tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong dạy học toán ở lớp 11

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Thanh Huyền TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Thanh Huyền TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở LỚP 11 Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu Bởi cô dù bận cố gắng hướng dẫn, giúp đỡ từ ngày đầu làm luận văn Cô giúp xác định hướng cho góp ý quý báu để luận văn hoàn thiện Tôi xin cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS.Vũ Như Thư Hương, TS.Nguyễn Thị Nga, TS.Trần Lương Công Khanh, TS.Lê Thái Bảo Thiên Trung dạy Didactic Toán, Lịch sử toán học, Tin học thú vị bổ ích Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho học viên hoàn thành năm học Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Trung học phổ thông Võ Minh Đức, tỉnh Bình Dương thầy cô tổ môn Toán trường tập thể học sinh lớp 11A2 năm học 2013 – 2014 nhiệt tình giúp đỡ hoàn thành thực nghiệm Tôi xin cảm ơn tập thể lớp Lý luận phương pháp dạy học môn Toán khóa 23, đặc biệt bạn Huỳnh Thị Kim Huệ động viên giúp đỡ mặt tinh thần trình làm luận văn Cuối cùng, xin gửi tới mẹ chị biết ơn sâu sắc bên suốt quãng thời gian vừa qua Xin cảm ơn mẹ chị ủng hộ vô điều kiện, giúp đỡ trình làm luận văn Một lần xin chân thành cảm ơn tất quý thầy cô, bạn bè, người thân bên cạnh lúc khó khăn suốt hai năm vừa qua Dương Thanh Huyền MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU Chương MỘT VÀI QUAN ĐIỂM VỀ TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM 1.1 Những quan điểm khác tiếp tuyến 1.2 Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm 13 1.3 Kết luận chương 15 Chương TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11 17 2.1 Tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm sách toán Mỹ 17 2.2 Tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm sách giáo khoa toán 11 Việt Nam 30 2.3 Kết luận chương 40 Chương THỰC NGHIỆM 42 3.1 Mục đích đồ án didactic 42 3.2 Đối tượng, nội dung thực nghiệm 42 3.3 Kịch dạy học 43 3.4 Phân tích tiên nghiệm 45 3.5 Phân tích hậu nghiệm 53 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 PHỤ LỤC DANH MỤC VIẾT TẮT E: Sách tập Đại số Giải tích 11 ban THCS: Trung học sở THPT: Trung học phổ thông Tr.: Trang M: Sách Precalculus with limits M1: Sách Đại số Giải tích 11 ban M2: Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 ban Nxb: Nhà xuất SGK CL : Sách giáo khoa chỉnh lí hợp năm 2000 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Tóm tắt kiểu nhiệm vụ M 23 Bảng 2.2 Thống kê số lượng tập liên quan đến tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm M 30 Bảng 2.3 Tóm tắt kiểu nhiệm vụ M E 36 Bảng 2.4 Thống kê số lượng tập liên quan đến tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm M E 40 Bảng 3.1 Thống kê câu trả lời học sinh toán thực nghiệm 53 Bảng 3.2 Thống kê chiến lược giải nhóm toán thực nghiệm 54 Bảng 3.3 Thống kê câu trả lời học sinh toán thực nghiệm 55 Bảng 3.4 Thống kê chiến lược giải nhóm toán thực nghiệm 57 Bảng 3.5 Các chiến lược giải nhóm toán thực nghiệm 59 Bảng 3.6 Các chiến lược giải học sinh toán thực nghiệm 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài câu hỏi xuất phát Trong luận văn tốt nghiệp đại học “Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm” tác giả Trần Vũ Đức rằng: “Cách tổ chức kiến thức liên quan tới khái niệm tiếp tuyến THPT khó cho phép học sinh điều chỉnh quan niệm tiếp tuyến có bậc THCS, mà góp phần củng cố thêm biểu tượng sai lệch tiếp tuyến với đường cong tổng quát Cụ thể hơn, kiến thức tiếp tuyến đường tròn có ảnh hưởng sâu sắc đến quan niệm sau học sinh tiếp tuyến đường cong tổng quát, khái niệm tiếp tuyến thức giảng dạy” (Trần Vũ Đức (2004), tr.53) Nghiên cứu tác giả Trần Vũ Đức đặt thể chế Sách giáo khoa chỉnh lí hợp năm 2000 Với thay đổi sách vào năm 2008, tò mò liệu thay đổi sách giáo khoa có giúp học sinh nhận thấy khác quan niệm tiếp tuyến bậc trung học sở quan niệm tiếp tuyến mà học sinh học bậc trung học phổ thông hay không? Chính tò mò thúc tiến hành nghiên cứu ban