khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Ngô Minh Đức KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Ngô Minh Đức KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người bỏ nhiều công sức hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tiếp đến, muốn gửi lời cảm ơn đến PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương Các Thầy Cô bỏ nhiều thời gian công sức giảng dạy, truyền thụ cho tri thức cần thiết quan trọng môn didactic Toán Ngoài ra, cảm ơn dẫn, giải thích PGS TS Annie Bessot, TS Alain Birebent giúp hiểu rõ chuyên ngành Những định hướng góp ý hai giáo sư điều quý giá bước đường nghiên cứu Tôi chân thành cảm ơn ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau đại học tạo thuận lợi giúp hoàn thành luận văn Cũng không nhắc đến tập thể lớp 12A3 trường Trung học Thực Hành Đại học Sư Phạm Cám ơn em tiết thực nghiệm đầy hào hứng thú vị Cuối cùng, xin gửi lời biết ơn từ tận đáy lòng đến người thân gia đình Ba mẹ em nguồn động lực lớn lao giúp vượt qua khó khăn suốt hành trình qua Ngô Minh Đức MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tổng quan số công trình liên quan đến khái niệm đạo hàm dạy học toán Việt Nam Hướng nghiên cứu đặt nhiệm vụ nghiên cứu Khung lý thuyết tham chiếu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 10 1.1 Lịch sử hình thành phát triển khái niệm đạo hàm 11 1.1.1 Thời kì chuẩn bị mầm mống nảy sinh (Thế kỉ 17 trở trước) 11 1.1.2 Newton, Leibniz giai đoạn phát minh đạo hàm (thế kỉ 17) 17 1.1.3 Giai đoạn mở rộng phát triển tính chất đạo hàm với thúc đẩy đến từ Vật lí (Thế kỉ 18) 24 1.1.4 Giai đoạn xây dựng sở lý thuyết chặt chẽ (thế kỉ 19) 29 1.2 Phát biểu câu hỏi nghiên cứu 34 CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC VẬT LÍ 37 2.1 Sử dụng đạo hàm ngầm ẩn SGK lớp 10 11 37 2.2 Đạo hàm SGK vật lí lớp 12 39 2.3 Vấn đề giải thích xấp xỉ xác hóa định luật vật lí 41 2.3.1 Các xấp xỉ hàm dùng vật lí 41 2.3.2 Chính xác hóa định luật vật lí 42 2.4 Kết luận phân tích thể chế I1 42 CHƯƠNG 3: KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN 44 3.1 Phân tích toán dẫn đến khái niệm đạo hàm 44 3.1.1 Sách giáo khoa chuẩn 11 (SGKC 11) 44 3.1.2 Sách giáo khoa 11 ban nâng cao (SGKNC 11) 47 3.2 Phân tích định nghĩa đạo hàm 47 3.3 Ý nghĩa Vật lí đạo hàm 48 3.3.1 Sách giáo khoa chuẩn 11 48 3.3.2 Sách giáo khoa nâng cao 11 49 3.4 Đặc trưng xấp xỉ đạo hàm 49 3.5 Kết luận cách xây dựng lý thuyết SGK 11 51 3.6 Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm 51 3.6.1 Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng tốc độ biến thiên 52 3.6.2 Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đặc trưng xấp xỉ 54 3.7 Kết luận phân tích thể chế I2 54 CHƯƠNG 4: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 56 4.1 Thực nghiệm thứ : tìm hiểu quan hệ cá nhân học sinh 56 4.1.1 Mục đích thực nghiệm 56 4.1.2 Đối tượng, hình thức nội dung thực nghiệm 56 4.1.3 Phân tích tiên nghiệm 56 4.1.4 Phân tích hậu nghiệm 59 4.1.5 Kết luận chung cho thực nghiệm 63 4.2 Thực nghiệm thứ hai: đồ án dạy học 64 4.2.1 Đối tượng mục đích thực nghiệm 64 4.2.2 Các toán thực nghiệm 64 4.2.3 Phân tích tiên nghiệm toán thực nghiệm 67 4.2.4 Dàn dựng kịch 72 4.2.5 Phân tích kịch 77 4.2.6 Phân tích hậu nghiệm 81 4.2.7 Kết luận cho đồ án dạy học 89 KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 PHỤ LỤC 95 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện có hai xu hướng dạy học toán: Xu hướng liên môn xu hướng mô hình hóa