Phương trình vi phân cao cấp và ứng dụng trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ LINH PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất thầy giáo giáo Khoa Vật lí trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian theo học trƣờng đặc biệt tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Hà Thanh Hùng ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn tơi tận tình bảo giúp đỡ tơi hồn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng nhƣng lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học nhƣ hạn chế kinh nghiệm kiến thức nên không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc góp ý thầy bạn đọc để khóa luận đƣợc hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan dƣới hƣớng dẫn thầy giáo Hà Thanh Hùng khóa luận tơi đƣợc hồn thành khơng trùng với đề tài khác Các liệu thơng tin thứ cấp sử dụng khóa luận có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tơi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Linh MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 1.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số số 1.1.1 Hàm bù yc  x  1.1.2 Nghiệm riêng y p  x  10 1.1.3 Cấu trúc nghiệm tổng quát 13 1.2 Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số biến số 14 1.2.1 Phƣơng trình vi phân tuyến tính Legendre Euler 15 1.2.2 Phƣơng trình vi phân xác 18 1.3 Phƣơng trình vi phân cấp cao 20 1.3.1 Phƣơng trình đẳng cấp 20 1.3.2 Phƣơng trình với x với y 22 1.4 Phƣơng trình vi phân có nghiệm hàm luỹ thừa 24 1.5 Phƣơng trình vi phân tổng quát 24 1.5.1 Phƣơng trình vi phân khơng có biến phụ thuộc 25 1.5.2 Phƣơng trình vi phân khơng có biến độc lập 26 CHƢƠNG NG D NG C PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG V T L 29 2.1 Phép biến đổi Laplace 29 2.2 Hàm Green 32 2.3 Phƣơng trình vi phân với x y 34 2.4 Phƣơng trình vi phân có hệ số số 35 KẾT LU N 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học vốn ngành khoa học tự nhiên tìm hiểu cấu trúc quy luật vận động giới vật chất tự nhiên ngành khoa học thực nghiệm Trong thực tiễn, Vật lý Tốn học ln ln có mối quan hệ mật thiết với nhau, Vật lý sử dụng cơng cụ Tốn học có sẵn đồng thời đặt yêu cầu Tốn học Phƣơng trình vi phân Tốn học có vai trị đặc biệt quan trọng Vật lý Tuy nhiên kiến thức phƣơng trình vi phân cấp cao cịn chƣa rõ ràng khó hiểu ngƣời học Để giúp ngƣời học hiểu rõ kiến thức phƣơng trình vi phân cấp cao nhƣ vai trị phƣơng trình vi phân cấp cao Vật lý định chọn đề tài: “PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” Mục đích nghiên cứu Khóa luận bao gồm chƣơng: chƣơng khóa luận tơi trình bày tổng qt phƣơng trình vi phân cấp cao phân dạng đƣa lời giải tổng quát cho số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt, cịn chƣơng trình bày ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp cao Vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu tổng quát phƣơng trình vi phân cấp cao Phân loại đƣa phƣơng pháp giải dạng phƣơng trình vi phân cấp cao ng dụng phƣơng trình vi phân cấp cao vật lý Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đề tài chủ yếu nghiên cứu số dạng phƣơng trình vi phân cấp cao ứng dụng Vật lý Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc sách tham khảo tài liệu - Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp - Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên Bố cục khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung khóa luận bao gồm: Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân cấp cao Chƣơng 2: ng dụng phƣơng trình vi phân cấp cao Vật lý PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phƣơng trình vi phân cấp cao phần đƣợc mở rộng nghiên cứu phƣơng trình vi phân