mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong dạy học hình học lớp 12 ở việt nam

- Trong việc dạy học hình học ở phổ thông, trong yêu cầu về kiến thức và kĩ năng đối với học sinh khi học chương phương pháp tọa độ trong không gian, chương trình toán phổ thông và sách

Trang 1

Nguyễn Minh Phong

MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC

Trang 2

Nguyễn Minh Phong

MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS: Đoàn Hữu Hải

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Trang 3

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Đoàn Hữu Hải, người đã nhiệt tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,

TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng

dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM

đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Long Khánh tỉnh Đồng Nai, Trường Trung học thực hành ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những

người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt

NGUYỄN MINH PHONG

Trang 5

Bảng 1: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T1 40

Bảng.3: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T3 43

Bảng 8: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 1 62

Trang 6

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

I Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát 1

II Giới hạn phạm vi nghiên cứu 2

III Khung lí thuyết tham chiếu 3

1 Thuyết nhân học sư phạm 3

2 Hợp đồng didactic 5

IV Phương pháp nghiên cứu 6

V Tổ chức của luận văn 7

CHƯƠNG I: 8

MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 8

I Hình học giải tích thời cổ đại 8

1 Apollonius (262-190 TCN) 8

2 Kết luận 9

II Hình học giải tích thế kỉ 17-18 10

1 Rene Descartes (1596-1650) 10

2 Pierre de Fermat (1601-1665) 14

3 Kết luận 15

III Những phát minh sau Descartes và Fermat 15

1 Tóm tắt sự phát triển 15

2 Kết luận 16

CHƯƠNG 2 : 17

MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO 17

I Mục đích phân tích 17

II Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK ở Việt Nam 18

1 Giai đoạn chuẩn bị 18

Trang 7

1 3 Một số quan hệ hình học 21

Kết luận 23

2 Giai đoạn tường minh 23

2.1 Tình huống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm 25

2.2 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng 26

2.3 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng 29

2.4 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu 30

2.5 Tình huống đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 31

2.6 Tình huống đưa vào quan hệ đồng phẳng của bốn điểm 33

2.7 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai mặt phẳng 35

2.8 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng 37

3 Các tổ chức toán học 38

3.1) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : xác định tọa độ của điểm 38

3.2) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 2 : viết phương trình mặt phẳng 41

3.3) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 3 : Viết phương trình đường thẳng 43

3.4) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 45

3.5) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 5 : xét tính đồng phẳng của bốn điểm A,B,C,D: 46

3.6) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 6 : xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng 48

3.7) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 7 : xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 49

3.8) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 8 : dùng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH 53

III Kết luận 54

CHƯƠNG 3 57

THỰC NGHIỆM 57

I Mục đích thực nghiệm 57

Trang 8

Câu 1: 58

Câu 2: 59

Câu 3: 60

IV Phân tích a posteriori 61

V Kết luận 65

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA TỪ LUẬN VĂN 67

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

Trang 9

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…

I Lí do ch ọn đề tài và câu hỏi xuất phát

- Trong lịch sử phát triển của toán học, xu hướng đại số hóa hình học bắt đầu được vài thế kỉ (thế kỉ XVII-XVIII) do Rene Descartes và Pierre Fermat đặt nền móng, và đang là xu hướng chiếm ưu thế trong việc giải quyết bài toán hình học Tuy nhiên, hình học được nghiên cứu bằng phương pháp tổng hợp có từ rất lâu trong lịch sử phát triển của toán học, từ thời Euclide đã có nền tảng khá vững chắc Vậy các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng trên cơ sở hai phương pháp này có liên hệ với nhau như thế nào? Việc vận dụng kiến thức HHTH

để giải quyết bài toán HHGT và ngược lại thể hiện như thế nào?

- Trong việc dạy học hình học ở phổ thông, trong yêu cầu về kiến thức và kĩ năng đối với học sinh khi học chương phương pháp tọa độ trong không gian, chương trình toán phổ thông và sách giáo viên hình học 12 đã yêu cầu học sinh:

“H iểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

…biết điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng…” ([10], tr 189)

Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: “Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của

mặt phẳng”, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của

HHTH như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Rõ ràng để đạt được những mục tiêu chương trình yêu cầu thì học sinh cần vận dụng được các kiến thức của HHTH để hiểu và để giải toán HHGT Vấn đề đặt

ra ở đây sẽ là: liệu trình bày của SGK hiện hành có tạo điều kiện để học sinh vận dụng các kiến thức HHTH đã học?

Theo hướng ngược lại, chúng ta nhận thấy yêu cầu của SGV hình học 12 đối với học sinh như sau:

“Biết biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học như sự thẳng hàng của ba điểm, sự cùng phương của hai vectơ, sự đồng phẳng của ba vectơ, quan hệ song song, quan hệ vuông góc…

Trang 10

Giải được một số bài toán của hình học không gian bằng phương pháp tọa độ” ([9], trang 66)

Muốn làm được điều này, học sinh phải nắm vững mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của hình học tổng hợp với các khái niệm, các quan hệ tương ứng của hình học giải tích sau khi đã đặt hình vẽ vào một hệ trục tọa

độ thích hợp Như vậy vấn đề đặt ra ở đây sẽ là liệu cách trình bày của SGK hiện hành có làm cho học sinh nắm được mối liên hệ này hay không? Có giúp học sinh lựa chọn một hệ trục tọa độ thích hợp với bài toán đã cho không? Một cách hệ thống hơn, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đặt ra những câu hỏi sau:

Q1’) Các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng bằng phương pháp tổng hợp và phương pháp giải tích có mối liên hệ với nhau như thế nào?

Q2’) Liệu cách trình bày của các SGK hiện hành có làm cho học sinh thấy được mối liên hệ đó?

Q3’) Liệu học sinh có vận dụng được mối liên hệ giữa các khái niệm, các quan hệ hình học giữa HHTH và HHGT để giải quyết một bài toán hình học không?