Dạy học theo hai xu hướng cách mang lại nghĩa cho kiến thức toán học, giúp học sinh nhận thấy ứng dụng hiệu toán học sống khoa học khác Nếu phải chọn ngành khoa học có nhiều liên hệ mật thiết với toán học có lẽ vật lí Tri thức toán học ứng dụng nhiều nghiên cứu vật lí, đặc biệt xét chương trình phổ thông đạo hàm khái niệm ứng dụng nhiều Về điểm ghi nhận kiện: Liên quan đến khái niệm đạo hàm, Sách giáo khoa Toán 12 đưa vào hai ứng dụng vật lí, công thức tính vận tốc gia tốc tức thời chất điểm: v(t ) = s '(t ) a (t ) = v '(t ) , s (t ) hàm số quãng đường chất điểm theo thời gian v(t ), a (t ) hàm số vận tốc gia tốc Sách giáo khoa đưa thêm vào công thức xác định cường độ dòng điện đạo hàm điện tích q : i (t ) = q '(t ) Tuy nhiên, ứng dụng đạo hàm vật lí phổ thông phong phú liệu học sinh có biết vận dụng khái niệm tình khác hay không? Nói rộng mối quan hệ liên môn dạy học toán vật lí liên quan đến khái niệm đạo hàm đảm bảo chưa? Việc đặt câu hỏi đặt xác đáng lẽ, khiến phải nhìn nhận lại việc dạy học khái niệm đạo hàm hợp lí hay chưa thời điểm mà quan điểm dạy học liên môn ngày trọng Ngay sau hàng loạt câu hỏi đặt ra: - Việc dạy học đạo hàm trường phổ thông phục vụ cho dạy học vật lí nào? - Đạo hàm mang nghĩa toán học vật lí? - Có hay không ngắt quãng hai phạm vi Giải tích Vật lí việc dạy học khái niệm đạo hàm? Những câu hỏi mở đầu dẫn vào hướng nghiên cứu đầy hấp dẫn lí để chọn cho luận văn thạc sĩ đề tài: “Khái niệm đạo hàm dạy học toán vật lí trường phổ thông” Tổng quan số công trình liên quan đến khái niệm đạo hàm dạy học toán Việt Nam • Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh Trong luận văn mình, tác giả tiến hành nghiên cứu khoa học luận nghiên cứu thể chế mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm để đến giả thuyết cho rằng: “Học sinh thiết lập mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm, đạo hàm xấp xỉ affine mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine không diện quan hệ cá nhân học sinh” Một thực nghiệm sau tác giả xây dựng chứng minh giả thuyết cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ quan điểm đại số thể chế dạy học Việt Nam làm cản trở hình thành tư tưởng xấp xỉ học sinh Đặc biệt, gây khó khăn cho học sinh việc chấp nhận mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine Chúng tìm thấy từ công trình này? Như phân tích mà trình bày chương sau luận văn, nghĩa quan trọng khái niệm đạo hàm đặc trưng xấp xỉ mà mặt hình học xấp xỉ đường cong hàm số tiếp tuyến Kết tác giả Bùi Thị Thu Hiền dù nghiên cứu Sách giáo khóa đợt chỉnh lý trước (2000) nguồn tham khảo quan trọng cho phân tích • Lê Anh Tuấn(2009), Một nghiên cứu Didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh Luận văn Lê Anh Tuấn lại cung cấp cho nghiên cứu thể chế liên quan đến khái niệm đạo hàm thể chế dạy học Toán Cụ thể hơn, tác giả tập trung phân tích định nghĩa, tổ chức toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm để đến số kết luận quy tắc hợp đồng Hai kết luận quan trọng mà tác giả là: - Định nghĩa đạo hàm có vai trò mờ nhạt cá nhân học sinh, mối quan hệ đạo hàm giới hạn hàm số nêu định nghĩa đạo hàm không tồn học sinh - Khi tính đạo hàm hàm số y = f ( x) điểm x = x0 định nghĩa, việc tính y '( x0 ) lim x → x0 f ( x) − f ( x0 ) ∆y lim x − x0 ∆x → ∆x chiếm ưu so với việc tính Hai quy tắc hợp đồng mà tác giả là: RE1: “Tính đạo hàm hàm số sử dụng công thức đạo hàm có” RE1: “Trong toán tìm đạo hàm hàm số, học sinh trách nhiệm kiểm tra hàm số