Lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ [TOÁN - LÝ] MÃ SỐ SINH VIÊN: K40.102.077 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LƯƠNG LÊ HẢI TP HCM – NĂM 2018 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tồn thể thầy cô giáo khoa Vật Lý, đặc biệt thầy tổ Tốn - Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, người người thầy, người cô thời gian qua dạy bảo tơi tận tình kiến thức chun mơn mà cịn truyền cho tơi niềm đam mê, nhiệt thành, tâm huyết với mơn tốn học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Lương Lê Hải, người tận tình hướng dẫn, bảo để tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 04 năm 2018 Nguyễn Phước Vĩnh Sơn Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Danh mục kí hiệu Danh mục hình vẽ, đ` thị Chương 1: Tổng quan Chương 2: Sóng sóng xung kích phi tuyến 2.1 Sự lan truyền tuyến tính đường đặc trưng 2.1.1 Phương trình lan truyền 2.1.2 Mệnh đề 2.2 Phương trình lan truyền phi tuyến 2.3 Định luật bảo toàn sóng xung kích 2.3.1 Định nghĩa định luật bảo toàn 2.3.2 Mệnh đề 2.3.3 Sóng xung kích Chương 3: Sự khuếch tán phi tuyến - Phương trình Burger Chương 4: Sự tán sắc Soliton 4.1 Sự tán sắc tuyến tính 4.2 Phương trình Korteweg–deVries 4.3 Soliton Chương 5: Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 5.1 Giới thiệu 5.2 Bài tốn vật lý dẫn đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến 5.3 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 5.4 Nguyên lý cực đại 5.5 Nghiệm mẫu 5.6 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến chiều 5.6.1 Nghiệm mẫu cho trước 5.6.2 Nghiệm mẫu hai thành phần 5.6.3 Đánh giá tham số nghiệm mẫu 5.7 Trường hợp hai chiều 5.7.1 Nghiệm đối xứng tâm 5.7.2 Đánh giá nghiệm mẫu hai chiều 5.8 Xây dựng nghiệm dựa chuỗi lũy thừa 5.9 Thảo luận phương pháp giải 10 10 10 11 13 20 20 21 22 25 28 28 30 32 35 35 36 38 40 41 45 45 51 58 62 62 64 65 68 Kết luận Kiến nghị nghiên cứu Tài liệu tham khảo 70 71 72 Lời mở đầu Tốn học ngơn ngữ ngành khoa học nói chung với vật lý nói riêng Những cơng thức, phương trình tốn học xây dựng nhằm mơ tả tượng thực tế Có thể nói phương trình xây dựng nghiên cứu sâu rộng phương trình vi phân đạo hàm riêng từ dạng tuyến tính đơn giản đến phương trình vi phân phi tuyến vô phức tạp Tuy nhiên tượng xảy tự nhiên lại đa dạng, phức tạp nên phương trình xây dựng để mơ tả tượng đa số phương trình vi phân phi tuyến Như ta biết, phương trình vi phân tuyến tính giải nghiệm xác Cịn phương trình vi phân phi tuyến nhà tốn học cố gắng làm đơn giản hóa chúng phương pháp tuyến tính hóa thành cơng việc giải nghiệm xác (nghiệm giải tích) Tuy nhiên đa số phương trình vi phân phi tuyến lại phức tạp khơng thể giải nghiệm xác mà đòi hỏi phải sử dụng đến phương pháp xấp xỉ để giải nghiệm gần Vì mà có nhiều nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến Những tài liệu nước điển hình phương trình vi phân phi tuyến giáo trình luận văn [1], [2], [3], Bên cạnh tài liệu nước ngồi với tác giả cơng trình tiếng [5], [6], [9], [10], [13], Đây tài liệu phù hợp cho người học nghiên cứu sâu phương trình vi phân phi tuyến Tùy vào mục đích khác