II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
2. Giai đoạn tường minh
2.3 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng
- Đường thẳng trong hình học tổng hợp là một khái niệm cơ bản, và sách giáo khoa toán 6 đưa vào khái niệm đường thẳng theo quan điểm này: không định nghĩa, chỉ mô tả bằng hình ảnh trực quan:
“sợi chỉ căng thẳng, mép bảng…cho ta hình ảnh của đường thẳng. Đường thẳng không bị giới hạn về hai phía.”(SGK toán 6 tập 1, trang 103).
- Ngoài ra, có tính chất đáng lưu ý của hai đường thẳng song song như sau:
“Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó” (tính chất hai đường thẳng song song, SGK hình học 11 nâng cao, trang 53)
- Thừa kế hình ảnh trực quan của một đường thẳng và tính chất của hai đường thẳng song song, qua trung gian là hình vẽ, SGK hình học 12 đưa vào khái niệm phương trình của đường thẳng như sau:
“Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M x y z0( ;0 0; 0) và có vectơ chỉ phương u a b c( ; ; )
(hình vẽ). Vì u ≠0
nên ta phải có 2 2 2
0
a +b +c > .
Ta biết rằng điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y;z) nằm trên đường thẳng d là vectơ M M0
cùng phương với vectơ u
, tức là có số t∈ sao cho M M0 =tu
. Điều kiện trên tương đương với :
0 0 0 (1) x x ta y y tb t z z tc = + = + ∈ = +
Hệ phương trình trên được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d với tham số t. Với mỗi t∈, hệ phương trình trên cho ta tọa độ (x;y;z) của một điểm nằm trên d” ([8], trang 91)
- Sau đó, để chỉ rõ tương ứng ngược lại giữa một phương trình tham số với một đường thẳng, SGK đưa ra nhận xét: x y z u M0 d M o
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
“ngược lại, mỗi hệ phương trình dạng (1) với 2 2 2 0
a +b +c > đều là phương trình tham số của một đường thẳng d đi qua điểm ( ;x y z0 0; 0) và có vectơ chỉ phương là u a b c( ; ; )
” ( [8], trang 91)
- Như vậy quan điểm trình bày của SGK rất rõ ràng: một đường thẳng trong hệ trục tọa có thể xác định phương trình của nó, ngược lại mỗi phương trình cũng xác định một đường thẳng. Điều này tạo điều kiện cho việc thay thế đường thẳng bởi phương trình của nó trong việc giải quyết các bài toán liên quan: xét vị trí tương đối, tính góc, khoảng cách…, mà ở đó, những quan hệ hình học liên quan tới đường thẳng có thể thay thế hoàn toàn bằng các quan hệ đại số. Từ đây, chúng tôi cho rằng: những tính chất hình học của đường thẳng không còn được học sinh quan tâm, và học sinh không có ý thức vận dụng các tính chất hình học của đường thẳng khi giải toán HHGT liên quan tới đường thẳng.
- Ngoài ra, SGK đã ngầm ẩn sử dụng tính chất về sự xác định duy nhất của đường thẳng khi viết phương trình của nó. Điều này theo chúng tôi, sẽ làm cho học sinh khó nhận ra sự xác định của đường thẳng cần viết. Từ đây, chúng tôi cho rằng học sinh sẽ không quan tâm tới sự tồn tại của đường thẳng khi đứng trước yêu cầu viết phương trình đường thẳng.