II Gi ới hạn phạm vi nghiên cứu

- Do thời gian giới hạn, luận văn này chỉ thực hiện nghiên cứu mối liên hệ giữa HHTH và HHGT trong phạm vi hình học lớp 12 chương trình hiện hành Cụ thể mối liên hệ được đề cập ở đây là mối liên hệ giữa kiến thức về các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được đề cập trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian”, sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12

- Chúng tôi lựa chọn bộ sách hình học 12 nâng cao để phân tích vì chúng tôi nhận thấy trong bộ sách này, một số khái niệm hình học, quan hệ hình học như sự đồng phẳng của bốn điểm, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau… được đề cập tường minh hơn so với bộ sách hình học

12 chương trình cơ bản

Trang 11

III Khung lí thuy ết tham chiếu

- Để trả lời những câu hỏi đặt ra, tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic Toán, cụ thể tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của thuyết nhân học sư phạm ( quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng O, tổ chức toán học (praxéologie)) và khái niệm hợp đồng didactic Sau đây, chúng tôi sẽ cố gắng giải thích sự thỏa đáng trong việc chọn khung lí thuyết tham chiếu:

1 Thuy ết nhân học sư phạm

• Quan hệ cá nhân với một đối tượng

- Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X Quan

hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O

- Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết

- Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X với O Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc

quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại) Sự học tập này làm thay đổi con người

• Quan hệ thể chế với một đối tượng

- Một đối tượng O không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong

ít nhất một thể chế I Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X Hơn thế, giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định

- Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào Nói cách khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy Theo cách tiếp cận sinh thái thì O chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại, nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan

hệ, những ràng buộc ấy

Trang 12

- Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O),

để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy

- Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của R (I, O)

- Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công

cụ để thực hiện công việc đó:

• Tổ chức toán học

- Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó, cũng cần thiết xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie

- Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,τ ,θ,Θ], trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ, nghĩa là công nghệ của công nghệ θ

- Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique)

“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên” (Bosh và Chervarlard, 1999, tr 85)

Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học hình học 12 ở Việt Nam với mối liên hệ giữa HHTH và HHGT, đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với các đối tượng nêu trên Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu

mà chúng tôi đã đặt ra

Trang 13

2 H ợp đồng didactic

- Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy-học là sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên,

về một tri thức toán học được giảng dạy

- Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích

Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải qua

- Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

- Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:

 Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức

 Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó

 Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được

 Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đơi ở học sinh

- Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:

 Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học

 Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức

 Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK

- Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến việc sử dụng các khái niệm hình học, quan hệ hình học trong hình học tổng hợp và

Trang 14

hình học giải tích sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra

ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành Điều này cho phép trả lời phần nào câu hỏi 3 đã đặt ra ở trên

- Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân chủng học và khái niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng

- Trong phạm vi lí thuyết đã chọn, các câu hỏi xuất phát có thể được trình bày lại như sau:

Q1) Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT thể hiện như thế nào?

Q2) Mối liên hệ này được thể chế dạy học hình học lớp 12 chương trình nâng cao đề cập như thế nào?

Q3) Quan hệ của thể chế với đối tượng đang xét (mối liên hệ giữa HHTH và HHGT) ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng này như thế nào?

IV Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời cho các câu hỏi đã nêu, tôi xin trình bày sơ lược phương pháp nghiên cứu của mình như sau:

- Phân tích lịch sử phát triển của HHGT nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT trong lịch sử Nghiên cứu này đồng thời là một tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế sẽ được thực hiện phía sau

- Phân tích chương trình và SGK Hình học 12 nâng cao, phân tích này cho phép làm

rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng cần nghiên cứu

- Tổng hợp kết quả hai phân tích trên để đề ra một số giả thuyết nghiên cứu

- Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết nghiên cứu đã rút ra

Có thể tóm tắt phương pháp nghiên cứu bằng sơ đồ sau:

Trang 15

V T ổ chức của luận văn

Luận văn được tổ chức thành 3 chương như sau:

- Chương 1: Một vài nét về mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích

trong lịch sử phát triển của toán học

- Chương 2: Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương

trình và SGK hình học 12 nâng cao

- Chương 3: Thực nghiệm

Cơ sở đề xuất Kiểm chứng

Giả thuyết nghiên

cứu Thực nghiệm

Trang 16

CHƯƠNG I:

TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

I Hình h ọc giải tích thời cổ đại

1 Apollonius (262-190 TCN)

- Apollonius đã lập được “phương trình” (thật ra là các đẳng thức về các đoạn thẳng tỉ lệ) của parabol, elip, hyperbol, mà nếu phát biểu bằng ngôn ngữ đại số hiện đại thì các phương trình ấy có dạng như sau:

Trang 17

Điều này có nghĩa là QV2 bằng tích của PV với một số không đổi, hay như chúng ta biết theo kí hiệu hiện đại là 2

“tung độ” của điểm đó là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu xiên góc của nó lên

“trục hoành”

- Như vậy, trong “hình học giải tích” mà Apollonius xây dựng, các khái niệm hình học, cụ thể là khái niệm cônic, Apollonius định nghĩa cônic là giao tuyến của mặt nón tròn xoay với mặt phẳng, tức là các khái niệm hình học hoàn toàn đồng nhất với các khái niệm của HHTH Về các quan hệ hình học, hầu hết chúng vẫn đồng nhất với các quan hệ hình học của HHTH, tuy nhiên một vài quan hệ đã ngầm

ẩn chuyển sang quan hệ đại số dưới dạng tỉ số của các đoạn thẳng dựa trên đặc trưng của đoạn thẳng là độ dài của chúng

2 K ết luận

- Mặc dù ý tưởng chính của Apollonius là phân loại các cônic dựa theo phương trình của chúng, tuy nhiên các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là cônic) được định nghĩa là giao tuyến của mặt nón với mặt phẳng, và các quan hệ hình học đơn giản như quan hệ liên thuộc, tính thẳng hàng, song song, vuông góc trong “hình học giải tích” mà ông xây dựng vẫn bộc lộ rõ sự gắn kết chặc chẽ, thậm chí là đồng nhất giữa chúng với các khái niệm, các quan hệ hình học của HHTH Một vài quan

hệ hình học cũng bắt đầu ngầm ẩn chuyển sang phạm vi HHGT dựa trên đặc trưng

độ dài, diện tích… của chúng Do vậy, HHGT ở giai đoạn này chỉ ở giai đoạn ý tưởng, mầm móng: các bài giải của HHGT hầu như đồng nhất với lời giải của HHTH, kiến thức HHTH được vận dụng triệt để, phổ biến để giải quyết vấn đề của HHGT

Trang 18

II Hình h ọc giải tích thế kỉ 17-18

1 Rene Descartes (1596-1650)

- Cách giải một bài toán hình học của Descartes là “dịch nó sang ngôn ngữ

các phương trình đại số, biến đổi chúng về dạng đơn giản nhất có thể được, rồi dùng các phép dựng hình học để giải chúng, bằng cách sử dụng tương ứng mà ông