đầu cách đặt câu hỏi “Theo em, tiếp tuyến gì?” cho học sinh lớp 12 Nhưng câu trả lời mà nhận không thay đổi so với kết tác giả TrầnVũ Đức ghi nhận năm 2004: Tiếp tuyến đường thẳng “tiếp xúc” với đường cong, đường tròn hay đồ thị “một điểm nhất” Chúng tự hỏi, với thay đổi sách vào năm 2008, học sinh biết đến khái niệm tiếp tuyến theo quan điểm Descartes Liệu có hay không thay đổi cách giới thiệu khái niệm tiếp tuyến cho học sinh trung học phổ thông sách giáo khoa so với sách giáo khoa năm 2000? Và liệu cách giới thiệu này, có, có giúp học sinh thay đổi quan niệm: “Tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc đường tròn điểm nhất” tiếp thu bậc trung học sở không? Trong luận văn này, dùng cách nói “tiếp tuyến theo quan điểm Descartes” để nhắc đến “tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm nhất”, “tiếp tuyến theo quan điểm Fermat” để đề cập đến “tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến”, cuối “tiếp tuyến theo quan điểm Barrow” để “tiếp tuyến đường thẳng “xấp xỉ” với đường cong lân cận tiếp điểm” Bên cạnh đó, nhắc đến khái niệm tiếp tuyến, không nhắc đến khái niệm đạo hàm, luận văn thạc sĩ “Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm – nghiên cứu khoa học luận sư phạm” năm 2007 tác giả Bùi Thị Thu Hiền nói: “Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến gắn với khái niệm đạo hàm” (Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.1) Từ đó, câu hỏi khác đặt ra: Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm sách giáo khoa hành trình bày nào? Sách giáo khoa khai thác mối quan hệ này? Chính lí thúc chọn nghiên cứu, tìm hiểu đề tài:“Tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm dạy học toán lớp 11” Tổng quan công trình nghiên cứu hướng nghiên cứu 2.1 Các quan điểm khái niệm tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm Tác giả Trần Vũ Đức (2004) tổng hợp quan điểm khác khái niệm tiếp tuyến + Tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm + Phương chuyển động điểm vạch nên đường cong tiếp tuyến đường cong vị trí điểm + Tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến + Tiếp tuyến đường thẳng xấp xỉ với đường cong lân cận tiếp điểm Chúng trình bày chi tiết quan điểm chương Về mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) nghiên cứu kết luận sau: “Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm xuất tường minh Đặc trưng mối quan hệ là: “hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm” […] Như vậy, mối liên hệ đạo hàm, tiếp tuyến xấp xỉ affine thiết lập tường minh: “hàm số 𝑓𝑓(𝑥𝑥) có đạo hàm 𝑎𝑎 xấp xỉ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) hàm affine tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ 𝑎𝑎”.” (Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.18) 2.2 Các kết nghiên cứu thể chế dạy học Chúng xin tóm tắt lại kết nghiên cứu thể chế dạy học khái niệm tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm tác giả: Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm dạy học toán vật lý trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Trần Vũ Đức (2004), Khái niệm tiếp tuyến – Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn tốt nghiệp, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm – Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh  Giai đoạn sách giáo khoa chỉnh lí hợp năm 2000 Theo tác giả Trần Vũ Đức (2004) SGK CL lựa chọn quan điểm để trình bày khái niệm tiếp tuyến: + Tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm + Tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến Cụ thể, khái niệm tiếp tuyến SGK CL trình bày thông qua tiếp tuyến với đường tròn, sau với đường parabol, cuối với đường cong tổng quát Về kiểu nhiệm vụ, tác giả Trần Vũ Đức kết luận rằng: “[…], đặc trưng “tiếp xúc điểm” “có hệ số góc đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm” nhấn mạnh hơn, đặc trưng “là vị trí giới hạn cát tuyến” không xuất cách tường minh […] Trong phần tập SGK không yêu cầu học sinh vẽ tiếp tuyến Người ta xoay quanh vấn đề chất đại số liên quan tới phương trình (tìm hệ số góc, viết