mà tài liệu phương trình vi phân phi tuyến xây dựng khác Những luận văn, giáo trình nước thường dành cho nghiên cứu sinh, học viên cao học, có tảng phương trình vi phân phi tuyến nên tài liệu thường xây dựng cách hàn lâm tập trung vào việc giải tốn mà lại đề cập đến chí bỏ qua tính chất vật lý nghiệm thu Còn tài liệu tiếng nước tác giả nước hay tác giả ngoại quốc có nhiều ứng dụng hơn, nhiên có nhiều tài liệu tập trung nhiều phần lý thuyết tính tốn Nhận thấy điều đó, chúng tơi thực luận văn Luận văn xây dựng cách tiếp cận đơn giản dễ hiểu nhằm hướng tới đối tượng học sinh, sinh viên có hiểu biết tảng việc giải phương trình vi phân tuyến tính có bước tiếp cận phương trình vi phân phi tuyến Luận văn giới thiệu phương pháp giải cho phương trình vi phân phi tuyến đơn giản từ cấp đến cấp ba phần cuối tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến, cụ thể tượng truyền nhiệt chất bán dẫn Trong trình xây dựng nội dung lý thuyết ví dụ minh họa, luận văn ln hướng đến việc phân tích triệt để tính chất, ý nghĩa vật lý thể thông qua tham số nghiệm thu Luận văn lấy tảng chủ yếu từ năm tài liệu tham khảo [4], [7], [8], [11] [12] chỉnh lí, bổ sung, xếp lại cách logic, khoa học nhằm đem lại cho người đọc cách nhìn đơn giản dễ hiểu phương trình vi phân phi tuyến Vì kiến thức thân hạn chế nên trình thực luận văn khó tránh khỏi sai sót nên mong nhận đóng góp quý báu quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Danh mục kí hiệu N Tập số tự nhiên N+ Tập số tự nhiên dương R Tập số thực R+ Tập số thực dương Rn Khơng gian n−chiều ∇ Tốn tử Nabla ∆ Tốn tử Laplace u− Giới hạn bên trái hàm u u+ Giới hạn bên phải hàm u u¯ Giá trị trung bình hàm u O (xn ) ∂u ∂t ∂u u = ux = ∂x ∂ 2u u = uxx = ∂x2 ∂ 3u u = uxxx = ∂x3 u˙ = ut = Phần dư dạng Peano khai triển Taylor-Maclaurin Đạo hàm riêng hàm u theo biến t Đạo hàm riêng bậc hàm u theo biến x Đạo hàm riêng bậc hai hàm u theo biến x Đạo hàm riêng bậc ba hàm u theo biến x Danh mục hình vẽ, đ` thị Hình Hình Hình Hình 2.1 2.2 2.3 2.4 Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm nghiệm Hai nghiệm phương trình ut + uux = Các đường đặc trưng f (x) = sin (1.8x − 0.8) 11 13 15 16 Hình Hình Hình Hình Hình 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Các đường đặc trưng sóng lỗng khí Hình dạng sóng lỗng khí lan truyền theo thời gian Những đường đặc trưng sóng xung kích Đồ thị biểu diễn nghiệm bội Sự bảo toàn khối lượng quanh sóng xung kích 17 18 18 19 23 Hình 3.1 Những nghiệm sóng lan truyền phương trình Burger 27 Hình 4.1 Hình 4.2 Hình dạng sóng đơn độc Tương tác hai soliton 32 34 Hình 5.1 Mạch điện có dịng điện chạy qua bán dẫn Hình 5.2 Dạng đồ thị hàm a (t) Hình 5.3 Dạng đồ thị hàm v (x) Hình 5.4 Dạng đồ thị hàm u (x, t) Hình 5.5 Đồ thị họ quỹ đạo mặt phẳng pha { a, b Hình 5.6 Dạng đồ thị hàm b (t) 37 47 50 51 : |a| < b, b > 0} 54 56 Chương Tổng quan Nếu ta không xét đến học lượng tử, vốn giữ nguyên lý thuyết tuyến tính đến tận ngày hơm nay, đa số hệ vật lý đời sống thực bao gồm khí động lực học, học chất lưu, thuyết tương đối, sinh thái học, thần kinh học, nhiệt động lực học, mơ hình hóa phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến Luận văn chủ yếu khảo sát mơ hình chiều đơn giản Ngồi luận văn cịn giới thiệu hướng giải cho phương trình truyền nhiệt hai chiều chất bán dẫn Luận văn xếp theo thứ tự bậc tăng dần từ bậc đến bậc ba phương trình vi phân phi tuyến dạng đơn giản sau tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến Về bố cục, nội dung luận văn trình bày theo năm chương: Chương giới thiệu tổng quan nội dung nghiên cứu đề mục tiêu cụ thể cho chương Chương tập trung nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến bậc Phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến bậc mơ hình sóng phi tuyến xuất khí động lực học, phản ứng hóa học, lan truyền khí thải, sóng nước sơng nhiều hệ sinh học sinh thái học khác Một tượng phi tuyến quan trọng gián đoạn nghiệm khoảng thời gian hữu hạn, điều nguyên nhân dẫn đến hình thành sóng xung kích gián đoạn Đối với phương trình sóng tuyến tính tín hiệu truyền theo dọc theo đường đặc trưng, phương trình phi tuyến đường đặc trưng giao nhau, kết dẫn đến hình thành sóng xung kích Việc biểu thị đặc tính sóng xung kích dựa việc giải phương trình vi phân phi tuyến địi hỏi thêm điều kiện vật lý theo hình thức định luật bảo toàn Chương xoay quanh việc nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến bậc hai Các phương trình vi phân phi tuyến bậc hai dạng parabolic dùng để khảo sát trình khuếch tán phi tuyến, bao gồm nhiệt động lực học, phản a0 → −∞ ρ = const Đặt z = (ρ/b0 )1/3 khai triển biểu thức z − z − arcsin z công thức (5.155) theo lũy thừa z , ta có − z2 = − z2 + O z4 , arcsin z = z + z3 + O z6 , (5.156) từ ta có 2ρ D=− +O 3b0 ρ b0 , t∞ ρ b0 π = − + O ρ 3b0 ρ (5.157) Tương tự độ gần cho, xét phương trình chuyển động theo nửa quỹ đạo dương dựa công thức (5.153) giai đoạn cuối trình, b (t) ρ Đặt z = [ρ/b (t)]1/3 (5.153) sử dụng khai triển (5.156) theo lũy thừa z , ta tìm t=ρ −1 (π + D) − +O 3b ρ b , (5.158) từ ta có b = ρ(π + D − ρt)−1 (5.159) Vì b˙ = ρ2 (π + D − ρt)−2 , a= 2b˙ , 3b (5.160) nên a = ρ(π + D − ρt)−1 (5.161) Ta xác định miền định xứ nghiệm mẫu u (x, t) giai đoạn cuối trình, ρ/b (t) Miền định xứ miền kín {x : u (x, t) > 0} Vì u (x, t) đối xứng qua gốc O, nên miền định xứ đoạn [−x∗ (t) , x∗ (t)], với x∗ (t) nghiệm cực tiểu phương trình u (x∗ , t) = Vì u (x, t) = a (t) + b (t) · cos (xL) nên a (t) + b (t) · cos (x∗ L) = 0, (5.162) x∗ = Vì a = a arccos − L b b2 − C1 b4/3 nên b (t) → ∞ ta có 59 (5.163) lim t→t∞ a = lim b b→∞ b2 − C1 b4/3 = b (5.164) a (t) π = arccos (−1) = b (t) L L (5.165) Suy lim x∗ (t) = lim arccos − t→t∞ t→t∞ Cho L = 1/2, ta tìm x∗ = 2π Như [−2π; 2π] đoạn giới hạn mà nghiệm mẫu xác định Ta tính độ điều chỉnh (độ sai lệch) biểu thức hàm a (t) b (t) xấp xỉ thứ (xem cơng thức (5.159) (5.161)) Với mục đích ta tìm hạng tử khai triển tiệm cận biểu thức ẩn chứa hàm b (t) nửa quỹ đạo dương cho cơng thức (5.153) Vì 1 − z2 → − z2 − z4 + O z6 , arcsin z → z + z − z + O z 40 (5.166) z → nên đặt z = [ρ/b (t)]1/3 , ta có ρ − t = t∞ − 3b 5ρ b ρ b +O (5.167) Xét biểu thức (5.159) hàm số b (t) xấp xỉ thứ nhất, ta kí hiệu b(0) (t), với b(0) (t) = 2(t∞ − t)−1 /3, độ điều