II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
1. Giai đoạn chuẩn bị
1.1 Khái niệm tọa độ điểm
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
“trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm P bất kì. Từ P dựng các đường vuông góc với các trục tọa độ. Giả sử các đường vuông góc này cắt trục hoành tại điểm 1,5 và trục tung tại điểm 3. Khi đó cặp số (1,5;3) gọi là tọa độ của điểm P và kí hiệu P(1,5;3). Số 1,5 gọi là hoành độ và số 3 gọi là tung độ” (SGK toán 7 tập 1, trang 66).
- Ngoài ra SGK còn đưa ra lưu ý như sau:
“Mỗi điểm M xác định một cặp số (x0;y0). Ngược lại, mỗi cặp số (x0;y0) xác định một điểm M” (SGK toán 7 tập 1, trang 67).
- Như vậy bằng cách sử dụng hình vẽ, thông qua một hệ trục tọa độ, thể chế đã chỉ rõ sự tương ứng 1-1 của điểm và tọa độ của nó, tạo tiền đề cho việc sử dụng tọa độ để xác định điểm trên mặt phẳng tọa độ, và từ đây, việc đề cập tới điểm chỉ cần đề cập tới tọa độ của nó. Ý đồ này của thể chế một lần nữa được khẳng định qua hệ thống bài tập đi kèm mà sau đây là một minh họa:
“ hàm số y được cho trong bảng sau:
x 0 1 2 3 4
y 0 2 4 6 8
a) Viết tất cả các cặp giá trị tương ứng (x;y) của hàm số trên
b) Vẽ một hệ trục tọa độ Oxy và xác định các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng của x và y ở câu a.”(SGK Toán 7 tập 1, trang 68)
1.2 Khái niệm đồ thị hàm số
- Sách giáo khoa toán 7 đã nêu khái niệm đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp các điểm biểu diễn các cặp số (x;y) trên mặt phẳng tọa độ, từ đó giải thích rằng “đồ thị của hàm số y=ax a( ≠0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ”. Chúng tôi nhận thấy rằng, ở đây thể chế chỉ cho thấy: ứng với một hàm số y=ax a( ≠0) là
P 3 2 1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 O 1 1,5 2 3 x y
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
một đường thẳng, không có tương ứng ở chiều ngược lại, tức là không thấy đề cập tới sự tương ứng của một đường thẳng đi qua gốc tọa độ với một hàm số. Có lẽ vì lí do này mà chúng tôi không tìm thấy khái niệm phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cũng không tìm thấy bài toán yêu cầu tìm hàm số bậc nhất (viết phương trình đường thẳng) có đồ thị là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.
- Nối tiếp chủ đề này, SGK toán 9 khi trình bày đồ thị hàm số bậc nhất
( 0)
y=ax b a+ ≠ cũng trình bày cùng quan điểm như SGK toán 7: tương ứng một
hàm số bậc nhất là một đồ thị của nó, gọi là đường thẳng y=ax b+ , không đề cập tới tương ứng ngược lại và cũng hoàn toàn không sử dụng thuật ngữ “phương trình đường thẳng” ngay cả với những bài toán yêu cầu tìm hàm số bậc nhất (mà ta thường quen phát biểu là: viết phương trình đường thẳng):
“biết rằng đồ thị hàm số y=ax+5 đi qua A(-1;3). Tìm a và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được” (bài tập 18 trang 52, SGK toán 9 tập 1).
- Cùng quan điểm này, khi trình bày khái niệm hàm số bậc hai và đồ thị của nó, SGK toán 9 cũng không nêu lên sự tương ứng của một parabol với hàm số tương ứng của nó, không sử dụng khái niệm phương trình của parabol để dùng thay cho parabol.
- Tuy nhiên chúng tôi cũng ghi nhận: mặc dù không trình bày sự tương ứng giữa một parabol với phương trình của nó nhưng SGK, SBT toán 10 (cả chương trình cơ bản và nâng cao) đều có những dạng toán yêu cầu xác định hàm số bậc hai khi đồ thị của nó thõa mãn một số giả thiết nào đó. Sau đây là một số ví dụ:
“xác định hàm số 2
2
y=ax +bx+ biết rằng parabol đó: a) Đi qua M(1;5) và N(-2;8)
b) Đi qua A(3;-4) và có trục đối xứng 3
2
x= − ”(SGK đại số 10, trang 49) Hoặc là :
“Khi du lịch tới thành phố Xanh Lu-I (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ac-xơ. Giả sử ta lập một hệ tọa độ
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
Oxy sao cho chân cổng đi qua gốc O như trên hình 2.22 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162;0). biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10;43)
a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên.