phương trình,…” (Trần Vũ Đức (2004), tr.37) Tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) sau phân tích SGK CL sách thí điểm ban khoa học tự nhiên rút kết luận sau: + Sách giáo khoa đưa vào khái niệm tiếp tuyến theo hai quan điểm: Tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm Và tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến Về quan điểm xem tiếp tuyến đường thẳng xấp xỉ với đường cong lân cận tiếp điểm tác giả kết luận: “Tiếp tuyến lần đưa vào theo quan điểm giải tích […] Ngoài ra, khái niệm đưa vào nối khớp với khái niệm tiếp tuyến THCS Đạo hàm đóng vai trò công cụ cho việc tìm tiếp tuyến […] Đạo hàm công cụ để xấp xỉ hàm số hàm affine mối quan hệ tiếp tuyến xấp xỉ affine không đề cập” (Bùi thị Thu Hiền (2007), tr.56) + Sách giáo khoa xây dựng mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm: “Đặc trưng mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm thiết lập: “hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm”.” (Bùi Thị Thu Hiền (2007), tr.45)  Giai đoạn sách giáo khoa hành Tác giả Ngô Minh Đức (2013) tiến hành nghiên cứu đạo hàm dạy học toán vật lí rằng: “Ý nghĩa hình học đạo hàm hệ số góc tiếp tuyến lại trình bày tách rời với đặc trưng xấp xỉ Công thức (*) để tính gần không xây dựng qua đường xấp xỉ hình học mà lại từ định nghĩa đạo hàm theo giới hạn.” (Ngô Minh Đức (2013), tr.55) Tuy nhiên tác giả Trần Vũ Đức phân tích dựa sách giáo khoa chỉnh lí hợp năm 2000 Tác giả Trần Vũ Đức tập trung chủ yếu vào quan điểm khái niệm tiếp tuyến Mối quan tiếp tuyến đạo hàm chưa tác giả quan tâm sâu sắc Công thức (*): 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 )∆𝑥𝑥 Điểm khác biệt câu hỏi câu hỏi tác giả Trần Vũ Đức câu hỏi 2, tiếp tuyến có vẽ đoạn ngắn phạm vi xung quanh tiếp điểm, có kéo dài Trong đó, khóa luận tác giả Trần Vũ Đức, hình, tiếp tuyến kéo dài vậy, tác giả nhấn mạnh vào đặc trưng tiếp tuyến cắt đường cong nhiều điểm Như biết, học sinh tiếp xúc trước tiên với tiếp tuyến theo quan điểm Descartes: Tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường tròn điểm Sau đó, sang đến lớp 11 học sinh tiếp xúc với quan điểm Fermat, Barrow Chúng tự hỏi rằng: Quan điểm Fermat đề cập tiếp tuyến đường cong vị trí giới hạn cát tuyến, quan điểm Barrow xuất ngầm ẩn qua công thức tính gần 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 )∆𝑥𝑥 Vậy liệu với quan điểm xem tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường tròn điểm học trước có cho phép học sinh phát tính chất giao nhiều điểm với đường cong tiếp tuyến hay không? Hay học sinh chịu ảnh hưởng quan điểm Descartes coi tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong tổng quát điểm? Đây lí câu hỏi lựa chọn kéo dài tiếp tuyến để tiếp tuyến giao với đường cong nhiều điểm, vẽ tiếp tuyến phạm vi xung quanh tiếp điểm Mục đích kiểm tra xem học sinh kết luận đường thẳng 𝑑𝑑 hay kéo dài đường thẳng 𝑑𝑑 kiểm tra xem 𝑑𝑑 đường cong có điểm chung? Đồng thời, muốn xem trường hợp tiếp tuyến vẽ ngắn khoảng nhỏ xung quanh tiếp điểm trường hợp kéo dài câu trả lời học sinh có khác Tiếp theo cho học sinh làm toán 3, ý đồ kiểm tra học sinh vận dụng đạo hàm để giải toán xác định tiếp tuyến không, hay dựa vào trực giác quan điểm “tiếp xúc điểm” để xác định tồn tiếp tuyến với đường cong điểm Qua toán thấy học sinh có nhận quan điểm Barrow tiếp tuyến từ công thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 )∆𝑥𝑥 hay không Học sinh trả lời giải toán bổ sung vào điều kiện hay tìm phương án để giải toán với kiện đề cho a Biến didactic biến tình  Biến V : Tiếp tuyến vẽ nào? Ở câu hỏi 2, nói trên, muốn kiểm tra xem học sinh loại bỏ đặc trưng tiếp xúc điểm tiếp tuyến hay chưa Do đó, này: + Có hình không kéo dài tiếp tuyến, mà vẽ tiếp tuyến khoảng nhỏ xung quanh tiếp điểm – nhấn mạnh với học sinh đường thẳng 𝑑𝑑 có tiếp xúc với đường cong Và từ quan sát xem học sinh kết luận đường thẳng 𝑑𝑑, học sinh có kéo dài đường thẳng 𝑑𝑑 để kiểm tra số giao điểm 𝑑𝑑 với đường cong không? + Có hình kéo dài tiếp tuyến học sinh thấy đường thẳng 𝑑𝑑 tiếp điểm điểm chung khác với đường