II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
2. Giai đoạn tường minh
2.6 Tình huống đưa vào quan hệ đồng phẳng của bốn điểm
- Khái niệm các điểm đồng phẳng trong hình học được chương trình hình học tổng hợp phổ thông giới thiệu như sau:
“Nếu có nhiều điểm thuộc một mặt phẳng thì ta nói rằng các điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng”(SGK hình học nâng cao lớp 11, trang 43)
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
- Như vậy, với định nghĩa này, để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta phải chỉ ra một mặt phẳng chứa tất cả các điểm đó; và ngược lại, để chứng minh bốn điểm không đồng phẳng, ta phải chứng minh một điểm không nằm trên mặt phẳng chứa ba điểm kia.
- Tuy nhiên, việc chứng minh sự đồng phẳng của bốn điểm trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian” dựa vào sự đồng phẳng của các vectơ. Để làm được điều này, đầu tiên SGK đưa ra khái niệm tích có hướng của hai vectơ (hoàn toàn bằng công thức tọa độ):
“tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ u a b c( ; ; )
và v a b c( '; '; ')
là một vectơ kí hiệu [ , ]u v
(hoặc u ∧v
), được xác định bằng tọa độ như sau:
( ) [ , ] ; ; ' '; ' '; ' ' ' ' ' ' ' ' b c c a a b u v bc cb ca ac ab ba b c c a a b = = − − − ” ([8], trang 75)
- Sau đó, dựa vào biểu thức tọa độ tích có hướng của hai vectơ, SGK chứng minh các tính chất của tích có hướng hai vec tơ, trong đó có tính chất đáng chú ý:
“vec tơ [ , ]u v
vuông góc với cả hai vec tơ u v v à
”.
- Dựa vào tính chất này, SGK nêu ra một ứng dụng của tích có hướng như sau:
“u v w , ,
đồng phẳng khi và chỉ khi [ , ].u v w =0
” ([8], trang 77).
- Ngay dưới ứng dụng này là một ví dụ chứng tỏ bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng, và cách giải của SGK là chứng minh [BA BC BD , ]. ≠0
và không có một giải thích nào khác. Lời giải này phù hợp với yêu cầu của SGV: “làm cho học sinh hiểu và nhớ công thức biểu thị mối quan hệ giữa các điểm như thẳng hàng, đồng phẳng…” ([9], trang 68).
- Như vậy việc xây dựng công thức đại số cho phép xét tính đồng phẳng của bốn điểm trong HHGT hầu như tách biệt với định nghĩa sự đồng phẳng trong HHTH. Điều này, theo chúng tôi, làm cho học sinh không thấy mối liên hệ giữa định nghĩa hình học và công thức đại số để chứng minh các điểm đồng phẳng; từ đó có thể ngăn cản học sinh vận dụng kiến thức HHTH để giải toán HHGT.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…