ý niệm về sự tiếp cận, hay

tiến đến (approaching) nữa, mà là việc của những trạng thái tĩnh tại (Carl Boyer, 1959), tr 287)

Nghĩa là trong định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ ε δ; của Weierstrass:

tr 288)

Các giá trị của x thuộc lân cận của a được xem là tĩnh, riêng biệt và hoàn toàn không

dùng đến ý niệm về sự “tiến dần đến” trong định nghĩa này Ngoài ra Weierstrass còn phát

hiện được một hàm số liên tục ở khắp nơi nhưng lại không có đạo hàm ở điểm nào Điều này đã cho thấy các nhà toán học trong giai đoạn này đã nắm vững các khái niệm về đạo hàm, về giới hạn và sự tồn tại của giới hạn rõ ràng như thế nào

T ổng kết

Lịch sử hình thành và tiến triển của khái niệm đạo hàm kéo dài hơn 200 năm đủ để cho

thấy rằng, dù sớm tìm ra những phương pháp mới đầy hiệu quả ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán khác nhau nhưng con người đã không dễ dàng hiểu rõ về nó Trải qua

từng ấy thời gian, khái niệm đạo hàm đã phát triển như thế nào?

Bắt đầu từ Fermat khi ông ngầm sử dụng nó trong phương pháp mới của mình giải quyết các bài toán cực trị và tiếp tuyến, tiếp theo đó Newton và Leibniz độc lập phát minh

ra đạo hàm trong vai trò là một khái niệm cơ bản của giải tích Sau giai đoạn này mặc dù

vẫn chưa có cơ sở chặt chẽ và nhiều điểm mơ hồ, nhưng khái niệm đạo hàm vẫn được mở

rộng và phát triển cùng với các ứng dụng tuyệt vời của nó trong toán học lẫn trong vật lý

nhờ công lao của các nhà toán học thế kỉ 18 mà nổi bật nhất chính là Euler Lagrange chính

là người đã đặt tên cho đạo hàm và tìm ra tính chất đặc trưng cơ bản nhất rồi từ đó Cauchy

đã dựa trên những đặc trưng này để chuyển nó thành một định nghĩa chặt chẽ cho đạo hàm

32

trên quan điểm chính xác về khái niệm giới hạn Định nghĩa của Cauchy đã được Weierstrass hoàn chỉnh và làm cho chính xác hơn theo ngôn ngữ epsilon – delta, để rồi đạo hàm đã có được diện mạo như chúng ta đang thấy ngày hôm nay

Thời điểm khép lại quá trình tìm hiểu lịch sử hình thành và tiến triển của khái niệm đạo hàm cũng là lúc chúng tôi tìm được câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra từ đầu chương

 Có hai động lực chính đã giúp thúc đẩy quá trình nảy sinh khái niệm đạo hàm, một

- Trong khi đó, bài toán tìm vận tốc của vật thể lại đưa Newton đến ý tưởng xây

dựng giải tích trên cơ sở của “chuyển động”, trong đó đạo hàm được định nghĩa như là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng nào đó theo “thời gian” Thời gian ở đây được hiểu là một biến bất kì xnào đó biến thiên đều theo thời gian, nghĩa là sao cho ( ) ' 1x =

 Trong lịch sử tiến triển của mình, đạo hàm và vật lí có một mối quan hệ rất đặc biệt

Vật lý không những đóng góp một phần động lực thúc đẩy việc hình thành khái niệm mà còn mang lại cho đạo hàm một ý nghĩa đầy trực quan và hữu ích, đó là thước đo cho tốc độ thay đổi của một đại lượng theo biến của nó Quan niệm này đã mở đường cho các ứng

dụng phong phú và hiệu quả của đạo hàm nói riêng và giải tích nói chung trong vật lý Hơn

thế nữa, những bài toán đến từ vật lý còn tạo ra một động lực mạnh mẽ tức thì giúp giải tích phát triển một cách vượt bậc, mà từ đó những tính chất của đạo hàm cũng được mở rộng theo những cách đầy bất ngờ

 Trong lịch sử toán học, đạo hàm của hàm số tại một điểm (nếu tồn tại) có thể mang nhiều ý nghĩa khác nhau vì gắn với những đặc trưng khác nhau: về mặt tính số, nó là xấp xỉ affine của hàm số đang xét tại điểm đang xét thông qua biểu diễn