chỉnh số hạng tử khai triển tiệm cận kí hiệu b(1) (t) Khi b (t) = b(0) (t) + b(1) (t) Để nhấn mạnh điều chỉnh có liên quan đến hạng tử cuối khai triển (5.167), đưa vào tham số nhỏ "hình thức" ε, khai triển (5.167) trở thành t = t∞ − ε ρ − 3b 5ρ b + O ε2 , (5.168) khai triển b (t) b (t) = b(0) (t) + εb(1) (t) (5.169) Khi đó, việc tìm điều chỉnh xấp xỉ thứ nhất, ta cần phải giải phương trình (5.150) với độ xác đến bậc theo ε Khai triển hình thức theo lũy thừa ε: 1 b(1) = − ε = (0) b b + εb(1) b(0) b(0) ρ ε t = t∞ − − (0) (0) (1) 5ρ b b + εb + O ε2 , b(1) = t∞ − − ε b(0) b(0) 60 (5.170) ε ρ − (0) 5ρ b (5.171) ε ρ ⇒ t − t∞ + (0) + (0) 5ρ b 3b = 2ε b(1) b(0) (5.172) Từ biểu thức ta tìm hàm b(1) (t) đặt ε – "tham số hình thức" - 1, ta có b(1) = (0) b 2 t − t∞ + (0) b −1 (5.173) (t∞ − t)−1 , từ ta có t − t∞ = Từ công thức (5.159) suy b(0) = − ρ + 3b(0) 5b(0) b(0) Thay biểu thức vừa tìm vào b(1) , ta có b (1) = ρ b(0) 10 (5.174) Suy ra, độ sai lệch (độ điều chỉnh) thực tế có bậc nhỏ cao so với b(0) , (0) b(1) = ρ3 b 10 b(0) − 32 3 = ρ (t − t∞ ) 10 (5.175) Vì hàm b (t) với độ xác vừa tìm có dạng b (t) = b (0) 3 ρ (t∞ − t) (t) + 10 (5.176) Lấy vi phân biểu thức nhận b (t) ρ b˙ = b˙ (0) − 10 b(0) (5.177) , với (0) b˙ (0) = (t∞ − t)−2 = b 2 (5.178) , ta thu (0) b b˙ (0) = 2 1− ρ 10 b(0) (5.179) Khi đó, theo cơng thức tổng quát (5.134) ta có 2b˙ ρ a= = b(0) − (0) 3b 10 b 3 ρ · 1+ (0) 10 b ρ 1− 10 b(0) 3 ρ · 1− 10 b(0) ⇒a=b (0) 61 −1 (5.180) , (5.181) từ ta tìm biểu thức cuối ⇒ a (t) = b 5.7 (0) (t) − ρ (t∞ − t) 2 (5.182) Trường hợp hai chiều Ta xây dựng nghiệm mẫu gần phương trình truyền nhiệt phi tuyến hai chiều Ta tìm nghiệm gần phía phía cách sử dụng nguyên lý cực đưa phương trình dạng chiều 5.7.1 Nghiệm đối xứng tâm Xét phương trình chiều u(x, ˙ t) = u + u 2x + u2 (x, t), (5.183) biểu diễn trình sinh nghiệm đối xứng tâm phương trình (5.25) khơng gian hai chiều hệ tọa độ cực thay r = x xét trường hợp đơn giản góc cực khơng thay đổi Đối với phương trình này, phương trình (5.25) định lí tồn nghiệm thỏa mãn Định lí Cho u0 (x) có đạo hàm cấp hai liên tục R cho u0 (x) → |x| → ∞ Khi phương trình (5.183) có nghiệm với t cho u (x, 0) = u0 (x) Tương tự phương trình (5.25) ta có khẳng định sau: Nếu hàm số u0 (x) hàm chẵn, nghiệm u(x, t) tốn Cauchy phương trình (5.25) với hàm ban đầu u(x, 0) = u0 (x) hàm chẵn theo biến x với t Sự đắn khẳng định suy từ u (−x, t) nghiệm phương trình (5.25) (khi thực đổi biến x → −x hàm khơng thay đổi) Khi u (−x, 0) = u0 (−x) = u0 (x) Theo nguyên lí tồn nghiệm với điều kiện ban đầu ta có u (−x, t) = u (x, t) Ta chứng minh nhận định quan trọng giúp ta so sánh nghiệm toán hai chiều với nghiệm toán chiều Giả sử u1 (x, t) nghiệm toán Cauchy phương trình (5.183) với hàm ban đầu u1 (x, 0) = u1 (−x, 0) hàm chẵn u2 (x, t) nghiệm 62 toán Cauchy phương trình (5.65) với hàm ban đầu u2 (x, 0) = u2 (−x, 0) hàm chẵn, bất đẳng thức u2 (x, 0) u1 (x, 0) (5.184) thỏa mãn Khi với t tồn nghiệm u1 (x, t) phương trình (5.25) cho bất đẳng thức sau thỏa mãn u2 (x, t) (5.185) u1 (x, t) Chứng minh: Giả sử s thời gian tối thiểu mà bất đẳng thức (5.185) thỏa mãn, nghĩa tồn