cho có đạo hàm hay không mà việc tính đạo hàm” Trong luận văn này, dù tác giả không tập trung tìm hiểu đặc trưng khái niệm đạo hàm, nhiên nghiên cứu thể chế thực nguồn tham khảo quan trọng cho • Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic ∆x toán học vật lý, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh Thông qua lớp vỏ bọc kí hiệu hình thức ∆x xuất vật lí toán học, tác giả sâu phân tích tiến hành nghiên cứu thể chế liên quan đến khái niệm vi phân Trong thể chế Vật lí, tác giả đưa kết luận rằng: ∆x xuất vật lí chủ yếu đóng vai trò kí hiệu Kết phân tích thể chế dạy học toán lại ra: ∆x xuất với vai trò công cụ việc tính đạo hàm định nghĩa tính gần vi phân, nhiên theo tác giả vai trò công cụ ∆x toán học mờ nhạt Bên cạnh kết thực nghiệm tác giả cho thấy ∆x gắn với đối tượng vật lí học sinh hiểu đắn ý nghĩa đại lượng Như vậy, học sinh, ∆x sống gắn với mô hình vật lí Vì mối liên hệ mật thiết khái niệm đạo hàm vi phân, với vai trò số gia ∆x định nghĩa đạo hàm việc phân tích đối tượng hai thể chế dạy học toán vật lí đem đến cho nhiều tham khảo đáng quý Hướng nghiên cứu đặt nhiệm vụ nghiên cứu Điều quan tâm nghiên cứu việc giảng dạy khái niệm đạo hàm mối quan hệ liên môn với vật lí Rõ ràng điều cần tìm hiểu nghĩa đạo hàm toán vật lí, liệu khái niệm đạo hàm có đặc trưng đặc trưng đem đến ứng dụng lĩnh vực khác? Trả lời câu hỏi giúp nhận ràng buộc mà việc thõa mãn chúng tiền đề tạo phù hợp mối quan hệ liên môn mà đề cập Hướng tiến hành phân tích khái niệm đạo hàm hai thể chế dạy học toán vật lí, kết nghiên cứu giúp trả lời câu hỏi đặt từ ban đầu: Có hay không ngắt quãng hai phạm vi Giải tích Vật lí việc dạy học khái niệm đạo hàm? Nếu câu trả lời có rõ ràng việc dạy học khái niệm đạo hàm không đem đến nối khớp đảm bảo cho mối quan hệ liên môn với vật lí Trong hoàn cảnh đó, việc xây dựng đồ án dạy học khái niệm đạo hàm hợp lí nhiệm vụ quan trọng mà đặt cho Khung lý thuyết tham chiếu Để tìm sở cho nghiên cứu mình, vận dụng công cụ lý thuyết didactic toán Một cách rõ ràng hơn, muốn nói khái niệm thuyết nhân chủng học didactic toán, bao gồm: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức, khái niệm tổ chức toán học Ngoài ra, lý thuyết tình với khái niệm đồ án dạy học cần thiết cho Những khái niệm trình bày giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu tố Didactic Toán Bessot A tác giả, lại nhiều luận văn nhắc lại, nên không trình bày lại Phương pháp nghiên cứu Để đạt mục đích kể xác định cho phương pháp nghiên cứu tóm tắt sơ đồ sau: Nghiên cứu đặc trưng khoa học luận khái niệm đạo hàm Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy (Trong hai thể chế dạy học Toán Vật lí Việt Nam) Nghiên cứu thực nghiệm kiểm tra mối quan hệ cá nhân đồ án dạy học Làm rõ nối khớp đảm bảo mối quan hệ liên môn với vật lí Cấu trúc luận văn + Chương : Một điều tra khoa học luận khái niệm đạo hàm Chương đem lại hiểu biết đối tượng tri thức đạo hàm: Lịch sử hình thành tiến triển, đặc trưng mối quan hệ với vật lí Từ có thêm sở để đặt câu hỏi nghiên cứu có ý nghĩa + Chương : Khái niệm đạo hàm dạy học Vật lí Chương nghiên cứu sống đối tượng đạo hàm thể chế vật lí Nghiên cứu giúp hiểu rõ ứng dụng đạo hàm mong đợi mà thể chế Vật lí đặt cho việc dạy học khái niệm thể chế dạy Toán + Chương : Khái niệm đạo hàm dạy học Toán Chúng nghiên cứu mối quan hệ thể chế liên quan đến khái niệm đạo hàm thể chế dạy học Toán, từ tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh với khái niệm Mục đích chương