thông thƣờng cấp một, việc giải phƣơng trình vi phân cấp cao đƣợc dựa chủ yếu sở từ phƣơng trình vi phân cấp Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao đƣợc tập trung với ba khía cạnh chính: i) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số số ii) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số biến số iii) Một số phƣơng pháp giải tổng quát phƣơng trình vi phân tuyến tính khơng tuyến tính Sau đây, bắt đầu với số khái niệm phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao Các phƣơng trình vi phân thơng thƣờng phƣơng trình có chứa đạo hàm tồn phần hàm cần tìm y theo biến số x, mà không chứa đạo hàm riêng phần Phƣơng trình vi phân cấp cao phƣơng trình vi phân thơng thƣờng có chứa đạo hàm từ cấp hai trở lên hàm y(x) Trong thực tế, để mơ tả hệ vật lý ngơn ngữ tốn học, thƣờng gặp phƣơng trình vi phân cấp cao cách tự nhiên, đặc biệt phƣơng trình vi phân cấp hai Do vậy, trƣớc tiên quan tâm đến phƣơng trình vi phân cấp hai trƣớc, sở tiếp tục mở rộng với phƣơng trình vi phân cấp n (n>2) Một phƣơng trình vi phân thơng thƣờng cấp cao, đƣợc đƣa dƣới dạng tổng quát: dny d n1 y an  x  n  an1  x  n1  dx dx  a1  x  dy  a0  x  y  f  x  dx (1) Nếu f ( x)  , phƣơng trình vi phân gọi nhất, ngƣợc lại phƣơng trình vi phân đƣợc gọi khơng Tƣơng tự với phƣơng trình vi phân cấp một, nghiệm tổng quát phƣơng trình (1) chứa n tham số tùy ý để xác định cụ thể n tham số này, cần n điều kiện biên Để giải phƣơng trình (1), cần tìm nghiệm tổng qt phƣơng trình tƣơng ứng, cịn gọi phƣơng trình bổ sung, tức tìm nghiệm phƣơng trình: an  x  dny d n1 y  a x  n 1   dx n dx n1  a1  x  dy  a0  x  y  dx (2) Nghiệm phƣơng trình (2), đƣợc đƣa sở biết đƣợc n nghiệm riêng độc lập tuyến tính (2) Giả sử, có n nghiệm riêng độc lập tuyến tính (2), ký hiệu là: y1 ( x); y2 ( x); ; yn ( x), nghiệm tổng quát phƣơng trình (2) đƣợc viết nhƣ tổ hợp tuyến tính nghiệm riêng yc ( x)  c1 y1 (x)  c2 y2 (x)   cn yn (x) , (3) Trong đó, ci , i  1, n hệ số Từ điều kiện nghiệm riêng độc lập tuyến tính nên hệ tất yếu nếu: c1 y1 (x)  c2 y2 (x)   cn yn (x)  (4) Thì kéo theo tất hệ số không, tức là: c1  c2   cn  (5) Trong phần này, thảo luận phƣơng pháp khác để rút gọn phƣơng trình vi phân Các phƣơng pháp áp dụng cho phƣơng trình tuyến tính phi tuyến số trƣờng hợp rút nghiệm Tuy nhiên khơng thể tìm phƣơng pháp giải tổng quát cho phƣơng trình vi phân phi tuyến tính 1.5.1 Phƣơng trình vi phân khơng có biến phụ thuộc Nếu phƣơng trình vi phân không chứa biến phụ thuộc y mà biến thể nó, ta đặt p  dy dx để thu đƣợc phƣơng trình vi phân có cấp thấp Giải phƣơng trình ta thu đƣợc nghiệm phƣơng trình Ví dụ: Giải phƣơng trình d2y dy   x dx dx (1.5.1) Lời giải Thế: p  dy , dx Ta thu đƣợc phƣơng trình cấp dp  p  x dx (1.5.2) Nghiệm (1.5.2) có dạng: p dy  a.e2  x  dx Trong a số Nhƣ phép lấy tích phân ta đƣợc nghiệm (1.5.1) là: y  x   c1.e2 x  x  x  c2 Mở rộng: phƣơng pháp thích hợp phƣơng trình vi phân chứa đạo hàm cấp m y đạo hàm cấp cao 25 dmy Thay p  m ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp m Giải dx phƣơng trình vi phân ta thu đƣợc nghiệm phƣơng trình cần tìm Phƣơng pháp giải: Nếu phƣơng trình vi phân chứa đạo hàm cấp m y đạo hàm cao Thế p  dmy phƣơng trình vi phân có cấp m Giải phƣơng trình vi dx m phân ta thu đƣợc nghiệm phƣơng trình cần tìm 1.5.2 Phƣơng trình vi phân khơng có biến độc lập Là phƣơng trình vi phân khơng chứa biến độc lập x cách rõ ràng, d d2 , , có dạng ngoại trừ dx dx  dy F  y, ,  dx dny  , n   dx  Thì nhƣ phần 1.5.1 ta p  (1.5.3) dy coi p nhƣ hàm số dx Ta có đạo hàm nhƣ sau: d y dp dy dp dp    p , dx dx dx dy dy d y d  dp  dy d  dp  d p  p   p  p dx3 dx  dy  dx dy  dy  dy  dp dny    p, , dx n  dy , d n1 p   dy