đã thiết lập giữa các phép toán đại số và phép dựng hình học” (theo [5], tr 35)

- Bài toán gợi ý tưởng cho Descartes phát minh ra phương pháp tọa độ là bài toán Pappus3, phát biểu dưới dạng tổng quát như sau:

“Cho 2n (hoặc 2n-1) đường thẳng cố định, tìm quĩ tích những điểm sao cho tỉ số của tích độ dài các đoạn thẳng vẽ từ điểm đó tới n đường thẳng đã cho dưới một góc cho trước và tích độ dài các đoạn thẳng tương tự vẽ tới n (hoặc n-1) đường thẳng còn lại là một số không đổi”

- Đây là một bài toán rất khó của hình học, trong lịch sử gần hơn một ngàn năm trăm năm xuất hiện của nó, cho tới thời của Descartes, chỉ có một số bài giải của các trường hợp đặc biệt trong trường hợp ba, hoặc bốn đường thẳng Ta xét cách làm của Descartes4 trong trường hợp bốn đường thẳng và không có bất kì hai đường nào trong số đó song song với nhau:

- Gọi điểm cần tìm là C Gọi các

đoạn thẳng dựng được từ C xuống bốn

đường thẳng đã cho là CB, CD, CF, CH

Chọn một trong bốn đường thẳng làm

gốc, ba đường thẳng còn lại cắt đường

thẳng gốc tại A,E,G Đặt AB=x, BC=y

Ba đường thẳng còn lại cắt BC tại R,S,T

E A T

D

S R

C F

H

Trang 19

Vì các góc của tam giác ARB đã biết nên tỉ số giữa cạnh AB và BR hoàn toàn xác định Đặt AB z

Vì các đường thẳng AB, AD, EF cố định nên độ dài đoạn AE đã biết Nếu

đặt AE k = thì EB k x= + (hoặc EB k x= − khi B nằm giữa A,E và EB x k= − khi

E nằm giữa A,B) Vì các góc tam giác ESB đã biết nên tỉ số của BE và BS đã biết Gọi tỉ số này là z

d thì

dk dx BS

Trang 20

Dựa vào kết quả của Apollonius trong “giao tuyến cônic”, Descartes chứng

tỏ đây là phương trình của một cônic, và trong trường hợp đặc biệt đó là phương trình của một đường thẳng

Ở đây ta cũng nhận thấy rõ ràng: vấn đề của Descartes là vận dụng phương pháp HHGT để giải quyết bài toán HHTH Tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa

có các khái niệm riêng cho nó nên việc vận dụng kiến thức HHTH để giải quyết là phổ biến: trong phương pháp mới mà Descartes xây dựng, lời giải của ông hoàn toàn phụ thuộc vào hình vẽ Như vậy đối với Descartes, các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là đường thẳng), các quan hệ hình học (như quan hệ điểm nằm giữa hai điểm khác) vẫn thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa chúng với các khái niệm, các quan

hệ tương ứng của hình học tổng hợp, tuy nhiên các quan hệ hình học này đã dần chuyển sang quan hệ đại số dựa trên đặc trưng số của các đối tượng

- Ta xét thêm một ví dụ nữa của Descartes để tìm hiểu thêm các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong hình học của Descartes (trong [6], tr 86):

“Một tam giác vuông KLN kích thước không đổi có cạnh góc vuông KL chuyển động dọc theo đường thẳng AB G là một điểm cố định không nằm trên đường thẳng

AB Tìm quĩ tích giao điểm của đường thẳng GL và cạnh huyền NK kéo dài.”

Sau đây là bài giải của Descartes:

Giả sử GA ⊥AB Đặt GA=a, KL=b, NL=c

Trang 21

GA= AL suy ra CB AL GA BL y2 cy c xy ay ac

b

Descartes nói rằng đây là đường hyperbol, nhưng ông không chứng minh

- Như vậy, Descartes đã xét những đặc trưng số của các đối tượng hình học như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích tam giác… và dựa vào chúng để chuyển các quan hệ hình học thành các phép toán đại số, sự “tương ứng của các phép dựng hình học với các phép toán đại số” ở đây là sự tương ứng giữa độ dài đoạn thẳng, số

đo góc, diện tích tam giác với các đẳng thức kiểu như: C nằm giữa A,B thì AC+BC=AC, ∆ABC và ∆A’B’C’ đồng dạng thì

' ' ' ' ' '

A B = A C = B C …Ngoài ra, khi khẳng định quĩ tích cuối cùng là hyperbol, Descartes đã thừa nhận sự tương ứng của một phương trình với một đường cong tương ứng Tuy nhiên, bản thân Descartes cũng chỉ dựa vào những kết quả sẵn có từ thời Apollonius để khẳng định quĩ tích các điểm thõa mãn một phương trình đại số mà chưa thấy có một tiến triển nào hơn thời cổ đại! Điều này làm chúng tôi băn khoăn: trong trường hợp các phương trình thu được hoàn toàn khác so với những dạng mà Apollonius đã nói, liệu Descartes có biết được hình dạng của đường cong?

- Ta xét một nhận xét trong một bài toán khác của Descartes cho thấy xu hướng

sử dụng đại số của ông trong việc giải các bài toán hình học:

Cho đường cong ACQ đi qua gốc A và có trục AG Đặt CM=x, AM=y Dựng một đường thẳng qua C cắt trục AG tại P

Giả sử AP=v, CP=s Theo định lí Pitago ta có:

Khử x hoặc y trong phương trình của đường cong và đường tròn ta thu được một

phương trình một ẩn số x hoặc y với tham số v Khi đó “nếu đường tròn cắt đường

cong tại hai điểm phân biệt C và E thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt

Trang 22

Nếu C càng gần E thì sự khác biệt giữa hai nghiệm càng nhỏ Nếu C trùng với E thì

ta nói đường tròn tiếp xúc với đường cong chứ không cắt nó”.( [2], trang 95)

- Ở đây, rõ ràng là Descartes đã chỉ rõ mối liên hệ giữa số nghiệm phương trình hoành độ (hoặc tung độ) giao điểm với số giao điểm của hai đường cong Như vậy một quan hệ hình học đã hoàn toàn chuyển thành một quan hệ đại số