b)…”(SGK toán 10 nâng cao, trang 61)
Rõ ràng qua bài toán này, thể chế mong đợi học sinh thấy được sự tương ứng của một đồ thị với một hàm số, hay nói một cách khác: thể chế mong muốn học sinh nắm được sự tương ứng 1-1 giữa hàm số và đồ thị của nó! Liệu ở đây có hay không một mâu thuẫn của thể chế? Chúng tôi cho là không! Lí do ẩn đằng sau nó, theo chúng tôi, là do việc chứng minh một đồ thị tương ứng với một hàm số là quá sức với học sinh, đồng thời thể chế cũng mong học sinh nắm được sự tương ứng này. Mong muốn này thể hiện cụ thể qua yêu cầu của chương trình: “tìm được phương trình parabol y=ax2+bx+c khi biết một trong các hệ số và biết đồ thị đi qua hai điểm cho trước”( chương trình GDPT môn Toán, trang 136)
1.3 Một số quan hệ hình học
- Quan hệ “điểm thuộc đồ thị hàm số” là một quan hệ hình học được chuyển thành quan hệ đại số khi học sinh bắt đầu học về hàm số và đồ thị thông qua khái niệm đồ thị hàm số:
“Đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng tọa độ” (SGK toán 7 tập 1, trang 69).
- Bản thân định nghĩa này khẳng định rằng: một điểm nằm trên đồ thị của một hàm số (quan hệ hình học) khi và chỉ khi tọa độ của điểm ấy thõa mãn biểu thức giải tích của hàm số đó.
Và để làm rõ hơn quan hệ này, SGK có một số bài tập giúp học sinh nắm vững hơn quan hệ này:
“Những điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y=-3x:
y
x
O 162
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
1 1
( ;1); ( ; 1); (0; 0)
3 3
A − B − − C ”(bài tập 41 trang 72, SGK toán 7 tập 1)
- Như vậy rõ ràng một quan hệ hình học đã chuyển hẳn sang một quan hệ đại số. Nhưng chúng tôi tự hỏi: liệu trong phạm vi các bài toán đang xét, sự chuyển đổi này nhằm mục đích gì? Nhìn chương trình ở góc độ rộng hơn, chúng tôi tìm được câu trả lời: sự chuyển đổi này không nhằm mục tiêu “đại số hóa hình học” mà ngược lại, nhằm mục tiêu “hình học hóa đại số”, ví dụ như cung cấp một hình ảnh trực quan để nghiên cứu hàm số (tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số), minh họa cho bài toán tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong…
- Quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau của hai đường thẳng cũng được chuyển thành các quan hệ đại số trong chương “hàm số bậc nhất”, SGK Toán 9:
- Đầu tiên, SGK có nêu một “chứng minh” cho thấy đồ thị hàm số y=2x+3 là một đường thẳng song song với y=2x bằng cách lấy ba cặp điểm trên hai đồ thị có cùng hoành độ là A(1;2),
B(2;4), C(3;6) và A’(1;2+3), B’(2;4+3), C’(3;6+3). Sau đó SGK giải thích các tứ giác AA’B’B và BB’C’C là hình bình hành nên A’,B’,C’ thẳng hàng và đường thẳng chứa A’,B’,C’ song song với đường thẳng chứa A,B,C.
- Từ bài toán cụ thể này, SGK đưa ra kết luận đường thẳng y=ax b a+ ( ≠0)
song song với đường thẳng y=ax nếu b≠0và trùng với đường thẳng y=ax nếu
0
b= .
- Từ kết luận trên, SGK mới đưa ra nhận xét hai đường thẳng
à ' '
y=ax b v y+ =a x b+ song song với nhau khi và chỉ khi a=a v b' à ≠b', trùng nhau khi và chỉ khi a=a v b' à =b'(và hiển nhiên cắt nhau khi và chỉ khi a≠a').
- Như vậy, ở đây vị trí tương đối của hai đường thẳng là một quan hệ hình học đã được chuyển hẳn sang quan hệ đại số: xét sự bằng nhau, khác nhau của các hệ số của hàm số bậc nhất. Trong việc này, lúc đầu hình học tổng hợp được sử dụng như
C' B' A' C B A 9 7 6 5 4 2 3 2 O 1 y x
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
một công cụ để chứng minh quan hệ song song của những đường thẳng là đồ thị của các hàm số cụ thể, từ đó khái quát lên thành dấu hiệu đại số để nhận biết vị trí tương đối của các đường thẳng là đồ thị của hàm số bậc nhất.
Kết luận
- Một số khái niệm hình học như điểm, đường thẳng, parabol bắt đầu bộc lộ mối liên hệ mật thiết với các khái niệm đại số. Tuy nhiên mối liên hệ này chỉ rõ ràng ở một chiều, tức là một hàm số tương ứng với một đồ thị; chiều ngược lại khó trình bày tường minh, tuy nhiên học sinh cũng có thể nắm được thông qua các bài tập trong SGK.
- Một số quan hệ hình học như điểm thuộc đường cong, giao điểm hai đường, quan hệ song song, cắt nhau, trùng nhau của hai đường thẳng đã bộc lộ rõ rệt mối liên hệ giữa chúng với các quan hệ đại số, bước đầu phục vụ cho bản thân môn đại số: minh họa hình học cho các tính chất của hàm số, số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính hai ẩn…