Luận Văn Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2

Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vi phân lĩnh vực quan trọng toán học đại Rất nhiều tốn tốn học, vật lý, hóa học,… dẫn đến việc giải phương trình vi phân Tuy nhiên lớp phương trình vi phân tìm nghiệm xác hẹp Do đó, để giải phương trình vi phân thơng thường người ta thường phải sử dụng phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần chúng Do nhu cầu thực tiễn, nhà khoa học tìm nhiều phương pháp để tìm nghiệm gần phương trình vi phân Trong khóa luận em xin trình bày số phương pháp giải gần toán biên phương trình vi phân thường cấp Nội dung khóa luận gồm chương: Chƣơng 1: Các kiến thức mở đầu Chƣơng 2: Một số phương pháp giải tốn biên phương trình vi phân thường cấp - phương pháp đưa toán Cauchy, phương pháp khử lặp Chƣơng 3: Ứng dụng vào giải tốn cụ thể Tuy có nhiều cố gắng, song đặc điểm đề tài, thời gian tài liệu nghiên cứu hạn chế nên khóa luận em chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong bảo, tham gia đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để khóa luận em hồn chỉnh GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối Trong tính toán, ta thường phải làm việc với giá trị gần đại lượng Ta nói a số gần a *, a không sai khác a* nhiều Đại lượng : = | a – a* | gọi sai số thực a Do a * nên ta  Tuy nhiên, ta tìm a  0, gọi sai số tuyệt đối a, thỏa mãn điều kiện: | a – a* |  a (1.1.1) hay a  a  a*  a  a Đương nhiên, a thỏa mãn kiện (1.1.1) nhỏ tốt Sai số tương đối a :  a : a |a| Ví dụ : Giả sử a* =  ; a = 3,14 Do 3,14  a*  3,15  3,14  0,01 nên ta lấy a  0, 01 Mặt khác, 3,14    3,142  0, 002 coi a  0, 002 Ví dụ : Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta a = 10cm b = 1cm với a  b  0, 01 Khi ta có  a  0,01 0,01  1% hay  0,1% b  10  b  10 a Hiển nhiên phép đo a xác hẳn phép đo b a  b Như độ xác phép đo phản ánh qua sai số tương đối GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Toán 1.1.2 Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát sau: a  ( p10 p   p110 p1     ps10 ps )  i  9,(i  p  1, p  s) ;  p  số nguyên Nếu p – s  a số nguyên Nếu p – s = - m ( m > ) a có phần lẻ gồm m chữ số Nếu s = +  a số thập phân vô hạn Thu gọn số a vứt bỏ số chữ số bên phải a để số ā ngắn gọn gần với a Quy tắc thu gọn : Giả sử a   p10 p   p110 p1     ps10 ps ta giữ lại đến số hạng thứ j Gọi phần vứt bỏ , ta đặt a   p10 p   p110 p1     j 110 j 1   j10 j , đó:  u 0,5.10 j    10 j  j  1, neá   j :  u0    0,5.10 j   j , neá Nếu  = 0,5 10j  u j lẻ   j  1, nế   j :  u j chẵ n    j , nế Ví dụ   3,141592  3,14159  3,1416  3,142  3,14  3,1  Sai số thu gọn a  số thỏa mãn điều kiện : | ā – a |  a Vì a = p 10p + p-1 10p-1 + + j 10j +  p p 1 j 1 j Còn a   p10   p110     j 110   j 10 GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Toán  )10   | 0,5.10 Nên | a  a | | (  j   j j j Sau thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên : | a* - ā |  | a* - a | + | a – ā |  a + a 1.1.3 Chữ số có nghĩa, chữ số Chữ số có nghĩa chữ số khác chữ số ‘ 0’ chữ số ‘ ‘ kẹp hai chữ số có nghĩa đại diện cho hàng lại Ví dụ : a = 0,0030140 Ba chữ số “ “ đầu khơng có nghĩa p p 1 ps Mọi chữ số có nghĩa j a  (  p 10   p 110     p  s 10 ) gọi chữ số a  .10i  tham số cho trước Tham số  chọn để chữ số vốn sau thu gọn chữ số Giả sử chữ số cuối a trước thu gọn j Để j+1 chữ số trước chắc, phải có a  a  .10i1 Suy .10i1  0,5.10i1  .10i1 hay   Ta gọi chữ số theo nghĩa hẹp (rộng)  = 0,5 ( = 1) viết số gần đúng, lên giữ lại hai chữ số khơng để tính tốn sai số tác động đến chữ số không mà thơi 1.2 Sai số tính tốn Trong tính tốn ta thường gặp bốn loại sai số sau : a) Sai số giả thiết: Do mơ hình hóa, lý tưởng hóa tốn thực tế Sai số khơng loại trừ b) Sai số phương pháp: Các toán thường gặp phức tạp, giải mà phải