điểm y cho (5.186) u1 (y, s) = u2 (y, s) , u1 (y, s) = u2 (y, s) , với số gia nhỏ δ > (5.187) u1 (x, s + δ) > u2 (x, s + δ) , với x ∈ (y − ε, y + ε) ε số đủ nhỏ phụ thuộc vào δ Ngoài ra, để bất đẳng thức (5.187) thỏa mãn địi hỏi bất đẳng thức sau phải thỏa mãn: (5.188) u2 (y, s) > u1 (y, s) Bởi hàm u1 u2 hàm chẵn nên biểu thức (5.186), (5.187), (5.188) thỏa mãn điểm −y , nghĩa điểm −y giao điểm hai đồ thị u1 u2 Lưu ý theo phương trình (5.183), hàm u1 phải thỏa mãn mối liên hệ u˙ (y, s) = u + u 2y + u21 (y, s) , (5.189) sở phương trình (5.25), hàm u1 phải thỏa mãn mối liên hệ u˙ (y, s) = u 2 + u21 (y, s) (5.190) Mối liên hệ tương tự thỏa mãn điểm −y Lấy phương trình trừ phương trình ta ∂ (u2 − u1 ) (y, s) = ∂t u22 − u21 − u 2y + u22 − u21 (y, s) , (5.191) Đẳng thức tương tự điểm −y Với tính chất bất đẳng thức (5.186) đẳng thức tương tự điểm −y ta có ∂ (u2 − u1 ) (y, s) = u2 u ∂t −u 63 (y, s) − u 2y (y, s) , (5.192) đẳng thức điểm −y Vì hàm u1 hàm chẵn nên u1 (y, s) < điểm y u1 (−y, s) < điểm −y Chọn xác điểm mà bất đẳng thức thỏa mãn, theo đẳng thức (5.192) ta có bất đẳng thức ∂ (u2 − u1 ) (y, s) ∂t 0, (5.193) điều mâu thuẫn với giả định hàm u1 (x, t) u1 (x, t) giao điểm y (hoặc điểm −y ) Sự mâu thuẫn chứng minh bất đẳng thức (5.185) với giá trị t Một cách tương tự trên, ta chứng minh nhận định sau Giả sử u1 (x, t) nghiệm toán Cauchy phương trình (5.183) với hàm ban đầu u1 (x, 0) = u1 (−x, 0) hàm chẵn u2 (x, t) nghiệm tốn Cauchy phương trình (5.65) với hàm ban đầu u2 (x, 0) = u2 (−x, 0) hàm chẵn, bất đẳng thức u2 (x, 0) u1 (x, 0) (5.194) thỏa mãn Khi với t tồn nghiệm u2 (x, t) phương trình (5.185) cho bất đẳng thức sau thỏa mãn u2 (x, t) u1 (x, t) (5.195) Hệ nhận định Nếu u (x, t) nghiệm tốn Cauchy phương trình (5.183) với điều kiện ban đầu u (x, 0) hàm chẵn hàm u± (x, t) nghiệm tốn Cauchy phương trình (5.25) với hàm ban đầu u± (x, 0) hàm chẵn cho u− (x, 0) u (x, 0) u+ (x, 0) , (5.196) với giá trị thời gian t mà hàm u (x, t) hữu hạn bất đẳng thức sau thỏa mãn: u− (x, t) 5.7.2 u (x, t) u+ (x, t) (5.197) Đánh giá nghiệm mẫu hai chiều Với sở nhận định chứng minh ta xây dựng nghiệm mẫu cho trường hợp hai chiều tương ứng phương trình (5.65), ta tiến hành đánh giá nghiệm toán với nghiệm mẫu tương ứng phương trình chiều suy từ phương trình (5.25) Theo định nghĩa, nghiệm mẫu nghiệm phương trình (5.183), với biến số x thay bán kính r 64 u˙ (r, t) = ∂ ∂u r (r, t) + u2 (r, t) , 2r ∂r ∂r (5.198) với điều kiện ban đầu có dạng hàm số trơn chẵn u0 (r) Theo bất đẳng thức u− (r, t) u (r, t) u+ (r, t) , (5.199) với hàm u± (r, t) xác định công thức (5.108), với biến số x thay bán kính r u± (r, t) = a± (t) + b± (t) · cos (rL± ) (5.200) Trong trường hợp hàm a− (t), b− (t) tham số L− định nghĩa cho hàm u− (r, t) cho biểu thức (5.106), hàm a+ (t), b+ (t) tham số L+ định nghĩa cho hàm u+ (x, t) xác định công thức (5.159) biểu thức (5.176) (5.182) 5.8 Xây dựng nghiệm dựa chuỗi lũy thừa Việc thu nghiệm mẫu tường minh phần trước khả thi tính đơn giản tốn Trong trường hợp tổng qt hơn, ví dụ xây dựng nghiệm phương trình truyền nhiệt phi tuyến trường hợp hai chiều ba chiều phương trình