chương nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi : nối khớp môn toán môn vật lí thực dạy học khái niệm đạo hàm + Chương 4: Thực nghiệm Chương bao gồm hai nghiên cứu thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhằm tìm kiếm yếu tố cho phép kiểm chứng (hay bác bỏ) giả thuyết (được hình thành từ nghiên nhóm thảo luận có nhóm đưa nhận xét khu vực gần điểm M đồ thị (C) tiếp tuyến ∆ gần trùng Đây đồ thị mà nhóm vẽ được: Tuy nhiên nhóm vẽ tương đối xác đồ thị này, phát cho nhóm phiếu có vẽ sẵn hai đồ thị kèm theo hình ảnh phóng to khu vực quanh lân cận tiếp điểm Lúc tất nhóm nhìn thấy cách trực quan mối quan hệ xấp xỉ mặt đồ thị, đưa nhận xét cho giá trị f ( x1 ) g ( x1 ) x1 tiến gần x0 Có điểm đáng lưu ý, hình vẽ đưa cho em có tô đậm khoảng cách hai giá trị f ( x) g ( x) với giá trị x tùy ý Có nhóm đưa nhận xét : “khi x tiến gần x0 khoảng cách hẹp”, “ x1 tiến dần tới x0 hiệu số f ( x1 ) g ( x1 ) nhỏ dần tới Minh họa đồ thị ta thấy hai đường ngày gần trùng ” 86 Pha 5’ Nhờ lí hình thành tư tưởng xấp xỉ giá trị hàm số giá trị hàm tiếp tuyến gần tiếp điểm pha 5, pha tất nhóm sử dụng Stieptuyen để giải câu d toán cho kết phù hợp Như phân tích chương trước, công thức tính gần vi phân xuất mờ nhạt em nên chiến lược Sgầnđúng không xuất Chiến lược tính máy tính bị ngăn cản việc tất nhóm sử dụng Stieptuyen bối cảnh mối quan hệ xấp xỉ hàm số tiếp tuyến quanh lân cận tiếp điểm hình thành với mong đợi Pha Ở hoạt động 6, trước bắt đầu nhấn mạnh ∆x lượng bé nên x1= x0 + ∆x nằm gần x0 Hoạt động pha 5’ tạo định hướng hợp lí có đến nhóm tìm công thức xấp xỉ f ( x1 ) ≈ f '( x0 )∆x + f ( x0 ) 87 Lúc này, giáo viên đưa câu hỏi b toán : “Hàm số f ( x) phải có điều kiện thiết lập biểu thức tính gần này?” Chỉ có học sinh giơ tay phát biểu, sau nội dung đoạn đối thoại giáo viên với học sinh : Hs : Thưa Thầy, em nghĩ hàm số f ( x) cần phải xác định thiết lập biểu thức gần Gv : Xác định đâu, x1 hay x0 ? Hs : Dạ hai Gv : Tại lại cần phải xác định hai giá trị ? Hs : (suy nghĩ…) Dạ công thức có f ( x1 ) f ( x0 ) nên giá trị phải xác định Gv : Theo em nói, công thức gần xuất thêm đại lượng khác không ? Hs : À quên, có f '( x0 ) Vậy phải xác định f '( x0 ) Gv : Nhưng đạo hàm hàm số có phải tồn không, có trường hợp hàm số đạo hàm không ? Một học sinh khác : Hàm x đạo hàm Gv : Vậy rõ rồi, để thiết lập công thức tính gần điều kiện quan trọng hàm số phải có đạo hàm x0 Pha làm xuất ý tưởng xấp xỉ hàm số tiếp tuyến nó, xấp xỉ thật tạo bước nhảy thông tin nhờ học sinh vận dụng để xấp xỉ số xây dựng lại công thức xấp xỉ xuất vi phân SGK 11 Pha Kết thu không dự đoán chúng tôi, có nhóm sử dụng chiến lược Sđại số nhóm lại sử dụng chiến lược Stiếp tuyến để giải thích xấp xỉ Dù hoạt động trước xây dựng công thức tính gần tổng quát điều thú vị em lại không sử dụng chiến lược Sgần Thay vào đó, 88 em lại tìm phương trình tiếp tuyến x0 = xấp xỉ hàm hàm tiếp tuyến điểm Từ kết này, nhận : Công thức tính gần xuất “Vi phân” SGK 11 khó hình thành quan niệm em, lẽ hiểu đầy đủ công thức xấp xỉ hàm số Tuy nhiên, cách xây dựng mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine, tức xấp xỉ hàm số hàm tiếp tuyến lân cận tiếp điểm, em hoàn toàn hiểu nghĩa xấp xỉ đạo hàm ứng dụng để giải thích xấp xỉ xuất vật lí 4.2.7 Kết luận cho đồ án dạy học Thực nghiệm kiểm chứng mối quan hệ cá nhân cho thấy hai đặc trưng đạo hàm không xuất học sinh, nhiệm vụ đặt cho đồ án hình thành hai đặc trưng thiếu Đối với buổi thứ nhất, tạo tình phá vỡ hợp