Thực nghiệm được tiến hành trên 151 học sinh khối 12 gồm 74 học sinh lớp 12A1 và 12A3 của trường trung học thực hành thuộc ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh (các bài làm của các học sinh này được mã hóa là TH01 đến TH74) và 77 học sinh lớp 12B6 và 12B7 của trường THPT Long Khánh, thị xã Long Khánh, tỉnh Đồng Nai (các bài làm của các học sinh này được mã hóa là LK01 đến LK77). Sau đây là kết quả thu thập được từ thực nghiệm:
- Câu 1:
Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 1c:
Chiến lược S1.1(phương trình) S1.2(tính chất) Bỏ trống
Số lựa chọn 70 42 39
Tỉ lệ 46,4% 27,8% 25,8%
- Qua số liệu tổng hợp được từ thực nghiệm trên, chúng ta nhận thấy: dù đề toán đã có những yêu cầu mang tính chất gợi ý rất gần gũi nhằm tạo điều kiện để học sinh vận dụng các tính chất của HHTH để giải toán, tuy nhiên có tới 70/112 (62,5%) bài làm của học sinh (không kể các trường hợp bỏ trống) dùng chiến lược phương trình, tức là viết phương trình mặt phẳng để xét vị trí tương đối. Điều này cho phép chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết nghiên cứu H1:Đứng trước một bài toán HHGT, học sinh chỉ sử dụng kiến thức HHGT để giải toán.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
- Ngoài ra, ngay trong những bài làm thuộc chiến lược S1.2, tức là chiến lược áp dụng tính chất HHTH để chứng minh, chúng tôi cũng ghi nhận một hiện tượng: một số học sinh viết phương trình hoặc tìm VTPT của mặt phẳng (β) xong mới vận dụng các tính chất HHTH để chứng minh như TH12,15,28,55,70, LK59. Sau đây là bài làm của học sinh TH28:
“… (β) có VTPT nβ =[a a d, d']=(1; 1; 2)− − , qua A(1;-2;0) (β): x− −1 (y− −2) 2z=0 2 3 0 x y z ⇔ − − − = vì ( ), ( ') ( ) ( ), ( ') / /( ) d d d d β α ⊂ ⇒( ) / /( )β α ”
Tất cả những bài làm kể trên đều không gạch bỏ phần viết phương trình mặt phẳng hay VTPT. Điều này càng cho thấy giả thuyết nghiên cứu của chúng tôi là đúng đắn: suy nghĩ đầu tiên của học sinh khi đứng trước bài toán xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng là tìm VTPT hoặc viết phương trình của các mặt phẳng, dù sau đó học sinh nhận ra rằng: việc vận dụng các tính chất HHTH cũng có thể dễ dàng giải quyết được bài toán.
- Câu 2:
Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 2: Chiến lược S2.1 (một điểm) S2.2 (qua vectơ) S2.3 (tích có hướng) S2.4 (duy nhất) S2.5 (không tồn tại) Bỏ trống Số lựa chọn 85 04 14 10 31 07 Tỉ lệ 56,3% 2,6% 9,3% 6,6% 20,5% 4,6%
- Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy: có tới 68,2% học sinh chọn các chiến lược sai S2.1, S2.2, S2.3, tức là đa số học sinh không quan tâm tới sự tồn tại
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
của mặt phẳng khi viết phương trình của nó. Đặc biệt có tới 56,3% chọn chiến lược “một điểm” S2.1. Trong chiến lược S2.1, hoc sinh chỉ dùng tọa độ một điểm cho việc viết phương trình mặt phẳng (α) mà hoàn toàn không dùng tọa độ điểm còn lại. Như vậy, mặc dù tồn tại một mâu thuẫn dễ thấy, giúp học sinh dễ dàng nhận ra mặt phẳng cần viết không tồn tại nhưng đa số các em vẫn không quan tâm. Các em cho rằng khi đứng trước yêu cầu viết phương trình mặt phẳng, thì mặt phẳng đó đương nhiên tồn tại. Từ đây chúng tôi kiểm chứng được tính thỏa đáng của qui tắc hợp đồng R1. Ngoài ra, như đã nói ở phần phân tích a priori, việc đa số học sinh lựa chọn chiến lược S2.1, S2.2, S2.3 giúp chúng tôi khẳng định mạnh mẽ hơn giả thuyết nghiên cứu H1 đã nêu ra.