- Như vậy, rõ ràng là Fermat đã khẳng định biểu thức giải tích thể hiện mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ chính là quĩ tích các điểm Ông cũng chứng minh

sự tương ứng 1-1 giữa đường thẳng và phương trình của nó Ông còn lập phương trình đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, phương trình hyperbol có tiệm cận là các trục tọa độ, phương trình elip với hai đường kính liên hiệp là các trục tọa độ…Tuy nhiên việc sử dụng chính các biểu thức giải tích này để nghiên cứu tính chất của đường cong vẫn chưa được đặt ra

- Ta xét cách mà Fermat viết phương trình đường thẳng qua hai điểm N và I

cố định: ông chọn một trục có gốc ở N (như hình vẽ) và gọi M là điểm di động trên đường thẳng NI Ông đặt NK=A, NZ=B, MK=E, IZ=D

Khi đó vì MK//IZ nên NK NZ

M

K I

Z

Trang 23

3 K ết luận

- Việc chuyển đổi các khái niệm hình học và quan hệ hình học trong HHTH thành các phương trình đại số, các quan hệ đại số nhằm mục tiêu giải quyết bài toán hình học một cách gọn gàng, tổng quát hơn, giúp giải quyết một số bài toán khó của hình học Mặc dù mục tiêu của giai đoạn này là cùng phương pháp HHGT để giải toán HHTH, tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng của nó nên kiến thức HHTH thường xuyên được vận dụng để giải quyết bài toán HHGT

- Mặc dù Descartes đã ý thức chuyển các bài toán hình học sang các phương trình đại số và Fermat đã chứng minh sự tương ứng 1-1 giữa đường thẳng và phương trình của nó và lập được phương trình nhiều đường cong, tuy nhiên việc dùng chính phương trình để định nghĩa các đường cong vẫn chưa thấy được đặt ra Các khái niệm hình học của HHGT lúc này đa số đồng nhất với các khái niệm tương ứng của HHTH

- Các quan hệ hình học trong HHGT giai đoạn này đã có bước chuyển dài sang phạm vi đại số: Descartes đã đặt tương ứng các phép dựng hình học với các phép toán đại số và giải một bài toán hình học hoàn toàn dựa trên phép toán trên các đối tượng đại số này Nhờ sự tiện lợi và tính tổng quát của lời giải một bài toán hình học bằng công cụ đại số mà Descartes đã vui mừng tuyên bố: ông ấy đã giải được mọi bài toán hình học!

III Nh ững phát minh sau Descartes và Fermat

1 Tóm t ắt sự phát triển

- J Wallis (1616-1703) trong tác phẩm “chuyên luận về các đường cônic” công bố năm 1655 đã dùng chính phương trình để định nghĩa cônic

- G F L’Hospital (1661-1704) trong tác phẩm “về các giao tuyến cônic và

về những ứng dụng của chúng để giải phương trình trong các bài toán xác định và không xác định” đã đưa phương trình giao tuyến của cônic về các dạng gần giống với các dạng phương trình cônic mà ta dạy cho học sinh ngày nay, đồng thời ông đã

Trang 24

chứng minh các tính chất của cônic bằng phương pháp đại số, suy từ phương trình của các cônic đó

- Newton (1642-1727) dùng phương trình đường cong để định nghĩa độ nghiêng của tiếp tuyến với đường cong

- Leibniz (1646-1716) đã phát triển phương pháp vi phân, ông chứng tỏ rằng bằng việc sử dụng các kí hiệu dx, dy mà ông nêu ra thì các tính chất của đường cong hoàn toàn diễn đạt được bằng những phương trình

- Leonhard Euler (1707-1783) trong tập 2 của cuốn “mở đầu về giải tích vô cùng

bé” đã trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống môn hình học giải tích Trong tác phẩm này, Euler đã cố gắng giải quyết tất cả các vấn đề của hình học bằng công cụ đại số: Euler định nghĩa hệ tọa độ, định nghĩa đường cong, đưa ra công thức biến đổi tọa độ, nêu lên các tính chất của cônic có thể suy từ phương trình của chúng…

2 K ết luận

- Các khái niệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng chính phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học Các tính chất của các khái niệm hình học có thể suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dung tính chất của HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa Các quan hệ hình học trong HHGT là các quan hệ đại số Và cũng từ đây, các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và

dễ sử dụng, hầu như tách biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó trong HHTH Sự tiến triển này tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Do đó, xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng chiếm ưu thế hoàn toàn so với xu hướng nghiên cứu hình học trước đây Tuy nhiên, cũng chính vì vậy mà ý nghĩa hình học của bài toán bị che dấu đằng sau đề toán, đằng sau lời giải thuần túy đại số

Trang 25

CHƯƠNG 2 :

12 NÂNG CAO

I M ục đích phân tích

- Như kết quả đã nghiên cứu ở chương I, chúng ta nhận thấy: trong hình học giải tích, các khái niệm hình học, các quan hệ hình học có thể hoàn toàn chuyển thành các khái niệm đại số, các quan hệ đại số Ngoài ra, chúng ta còn nhận thấy rằng: với việc sử dụng các phương trình đại số, các quan hệ đại số thì việc giải quyết một bài toàn hình học trở nên dễ dàng và thuận lợi hơn Tuy vậy nó cũng bộc

lộ một yếu điểm là: lời giải một bài toán hình học bằng phương pháp đại số hầu như tách rời khỏi bài toán hình học đó, chỉ còn lại một bài giải thuần túy đại số Từ đây mối liên hệ giữa HHTH và HHGT mờ nhạt tới mức khó nhận thấy mối liên hệ này Liệu điều này được có thể chế dạy học quan tâm? Ngoài ra, như đã nói từ đầu, với yêu cầu của chương trình, học sinh phải biết vận dụng mối liên hệ giữa kiến thức của HHTH và HHGT, vậy thể chế đã tạo điều kiện như thế nào để học sinh nắm và vận dụng mối liên hệ này ? Do đó, mục đích chính của chương này là nghiên cứu mối quan hệ của thể chế với đối tượng cần nghiên cứu, cụ thể nó nhắm tới việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau đây:

- Chương trình và sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12 giới thiệu các khái niệm, các quan hệ của hình học giải tích như thế nào? Chúng có liên hệ như thế nào với các khái niệm, các quan hệ tương ứng trong hình học tổng hợp? Việc vận dụng kiến thức HHTH để giải toán HHGT được đề cập như thế nào ? Những tổ chức toán học nào được xây dựng trong chương “ phương pháp tọa độ trong không gian” thể hiện mối liên hệ giữa HHTH và HHGT đối với các khái niệm hình học, các quan hệ hình học đã phân tích?