cong Chúng muốn xem hai trường hợp học sinh cho trường hợp tiếp tuyến nhiều Từ cho phép đánh giá quan điểm Descartes tiếp tuyến – quan điểm mà học sinh tiếp xúc từ sớm – ảnh hưởng mạnh mẽ đến việc nhìn nhận tiếp tuyến học sinh  Biến V : Số giao điểm tiếp tuyến với đường cong toán Trong toán 3, với mục đích kiểm tra học sinh loại bỏ quan điểm “tiếp xúc điểm” hình học sơ cấp chưa, lựa chọn tiếp tuyến có số giao điểm với đường cong nhiều Như qua toán này, thấy được, học sinh sử dụng quan điểm Descartes để khẳng định không tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴 hay tìm chiến lược khác để kiểm tra xem có tiếp tuyến 𝐴𝐴 hay không  Biến V : Cho hàm số công thức hay đồ thị? Trong toán 3, muốn kiểm tra học sinh sử dụng trực giác (công cụ không xác) hay đạo hàm (công cụ xác) để khẳng định tồn tiếp tuyến điểm đó, lựa chọn có cho biểu thức giải tích hàm số cho trước tọa độ tiếp điểm Chúng cố gắng tạo điều kiện cho chiến lược sử dụng đạo hàm để kiểm tra tồn tiếp tuyến 𝐴𝐴 xuất  Biến V : Cách cho hàm số toán Ở nhằm kiểm tra quan điểm Barrow có xuất mối quan hệ học sinh với khái niệm tiếp tuyến hay không nên lựa chọn không cho biểu thức giải tích hàm số tiếp điểm cho biết hoành độ Với cách lựa chọn vậy, cố gắng tạo điều kiện cho chiến lược sử dụng quan điểm Barrow để giải toán xuất nhiều hơn, hạn chế việc sử dụng công thức 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 ) Δ𝑥𝑥 để tính gần b Các chiến lược câu trả lời quan sát Câu hỏi câu hỏi Các câu trả lời quan sát thấy câu hỏi là: Câu hỏi Câu hỏi Hình a Hình b Hình c Hình d - Tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm Quan Không điểm - Tiếp tuyến đường thẳng Descartes vuông góc với bán kính tiếp điểm - Tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến - Tiếp tuyến đường thẳng có hệ số góc đạo hàm hoành Quan Có điểm độ tiếp điểm Fermat - Tiếp tuyến đường thẳng điểm tiếp xúc với đường cong cắt đường cong điểm khác - Tiếp tuyến đường thẳng gần Quan trùng với đường cong lân Có điểm cận tiếp điểm Barrow - Tiếp tuyến đường thẳng có hệ Có Không Không Có Có Có Có Có Có số góc đạo hàm hoành độ tiếp điểm - Tiếp tuyến đường thẳng điểm tiếp xúc với đường cong cắt đường cong điểm khác Ở câu hỏi 1, học sinh trả lời tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, đường cong hay đồ thị điểm nêu thêm vuông góc với bán kính tiếp điểm điều giúp thấy học sinh chịu ảnh hưởng mạnh mẽ định nghĩa khái niệm tiếp tuyến bậc trung học sở Họ không để ý đến cách định nghĩa khái niệm tiếp tuyến theo quan điểm Fermat mà sách giáo khoa đề cập đến Câu trả lời tiếp tuyến vị trí giới hạn cát tuyến hay tiếp tuyến gần trùng với đường cong lân cận tiếp điểm cho thấy học sinh thoát khỏi ảnh hưởng từ quan điểm Descartes Tuy nhiên, cho câu trả lời theo quan điểm Fermat Barrow không nhiều Ở câu hỏi 2, học sinh kết luận 𝑑𝑑 tiếp tuyến với đường cong câu a, b, c d cho thấy học sinh không chịu ảnh hưởng quan điểm tiếp tuyến Descartes Trường hợp học sinh cho đường thẳng 𝑑𝑑 câu a tiếp tuyến đường thẳng 𝑑𝑑 câu d không tiếp tuyến thấy học sinh chưa thật hiểu tiếp tuyến đường thẳng Bởi thực chất, đường thẳng 𝑑𝑑 câu a d tiếp xúc với đường cong điểm cắt đường cong hay nhiều điểm (không tính đến điểm tiếp xúc) Về chất đường thẳng 𝑑𝑑 hai câu a d không khác nhau, điểm khác biệt câu a, vẽ đường thẳng 𝑑𝑑 phạm vi nhỏ xung quang điểm tiếp xúc Còn câu d, kéo dài đường thẳng 𝑑𝑑 để nhấn mạnh với học sinh điểm tiếp xúc, đường thẳng 𝑑𝑑 cắt đường cong nhiều điểm khác Với câu trả lời cho câu có trường hợp câu b tiếp tuyến (tiếp tuyến với đường tròn), cho phép ta khẳng định học sinh xem tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm Đặc biệt, học sinh cho trường hợp câu b câu c tiếp tuyến, dấu hiệu để ta thấy học sinh bắt đầu có nhìn khác khái niệm tiếp tuyến Họ chấp nhận trường hợp có điểm chung tiếp tuyến hạn chế phải tiếp xúc điểm đó, họ không cho đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm cắt điểm khác tiếp tuyến Bài toán Với kiểu nhiệm vụ xác định tồn tiếp tuyến điểm cho trước, dự đoán có chiến lược sau: - CL ĐH (chiến lược đạo