- Câu 3:
Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 3:
Chiến lược S3.1(quen thuộc) S3.2(vuông góc) Bỏ trống
Số lựa chọn 34 44 73
Tỉ lệ 22,5% 29,1% 48,3%
- Trong bảng thống kê trên, chúng ta nhận thấy: có gần một nửa (48,3%) các học sinh được khảo sát bỏ trống câu 3b và 22,5% học sinh chọn chiến lược sai. Trong khi đó có 71,5% học sinh tham gia giải quyết câu 3a và đa số lời giải cho câu này là đúng. Với những số liệu đó, cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi chọn hệ trục tọa độ để chuyển bài toán HHKG tổng hợp sang bài toán HHGT khi giả thiết bài toán không chứa sẵn các quan hệ vuông góc.
- Ngoài ra, chúng ta còn nhận ra ảnh hưởng của thể chế lên học sinh qua các bài giải sai của họ. Những bài giải sai của học sinh chúng tôi nhận thấy có nhiều điểm chung và có ba kiểu giải phổ biến sau đây là các bài giải đại diện:
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
- Kiểu 1:(đại diện là bài giải của học sinh LK3) b) “S(0;0;0) A(a;0;0) B(0;a;0) C(0;0;a)”
- Kiểu 2: (đại diện là bài giải của học sinh LK8)
“ S ≡O(vì S.ABC là hình chóp tam giác đều)
ASB=BSC=CSA ⇒ S phải trùng O”
Sau đó học sinh này không thể giải tiếp.
- Kiểu 3: (đại diện là bài giải của học sinh LK16)
b)
“Gọi H là trọng tâm tam giác ABC Vì S.ABC là hình chóp đều nên SH ⊥(ABC) (0;0;0) H ⇒ mà SH nằm trên Oz nên S(0;0;h)”
Sau đó học sinh này không thể giải tiếp. - Nhận xét:
Trong bài giải trên, trong nhiều sai lầm mà học sinh mắc phải, chúng tôi đặc biệt quan tâm tới hai sai lầm:
x y z S A C B x S B A C z y h H S C B A y x z
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
Thứ nhất: giả thiết không hề cho giả thiết về tính vuông góc đôi một của SA,SB,SC (hoặc HB,HC,HS) tuy vậy học sinh lại chọn hệ trục tọa độ có S (hoặc H) là gốc hệ trục, các trục Sx,Sy,Sz (Hx,Hy,Hz) lần lượt chứa các cạnh SA,SB,SC (HB,HC,HS).
Thứ hai: giả thiết cho chiều cao hình chóp là h, nhưng học sinh không thể vận dụng giả thiết này, hoặc không vận dụng giả thiết này mà bài giải vẫn ra kết quả cuối cùng mà không chút băn khoăn (lời giải của học sinh thể hiện rõ ràng, không tẩy xóa)
Sai lầm thứ nhất, theo chúng tôi, là do học sinh tiếp xúc với kiểu nhiệm vụ này qua các bài toán với giả thiết có sẵn ba đường thẳng đôi một vuông góc trên hình vẽ. Nó là một ràng buộc của thể chế nên khi học sinh tiếp xúc với một đề toán “lạ”, học sinh có xu hướng áp giả thiết của bài toán “lạ” về những bài toán quen thuộc đã gặp.
