II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
2. Giai đoạn tường minh
2.4 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu
- Không như điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm cơ bản, mặt cầu là một khái niệm được định nghĩa. Trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông, mặt cầu được định nghĩa như sau:
“Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O và bán kính bằng R” ([8], trang 38)
- Bằng cách xây dựng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trước đó và việc sử dụng định nghĩa mặt cầu trong hình học tổng hợp, SGK đã đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu như sau:
“Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu S(I;R) có tâm I(x0;y0;z0) và bán kính R. Điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu đó khi và chỉ khi IM=R hay 2 2
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
là 2 2 2 2
0 0 0
(x−x ) +(y−y ) + −(z z ) =R . Phương trình trên được gọi là phương trình của mặt cầu S(I;R). ([8], trang 79)
- Sau đó, bằng việc khai triển và thu gọn phương trình mặt cầu nói trên, SGK chỉ ra rằng, phương trình mặt cầu có thể viết dưới dạng:
2 2 2
2 2 2 0
x +y +z + Ax+ By+ Cz+ =D
- Ngoài ra, SGK còn đặt vấn đề: liệu mỗi phương trình dạng
2 2 2
2 2 2 0
x +y +z + Ax+ By+ Cz+ =D có là phương trình của một mặt cầu nào đó? Vấn đề đó được giải quyết trọn vẹn trong kết luận:
“Phương trình 2 2 2
2 2 2 0
x +y +z + Ax+ By+ Cz+ =D là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi 2 2 2
A +B +C >D. Khi đó tâm mặt cầu là điểm I(-A;-B;-C) và bán kính
mặt cầu là 2 2 2
R= A +B +C −D” ([8], trang 80)
- Như vậy, bằng cách xây dựng từ định nghĩa của mặt cầu, SGK đã chỉ rõ sự tương ứng 1-1 giữa một mặt cầu và phương trình của nó. Sự tương ứng này tạo điều kiện cho việc thay thế mặt cầu bởi phương trình của nó trong việc tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu, xác định mặt cầu…