hàm xác định phụ thuộc nghiệm mẫu vào tọa độ không gian khơng cịn có nghiệm tường minh phép tồn phương Vì việc phát triển phương pháp xấp xỉ để xác định nghiệm mẫu thành lập tính chất định lượng nghiệm sở điều quan trọng Một cách tiếp cận tự nhiên theo hướng phương pháp khai triển nghiệm theo dạng chuỗi lũy thừa Trong phần ta chứng minh tiếp cận toán xác định nghiệm mẫu sở chuỗi lũy thừa Ta tìm nghiệm phương trình (5.27) theo dạng ∞ an (t) xn u (x, t) = (5.201) n=0 Khi ∞ u (x, t) = x n=0 ⇒ d2 u (x, t) = dx2 n n ak (t) an−k (t), (5.202) k=0 ∞ n+2 xn (n + 2) (n + 1) n=0 ak (t) an+2−k (t) k=0 65 (5.203) Thay khai triển vào phương trình (5.27), ta thu ∞ x a˙ n (t) = ∞ n n=0 ∞ n+2 n ak (t) an+2−k (t) + x (n + 1) (n + 2) n=0 x n=0 k=0 n n ak (t) an−k (t) k=0 (5.204) So sánh hệ số số hạng x có số mũ hai vế phương trình, ta tìm hệ số an (t) với n = 0, 1, 2, phải thỏa mãn hệ thống vô hạn phương trình vi phân thường a˙ n (t) = (n + 1) (n + 2) n n+2 (5.205) ak (t) an−k (t) ak (t) an+2−k (t) + k=0 k=0 Chú ý phương trình thứ n hệ bao gồm số (n + 1) (n + 2): a˙ (t) = 2a0 (t) a2 (t) + a20 (t) + a21 (t) , (5.206) a˙ (t) = [a0 (t) a3 (t) + a1 (t) a2 (t)] + 2a0 (t) a1 (t) , (5.207) a˙ n (t) = (n + 1) (n + 2) [a0 (t) an+2 (t) + a1 (t) an+1 (t)] + + (n + 1) (n + 2) n n ak (t) an+2−k (t) + k=2 ak (t) an−k (t), n = 1, 2, 3, k=0 (5.208) Vì thế, ta cần chọn cách tùy ý hai hàm a0 (t) a1 (t), tất hàm lại xác định hệ thức truy hồi a2 = an+2 = (n + 1) (n + 2) a0 a˙ − a20 − a21 , 2a0 (5.209) n a˙ n − ak an−1 k=0 − (n + 1) (n + 2) a1 an+1 + (5.210) n ak an+2−k k=2 Điều giúp ta biểu diễn tất hệ số an (t) , n ∈ R qua a0 (t) cho trước Với hàm a0 (t) biết ta tìm tất hệ số an (t) , n ∈ R từ ta xây dựng nghiệm phương trình (5.27) theo dạng chuỗi lũy thừa (5.201), miễn chuỗi hội tụ Tất nghiệm trơn phương 66 trình (5.27) cụ thể nghiệm mẫu với tính chất cho thu phương pháp Để thu nghiệm thỏa mãn điều kiện tồn điểm x∗ (t) cho u (x∗ (t) , t) = 0, u (x∗ (t) , t) = với hệ số an (t) xác định theo biểu thức (5.210) cho đồng thức sau thỏa mãn ∞ ∞ an (t) xn∗ (t) (n + 1) an+1 (t) xn∗ (t) = = 0, (5.211) n=0 n=0 Nghiệm toán phức tạp việc tìm nghiệm khó khăn Thay vào đó, luận văn ta giải toán đơn giản - làm cách mà việc giải hệ phương trình (5.201) tìm nghiệm mẫu theo dạng (5.106) Để giải tốn theo (5.106) ta cần giả thiết tất hệ số an (t) tỉ lệ với hệ số a0 (t), điều nghĩa an (t) = µn a0 (t) , n ∈ N, (5.212) a˙ (t) = λa0 (t) Thay biểu thức vào phương trình (5.210) ta có a˙ = 2µ2 + µ21 + a20 (t) , (5.213) µ1 a˙ = [6 (µ3 + µ1 µ2 ) + 2µ1 ] a20 (t) , µn a˙ = (5.214) (n + 1) (n + 2) (µn+2 + µn+1 µ1 ) + + (n + 1) (n + 2) n n µn−k µk a20 (t) , µn+2−k µk + k=2 n = 1, 2, 3, k=2 So sánh hệ số tất phương trình hệ, ta thu hệ phương trình cho hệ số tỷ lệ với sau λ = 2µ2 + µ21 + 1, (5.215) (5.216) λµ1 = (µ3 + µ1 µ2 ) + 2µ1 , λµn = (n + 1) (n + 2) (µn+2 + µn+1 µ1 ) + + (n + 1) (n + 2) n n µn+2−k µk + k=2 µn−k µk , n = 1, 2, 3, (5.217) k=2 Trong hệ phương trình này, hai đại lượng λ µ1 chọn cách tùy ý Dựa vào hệ phương trình này, ta xác định tất hệ số µn , n = 1, 2, 3, Cuối cùng, giá trị µ1 chọn từ điều kiện tiếp xúc