( ) ( ) '( )

f x+h = f x +hf x +hH Về mặt hình học, nó là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm

số tại điểm đang xét; về mặt động học (theo nghĩa tổng quát của Newton), nó là độ biến thiên tức thời của hàm số đang xét tại điểm đang xét

 Từ các đặc trưng này mà chúng ta có hai cách để đưa ra định nghĩa cho đạo hàm:

biến đổi trung bình của y theo x cho nên chúng tôi gọi cách này là định nghĩa theo

“tốc độ biến thiên tức thời”

- Cách thứ hai là định nghĩa đạo hàm là hệ số của số hạng bậc nhất trong biễu diễn

( ) ( ) '( )

f x+h = f x +hf x +hH Hàm số có biểu diễn này còn được gọi là hàm số khả

vi và chúng tôi sẽ gọi cách định nghĩa thứ hai này là định nghĩa theo “khả vi”

 Khó khăn và chướng ngại:

- Khó khăn lớn nhất mà các nhà toán học gặp phải trong quá trình phát minh và thấu

hiểu khái niệm đạo hàm đó chính là sự thiếu hụt một cơ sở lý thuyết chặt chẽ - lý thuyết giới hạn Các nhà toán học đã gặp phải những chướng ngại khoa học luận

để có thể thấu hiểu một cách chính xác khái niệm giới hạn, vì lẽ đó chỉ đến khi khái niệm giới hạn được xây dựng một cách chính xác thì đạo hàm mới được định nghĩa một cách chặt chẽ

- Trước đó, để khỏa lấp cho sự thiếu hụt này Newton và Leibniz đã sử dụng những đại lượng vô cùng bé trong lý thuyết của mình Cách hành xử của họ với các đại lượng này thời bấy giờ là không thỏa đáng, lúc thì xem chúng khác 0 để rút gọn,

có lúc lại cho chúng bằng 0 để khử đi Có nhiều quan điểm khác nhau về các vô cùng bé này, chẳng hạn xem chúng là một số dương khác 0 nhưng lại nhỏ hơn bất

kì những số dương nào khác Sự xuất hiện của các vô cùng bé cùng với cách hiểu

về chúng dù vẫn làm cho lý thuyết và các phương pháp sử dụng đạo hàm hoạt động hiệu quả nhưng ở một mặt nào đó lại tạo ra một chướng ngại ngăn cản loài người có thể hiểu chính xác về khái niệm giới hạn

- Khi Newton định nghĩa đạo hàm theo “tỷ số tới hạn” ông đã ngầm đưa và khái

niệm giới hạn Tuy nhiên Newton hiểu giới hạn như là một biên giới mà tỷ số này không thể vượt quá, và cách hiểu này không giống như chúng ta ngày nay Có một câu hỏi được tranh cãi trong suốt lịch sử của khái niệm đó là: “Cuối cùng, giới hạn

có đạt được hay không?” Newton và nhiều nhà toán học thời đó đều cho rằng giới

hạn không đạt được giống như đa giác đều nội tiếp đường tròn không bao giờ có

thể bằng với đường tròn Cách tiếp cận theo quan điểm “động” như là “tiến về”

một giá trị nào đó và cho rằng không thể đạt được đến giới hạn đã tạo ra chướng

Thời điểm này là lúc mà khái niệm đạo hàm đã được thấu hiểu rõ ràng và nó cũng đặt dấu chấm hết cho một chặng được hình thành và phát triển hơn 200 năm với đầy những khó khăn nhưng cũng không kém phần thú vị

 Các cách trình bày khái ni ệm đạo hàm

Từ kết quả phân tích khoa học luận chúng tôi nhận thấy rằng có ba cách để đưa vào khái

niệm đạo hàm trong giảng dạy

- Sử dụng định nghĩa đạo hàm theo “nghĩa tốc độ biến thiên tức thời”:

∆ Định nghĩa đạo hàm theo cách này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho

việc hình thành nghĩa tốc độ biến thiên, và như đã nói việc thấu hiểu được đặc trưng này là điều kiện cần thiết để các em học sinh có thể ứng dụng được công cụ đạo hàm trong vật lí Nghĩa xấp xỉ sẽ được đưa vào sau đó bằng việc hình thành

