II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
2. Giai đoạn tường minh
2.5 Tình huống đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
nhau
- Do giới hạn thời gian nghiên cứu và vì tính tương tự của cách đưa vào các công thức khoảng cách, nên ở đây chúng tôi chỉ phân tích cách đưa vào công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được giới thiệu trong chương trình hình học tổng hợp phổ thông như sau:
“Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung6 của hai đường thẳng đó.”(SGK hình học nâng cao 11, trang 115)
6 Khái niệm đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau được giới thiệu ngay trước đó.
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
- Như vậy, với định nghĩa này, để tính được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, trước hết phải xác định đoạn vuông góc chung IJ của hai đường thẳng chéo nhau, sau đó tính độ dài đoạn thẳng IJ.
- Ngoài ra, SGK hình học 11 nâng cao còn nêu ra hai nhận xét làm cơ sở cho việc tính toán khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau mà không cần xác định đoạn vuông góc chung:
“Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa đường thẳng còn lại.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó” (SGK hình học nâng cao 11, trang 115)
- Tuy nhiên, SGK hình học nâng cao 12 đưa vào công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dưới dạng một bài toán như sau:
“Bài toán 2: tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 biết d1 qua M1 và có vectơ chỉ phương u1
; d2 qua M2 và có vectơ chỉ phương u2
” ([8], trang 101).
- Để giải quyết bài toán này, SGK dựng một hình hộp có một cạnh là M1M2, độ dài các cạnh còn lại là u 1 ,u2
. Sử dụng công thức tính thể tích khối hộp, diện tích tam giác đã xây dựng trước đó và nhận xét khoảng cách giữa d1 và d2 là chiều cao hình hộp, SGK chứng minh được công thức: 1 2 1 2 1 2 1 2 [ , ]. ( , ) [ , ] u u M M d d d u u = b J I x y z d1 d2 M1 M2 U1 U2 1 u 2 u
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
- Mặc dù công thức này được xây dựng dưới dạng một bài toán, tuy nhiên SGK sử dụng nó như một công thức chính thức. Điều này thể hiện qua lời giải của những bài toán yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong SGK, SBT và trong lí thuyết của phần ôn tập chương 3.
- Như vậy trong việc xây dựng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta thấy SGK có vận dụng ít nhất hai tính chất của HHTH: thứ nhất là tính chất “chiều cao hình hộp là khoảng cách từ một đỉnh của đáy tới mặt phẳng chứa đáy còn lại”và tính chất “khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó”. Tuy nhiên những tính chất này chỉ được sử dụng ngầm ẩn. Điều này dẫn đến việc: mối liên hệ giữa định nghĩa và cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong HHTH và công thức tính toán đại lượng này trong HHGT gần như không còn được nhận ra. Đến đây chúng tôi tự hỏi: liệu công thức đại số để tính toán này có che mất định nghĩa của khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau? Liệu học sinh có biết công thức này dùng để tính đại lượng nào trên hình vẽ? Liệu học sinh sẽ ứng xử như thế nào trước tình huống: yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình học giải tích mà việc vận dụng định nghĩa và các tính chất của hai đường thẳng chéo nhau sẽ nhanh chóng có được kết quả? Với cách trình bày của SGK, chúng tôi cho rằng học sinh sẽ không vận dụng được các tính chất của HHTH vào việc tính khoảng cách mà sẽ ưu tiên sử dụng công thức khoảng cách đã biết.