Sai lầm thứ hai, theo chúng tôi, cũng có chung nguồn gốc với sai lầm thứ nhất: với hình chóp tam giác có ba cạnh đôi một vuông góc mà học sinh thường gặp trong kiểu nhiệm vụ này thì giả thiết chiều cao hình chóp thường ít xuất hiện. Do đó, khi giả thiết bài toán cho chiều cao hình chóp, học sinh không biết vận dụng giả thiết này như thế nào; thậm chí dù giả thiết bài toán cho “cạnh đáy”, nhưng học sinh đã sử dụng thành “cạnh bên”
V. Kết luận
- Qua việc tổng hợp số liệu và phân tích các bài giải cụ thể trong thực nghiệm trên đã cho phép kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đề ra cuối chương 2. Qua thực nghiệm trên chúng tôi nhận thấy:
Học sinh chưa vận dụng được kiến thức HHTH để giải toán HHGT ngay cả trong những trường hợp thuận lợi.
Học sinh luôn tuân thủ hợp đồng R1 liên quan tới kiểu nhiệm vụ viết phương trình các đường và mặt: khi được yêu cầu viết phương trình các đối tượng này, học sinh không kiểm tra sự tồn tại của đối tượng cần viết.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
Học sinh chỉ quen với việc sử dụng HHGT để giải bài toán HHTH trong trường hợp giả thiết có sẵn ba đường thẳng đôi một vuông góc. Trong trường hợp không có sẵn ba đường thẳng đôi một vuông góc, học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định hệ trục tọa độ chứa hình vẽ đã cho.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA TỪ LUẬN VĂN
- Việc phân tích lịch sử phát triển HHGT và phân tích thể chế dạy học hình học lớp 12 ở Việt Nam đã cho phép chúng tôi trả lời thỏa đáng những câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra. Đồng thời thực nghiệm đã tiến hành cũng cho phép kiểm chứng những giả thiết nghiên cứu mà chúng tôi nêu ra trong quá trình phân tích. Sau đây là một số kết quả chính đã đạt được:
1. Về nghiên cứu lịch sử phát triển HHGT
- Trong giai đoạn đầu tiên của lịch sử phát triển HHGT (thời Apollonius), các khái niệm, các quan hệ hình học của HHGT thể hiện mối liên hệ chặc chẽ, đa số là đồng nhất với các khái niệm, các quan hệ của HHTH. Vì thế, lời giải một bài toán HHGT hầu như chưa phân biệt được với bài giải của HHTH. Việc vận dụng kiến thức HHTH để giải toán HHGT vì thế cũng là yêu cầu bắt buộc.
- Trong giai đoạn thứ hai của sự phát triển HHGT (thời Descartes, Fermat), các khái niệm hình học của HHGT vẫn thể hiện sự gắn kết chặc chẽ với các khái niệm của HHTH, tuy vậy nhiều quan hệ hình học đã chuyển sang quan hệ đại số dựa trên các đặc trưng độ dài, diện tích của các đối tượng. Một bài giải HHGT đã gần giống với một bài toán đại số. Tuy vậy, vì chưa có định nghĩa riêng cho các khái niệm của HHGT nên việc vận dụng các khái niệm, các tính chất của HHTH trong giải toán là không thể tránh khỏi. Lời giải các bài toán còn phụ thuộc vào hình vẽ, tính khái quát chưa cao.
- Trong giai đoạn thứ ba trong sự phát triển HHGT (giai đoạn sau Descartes, Fermat), HHGT đã có định nghĩa riêng cho các khái niệm hình học. Các quan hệ hình học là các quan hệ đại số. Do đó, lời giải các bài toán HHGT giai đoạn này là thuần túy đại số, lời giải mang tính khái quát rất cao, không còn lệ thuộc vào hình vẽ. Cũng vì vậy mà việc vận dụng các tính chất HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắc buộc. Cũng vì lí do này mà mối liên hệ giữa các khái niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT ngày càng mong manh: các khái
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
niệm, các quan hệ của HHGT mang một vỏ bọc đại số đơn giản, hầu như tách biệt so với các khái niệm, các quan hệ tương ứng của HHTH.