- Kiểu nhiệm vụ “ dùng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian

với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH ” được thể chế giới thiệu như thế nào? Đâu

Trang 26

là những ràng buộc của thể chế với kiểu nhiệm vụ này ? Những ràng buộc của chương trình và trình bày của SGK ảnh hưởng như thế nào lên học sinh trong việc nắm bắt kiểu nhiệm vụ này ?

Để nghiên cứu những vấn đề nêu ra, tôi chọn chương trình và sách giáo khoa hiện hành (chương trình phân ban đại trà áp dụng từ năm học 2006-2007) Cụ thể là những tài liệu sau:

1/ Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán

2/ Sách giáo khoa hình học 12 chương trình nâng cao

3/ Sách giáo viên hình học 12 chương trình nâng cao

Ngoài ra, nhằm làm rõ hơn một số vấn đề nghiên cứu, tôi cũng tham khảo thêm một số tài liệu sau:

+ Sách giáo khoa toán 7, 8, 9, 10

+ Sách giáo khoa hình học nâng cao 11

II M ối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình

và SGK ở Việt Nam

- Do thời gian giới hạn, nên ở đây chúng tôi chỉ xét mối liên hệ giữa các khái niệm, các quan hệ hình học giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích với ý đồ sử dụng tọa độ, phương trình Những mối liên hệ sơ khai hơn như đoạn thẳng với độ dài của chúng, đa giác và diện tích của chúng, điều kiện để tam giác cân, vuông, đều, mối liên hệ giữa tỉ số các cặp cạnh của hai tam giác để chúng đồng dạng… không được xem xét ở đây

- Dựa trên quan điểm này, khi phân tích chương trình và SGK chúng tôi nhận thấy sự liên hệ giữa các khái niệm, các quan hệ của hình học tổng hợp và hình học giải tích xuất hiện xuyên suốt trong chương trình từ lớp 7 đến hết lớp 12 mà dưới đây, chúng tôi phân thành hai giai đoạn như sau:

1 Giai đoạn chuẩn bị

1.1 Khái ni ệm tọa độ điểm

- SGK Toán 7 đã đưa vào khái niệm tọa độ điểm như sau:

Trang 27

“trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một

điểm P bất kì Từ P dựng các đường vuông

gó c với các trục tọa độ Giả sử các đường

vuông góc này cắt trục hoành tại điểm 1,5

và trục tung tại điểm 3 Khi đó cặp số

(1,5;3) gọi là tọa độ của điểm P và kí hiệu

P(1,5;3) Số 1,5 gọi là hoành độ và số 3

gọi là tung độ” (SGK toán 7 tập 1, trang

66)

- Ngoài ra SGK còn đưa ra lưu ý như sau:

“Mỗi điểm M xác định một cặp số (x 0 ;y 0 ) Ngược lại, mỗi cặp số (x 0 ;y 0 ) xác định một điểm M” (SGK toán 7 tập 1, trang 67)

- Như vậy bằng cách sử dụng hình vẽ, thông qua một hệ trục tọa độ, thể chế đã chỉ rõ sự tương ứng 1-1 của điểm và tọa độ của nó, tạo tiền đề cho việc sử dụng tọa

độ để xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ, và từ đây, việc đề cập tới điểm chỉ cần

đề cập tới tọa độ của nó Ý đồ này của thể chế một lần nữa được khẳng định qua hệ thống bài tập đi kèm mà sau đây là một minh họa:

“ hàm số y được cho trong bảng sau:

x 0 1 2 3 4

y 0 2 4 6 8 a) Viết tất cả các cặp giá trị tương ứng (x;y) của hàm số trên

b) Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và xác định các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng của x và y ở câu a.” (SGK Toán 7 tập 1, trang 68)

1.2 Khái ni ệm đồ thị hàm số

- Sách giáo khoa toán 7 đã nêu khái niệm đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp

các điểm biểu diễn các cặp số (x;y) trên mặt phẳng tọa độ, từ đó giải thích rằng “đồ

thị của hàm số y=ax a( ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ” Chúng tôi

nhận thấy rằng, ở đây thể chế chỉ cho thấy: ứng với một hàm số y=ax a( ≠ 0) là

P

3 2 1

-3 -2 -1

-3 -2 -1 O 1 1,5 2 3

x

y

Trang 28

một đường thẳng, không có tương ứng ở chiều ngược lại, tức là không thấy đề cập tới sự tương ứng của một đường thẳng đi qua gốc tọa độ với một hàm số Có lẽ vì lí

do này mà chúng tôi không tìm thấy khái niệm phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cũng không tìm thấy bài toán yêu cầu tìm hàm số bậc nhất (viết phương trình đường thẳng) có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

- Nối tiếp chủ đề này, SGK toán 9 khi trình bày đồ thị hàm số bậc nhất

hàm số bậc nhất là một đồ thị của nó, gọi là đường thẳng y=ax b+ , không đề cập tới tương ứng ngược lại và cũng hoàn toàn không sử dụng thuật ngữ “phương trình đường thẳng” ngay cả với những bài toán yêu cầu tìm hàm số bậc nhất (mà ta thường quen phát biểu là: viết phương trình đường thẳng):

“biết rằng đồ thị hàm số y=ax+ 5 đi qua A(-1;3) Tìm a và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được” (bài tập 18 trang 52, SGK toán 9 tập 1)

- Cùng quan điểm này, khi trình bày khái niệm hàm số bậc hai và đồ thị của nó, SGK toán 9 cũng không nêu lên sự tương ứng của một parabol với hàm số tương ứng của nó, không sử dụng khái niệm phương trình của parabol để dùng thay cho parabol

- Tuy nhiên chúng tôi cũng ghi nhận: mặc dù không trình bày sự tương ứng giữa một parabol với phương trình của nó nhưng SGK, SBT toán 10 (cả chương trình cơ bản và nâng cao) đều có những dạng toán yêu cầu xác định hàm số bậc hai khi đồ thị của nó thõa mãn một số giả thiết nào đó Sau đây là một số ví dụ:

“Khi du lịch tới thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ Giả sử ta lập một hệ tọa độ