đồng tốc độ biến thiên trung bình tốc độ biến thiên tức thời Bằng việc tạo điều kiện hợp lí, giúp học sinh điều chỉnh lại mối quan hệ cá nhân xây dựng đặc trưng quan thứ khái niệm đạo hàm : đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời Trong buổi thứ hai,chúng thiết lập mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine thông qua quan sát đồ thị Kết thực nghiệm cho thấy rõ từ lúc mối quan hệ thiết lập học sinh dễ dàng sử dụng để tính gần giá trị 89 hàm xây dựng công thức xấp xỉ tổng quát học “Vi phân” chương trình SGK 11 Một điều quan trọng thấu hiểu nghĩa tốc độ biến thiên nghĩa xấp xỉ, học sinh vận dụng thành công nhiều ứng dụng khác chương trình vật lí phổ thông Không hiểu vai trò công cụ đạo hàm tình liên quan đến tốc độ biến thiên mà sử dụng đặc trưng xấp xỉ để giải thích công thức gần gặp vật lí Những điều sở phép tin đồ án dạy học mà xây dựng thu kết tốt hoàn toàn triển khai dự án dạy học khái niệm đạo hàm sau 90 KẾT LUẬN Việc điều tra khoa học luận chương giúp xác định hai đặc trưng khái niệm đạo hàm đặc trưng tốc độ biến thiên đặc trưng xấp xỉ, với vai trò hai đặc trưng ứng dụng vật lí Phân tích thể chế I1 chương lại cho thấy ràng buộc mà thể chế yêu cầu việc dạy học khái niệm đạo hàm chương trình toán phổ thông muốn đảm bảo cho mối quan hệ liên môn diễn hợp lí Ở thể chế I1 , đạo hàm diện với nghĩa tường minh thước đo cho tốc độ biến thiên đại lượng theo thời gian việc hình thành nghĩa rõ ràng điều bắt buộc phải thực Thêm vào đó, thể chế I1 xuất xấp xỉ hàm mà việc giải thích chúng trông cậy vào đặc trưng xấp xỉ Trong chương 3, tiếp tục phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm đạo hàm I2 Kết phân tích cho thấy rằng, tư tưởng tốc độ biến thiên có ngầm diện toán mở đầu hình thành khái niệm Nhưng sau không nhấn mạnh, đặc biệt thiếu tập quan điểm tác động Chúng đặt giả thuyết : nghĩa tốc độ biến thiên hoàn toàn không xuất mối quan hệ cá nhân em học sinh Theo kết nghiên cứu tác giả trước mối quan hệ đạo hàm xấp xỉ affine không hình thành quan hệ cá nhân học sinh nên nghĩa xấp xỉ xuất Các giả thuyết kiểm nghiệm lại thực nghiệm thứ chương Thực nghiệm làm rõ mối quan hệ cá nhân học sinh khái niệm đạo hàm, kết thu rằng, hai đặc trưng không xuất Điều cho thấy việc dạy học khái niệm đạo hàm thể chế I2 không tạo nối khớp với I1, nhìn nhận quan điểm liên môn Trong thực nghiệm thứ hai, xây dựng đồ án dạy học khái niệm đạo hàm làm xuất hai đặc trưng thiếu Công việc giúp cho việc hiểu khái niệm thêm sâu sắc đầy đủ mà xét quan điểm liên môn nhiệm vụ quan trọng Nắm vững hai đặc trưng bản, em vận dụng công cụ đạo hàm cách linh hoạt hiệu nhiều tính khác đặc biệt việc học tập môn vật lí trường phổ thông 91 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2003), Đề tài nghiên cứu khoa học cấp “Vai trò phân tích khoa học luận lịch sử toán học nghiên cứu thực hành dạy – học môn Toán, TP Hồ Chí Minh Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những vấn đề Didactic Toán, Nxb Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2007), Bài tập Đại số giải tích 11- Nâng cao, NXB Giáo dục Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn Lê Anh Vũ (1998), Toán cao cấp Tập 1, Nxb Giáo dục Lê Sĩ Đồng (2007), Toán cao cấp phần giải tích (dùng cho sinh viên ngành Kinh tế, Tài chính, Ngân hàng), Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh (2008), Giải tích 12-Nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2008), Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục 10 Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thủy Thanh (2000), Phép tính vi phân tích phân hàm biến, Nxb ĐHQG Hà Nội 11 Nguyễn Duy Tiến (2004), Bài giảng giải tích tập I, Nxb ĐHQG Hà Nội 12 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2008), Toán học cao cấp, tập 2, Nxb Giáo dục 13 Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh, Dương Thúy Vỹ (2008), Giáo trình toán học cao cấp Tập 1, dùng cho sinh viên trường cao đẳng, Nxb Giáo dục 14 Nguyễn Đình Trí (1995), Toán học cao cấp, tập - Giải tích, dùng cho sinh viên trường đại học kĩ thuật, Nxb Giáo dục 93 15 Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu didactic ∆x toán học vật lý, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 16 Lê Anh Tuấn(2009), Một nghiên cứu Didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh 17 Carl Boyer (1959), History of the Calculus and Its Conceptual Development, Dover, New York 18 David B Johnson, Thomas A Mowry (2004), Mathematics: A Practical Odyssey, Chapter 13, Cengage Learning 19 Giovanni Ferraro (2010), Some mathematical aspects of Newton’s Principia , pp.3 20 James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole 21 Judith V Grabiner, (1983), The changing concept of change: The Derivative from Fermat to Weierstrass, Mathematics Magazine, University of California, Los Angeles 22 Judithv Grabiner (1981), The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus, Dover, New York 23 Margaret Baron (1987), Origins of the Infinitesimal Calculus, New York 24 Morris Kline (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University press, New York 25 Saul Stahl (2011), Real Analysis: A Historical Approach, pp.261-262 94 PHỤ LỤC Phụ lục 1: Phiếu câu hỏi đồ án dạy học PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Thông báo: Khái niệm “tốc độ biến thiên” đại lượng xuất nhiều Vật lý Chúng ta nhắc lại khái niệm tốc độ biến thiên trung bình hàm số sau: Cho hàm số y = f ( x) Khi đối số x thay đổi giá trị từ x1 đến y = f (x) giá trị hàm số thay đổi từ x đến x tương ứng Tốc độ biến thiên trung bình hàm số định nghĩa tỉ số: x2 Trong trường hợp hàm số tăng (đồng biến) gọi tốc độ biến thiên tốc độ tăng Bài toán 1: Một bình nuôi cấy vi sinh vật giữ nhiệt độ 00 C Tại thời điểm t = người ta cung cấp nhiệt cho Nhiệt độ bình bắt đầu tăng lên ước tính hàm số sau: f (t ) =(t − 1)3 + ( C ) ( 00 nhiệt độ bình nuôi cấy thời điểm t ) a Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình bình nuôi cấy khoảng thời gian từ lúc t0 = 0,5s đến thời điểm t sau giây ( ∆t = t − t0 = ) ? b Tính tốc độ tăng nhiệt độ trung bình bình nuôi cấy khoảng thời gian từ lúc t0' = 1, 25s đến thời điểm t ' sau giây ( ∆t =1 ) ? c Tại hai thời điểm t0 = 0,5s t0' = 1, 25s , theo dự đoán em thời điểm nhiệt độ bình nuôi cấy tăng nhanh hơn? 95 PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Bài toán Vẽ đồ thị hàm số f (t ) =(t − 1)3 + xuất toán Từ đồ thị vẽ so sánh xem hai thời điểm t0 = 0,5 t0 ' = 1, 25 , thời điểm hàm số f (t ) tăng nhanh hơn? Nhận xét: ……………………… 96 PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Bài toán a Tìm khoảng thời gian ∆t sau thời điểm t0 = 0,5 khoảng thời gian ∆t ' sau thời điểm t0' = 1, 25 để tốc độ tăng nhiệt độ trung bình khoảng thời gian thứ trở nên lớn khoảng thời gian thứ hai (thay nhỏ ta chọn ∆t =∆t ' =1 trên)? b Các khoảng thời gian ∆t cần phải chọn để tốc độ trung bình khoảng thời gian mô tả xác tốc độ tức thời thời điểm xét ? PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG VẬT LÍ Ứng dụng 1: - Vận tốc tốc độ biến thiên quãng đường theo thời gian Gia tốc tốc độ biến thiên vận tốc theo thời gian Cho hàm số quãng đường chất điểm chuyển động theo thời gian s = s (t ) Công thức xác định vận tốc gia tốc tức thời chất điểm là: ………………………………………………………………… Ứng dụng 2: Định nghĩa sau trích dẫn “Định luật Fa-ra-đây cảm ứng điện từ” SGK vật lí 11 NC (Tr.186) “…độ lớn suất điện động cảm ứng mạch kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên từ thông qua mạch… Nếu khoảng thời gian ∆t đủ nhỏ, từ thông qua mạch biến thiên lượng ∆Φ ∆Φ tốc độ biến thiên từ thông… Công thức xác định suất điện động cảm ứng viết ∆t dạng sau: ec = − ∆Φ ” ∆t Hãy xác hóa công thức tìm suất điện động cảm ứng ec : ………………………………………………………………… Ứng dụng 3: 97 SGK Vật lí 11 định nghĩa cường độ dòng điện i = ∆q với ∆t bé Hãy xác hóa công ∆t thức tìm cường độ dòng điện: ………………………………………………………………… PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Bài toán Cho hàm số = y f= ( x) x có đồ thị (C) d Hãy viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C) điểm có hoành độ x0 = e Vẽ đồ thị (C) tiếp tuyến ∆ hệ trục tọa độ 98 PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Dưới hình phóng to đồ thị (C) tiếp tuyến ∆ quanh lân cận tiếp điểm x0 = Câu hỏi: Nếu xét lân cận nhỏ xung quanh điểm M, nhận xét đồ thị (C) tiếp tuyến ∆ Nếu gọi phương trình tiếp tuyến y = g ( x) xét điểm x1 nằm gần x0 = Hãy nhận xét hai giá trị: f ( x1 ) g ( x1 ) ? 99 PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Câu hỏi: Cho giá trị x1 = 1, 0001 (là điểm nằm gần x0 = ) Không sử dụng máy tính bỏ túi (đặc biệt không dùng công cụ tính bậc hai), tìm cách tính gần giá trị f ( x1 ) ? …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Bài toán: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm x0 Cho ∆x lượng bé (nghĩa đặt x1= x0 + ∆x x1 nằm gần x0 ) x1 ) f ( x0 + ∆x) ? c Hãy thiết lập công thức để tính gần giá trị f (= d Hàm số f ( x) phải có điều kiện thiết lập biểu thức tính gần này? ………………………………………………………………………………………… PHIẾU THỰC NGHIỆM Tên nhóm: ……………………… Bài toán: Khi x nhỏ (x gần 0), giải thích xấp xỉ sau (xuất chương trình Vật lý phổ thông): c 1+ x ≈ 1+ x d sin x ≈ x ” ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… 100 [...]... hiện ở chương 3) về mối quan hệ cá nhân của học sinh liên quan đến khái niệm đạo hàm Thực nghiệm thứ hai triển khai một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm nhằm đảm bảo mối quan hệ liên môn với vật lí 9 CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Dòng chảy lịch sử hình thành và phát triển của giải tích nói chung và khái niệm đạo hàm nói riêng đã kéo dài hơn 200 năm với rất nhiều gập ghềnh và. .. dụng đạo hàm như một công cụ giải quyết một bài toán cụ thể (dù rằng lúc đó đạo hàm vẫn chưa xuất hiện) Sau đó thì khái niệm đạo hàm được phát minh, và rồi, nhiều tính chất của đạo hàm được giải thích và phát triển trong các ứng dụng cả cho toán học và vật lý Cuối cùng, một định nghĩa nghiêm ngặt được đưa ra và khái niệm đạo hàm được lồng vào một lý thuyết chặt chẽ (Judith V Grabiner, 1983), tr.195) Trong. .. ràng và hoàn thiện Thỉnh thoảng có ý kiến cho rằng ý tưởng về đạo hàm được thúc đẩy từ các bài toán đến từ Vật lí 11 Và mặc dù Vật lí cung cấp sự chuẩn bị cho những đặc trưng sau này của đạo 0F 1 hàm (tốc độ biến đổi) và giúp đưa vào toán học khái niệm về sự biến thiên nhưng thật ra, trong giai đoạn khơi nguồn này thì sự