- Cách trình bày thứ ba là đưa vào cả hai định nghĩa của đạo hàm trong mối quan hệ tương đương với nhau: Cụ thể hơn, chúng ta có thể cùng lúc đưa định nghĩa đạo hàm theo tốc độ biến thiên tức thời và định nghĩa theo khả vi sau đó chứng minh

rằng hai định nghĩa này là tương đương

1.2 Phát bi ểu câu hỏi nghiên cứu

Từ những kết quả thu được khi tiến hành nghiên cứu khoa học luận ở trên chúng tôi

nhận thấy có một câu hỏi mới cần được quan tâm: Việc dạy học khái niệm đạo hàm ở

Mặt khác để mối quan hệ liên môn với Vật lí được đảm bảo thì cần thiết phải hình thành hai đặc trưng cơ bản là tốc độ biến thiên và xấp xỉ, trong đó đặc biệt quan trọng là nghĩa tốc

độ biến thiên tức thời Vậy những nghĩa này có xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân

c ủa học sinh với đối tượng tri thức đạo hàm không? Để trả lời chúng ta cần một phân

tích về mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đạo hàm trong chương trình môn Toán ở

trường phổ thông nước ta hiện nay Bên cạnh đó, cũng cần phải tiến hành một thực nghi ệm để kiểm tra mối quan hệ cá nhân này

Những nghiên cứu trên sẽ là cơ sở để chúng tôi trả lời câu hỏi quan trọng: Liệu có sự

n ối khớp hợp lý giữa việc dạy học khái niệm đạo hàm trong nội bộ môn Toán với việc ứng dụng hiệu quả nó trong các khoa học khác mà đặc biệt là Vật lí ở trường phổ thông hay không? Nếu là không thì nhu cầu xây dựng một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm sao cho phù hợp hơn có lẽ là tất yếu

Trên tinh thần đó, chúng tôi đặt ra cho mình những câu hỏi nghiên cứu sau đây:

 Q1: Những đặc trưng của quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đạo hàm trong

th ể chế dạy học Toán và Vật lí ở trường phổ thông? Việc dạy học đạo hàm đã tính đến mối quan hệ liên môn với vật lí như thế nào?

 Q2: Mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm đạo hàm trong Toán và Vật

lí ? Nghĩa nào được hình thành trong phạm vi môn Toán, nghĩa nào tác động vào

vi ệc tiếp nhận các kiến thức vật lí

 Q3: Có hay không sự nối khớp hợp lý giữa việc dạy học khái niệm đạo hàm trong

ch ương trình Toán phổ thông với việc ứng dụng chúng trong dạy học vật lí?

Để trả lời những câu hỏi trên, việc nghiên cứu sự tồn tại của khái niệm đạo hàm trong hai thể chế dạy học toán và dạy học vật lí là điều không tránh khỏi Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ ký hiệu hai thể chế này lần lượt là I1 (thể chế dạy học vật lí lớp 10, 11, 12 theo chương trình hiện hành) và I2 (thể chế dạy học toán lớp 11, cũng theo chương trình hiện hành)

36

37

Mục tiêu của chương này là nhằm trả lời một phần của câu hỏi Q1: nghiên cứu mối quan h ệ thể chế của đối tượng tri thức đạo hàm trong thể chế dạy học vật lí Việc

nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi làm rõ được “cuộc sống” của đối tượng tri thức đạo hàm trong thể chế dạy học vật lí

Cụ thể hơn, nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi biết được đạo hàm đã xuất hiện ở

những đâu, ngầm ẩn hay tường minh? Nó tương tác thế nào với các tri thức khác, có vai trò

gì trong việc dạy học các khái niệm vật lí Và quan trọng hơn, trong thể chế này đạo hàm mang những đặc trưng cơ bản nào, đặc trưng nào cần thiết phải xuất hiện những lại đã không xuất hiện… Từ hiểu biết này, chúng ta có thể thấy rõ hơn những mong đợi mà thể

chế I1 đặt ra cho việc dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình toán phổ thông Nó

cũng là cơ sở để chúng tôi trả lời phần còn lại của câu hỏi Q1: Việc dạy học đạo hàm đã tính đến mối quan hệ liên môn với vật lí như thế nào? Đâu là những yêu cầu hay ràng

buộc để có thể đảm bảo cho mối quan hệ liên môn này được diễn ra hiệu quả

Chương 1 đã chỉ ra hai đặc trưng cơ bản của khái niệm đạo hàm: đặc trưng cho tốc độ

biến thiên và đặc trưng xấp xỉ Theo đó chúng tôi cũng nhận thấy rằng, trong chương trình

vật lí phổ thông công cụ đạo hàm được sử dụng với hai mục đích chính:

- Thước đo cho tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng2

27

- Giải thích các xấp xỉ

Chúng tôi sẽ phân tích những nơi mà đạo hàm đã xuất hiện trong chương trình vật lý

phổ thông ( lớp 10; 11; 12) cả hai ban cơ bản (CB) và nâng cao (NC) để làm rõ hai ứng

dụng này, đồng thời hướng sự chú ý vào nghĩa của đạo hàm xuất hiện trong thể chế I1 Một điểm cần lưu ý là trong phân phối chương trình môn toán thì đạo hàm chỉ được đưa vào

giảng dạy cuối năm lớp 11 Vì lí do đó mà việc sử dụng công cụ đạo hàm có thể được chia thành hai giai đoạn: Đưa vào một cách ngầm ẩn trong SGK Vật lí 10; 11 và sau đó là ứng

dụng một cách tường minh trong SGK Vật lí 12

2.1 S ử dụng đạo hàm ngầm ẩn trong SGK lớp 10 và 11

Ở thời điểm trước khi đạo hàm được giảng dạy, mỗi khi cần sử dụng công cụ này SGK

Vật lí thay thế nó bằng khái niệm tốc độ biến thiên tức thời

27 Chủ yếu là tốc độ biến thiên theo thời gian

38

Chẳng hạn, khi đưa vào các khái niệm như vận tốc, gia tốc… SGK đã xây dựng khái

niệm tốc độ biến thiên trung bình của một đại lượng và đạo hàm được đưa vào một cách

ngầm ẩn sau đó với ý nghĩa là tốc độ biến thiên tức thời của đại lượng này theo thời gian Chúng ta xem xét trước hết định nghĩa khái niệm vận tốc và gia tốc tức thời trong chương

“Xét vận tốc trung bình của chất điểm chuyện động thẳng trong khoảng thời gian từ t đến

t + ∆t Chọn ∆𝐭 rất nhỏ, nhỏ đến mức gần bằng 0… Khi đó vtbđặc trưng cho độ nhanh

chậm và chiều của chuyển động Ta có thể dùng vectơ vận tốc trung bình khi ∆t rất nhỏ để đặc trưng cho phương chiều, độ nhanh chậm của chuyển động và gọi đó là vecto vận tốc tức

thời tại thời điểm t…”

Như vậy, ý tưởng mà SGK muốn truyền tải ở đây là: khái niệm vận tốc trung bình đặc trưng cho tốc độ thay đổi trung bình của quãng đường trong khoảng thời gian ∆𝑡 Việc cho

∆𝑡 càng ngày càng nhỏ sẽ có thể đặc trưng cho tốc độ thay đổi tức thời (chính là vận tốc tức

thời) Do khái niệm giới hạn hàm số và sau đó là đạo hàm chưa được giảng dạy nên việc sử

dụng công cụ đạo hàm không thể đưa vào chính thức mà chỉ có thể thực hiện một cách

ngầm ẩn như trên

Về khái niệm gia tốc tức thời, đầu tiên gia tốc được định nghĩa là đại lượng “đặc trưng

cho độ biến đổi nhanh chậm” của vận tốc Tốc độ biến đổi trung bình này được xác định là

bằng thương số giữa độ biến đổi vận tốc và độ biến đổi thời gian v

t

∆

∆ Gia tốc tức thời được

hiểu ngầm ẩn là giới hạn của thương số này khi ∆𝑡 → 0 (bằng cách cho ∆t rất nhỏ đến mức

∆ là t ốc độ biến thiên của từ thông… Công thức xác định suất điện

động cảm ứng được viết dưới dạng sau: e c