2. Về phân tích thể chế dạy học lớp 12 ở Việt Nam
- SGK đã chỉ rõ sự tương ứng 1-1 giữa khái niệm hình học của HHTH với phương trình của nó. Các quan hệ hình học được chuyển hoàn toàn thành quan hệ đại số. Do đó, các khái niệm, các quan hệ và phương pháp giải toán của HHGT mang một vỏ bọc đại số tách rời so với chính khái niệm, quan hệ hình học và phương pháp giải tương ứng của HHTH.
- Những ràng buộc của thể chế đối với các kiểu nhiệm vụ tồn tại trong SGK, SBT hình học 12 nâng cao là:
Với các kiểu nhiệm vụ viết phương trình các đường hoặc các mặt, học sinh không cần kiểm tra sự tồn tại của chúng trước khi viết.
Với kiểu nhiệm vụ T8, trên hình vẽ cần có sẵn ba đường thẳng đôi một vuông góc.
- Kết quả từ việc phân tích thể chế dẫn tới các giả thuyết nghiên cứu sau đây: H1: Đứng trước một bài toán HHGT, học sinh chỉ vận dụng các kiến thức HHGT để giải toán.
H2: Tồn tại qui tắc hợp đồng sau đây:
R1: Đối với các bài toán yêu cầu viết phương trình các đường (hoặc các mặt) thì các đường (hoặc các mặt) này đương nhiên tồn tại. Học sinh không có trách nhiệm chứng minh sự tồn tại này.
H3: Khi giải toán hình học không gian tổng hợp bằng phương pháp tọa độ, học sinh gặp khó khăn khi xác định hệ trục tọa độ nếu giả thiết bài toán không chứa sẵn ba đường thẳng đồng qui và đôi một vuông góc với nhau trên hình vẽ.
3. Về thực nghiệm
Câu 1 trong thực nghiệm đã chứng tỏ được học sinh chỉ vận dụng kiến thức HHGT để giải toán HHGT, từ đó kiểm chứng được giả thuyết nghiên cứu H1.
Câu 2 của thực nghiệm chứng tỏ được học sinh không có thói quen kiểm tra sự tồn tại của các đường và mặt khi viết phương trình của chúng. Từ đây kiểm
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
chứng được giả thuyết nghiên cứu H2. Ngoài ra, cũng trong câu 2 của thực nghiệm, chúng tôi cũng nhận thấy: học sinh chưa có ý thức khai thác các tính chất của HHTH trong khi giải toán HHGT, từ đó củng cố được giả thuyết nghiên cứu H1.
Câu 3 của thực nghiệm chứng tỏ được: học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi xác định hệ trục tọa độ cho bài toán áp dụng HHGT để giải toán hình học không gian với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH trong trường hợp giả thiết không có sẵn ba đường thẳng đôi một vuông góc trên hình vẽ. Từ đó kiểm chứng được giả thuyết nghiên cứu H3.
Hướng mở ra từ luận văn: sự phát triển của HHGT gắn liền với sự phát triển của các hệ trục tọa độ, tuy nhiên do giới hạn thời gian chúng tôi chưa thể nghiên cứu đối tượng này. Đây là hướng mở ra từ luận văn mà chúng tôi hi vọng sẽ được tiếp tục nghiên cứu.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, những yếu tố cơ bản của didactic toán, NXB đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, 2000
[2] Carl B.Boyer, history of analytic goemetry, Dover publications Inc, Mineola Newyork, 2004
[3] John Tabak, Geometry-the language of space and form, NXB Facts on File, 2011
[4] Rene Descartes, geometry of Rene Descartes, Dover publication Inc, Newyork, 1954
[5] Lê Thị Hoài Châu, phương pháp dạy-học hình học ở trường trung học phổ thông, NXB đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2008
[6] Văn Như Cương, lịch sử hình học, NXB khoa học và kĩ thuật, 1977
[7] Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân, bài tập hình học nâng cao 12, NXB giáo dục, 2008
[8] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân, hình học nâng cao 12, NXB giáo dục, 2008
[9] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân, sách giáo viênhình học nâng cao 12, NXB giáo dục, 2008
[10] Bộ giáo dục và đào tạo, Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXB giáo dục, 2006