ra đời của đạo hàm có động lực chủ yếu đến từ các bài toán hình học Bài toán đầu... cái nhìn mang tính vật lí Trong đó ông hiểu đạo hàm như là tốc độ biến thiên của các đại lượng theo “thời gian”, quan niệm này đã thể hiện một đặc trưng quan trọng của khái niệm đạo hàm: Nó chính là thước đo tốc độ biến thiên cho một 23 đại lượng và đặc trưng này cũng mở đường cho những ứng dụng phong phú và đa dạng của đạo hàm trong Vật lí và các khoa học khác Vì lý do thiếu một cơ sở vững chắc (lý thuyết... Ở đây, H là một hàm số theo x và h mà sẽ tiến đến 0 cùng với h Lagrange đã tìm ra được một trong những đặc trưng quan trọng nhất của khái niệm đạo hàm, từ đặc trưng này ông đã xây dựng một bất đẳng thức tương ứng và sau này trở thành một gợi ý quan trọng cho Cauchy trong nỗ lực xây dựng cho đạo hàm một cơ sở chặt chẽ Kết luận cho giai đoạn này Trong quá trình tiến triển của khái niệm đạo hàm, vật lí. .. cực trị và tiếp tuyến, tiếp theo đó Newton và Leibniz độc lập phát minh ra đạo hàm trong vai trò là một khái niệm cơ bản của giải tích Sau giai đoạn này mặc dù vẫn chưa có cơ sở chặt chẽ và nhiều điểm mơ hồ, nhưng khái niệm đạo hàm vẫn được mở rộng và phát triển cùng với các ứng dụng tuyệt vời của nó trong toán học lẫn trong vật lý nhờ công lao của các nhà toán học thế kỉ 18 mà nổi bật nhất chính là Euler... biệt và hoàn toàn không dùng đến ý niệm về sự “tiến dần đến” trong định nghĩa này Ngoài ra Weierstrass còn phát hiện được một hàm số liên tục ở khắp nơi nhưng lại không có đạo hàm ở điểm nào Điều này đã cho thấy các nhà toán học trong giai đoạn này đã nắm vững các khái niệm về đạo hàm, về giới hạn và sự tồn tại của giới hạn rõ ràng như thế nào Tổng kết Lịch sử hình thành và tiến triển của khái niệm đạo. .. '''( x) f ''( x) và r ( x) = … 24 3! 2! 23F Định nghĩa mới mẻ này về đạo hàm đã giải phóng đạo hàm khỏi những quan niệm hạn chế trước đó: Từ việc Newton giải thích đạo hàm như là tốc độ biến thiên liên quan đến khái niệm chuyển động trong toán học đến Leibniz khi ông xem đạo hàm như là tỉ số của hai vi phân, được hiểu là thương của hai số gia vô cùng bé Đạo hàm bây giờ là một hàm số, đạo Phương pháp... của vật lí, Newton đã mang lại cho đạo hàm một đặc trưng rất trực quan và hữu ích: Đạo hàm là thước đo tốc độ biến thiên của một đại lượng Quan niệm này đã mở đường cho những ứng dụng ồ ạt, mạnh mẽ và vô cùng hiệu quả của đạo hàm nói riêng và giải tích nói chung trong việc giải quyết nhiều vấn đề vật lí khác nhau Thế kỉ 18 ghi dấu thời kì hoàng kim của việc ứng dụng giải tích trong nghiên cứu vật lí. .. Cauchy lần đầu tiên đã đưa ra một cách quan niệm mới rõ ràng và mạnh mẽ về khái niệm đạo hàm Về thực chất, Cauchy cũng định nghĩa đạo hàm theo quan điểm như các nhà toán học đi trước đó là xem đạo hàm như là một giới hạn của tỉ số các vi phân Điểm khác biệt quan trọng là ở cách hiểu rõ ràng và chính xác của ông về khái niệm giới hạn, cụ thể Cauchy định nghĩa đạo hàm của f ( x) như là một giới hạn, khi ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Ngô Minh Đức KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số:... đạo hàm mong đợi mà thể chế Vật lí đặt cho việc dạy học khái niệm thể chế dạy Toán + Chương : Khái niệm đạo hàm dạy học Toán Chúng nghiên cứu mối quan hệ thể chế liên quan đến khái niệm đạo hàm. .. cứu đầy hấp dẫn lí để chọn cho luận văn thạc sĩ đề tài: Khái niệm đạo hàm dạy học toán vật lí trường phổ thông Tổng quan số công trình liên quan đến khái niệm đạo hàm dạy học toán Việt Nam •