3. Bất phương trình chứa tham sổ
3.1.1 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
y j x — 3 < m +1
Đặt X = y / x - 3 , X >0
Viết lại bất phương trìrứi dưới dạng
X +1 m(X2 + 2) < X + 1 & M ( X 2 + 2 \ < X + L O > 2 > M (2) X + 2 X + \ Xét hàm sô Y - ~ 2—“ X + 2 Miền xác định D = (0 ; + o o ) , - X2- 2 X + 2 , Đạo hàm Y - 2 + 2Ý »y <^>X=-\ + S, X = - \ S , y’ = 0 <^-X2 -2X + 2 = 0 Bảng biến
Từ đó bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi M <
Ví dụ 2 : Xác định m để bất phương trình m9x - 3X - 1> 0
Nghiệm đúng với mọi X Bài giải Đặt t = 3X, t > 0 Khi đó (1) có dạng
9 t-1
m t -Í- 1> 0< » — < m t
Vậy (1) nghiệm đúng Vx (2) nghiệm đúng Vt > 0
X t-1 Xét hàm số Y = —T ~ t D = (0 ; +00) / = 0 <=> t= 0 hoặc t = 2 1 0 ( X -oc 1-Vã 0 1+Vã +OC 3
Vậy bất phương trình nghiệm đúng Vt > 0 <=> m > -
Bài tập vận dụng
Bài 1 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
4 X- M 2 X+ 1 + 3 - 2 M < 0 Bài 2 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
M X — Y L X — 3 < M + 1 Bài 3 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
mx - V - 3 <m +1
3.2Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình f(x ;m) > 0 có nghiêm thỏa mãn môt số điều kiên nào đó trên D
o • • •
* Phương pháp điều kiện cần và đủ
- Cơ sở lý luận :
Phương pháp cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp dạng toán : Tìm điều kiện tham số để :
* Bất phương trình đúng với mọi X eD
* Bất phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác.
- Thuật toán:
Ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện để các biầi thức của bất phương trình có nghĩa Bước 2: (Điều kiện cần) Tìm điều kiện cần cho bất phương trình dựa vào tính chất nghiệm, ràng buộc của đề bài, suy ra các giá trị của tham số m
Bước 3: (Điều kiện đủ) Với giá trị tìm được của tham sổ cần chứng tỏ rằng bất phương trình thỏa mãn điều kiện rầng buộc Bước 4: Kết luận - Ví du •minh hoa
•
Ví dụ 1 : Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x: -4<JC<6
<y/(4 + x)(6-x) < X 2 - 2x + m
Bài giải