Trang 29

Oxy sao cho chân cổng đi qua gốc O như trên hình

2.22 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí

(162;0) biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10;43)

a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung

parabol nói trên

b)…”(SGK toán 10 nâng cao, trang 61)

Rõ ràng qua bài toán này, thể chế mong đợi học sinh thấy được sự tương ứng của một đồ thị với một hàm số, hay nói một cách khác: thể chế mong muốn học sinh nắm được sự tương ứng 1-1 giữa hàm số và đồ thị của nó! Liệu ở đây có hay không một mâu thuẫn của thể chế? Chúng tôi cho là không! Lí do ẩn đằng sau nó, theo chúng tôi, là do việc chứng minh một đồ thị tương ứng với một hàm số là quá sức với học sinh, đồng thời thể chế cũng mong học sinh nắm được sự tương ứng này

Mong muốn này thể hiện cụ thể qua yêu cầu của chương trình: “tìm được phương

trình parabol y=ax2+bx + c khi biết một trong các hệ số và biết đồ thị đi qua hai điểm cho trước” ( chương trình GDPT môn Toán, trang 136)

1.3 M ột số quan hệ hình học

- Quan hệ “điểm thuộc đồ thị hàm số” là một quan hệ hình học được chuyển thành quan hệ đại số khi học sinh bắt đầu học về hàm số và đồ thị thông qua khái niệm đồ thị hàm số:

“Đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng tọa độ” (SGK toán 7 tập 1, trang 69)

- Bản thân định nghĩa này khẳng định rằng: một điểm nằm trên đồ thị của một hàm số (quan hệ hình học) khi và chỉ khi tọa độ của điểm ấy thõa mãn biểu thức giải tích của hàm số đó

Và để làm rõ hơn quan hệ này, SGK có một số bài tập giúp học sinh nắm vững hơn quan hệ này:

“Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y=-3x:

y

x

. M(10;43)

Trang 30

A − B − − C ” (bài tập 41 trang 72, SGK toán 7 tập 1)

- Như vậy rõ ràng một quan hệ hình học đã chuyển hẳn sang một quan hệ đại số Nhưng chúng tôi tự hỏi: liệu trong phạm vi các bài toán đang xét, sự chuyển đổi này nhằm mục đích gì? Nhìn chương trình ở góc độ rộng hơn, chúng tôi tìm được câu trả lời: sự chuyển đổi này không nhằm mục tiêu “đại số hóa hình học” mà ngược lại, nhằm mục tiêu “hình học hóa đại số”, ví dụ như cung cấp một hình ảnh trực quan để nghiên cứu hàm số (tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số), minh họa cho bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong…

- Quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau

của hai đường thẳng cũng được chuyển thành

các quan hệ đại số trong chương “hàm số bậc

nhất”, SGK Toán 9:

- Đầu tiên, SGK có nêu một “chứng minh”

cho thấy đồ thị hàm số y=2x+3 là một đường

thẳng song song với y=2x bằng cách lấy ba cặp

điểm trên hai đồ thị có cùng hoành độ là A(1;2),

B(2;4), C(3;6) và A’(1;2+3), B’(2;4+3), C’(3;6+3) Sau đó SGK giải thích các tứ giác AA’B’B và BB’C’C là hình bình hành nên A’,B’,C’ thẳng hàng và đường thẳng chứa A’,B’,C’ song song với đường thẳng chứa A,B,C

- Từ bài toán cụ thể này, SGK đưa ra kết luận đường thẳng y=ax b a+ ( ≠ 0)

song song với đường thẳng y=ax nếu b≠0và trùng với đường thẳng y=ax nếu 0

- Như vậy, ở đây vị trí tương đối của hai đường thẳng là một quan hệ hình học

đã được chuyển hẳn sang quan hệ đại số: xét sự bằng nhau, khác nhau của các hệ số của hàm số bậc nhất Trong việc này, lúc đầu hình học tổng hợp được sử dụng như

2

3 2

y

x

Trang 31

một công cụ để chứng minh quan hệ song song của những đường thẳng là đồ thị của các hàm số cụ thể, từ đó khái quát lên thành dấu hiệu đại số để nhận biết vị trí tương đối của các đường thẳng là đồ thị của hàm số bậc nhất

K ết luận

- Một số khái niệm hình học như điểm, đường thẳng, parabol bắt đầu bộc lộ mối liên hệ mật thiết với các khái niệm đại số Tuy nhiên mối liên hệ này chỉ rõ ràng ở một chiều, tức là một hàm số tương ứng với một đồ thị; chiều ngược lại khó trình bày tường minh, tuy nhiên học sinh cũng có thể nắm được thông qua các bài tập trong SGK

- Một số quan hệ hình học như điểm thuộc đường cong, giao điểm hai đường, quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau của hai đường thẳng đã bộc lộ rõ rệt mối liên hệ giữa chúng với các quan hệ đại số, bước đầu phục vụ cho bản thân môn đại số: minh họa hình học cho các tính chất của hàm số, số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính hai ẩn…

2 Giai đoạn tường minh

- Giai đoạn này bắt đầu bằng việc đưa phương pháp tọa độ vào nghiên cứu hình học phẳng ở lớp 10 và sau đó là nghiên cứu hình học không gian ở lớp 12 Như đã nói trước đây, vì giới hạn thời gian nên chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu chương trình và SGK lớp 12 Khi nghiên cứu phần yêu cầu về kiến thức và kĩ năng trong mục “mức độ cần đạt” của cuốn “chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” ban hành ngày 05 tháng 5 năm 2006 và sách giáo viên hình học 12, chúng tôi nhận thấy yêu cầu chủ yếu của thể chế là:

“Biết phương trình mặt cầu…

Xác định được tọa độ tâm và bán kính mặt cầu có phương trình cho trước”

(chương trình giáo dục phổ thông môn toán, 2006, trang 188)

Hoặc là:

“ Hiểu được khái niệm vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng

Trang 32

Biết phương trình tổng quát của mặt phẳng, điều kiện vuông góc, song song của hai mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Biết cách viết phương trình tổng quát của mặt phẳng và tính được khoảng cách

từ một điểm tới một mặt phẳng…” (chương trình giáo dục phổ thông môn toán,

2006, trang 189)

- Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: “Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của

mặt phẳng”, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của hình

học không gian như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng; hoặc với yêu cầu “Biết điều kiện vuông góc, song song của hai mặt

phẳng”, học sinh cần phải vận dụng được định nghĩa, các tính chất của hai mặt

phẳng song song, vuông góc mới biết được lí do có công thức đại số để xét tính song song, vuông góc của hai mặt phẳng trong HHGT

- Rõ ràng để đáp ứng yêu cầu của chương trình, học sinh phải biết vận dụng kiến thức của hình học không gian tổng hợp, hay nói khác hơn thể chế đã ngầm ẩn yêu cầu khả năng vận dụng kiến thức hình học không gian tổng hợp vào việc giải quyết các vấn đề của HHGT

- Đối với yêu cầu vận dụng kiến thức HHGT để giải toán hình học không gian tổng hợp, chúng tôi nhận thấy sách giáo viên có yêu cầu như sau:

“Biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học như sự thẳng hàng của ba điểm, sự cùng phương của hai vectơ, sự đồng phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc

Giải được một số bài toán của HHKG bằng phương pháp tọa độ” (theo [9],

Trang 33

hiểu HHGT và vận dụng kiến thức HHGT để giải toán hình học không gian tổng hợp

- Những yêu cầu của chương trình và hướng dẫn của SGV thường không tác động trực tiếp đến học sinh vì đối tượng này ít có cơ hội tiếp xúc với các yêu cầu

đó Học sinh nắm được yêu cầu của chương trình qua giáo viên và SGK là chủ yếu

Họ tiếp cận các khái niệm và nhận ra những gì thể chế mong đợi ở họ thông qua phần lí thuyết và bài tập trong SGK Sau đây chúng tôi sẽ lần lượt phân tích các tình huống đưa vào các khái niệm hình học, các quan hệ hình học trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian”, SGK hình học nâng cao lớp 12 chương trình hiện hành để làm rõ những ràng buộc của thể chế với mối liên hệ giữa HHTH và HHGT:

2.1 Tình hu ống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm

- Như chúng ta vẫn biết, trong toán học điểm là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa) Trong các SGK của chương trình phổ thông, điểm được đưa vào dưới hình ảnh trực quan:

“Dấu chấm nhỏ trên trang giấy là hình ảnh của điểm Người ta dùng các chữ

cái in hoa A, B, C… để đặt tên cho điểm.” (SGK toán 6 tập 1, trang 103)

- Từ hình ảnh trực quan này, SGK hình học nâng cao 12 đưa vào khái niệm tọa

độ của một điểm bằng cách đưa vào khái niệm tọa độ của vectơ trước đó:

“Trong khôn g gian tọa độ Oxyz với các

vectơ đơn vị i j k   , ,

trên các trục, cho một vec tơ u

Khi đó có một bộ ba số (x;y;z) sao

cho u = +xi y j +zk

Bộ ba số đó cũng được gọi là tọa độ của vectơ u

đối với hệ trục tọa

độ Oxyz và kí hiệu u

=(x;y;z) hoặc u

(x;y;z)”

([8], tr 71)

- Sau khi giới thiệu khái niệm tọa độ vectơ như trên, SGK đưa vào khái niệm tọa

độ của điểm như sau:

Trang 34

“Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi OM

Bởi vậy nếu (x;y;z) là tọa độ của OM

thì ta cũng nói (x;y;z) là tọa độ của điểm M

và kí hiệu là M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z)” ([8], tr 72)

- Như vậy, với hình vẽ trên, SGK đã chỉ ra cách xác định tọa độ một điểm trong một hệ trục cho trước và cách xác định điểm khi cho trước tọa độ của nó Tuy nhiên cách xác định này tỏ ra khá mờ nhạt khi chỉ được minh họa qua hình vẽ và không có bất kì lời giải thích kèm theo nào! Nổi bật lên là một định nghĩa hình thức và mục tiêu là: khẳng định sự tương ứng giữa điểm và tọa độ của nó trong một hệ trục tọa

độ xác định là tương ứng 1-1 Điều này là cơ sở cho việc: khi cho một điểm chỉ cần cho tọa độ của nó, hoặc khi xác định một điểm chỉ cần xác định tọa độ của nó Hay nói cách khác: điểm có thể hoàn toàn thay thế bằng tọa độ của nó Như vậy mối liên

hệ giữa điểm và tọa độ của nó, hay cụ thể hơn là sự xác định điểm khi biết tọa độ của nó và ngược lại liệu đã được thể chế quan tâm? Liệu cho một điểm trong một hệ trục tọa độ thì học sinh có biết cách xác định tọa độ của nó không, và ngược lại, cho tọa độ một điểm liệu học sinh có dựng được điểm đó trong một hệ trục tọa độ cho sẵn?

2.2 Tình hu ống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng

- Như ta vẫn biết trong hình học tổng hợp, mặt phẳng là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa) Trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông, mặt phẳng chính thức được giới thiệu qua hai lớp: lớp 6 và lớp 11

- SGK toán 6 nêu khái niệm mặt phẳng như sau:

“trang giấy, mặt bảng là hình ảnh của mặt phẳng Mặt phẳng không bị giới hạn

về mọi phía” (SGK toán 6 tập 2, trang 71)

- SGK hình học 11 giới thiệu mặt phẳng như sau:

“tran g giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng… cho ta hình ảnh của một phần mặt phẳng trong không gian” (SGK

hình học nâng cao 11, tr 40)

Trang 35

- Như vậy khái niệm mặt phẳng cũng được giới thiệu một cách trực quan Ngoài

ra để giới thiệu khái niệm phương trình mặt phẳng ở lớp 12 thì có một số khái niệm

và tính chất đáng quan tâm được giới thiệu trong chương trình lớp 11 như sau:

“một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó” (định nghĩa đường thẳng vuông góc với

mặt phẳng, SGK hình học nâng cao 11, trang 97)

“có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước” (tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt

phẳng, SGK hình học nâng cao 11, trang 97)

- Trên cơ sở này, SGK hình học 12 đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng như sau:

Trước tiên, SGK định nghĩa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

“vec tơ n  ≠ 0

gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )α nếu giá của n

vuông góc với mặt phẳng ( )α ” ([8], trang 82)

Sau đó, dựa vào sự tồn tại duy nhất của mặt phẳng đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) và nhận n = ( ; ; )A B C

làm vectơ pháp tuyến, SGK đưa vào phương trình mặt phẳng ( )αnhư sau:

“…Khi đó, điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) thuộc ( )α là n M M  0 = 0