n1  Thế (1.5.4) vào (1.5.3) ta thu đƣợc phƣơng trình dạng:  dp d n1 p    y, p, , , n1   dy dy   26  dp  p  ,  dy  (1.5.4) Đây phƣơng trình vi phân cấp n-1 Giả sử ta giải đƣợc nghiệm tổng quát p    y, c1, c2 , , cn1  Tích phân phƣơng trình vi phân cấp sau ta đƣợc nghiệm tổng quát tích phân tổng quát phƣơng trình (1.5.1) Ví dụ: Giải phƣơng trình d y  dy   y     dx  dx  Lời giải  dp  dy d2y Thế p   p  dx dx  dy  Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp  yp dp  p2  dy dy p  dp y p 1    2dy d  p  1   y p2  Từ suy ra: ln y  ln  p  1  ln c1 Hay: Vì p  1  p  y 2  c1 dy , ta có: dx dy c12  y p  dx y2 27 (1.5.5) Lấy tích phân ta đƣợc nghiệm tổng quát (1.5.5), sau bình phƣơng ta đƣợc  x  c2   y  c12 Trƣờng hợp z  cho ta y  c nghiệm phƣng trình vi phân Phƣơng pháp giải: Nếu phƣơng trình vi phân không chứa biến độc lập x ta p  dy Từ biếu thức (1.5.4) ta thu đƣợc phƣơng trình cấp dx thấp để dễ giải 28 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO TRONG VẬT LÝ 2.1 Phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace đƣợc định nghĩa nhƣ sau:  f  s    e  sx f  x  dx (2.1.1) Với f  s  ảnh Laplace biến f  x  Ta có phép biến đổi Laplace đạo hàm thứ n f  x  : f n  s   s n f  s   s n1 f    s n2 f      sf n2    sf n1   (2.1.2) dấu phẩy số phép lấy vi phân x Kết hợp với việc sử dụng bảng biến đổi dƣới ta giải phƣơng trình vi phân 29 Bảng : Bảng biến đổi Laplace tiêu chuẩn  s  s0  f t  f s s0 c c s ct n cn! s n1 sin bt b  s  b2  cosbt s  s  b2  eat  s  a a n!  s  a  a t n e at n 1 sinh at a  s2  a2  a cosh at s  s2  a2  a b  s  a   b    a eat sin bt eat cos bt t1  s  a   s  a  12  s3    b2   a  s    t  t0  e st0 1 t  t0  H  t  t0    0  t  t0  e st0 s t 1 12 30 Bài tốn 1: Giải phƣơng trình d2y dy   y  2e  x dx dx (2.1.2) Với điều kiện biên y  0  2, y    Lời giải Sử dụng phép biến đổi Laplace cho phƣơng trình (2.1.2) áp dụng cơng thức bảng ta có: s y  s   sy    y     s y  s   y     y  s     s  3s   y  s   2s   , s 1 s 1 s  3s   ys   s  1 s  1 s   Dùng phƣơng pháp đại số phân tích sau cân hệ số vế ta thu đƣợc: ys  ,    s  1 s   s   Sử dụng phép biến đổi Laplace ngƣợc ta thu đƣợc nghiệm phƣơng trình (2.1.2) là: 1 y  x   e x  2e x  e x 3 Bài tốn 2: Tìm số ngun tử cịn lại khơng bị phân rã thời điểm t  N t  Biết phƣơng trình biểu diễn phân rã chất đồng vị phóng xạ là: dN   N dt đó: N  N  t  số phân rã Lời giải 31 (1) Phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với dN  N  dt Biến đổi Laplace vế ta đƣợc:  sN  s   N  0   N  s   Với N  0  N0 : Số nguyên tử ban đầu Nhƣ ta có: N s  N0 s Sử dụng bảng lấy biến đổi Laplace ngƣợc ta thu đƣợc: N  t   N 0e  t Ta áp dụng phép biến đổi Laplace vào toán Vật lý hạt nhân nguyên tử toán giải mạch cách biến đổi yếu tố mạch từ miền thời gian (t) sang miền tần số (s) Trong toán giải mạch phƣơng trình đạo hàm đƣợc chuyển từ đại số sang dạng biến đổi Laplace Các đại lƣợng chƣa biết đƣợc tính miền tần số (s) Sử dụng biến đổi Laplace ngƣợc để suy giá trị miền thời gian 2.2 Hàm Green Bài toán: Sử dụng hàm Green để giải phƣơng trình: d2y  y  f  x  dx (2.2.1) Biết điều kiện biên y  0  y    Lời giải Ta có hàm Green G(x, z) thỏa mãn d 2G  x, z   G  x, z     x  z  dx 32 (2.2.2) Với x=z ta có vế phải (2.2.2) 0, nhiệm vụ tìm nghiệm phƣơng trình tức tìm hàm bù Hàm bù tổ hợp tuyến tính sinx cosx phải bao gồm giới hạn hai bên x=z Vì đạo hàm thứ (n-1) (nghĩa đạo hàm thứ trƣờng hợp này) bị gián đoạn x=z Do hàm Green đƣợc viết dƣới dạng:  A  z  sinx  B  z  cos x G  x, z    C  z  sinx  D  z  cos x x  z , x  z Tuy nhiên, áp dụng điều kiện biên G  0, z   G  0, z   ta đƣợc A z   B  z   Vì vậy: 0  x  z  G  x, z    C  z  sinx  D  z  cos x x  z , Áp dụng điều kiện liên tục G  x, z  suy C  