hàm): cách sử dụng đạo hàm học sinh khẳng định có tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴(0; 1) Cụ thể, ta có: 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥 ) = 6𝑥𝑥 − 12𝑥𝑥 + ⇒ 𝑓𝑓 ′ (0) = Vì đạo hàm tồn nên có tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm 𝐴𝐴(0; 1) - CL TG (chiến lược trực giác): dựa vào trực giác khẳng định tồn tiếp tuyến + TG : Quan sát thấy điểm 𝐴𝐴(0; 1) vẽ đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số nên tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴 + TG : Không thể có tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm 𝐴𝐴(0; 1) dựng đường thẳng qua 𝐴𝐴 cắt đồ thị điểm Để biết học sinh sử dụng trực giác hay đạo hàm để khẳng định tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴, dựa vào câu trả lời giải thích học sinh: Học sinh cho không tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴, dấu hiệu cho biết học sinh sử dụng chiến lược trực giác để giải toán Học sinh cho có tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴, dựa vào lời giải thích ta biết học sinh sử dụng chiến lược trực giác hay chiến lược đạo hàm Nếu học sinh giải thích thấy vẽ đường thẳng tiếp xúc với đồ thị điểm cho, có nghĩa học sinh sử dụng chiến lược trực giác Nếu học sinh giải thích tồn đạo hàm hoành độ tiếp điểm nên có tiếp tuyến điểm nghĩa học sinh sử dụng chiến lược đạo hàm để giải toán Chúng dự đoán với kiểu nhiệm vụ xác định tồn tiếp tuyến điểm chiến lược trực giác xuất nhiều Bài toán Với toán tính gần chiến lược có là: - CL Barrow : dựa vào quan điểm Barrow tiếp tuyến để tính gần + Vì tiếp tuyến gần trùng với đường cong lân cận tiếp điểm Do ta xem 𝑓𝑓 (1,0001) ≈ 𝑦𝑦(1,0001) thay 1,0001 vào phương trình tiếp tuyến để tính gần đúng: 𝑦𝑦(1,0001) = −1,0001 + = −0,0001 Như vậy: 𝑓𝑓(1,0001) ≈ −0,0001 - CL VP (chiến lược vi phân): sử dụng vi phân vào phép tính gần Chúng dự đoán có cách câu trả lời sau: + VP : Bài toán giải mà cần phải bổ sung thêm biểu thức giải tích hàm số, sau tính 𝑓𝑓(1), 𝑓𝑓′(1) tính gần sau: 𝑓𝑓(1,0001) = 𝑓𝑓(1 + 0,0001) ≈ 𝑓𝑓 (1) + 𝑓𝑓 ′ (1) 0,0001 + VP : Bài toán giải mà cần phải bổ sung thêm tung độ điểm 𝐴𝐴, sau ta có 𝑓𝑓(1) tung độ điểm 𝐴𝐴 (𝐴𝐴 thuộc đồ thị hàm số), 𝑓𝑓′(1) hệ số góc tiếp tuyến (bằng −1) tính gần cách: 𝑓𝑓(1,0001) = 𝑓𝑓(1 + 0,0001) ≈ 𝑓𝑓 (1) + 𝑓𝑓 ′ (1) 0,0001 + VP : Sử dụng công thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 ) Δ𝑥𝑥 để tính gần 𝑓𝑓(1,0001): Phương trình tiếp tuyến 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 1, suy ra, 𝑓𝑓 ′ (1) = −1 Vì 𝐴𝐴 thuộc tiếp tuyến nên tung độ điểm 𝐴𝐴 bằng: Vậy, ta có 𝑓𝑓(1,0001) ≈ 𝑓𝑓 (1) + 𝑓𝑓 ′ (1) 0,0001 ≈ −0,0001 Chúng dự đoán rằng, giải toán trên, chiến lược vi phân chiếm đa số câu trả lời học sinh, nghĩa học sinh cố gắng sử dụng công thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 ) Δ𝑥𝑥 để tính gần Bởi công thức em tiếp xúc sách giáo khoa Nếu học sinh trả lời giải toán cách sử dụng phương trình tiếp tuyến để tính 𝑓𝑓 (1,0001) nghĩa học sinh ngầm ẩn coi đường cong gần trùng với tiếp tuyến lân cận tiếp điểm Nếu học sinh sử dụng công thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 )∆𝑥𝑥 để tính gần nghĩa học sinh chưa nhận quan điểm Barrow tiếp tuyến ẩn sau công thức Chúng đánh giá chiến lược sử dụng trực tiếp quan điểm Barrow khả xuất hoàn toàn không xuất 3.4 Phân tích hậu nghiệm Thực nghiệm tiến hành 33 học sinh lớp 11A2 thuộc trường Trung học phổ thông Võ Minh Đức, tỉnh Bình Dương vào tháng năm 2014 a Quan điểm tiếp tuyến học sinh Bảng tóm tắt câu trả lời câu hỏi học sinh thực nghiệm Câu hỏi Câu hỏi Hình a Hình b Hình c Hình d Quan điểm 27/33 19 33 11 32 3/33 14 22 3/33 0 Descartes Quan điểm Fermat Barrow Khác Đa số (81,8%) học sinh trả lời câu hỏi “Theo em, tiếp tuyến với đường cong gì?” theo quan điểm Descartes Vài ví dụ câu trả lời học sinh trường hợp này: “Là đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm đường nằm bên mặt phẳng chia đường tiếp tuyến” (H10) “Là đường thẳng tiếp xúc với đường cong tiếp điểm giao với bán kính đường cong góc 90°” (H14) Ngoài học sinh trả lời theo quan điểm Descartes, có