II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
2. Giai đoạn tường minh
2.7 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai mặt phẳng
- Chúng ta vẫn biết, trong không gian ba chiều, hai mặt phẳng có ba vị trí tương đối: song song, cắt nhau, trùng nhau. Do tính tương tự khi xem xét mối liên hệ giữa HHTH và HHGT đối với ba vị trí tương đối này, nên ở đây chúng tôi chỉ xem xét trường hợp hai mặt phẳng song song. Trong chương trình HHTH phổ thông, khái niệm hai mặt phẳng song song được trình bày như sau:
“Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q), có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau đây:
a) (P) và (Q) có điểm chung. Khi đó ta biết rằng (P) và (Q) cắt nhau theo một đường thẳng.
b) (P) và (Q) không có điểm chung. Trong trường hợp này ta nói chúng song song với nhau và kí hiệu (P)//(Q), hay (Q)//(P)”(SGK hình học nâng cao 11, trang 60).
- Ngoài ra, SGK còn minh họa hai mặt phẳng song song bằng hình vẽ:
- Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, SGK còn nêu điều kiện để hai mặt phẳng song song thông qua định lí:
“Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).” (SGK hình học nâng cao 11, trang 61).
- Như vậy, với các định nghĩa và tính chất đã nêu, để chứng minh hai mặt phẳng song song ta phải chứng minh chúng không có điểm chung, hoặc chứng minh trong một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng còn lại.
- Trong chương “phương pháp tọa độ trong không gian”, để xét sự song song của hai mặt phẳng, SGK trình bày như sau:
- Đầu tiên, SGK nêu khái niệm hai bộ số tỉ lệ, sau đó SGK xét hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cho trước và đặt vấn đề qua câu hỏi:
P
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
“ nếu A:B:C ≠ A’:B’:C’ thì ta có thể nói gì về hai vectơ n A B C( ; ; )
và
'( '; '; ')
n A B C
và do đó nói gì về vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) và (α’)?”
([8], trang 86)
- Mục tiêu của câu hỏi này (theo sách giáo viên) là giúp học sinh kết luận được: hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương (hay hai bộ số tương ứng tỉ lệ). Do đó hai vectơ không cùng phương thì hai mặt phẳng phải cắt nhau. Ở đây chúng ta nhận thấy, thể chế đã ngầm ẩn sử dụng tính chất “hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau”. Tuy nhiên sự vận dụng này vì ngầm ẩn nên sau đó trở thành mờ nhạt trước một vỏ bọc đại số đơn giản của phương pháp mới.
- Từ đây, SGK mới yêu cầu học sinh giải quyết tiếp thông qua hoạt động 4:
“Hãy xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng (α) và (α’) trong mỗi trường hợp sau: ) ) ' ' ' ' ' ' ' ' A B C D A B C D a b A = B =C ≠ D A = B =C = D ” ([8], trang 86)
- Mục đích của hoạt động này (theo sách giáo viên) là giúp học sinh vận dụng sự khác biệt giữa hai trường hợp: hai mặt phẳng song song (không có điểm chung) và hai mặt phẳng trùng nhau (có điểm chung) để giải quyết. Từ đó, SGK tổng kết lại:
“ Cho hai mặt phẳng (α) và (α’) lần lượt có phương trình:
( ): 0 ( ') : ' ' ' ' 0 Ax By Cz D A x B y C z D α α + + + = + + + =
…Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi
' ' ' '
A B C D
A = B =C ≠ D ” ([8], trang 86).
- Như vậy, việc xây dựng điều kiện cho hai mặt phẳng song song trong HHGT mặc dù có thừa kế định nghĩa hai mặt phẳng song song và một vài tính chất hình học khác của quan hệ song song trong HHTH, tuy nhiên đa số các tính chất hình học của quan hệ song song trong HHTH do chỉ sử dụng ngầm ẩn nên đều trở nên rất mờ nhạt trước vỏ bọc đại số của phương pháp mới. Với cách trình bày này của
Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…
SGK, chúng tôi tự hỏi liệu học sinh có thấy được mối liên hệ giữa phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song trong HHTH và trong HHGT? Liệu học sinh sẽ ứng xử như thế nào khi đứng trước bài toán kiểu như sau:
“Cho phương trình của mặt phẳng (α) và hai đường thẳng d, d’ a) Chứng tỏ d và d’ cắt nhau và cùng song song với (α).
b) Xét vị trí tương đối của (α) và (α’) chứa d và d’?”
- Với câu b của bài toán này, nếu học sinh vận dụng được phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song của HHTH thì có ngay kết quả mà không phải viết phương trình mặt phẳng. Tuy nhiên với cách trình bày của SGK đã phân tích ở trên, chúng tôi cho rằng học sinh không vận dụng được kiến thức của HHTH vào việc chứng minh ( ) / /( ')α α , mà dưới ảnh hưởng của trình bày của SGK, học sinh sẽ viết phương trình của hai mặt phẳng (α) và (α’), sau đó sử dụng thuật toán xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã nêu.