nghiệm mức không nghiệm (5.201) 67 5.9 Thảo luận phương pháp giải Tiếp theo, ta khái quát hóa phương pháp xây dựng nghiệm mẫu áp dụng cho toán giá trị biên giá trị ban đầu trường hợp hai chiều ba chiều liên quan đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến với nguồn nhiệt phân bố, tốn quan tâm nhiều ứng dụng vật lý lý thuyết Ta xét, ví dụ phương trình hai chiều tương tự phương trình (5.27): ∂ U˙ = r ∂r Ur ∂U ∂r + U2 = ∂ 2U ∂ U + U 2, + 2 ∂r 2r ∂r (5.218) với r bán kính vector hệ tọa độ cực Ta tìm nghiệm phương trình theo dạng khai triển lũy thừa theo biến r ∞ an (t) rn , U (r, t) = (5.219) n=0 với a1 (t) ≡ 0, ∞ n r U (r, t) = n n=0 (5.220) ak (t)an−k (t) , k=0 từ ∂ U (r, t) = ∂r ∞ ∞ n nr n−1 n=0 ak (t)an−k (t) = n+1 (n + 1) r n n=0 k=0 ak (t)an+1−k (t) , k=0 (5.221) ∂2 U (r, t) = ∂r2 ∞ n (n − 1) r n=2 ∞ = ⇒ ∂ U (r, t) = r ∂r n n−2 ak (t)an−k (t) k=0 n+2 (n + 1) (n + 2) r n=0 ∞ ak (t)an+2−k (t) , (5.222) k=0 n+2 (n + 2) rn n=0 n ak (t)an+2−k (t) (5.223) k=0 Thay khai triển vào phương trình (5.218) so sánh hệ số số mũ rn , ta tìm 68 a˙ n = (n + 1) (n + 2) = (n + 2)2 n+2 k=0 ak an+2−k + (n + 2) n+2 ak an−k ak an+2−k + k=0 k=0 n ak an+2−k + k=0 n n+2 ak an−k , (5.224) k=0 với n ∈ N+ Giống trường hợp chiều hệ phương trình này, phương trình thứ n chứa số hạng (n + 2) Ví dụ a˙ (t) = 2a0 (t) a2 (t) + a20 (t) (5.225) Để cho hệ số a˙ khơng ta cần phải đặt a3 (t) = Với n = ta thu a˙ (t) = 2a0 (t) a4 (t) + a22 (t) + 2a0 (t) a2 (t) (5.226) Bằng việc giải hệ phương trình này, ta thu tất hệ số lũy thừa lẻ r không, hàm a2(n+1) (t) xuất vế phải phương trình vi phân a2n (t), mà số hạng lại biểu diễn theo hàm xây dựng trước a2 (t) , , a2n (t) Vì thế, việc xây dựng nghiệm mẫu theo dạng chuỗi lũy thừa thực cách tương tự Với hàm a0 (t) bất kì, ta tìm tất hàm an (t) , n ∈ N bậc cao cách sử dụng hệ thức truy hồi dạng đại số Phương pháp xây dựng nghiệm theo dạng chuỗi lũy thừa trình bày sử dụng để xây dựng nghiên cứu nghiệm mẫu cho phương trình truyền nhiệt phi tuyến hai chiều 69 Kết luận Về nội dung, luận văn trình bày cách khái quát dạng phương trình vi phân phi tuyến đơn giản khác từ bậc đến bậc ba với việc nghiên cứu sâu phương trình truyền nhiệt phi tuyến cho toán bùng nổ chất bán dẫn, từ luận văn giới thiệu phương pháp sử dụng cách hiệu để giải dạng phương trình vi phân phi tuyến Bên cạnh đó, luận văn cịn tập trung khai thác tính chất thể qua tham số nghiệm thu thơng qua nhận xét, hình biểu diễn, đồ thị nhằm làm bật lên ý nghĩa vật lý tượng xảy tự nhiên Cuối cùng, luận văn giới thiệu phương trình truyền nhiệt hai chiều đưa hướng giải mà cố gắng thực nghiên cứu Về hình thức, luận văn trình bày hệ thống lý thuyết logic, khoa học với ví dụ minh họa cách đơn giản, dễ hiểu với người đọc, người bước đầu tiếp cận với phương trình vi phân phi tuyến Vì nên kết mà luận văn thu phù hợp với nhiệm vụ mục tiêu ban đầu đề 70 Kiến nghị cho nghiên cứu Với mục tiêu ban đầu đề ra, luận văn giới thiệu phương trình vi phân phi tuyến đơn giản với phương pháp giải truyền thống Vì nên nghiên cứu tiếp cận với dạng phương trình vi phân phi tuyến phức tạp đòi hỏi phải sử dụng đến phương