học sinh nhận định tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong hay nhiều điểm Nhưng em cho đường thẳng phải tiếp xúc với đường cong tiếp tuyến “Tiếp tuyến với đường cong đường thẳng tiếp xúc với đường cong nhiều điểm” (H31) Điều bất ngờ có hai trường hợp trả lời tiếp tuyến với đường cong sau: Qua hai câu trả lời H29 H28, thấy bóng dáng quan điểm Roberval đây: “Xem đường cong “vết” điểm chuyển động tiếp tuyến phương chuyển động tức thời điểm vị trí điểm nó” Như vậy, khái niệm tiếp tuyến, thấy học sinh nhìn nhận trường hợp đường thẳng tiếp xúc với đường cong nhiều điểm tiếp tuyến Tuy nhiên, cách nhìn nhận chưa giúp em xác định đường thẳng tiếp tuyến, điều thể rõ qua câu hỏi thực nghiệm Thật vậy, có gần phần ba (8/27) tổng số học sinh sử dụng quan điểm Descartes để trả lời câu hỏi tiếp tục bám sát vào quan điểm Descartes để kiểm tra đường thẳng d có phải tiếp tuyến hay không câu hỏi Hơn hai phần ba lại (20/27) có điều chỉnh định cách lựa chọn tiếp tuyến Các em lựa chọn câu c tiếp tuyến, tức đường thẳng 𝑑𝑑 tiếp xúc với đường cong nhiều điểm, không bắt buộc phải tiếp xúc điểm Hình c Nhưng đường thẳng 𝑑𝑑 cắt đường cong điểm khác gần tất học sinh đánh giá tiếp tuyến: + 32/33 học sinh cho ởhình d, đường thẳng 𝑑𝑑 tiếp tuyến Học sinh lại bỏ giấy trắng + Ở hình a, không kéo dài đường thẳng 𝑑𝑑 trường hợp hình d để kiểm tra xem học sinh kéo dài đường thẳng 𝑑𝑑 hay kết luận Kết cho thấy có 19 học sinh không cho đường thẳng 𝑑𝑑 tiếp tuyến Có học sinh giải thích rõ sau: “𝑑𝑑 không tiếp tuyến với đường cong (𝐶𝐶) kéo dài 𝑑𝑑 cắt (𝐶𝐶) thêm điểm (có giao điểm 𝑑𝑑 (𝐶𝐶))” (H19) Hình a Hình d Còn học sinh trả lời câu a tiếp tuyến sang câu d trả lời tiếp tuyến Như rõ ràng học sinh trả lời câu cảm tính, họ chưa hiểu khái niệm tiếp tuyến với đường cong Điều thể rõ hỏi H16 lại cho 𝑑𝑑 câu a tiếp tuyến câu d không phải, kéo dài 𝑑𝑑 câu a cắt đường cong điểm khác H16 trả lời sau: “Em không biết, em làm đại.” Tóm lại, qua hai câu hỏi này, nhận thấy học sinh chịu ảnh hưởng quan điểm Descartes nặng nề Học sinh chấp nhận tiếp xúc với đường cong nhiều điểm tiếp tuyến điểm tiếp xúc ra, đường thẳng cắt đường cong điểm khác đường thẳng không xem tiếp tuyến b Điều kiện tồn tiếp tuyến Bảng 3.1 Thống kê câu trả lời học sinh toán thực nghiệm Có tồn Không tồn tiếp tiếp tuyến tuyến 11/33 22/33 Hai phần ba học sinh (22/33) cho không tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴 cho, với lời giải thích như: đường thẳng qua 𝐴𝐴 cắt (𝐶𝐶), 𝐴𝐴 không đỉnh (𝐶𝐶) Trong số phần ba khẳng định có tiếp tuyến A, có phân nửa (8/11 học sinh) cho điểm 𝐴𝐴 ∈ (𝐶𝐶) nên tồn tiếp tuyến, có học sinh giải thích lý có tồn tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴 Chẳng hạn: Thật ra, để viết phương trình tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴 cần tính 𝑦𝑦′(0), để tiếp tuyến tồn đạo hàm hoành độ tiếp điểm phải tồn Nhưng cần ý rằng, em không kết luận có đạo hàm nên tiếp tuyến tồn mà em viết phương trình tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴, viết phương trình em kết luận có tồn tiếp tuyến Do đó, qua làm học sinh, nhận định em chưa biết tiếp tuyến điểm cho trước tồn Việc em tiến hành viết phương trình tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴, viết phương trình em kết luận có tồn tiếp tuyến vừa học xong cách viết phương trình tiếp tuyến Chúng ta thấy được, số học sinh cho không tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴 gấp đôi số học sinh cho có tồn tiếp tuyến điểm 𝐴𝐴 Điều cho thấy ảnh hưởng mạnh việc sử dụng trực giác quan điểm Descartes để kiểm tra tồn tiếp tuyến c Mối quan hệ học sinh với quan điểm Barrow tiếp tuyến Bảng 3.3 Thống kê câu trả lời học sinh toán thực nghiệm Có thể giải Không thể giải Khác Không trả lời 3/33 23/33 4/33 3/33 Đúng dự đoán, học sinh đưa lời giải xác cho toán Mặc dù vậy, có em trả lời toán giải: “Bài toán giải được, em làm” H26 Gần 90% học sinh (23/33) cho giải toán với lời giải thích tương tự nhau, điển hình như: “Bài toán không giải có tiếp tuyến không tìm hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) đồ thị (𝐶𝐶)” H29 “Theo em, với giả thiết cho, toán giải Cần cho thêm 𝑓𝑓(𝑥𝑥)” H31 Không có lời giải xác đưa Điều cho thấy học sinh quan điểm Barrow mà chưa vận dụng thành thạo mối quan hệ “hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hoành độ tiếp điểm” vào giải toán Hệ thống tập M E đưa mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm yêu cầu học sinh viết phương trình tiếp tuyến điểm cho trước hay biết hệ số góc tiếp tuyến Học sinh việc áp dụng công thức 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥0 )(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 ) học để giải Do đó, gặp toán phải vận dụng trực tiếp định lí họ giải tốt: “Định lí 2: Đạo hàm hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) điểm 𝑥𝑥0 hệ số góc tiếp tuyến 𝑀𝑀0 𝑇𝑇 (𝐶𝐶) điểm 𝑀𝑀0 (𝑥𝑥0 , 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ))” (M, tr.151) Dù có học sinh cố gắng sử dụng công thức 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 ) Δ𝑥𝑥 để giải toán cuối bỏ dở kết luận toán giải: Ở đây, H29 bước khởi đầu định sử dụng công thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 ) Δ𝑥𝑥 H29 tìm ∆𝑥𝑥, lại không tìm 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 ) Đặc trưng hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hoành độ tiếp điểm chưa học sinh vận dụng linh hoạt giải toán Cố gắng H29 cho thấy dù học công thức tính gần 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 )∆𝑥𝑥 việc sách giáo khoa thiếu kiểu nhiệm vụ giúp làm quen với công thức làm học sinh lúng túng gặp toán tính gần Như vậy, qua thực nghiệm nhận thấy quan điểm Barrow chưa xuất mối quan hệ học sinh với khái niệm tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm Bên cạnh đó, học sinh phụ thuộc vào biểu thức giải tích 𝑓𝑓(𝑥𝑥) toán hoàn toàn giải cách sử dụng công thức 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 + Δ𝑥𝑥) ≈ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 )Δ𝑥𝑥 Học sinh lúng túng áp dụng công thức vào toán tính gần Chúng ghi nhận thêm học sinh chưa thật sử dụng linh hoạt mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm học: “hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hoành độ tiếp điểm” 3.5 Kết luận thực nghiệm Những phân tích cho phép khẳng định: - Thứ nhất: đa số học sinh cho tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm nhất, phận lại chấp nhận thêm trường hợp đường thẳng tiếp xúc với đường cong nhiều điểm - Thứ hai: học sinh không sử dụng khái niệm đạo hàm để giải toán tồn tiếp tuyến với đường cong điểm - Thứ ba: quan điểm Barrow khái niệm tiếp tuyến chưa xuất mối quan hệ học sinh với tiếp tuyến Việc vận dụng công thức 𝑓𝑓 (𝑥𝑥0 + ∆𝑥𝑥 ) ≈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0 )∆𝑥𝑥 để tính gần khó khăn học sinh - Ngoài ra, ghi nhận thêm tình trạng học sinh gặp dạng toán “lạ”, yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến không vận dụng đặc trưng “hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hoành độ tiếp điểm” để giải toán [...]... hay không? + Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được sách giáo khoa khai thác ra sao? Có thể hiện đủ hai chiều tác động của khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm? 17 Chương 2 TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11 Mục tiêu chương 2 là tìm kiếm câu trả lời cho Q 2 : Đặc trưng mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong thể chế... về mối liên hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm, chúng tôi xin phép tóm tắt lại bằng sơ đồ sau: • Mối liên hệ giữa tiếp tuyến với đạo hàm chưa được hình thành vì khái niệm tiếp tuyến vẫn trong phạm vi hình học sơ Trong quan điểm cấp và khái niệm đạo hàm chưa ra đời của Descartes • Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong quan điểm của Roberval có thể hiểu như sau: hệ số góc của tiếp tuyến Trong. .. tiếp tuyến và khái niệm đạo hàm: hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm được thể hiện rõ nét hơn cả Bảng 2.2 Thống kê số lượng bài tập liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong M Kiểu nhiệm vụ Số lượng T1 4 T2 14 