(hình vẽ), hay:

Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát

của mặt phẳng ( )α hay nói gọn là phương trình mặt phẳng ( )α ” ([8], trang 83)

- Cuối cùng, để chỉ rõ tương ứng 1-1 giữa một mặt phẳng và phương trình của

nó, SGK đưa vào định lí:

Trang 36

“Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax+By+Cz+ =D 0 với

2 2 2

0

A +B +C > đều là phương trình của một mặt phẳng xác định” ([8], trang 83)

- Như vậy, để xây dựng phương trình của mặt phẳng, SGK đã sử dụng hình ảnh trực quan của mặt phẳng và các tính chất hình học sẵn có của mặt phẳng trong HHTH Tuy nhiên, những tính chất đó chỉ được sử dụng ngầm ẩn Nổi bật lên, chúng ta nhận thấy: SGK đã thể hiện một các rõ ràng sự tương ứng 1-1 giữa một mặt phẳng và phương trình của nó Điều này cho phép thay thế một mặt phẳng bởi phương trình của nó trong việc xét vị trí tương đối, tính góc, xác định mặt phẳng…

Có lẽ vì mục tiêu này mà sách giáo viên đã yêu cầu: “làm cho học sinh hiểu được

rằng: trong không gian tọa độ, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng

“Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa A,B đồng thời cách đều hai điểm C,D”

- Với trình bày của SGK ở trên, chúng tôi cho rằng: học sinh sẽ khó vận dụng kiến thức HHTH để chỉ ra rằng: mặt phẳng cần viết chứa đường thẳng AB và song song với đường thẳng CD hoặc chứa đường thẳng AB và đi qua trung điểm CD Tức là học sinh không có ý thức vận dụng kiến thức HHTH khi giải toán HHGT liên quan tới phương trình mặt phẳng

- Ngoài ra chúng tôi còn nhận thấy: khi đề cập tới phương trình mặt phẳng thì các điều kiện xác định mặt phẳng này chỉ được đề cập ngầm ẩn Liệu học sinh có quan tâm tới sự tồn tại của mặt phẳng cần viết? Trong trường hợp mặt phẳng đó không tồn tại thì học sinh có nhận ra? Hay học sinh sẽ máy móc viết phương trình mặt phẳng đó một cách sai lầm, hoặc cho tới khi vất vả tìm cách viết phương trình mặt phẳng mà không thành công, các em mới nhận ra mặt phẳng đó hoàn toàn không tồn tại?

Trang 37

2.3 Tình hu ống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng

- Đường thẳng trong hình học tổng hợp là một khái niệm cơ bản, và sách giáo khoa toán 6 đưa vào khái niệm đường thẳng theo quan điểm này: không định nghĩa, chỉ mô tả bằng hình ảnh trực quan:

“sợi chỉ căng thẳng, mép bảng…cho ta hình ảnh của đường thẳng Đường thẳng không bị giới hạn về hai phía.” (SGK toán 6 tập 1, trang 103)

- Ngoài ra, có tính chất đáng lưu ý của hai đường thẳng song song như sau:

“Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó” (tính chất hai đường thẳng song

song, SGK hình học 11 nâng cao, trang 53)

- Thừa kế hình ảnh trực quan của một đường thẳng và tính chất của hai đường thẳng song song, qua trung gian là hình vẽ, SGK hình học 12 đưa vào khái niệm phương trình của đường thẳng như sau:

“Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) và có vectơ chỉ phương u a b c( ; ; )

- Sau đó, để chỉ rõ tương ứng ngược lại giữa một phương trình tham số với một đường thẳng, SGK đưa ra nhận xét:

Trang 38

“ngược lại, mỗi hệ phương trình dạng (1) với 2 2 2

0

a +b +c > đều là phương trình tham số của một đường thẳng d đi qua điểm ( ;x y z0 0; 0) và có vec tơ chỉ phương là u a b c ( ; ; )

” ( [8], trang 91)

- Như vậy quan điểm trình bày của SGK rất rõ ràng: một đường thẳng trong hệ trục tọa có thể xác định phương trình của nó, ngược lại mỗi phương trình cũng xác định một đường thẳng Điều này tạo điều kiện cho việc thay thế đường thẳng bởi phương trình của nó trong việc giải quyết các bài toán liên quan: xét vị trí tương đối, tính góc, khoảng cách…, mà ở đó, những quan hệ hình học liên quan tới đường thẳng có thể thay thế hoàn toàn bằng các quan hệ đại số Từ đây, chúng tôi cho rằng: những tính chất hình học của đường thẳng không còn được học sinh quan tâm,

và học sinh không có ý thức vận dụng các tính chất hình học của đường thẳng khi giải toán HHGT liên quan tới đường thẳng

- Ngoài ra, SGK đã ngầm ẩn sử dụng tính chất về sự xác định duy nhất của đường thẳng khi viết phương trình của nó Điều này theo chúng tôi, sẽ làm cho học sinh khó nhận ra sự xác định của đường thẳng cần viết Từ đây, chúng tôi cho rằng học sinh sẽ không quan tâm tới sự tồn tại của đường thẳng khi đứng trước yêu cầu viết phương trình đường thẳng

2.4 Tình hu ống đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu

- Không như điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm cơ bản, mặt cầu

là một khái niệm được định nghĩa Trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông, mặt cầu được định nghĩa như sau:

“Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O và bán kính bằng R” ([8], trang 38)

- Bằng cách xây dựng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trước đó và việc sử dụng định nghĩa mặt cầu trong hình học tổng hợp, SGK đã đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu như sau:

“Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu S(I;R) có tâm I(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và bán kính R Điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu đó khi và chỉ khi IM=R hay 2 2

IM =R , nghĩa

Trang 39

là 2 2 2 2

(x−x ) + (y−y ) + − (z z ) =R Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt cầu S(I;R) ([8], trang 79)

- Sau đó, bằng việc khai triển và thu gọn phương trình mặt cầu nói trên, SGK chỉ

ra rằng, phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng:

2.5 Tình hu ống đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

- Do giới hạn thời gian nghiên cứu và vì tính tương tự của cách đưa vào các công thức khoảng cách, nên ở đây chúng tôi chỉ phân tích cách đưa vào công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được giới thiệu trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông như sau:

“Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung 6 của hai đường thẳng đó.” (SGK hình học nâng cao 11, trang 115)

ngay trước đó

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	599,12 KB