z  sinx  D  z  cosx=0, C  z  sinx  D  z  cosx=1 Từ ta thu đƣợc: C  z   cos x D  z   sin x Vì hàm Green đuộc viết nhƣ sau: 0  x  z  G  x, z    sin  x  z  x  z Và nghiệm tổng quát (2.2.1) thỏa mãn điều kiện biên y    y    là: 33  x 0 y  x    G  x, z  f  z  dz   sin  x  z  f  z  dz Ta sử dụng phƣơng pháp vào số tốn vật lý ví dụ nhƣ tốn truyền nhiệt Tuy nhiên giúp giải tốn đơn giản hơn, ngắn gọn khơng giải trực tiếp đƣợc phƣơng trình vi phân khơng 2.3 Phƣơng trình vi phân với x y Bài tốn: Tìm nghiệm tổng quát phƣơng trình d2y dy x  x  y  x dx dx biết y 1  1, y  e   2e Lời giải Đặt x  et rút gọn ta thu đƣợc phƣơng trình dd dy  t   1 y   y  e dt  dt  dt d2y dy    y  et dt dt Trƣớc tiên ta tính yc  t  Đặt et  y  Aet Suy phƣơng trình đặc trƣng là:   2       1  Phƣơng trình có nghiệm   bội  nghiệm et , tet hệ nghiệm phƣơng trình Do đó: yc  t    c1  c2t  et 34 (2.3.1) Tính y p  t  Ta thấy f  t   et Giả sử đặt y p  t   bet Hàm bù xuất et , tet nên ta phải nhân thêm bội số nhỏ t để tích phân riêng khác hàm bù  y p  t   bt 2et Thế vào phƣơng trình vi phân ta thu đƣợc: b y p  t   t 2e t Do đó: Nghiệm tổng quát là: t et y  yc  t   y p  t    c1  c2t  e  t (2.3.2) Do y 1  1, y  e   2e thay vào (2.3.2) ta thu đƣợc c1  1, c2  Thay x  et c1  1, c2  vào (2.3.2) ta đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình cho là: y x x ln x 1  ln x  2.4 Phƣơng trình vi phân có hệ số biến số Bài tốn: Tìm nghiệm tổng qt phƣơng trình: d2y dy  x  1  3 x  1  y  x dx dx Lời giải 35 Thế x   et Ta có dy dy  x   ,    dx dt   x  12 d y  d  d  1 y dx dt  dt    dd dy  t  y   y  e      dt  dt  dt d2y   y   et  1 dx   Đặt et   y  Aet Phƣơng trình đặc trƣng có dạng: 2 1     i Nhƣ hàm bù có dạng: yc  c1eit  c2eit  d1 cos t  d sin t  d1 cos ln  x  1  d sin ln  x  1 Tính nghiệm riêng y p  t  Ta thấy: f  t    et  1  e2t  2et  Giả sử đặt: y p  t   b0e2t  b1et  b2 Thế vào phƣơng trình vi phân ta đƣợc: b0  b1  b2  36 Do đó: 1 y p  e2t  et    x  1  x 5 Vậy nghiệm tổng qt phƣơng trình có dạng: y  yc  y p  d1 cos ln  x  1   d sin ln  x  1   x  1  x Phƣơng pháp giải phần 2.3, 2.4 ta áp dụng vào việc giải tốn Vật lí có chứa phƣơng trình vi phân có dạng giống nhƣ 37 KẾT LUẬN Trên tồn nội dung đề tài “Phƣơng trình vi phân cấp cao ứng dụng Vật lí” Trong khóa luận tốt nghiệp tơi trình bày hiểu biết cách có hệ thống, rõ ràng về:  Khái niệm phƣơng trình vi phân cấp cao  Một số dạng phƣơng trình vi phân cấp cao thƣờng gặp phƣơng pháp giải  ng dụng Vật lí Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế phần lần thực khóa luận nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận dƣợc góp ý thầy bạn sinh viên để khóa luận đƣợc hồn thiện 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 1, Cambridge University Press 1988 Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 2, Cambridge University Press 1988 K.F Riley, M.P Hobson and S.J Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press 2006 Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất giáo dục Việt Nam 39 ... gồm: Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân cấp cao Chƣơng 2: ng dụng phƣơng trình vi phân cấp cao Vật lý PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO Phƣơng trình vi phân cấp cao phần đƣợc mở rộng... Phƣơng trình vi phân cấp cao 1.3.1 Phƣơng trình đẳng cấp Từ vi? ??c nghiên cứu phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp ta khái qt hóa đến phƣơng trình vi phân tổng quát cấp n Phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp... hiểu rõ kiến thức phƣơng trình vi phân cấp cao nhƣ vai trị phƣơng trình vi phân cấp cao Vật lý tơi định chọn đề tài: “PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” Mục đích nghiên cứu Khóa