T4 8 T5 4 T6 4 T7 12 2.2 Tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong sách giáo khoa toán 11 Việt Nam Dựa trên tham chiếu là các phân tích ở chương... của tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm còn thiếu cho học sinh Hay giúp học sinh nhận ra rằng tiếp tuyến có thể có nhiều điểm chung với đường cong tổng quát Vì vậy chúng tôi lựa chọn hướng nghiên cứu cho mình là xây dựng một đồ án dạy học liên quan đến tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm Cụ thể, mục đích của đồ án sẽ được nêu rõ ở chương 3 7 3 Khung lý thuyết tham chiếu Hiện tượng học sinh xem tiếp. .. thức O – khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm – xuất hiện ra sao trong thể chế Toán Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản: Khái niệm tiếp tuyến được đưa vào sách giáo khoa Toán Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản như thế nào? Dưới góc nhìn của bao nhiêu quan điểm? Và được đặt trong mối quan hệ với đạo hàm như thế nào? Liệu cách trình bày của sách giáo khoa hiện nay có giúp học sinh nhận thấy... và đạo hàm được thể hiện ra sao trong các quan điểm ấy? Q 2 : Đặc trưng mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm trong thể chế sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ban cơ bản hiện hành là gì? Q 3 : Mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng tri thức tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm có những đặc trưng nào? 8 Tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi trên... cong, định nghĩa đạo hàm và bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến hay độ dốc của đường cong tại một điểm, mối liên hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm – hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm – cũng được đưa vào một cách ngầm ẩn: “Nếu (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) là tiếp điểm, điểm (𝑥𝑥 + ℎ, 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + ℎ)) là điểm bất kì thuộc đồ thị của hàm 𝑓𝑓, […] hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị... là đạo hàm của hàm số 𝑓𝑓 tại 𝑥𝑥 Qua đó, M đã ngầm báo với học sinh hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ của tiếp điểm Mối liên hệ ấy cũng được nhắc đến một cách tường minh trong chú ý nhỏ ngay sau phần định nghĩa đạo hàm: “Chú ý rằng đạo hàm 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) là công thức tổng quát để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 𝑓𝑓 tại điểm (𝑥𝑥, 𝑓𝑓(𝑥𝑥))” (M, tr.876) Tuy mối liên hệ. .. liên hệ nếu tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 tồn tại thì đạo hàm tại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 sẽ bằng hệ số góc của tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 được M nhắc đến nhưng mối liên hệ nếu đạo hàm tại hoành độ của điểm 𝐴𝐴 tồn tại thì sẽ tồn tại tiếp tuyến tại 𝐴𝐴 lại bị M bỏ qua 2.1.4 Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm Nhận xét đầu tiên của chúng tôi khi nhìn sơ lược các bài tập trong quyển... tôi sẽ tiến hành so sánh thêm với một quyển sách Toán của Mỹ Việc so sánh này giúp thấy rõ hơn sự lựa chọn của thể chế trong việc đưa vào các quan điểm về tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm 2.3 Các đồ án dạy học về khái niệm tiếp tuyến và mối liên hệ với đạo hàm  Thực nghiệm trong luận văn của tác giả Trần Vũ Đức (2004) và Bùi Thị Thu Hiền (2007) Tác giả Trần Vũ Đức và Bùi Thị Thu Hiền khi tiến ... 15 Chương TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11 17 2.1 Tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm sách toán Mỹ 17 2.2 Tiếp tuyến mối liên hệ với đạo hàm sách... luận sau: Mối quan hệ tiếp tuyến đạo hàm xuất tường minh Đặc trưng mối quan hệ là: hệ số góc tiếp tuyến đạo hàm hàm số hoành độ tiếp điểm” […] Như vậy, mối liên hệ đạo hàm, tiếp tuyến xấp xỉ... liên hệ tiếp tuyến đạo hàm sách giáo khoa khai thác sao? Có thể đủ hai chiều tác động khái niệm tiếp tuyến đạo hàm? 17 Chương TIẾP TUYẾN VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI ĐẠO HÀM TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11