pháp giải đề năm gần phương pháp sử dụng lý thuyết điểm bất động hình nón, phương pháp sử dụng đến máy tính điện tử, hay phương pháp tham biến bé, Do giới hạn phạm vi nghiên cứu nên luận văn tập trung trình bày phương trình vi phân phi tuyến chiều Vì mà hướng phát triển luận văn khai thác phương trình vi phân phi tuyến hai chiều, ba chiều, Ngoài ra, nghiên cứu luận văn hướng đến việc đưa ví dụ mơ tả tượng tự nhiên quen thuộc với việc phân tích tính chất ý nghĩa vật lý tương ứng 71 Tài liệu tham khảo [1] Lê Viết Chiến (2009) Điều kiện đủ để ổn định mũ phương trình vi phân phi tuyến theo biến thời gian Đại học Vinh [2] Phạm Thanh Sơn (2010) Phương trình sóng phi tuyến tính chứa số hạng nhớt phi tuyến Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Thị Thanh (2014) Ứng dụng phương pháp tham biến bé giải phương trình vi phân phi tuyến Đại học Sư phạm Hà Nội [4] Tran Duc Van, Nguyen Duy Thai Son, M.Tsuji (2000) The Characteristic Method and Its Generalizations for First-order Nonlinear Partial Differential Equations Boca Raton, New York: Chapman & Hall/CRC [5] Bertsch M., Kersner R., Peletier L.A (1985) Positivity versus localization in degenerate diffusion equations, Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications 9, pp.987-1008 [6] Galaktionov V A., S A Posashkov (1989) On New Exact Solutions of Parabolic Equations with Quadratic Nonlinearities Zhurnal Vychislitel’noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, 29 (4), pp.497–506 [7] Haberman R (2004) Elementary Applied Partial Differential Equations with Fourier Theory and Boundary Value Problems Englewood Ciffs, N.J.: Pearson/Prentice Hall [8] Ladyzhenskaya O (1985) The Boundary Value Problems of Mathematical Physics New York: Springer [9] Polyanin A.D., Zaitsev V.F (2004) Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations / A.D Polyanin Boca Raton, New York: Chapman & Hall/CRC [10] Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P (1995) Blow up in Problems for Quasilinear Parabolic Equations Berlin, Germany: Walter de Gruyter [11] Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A (1996) Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation I General theory Functional Materials, (1), pp.5-11 72 [12] Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A (1996) Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation II Onedimensional model analysis Functional Materials, (3), pp.312-319 [13] Zaitsev V.F., Polyanin A.D (1996) Handbook of Partial Differential Equations: Exact Solutions Moscow, Russia: Mezhdunarodnaya Obrazovaniya 73 ... KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VI? ??C KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ [TOÁN - LÝ] MÃ... sinh, sinh vi? ?n có hiểu biết tảng vi? ??c giải phương trình vi phân tuyến tính có bước tiếp cận phương trình vi phân phi tuyến Luận văn giới thiệu phương pháp giải cho phương trình vi phân phi tuyến. .. mô tả tượng đa số phương trình vi phân phi tuyến Như ta biết, phương trình vi phân tuyến tính giải nghiệm xác Cịn phương trình vi phân phi tuyến nhà tốn học cố gắng làm đơn giản hóa chúng phương