sử dụng phương pháp gần Sai số nghiên cứu cho phương pháp cụ thể c) Sai số số liệu: Các số liệu thường thu thực nghiệm có sai số Sai số số liệu gần nghiên cứu §1 GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn d) Sai số tính tốn: Các số vốn có sai số, cịn thêm sai số thu gọn nên tính tốn xuất sai số tính tốn Giả sử phải tìm đại y theo cơng thức: y  f ( x1 , x2 ,, xn ) * Gọi xi , y * (i  1, n) xi , y , (i  1, n) giá trị gần đối số hàm số Nếu f khả vi liên tục thì:  | y  y | | f ( x1, x2 , , xn )  f ( x , x , , x ) | | fi ' | | xi  xi* | n * * * * n i 1  f ' f f i đạo hàm tính điểm trung gian Do liên tục xi xi xi bé ta coi n y   | fi ' ( x1 , , xn ) |.xi i 1 (1) n y  y   | ln f | xi | y | i 1 xi (2) Sau sai số phép tính bản: 1.2.1 Sai số tổng Giả sử tính y = x1 + x2 + …+ xn ; y  1, i  1, , n xi Theo công thức (1) có : y = |1| x1 + |1| x2 + …+ |1| xn  y = x1 + x2 +…+ xn GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn n  y   xi i 1 Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng thành phần Trong tính tốn có tổng số nhỏ sai số tương đối số lớn Vậy tính tốn ta phải tránh việc tính hiệu số hai số gần khơng tránh cần phải lấy số với nhiều chữ số 1.2.2 Sai số tích Giả sử tính sai số với y = x1 x2 … xn ; | y | = | x1 | | x2 | …| xn |  ln |y| = ln |x1| + ln |x2| + …+ ln|xn| hay ln | y | n  ln | x | i i 1 n n i 1 i 1  ln | y |   ln | xi |    ln | xi | n  y   x i 1 i Sai số tương đối tích tổng sai số tương đối số hạng thành phần 1.2.3 Sai số tương đối thương Giả sử tính y  ' Ta có y x1  x1 x2 x ' ; y x2   12 x2 x2 Có GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp y | Ngơ Thị Tâm-K34C Toán x | x1  |  12 | x2 x2 x2  |x | x1  12 x2 | x2 | x2  | x2 | x1  | x1 | x2 | x22 | Có y  y | x2 | x1  | x1 | x2 | x2 |  | y| | x2 |2 | x1 |  | x2 | x1  | x1 | x2 | x1 | | x2 |  | x2 | x1 | x1 | x2  | x1 | | x2 | | x1 | | x2 |  x1 x2  | x1 | | x2 |   x1   x2 Vậy sai số tương đối thương tổng sai số tương đối số hạng thành phần 1.2.4 Sai số phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo  Cho y  x ,  y | d ln y | x |  |  x dx Nếu   ( phép lũy thừa)  y   x độ xác giảm Nếu    ta có phép khai căn,  y   x hay độ xác tăng GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn Nếu   1 ta có phép nghịch đảo,  y   x nghĩa độ xác khơng đổi 1.3 Bài tốn ngƣợc lí thuyết sai số Giả sử đại lượng y tính theo cơng thức y = f (x1, x2, … , xn) hỏi phải lấy xi để y  const cho trước ? Sau hai phương pháp đơn giản để giải tốn : 1.3.1 Ngun lí ảnh hưởng a ) Ta coi | f | xi  c , (c  const ) , i  1, n xi Suy n y  | i 1 f | xi  nc xi Vậy xi  c y  ,(i  1, n) f f | | n.| | xi xi b) Nếu coi xi = const ( i = 1,…, n ) : xi  c) Nếu coi  x1   x2    xn đặt k  k y n | x j 1 j f | x j đó: xi  y n f | |  j 1 x j n xi f | hay y  k | xi | xi | xi i 1 | xi | y ;(i  1, n) f | xj |  x j j 1 n GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn Ví dụ Một hình trụ có bán kính đáy R = cm Chiều cao h = 3m Hỏi R h phải để thể tích V tính xác tới 0,1 m3 ? Giải Ta có V =  R2h Áp dụng ngun lí ảnh hưởng thứ ta có Nên   V  R h  12  0,1 V  0,003  2 Rh  37, 3,12 R Suy R  Do h  1.3.2 0,1 V  0,001;   R  12,6 3.37,7 h 0,1  0,003 3.12,6 Phương pháp biên Giả sử hàm y  f ( x1 , x2 , , xn ) đồng thời theo biến x1, x2 , , x p nghịch biến theo biến lại x p1 , , xn Nếu biết cận thay đổi đối số xi  xi  xi ;(i  1, n) thì: y  f ( x1 , , x2 , x p 1 , , xn )  y  y  f ( x1 , , x p , x p 1, , xn ) Từ suy  y  y  y 1.4 Sai phân 1.4.1 Định nghĩa: Giả sử f hàm xác định tập X, h > cho x + h  X, biểu thức f ( x)  f ( x  h)  f ( x) gọi sai phân cấp hàm f ( x ) x GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn  f  (f )  [ f ( x  h  h)  f ( x  h)]  [ f ( x  h)  f ( x)]  f ( x  2h)  f ( x  h)  f ( x )  f ( x  h)  f ( x) gọi sai phân cấp f (x) x Tương tự  f  ( n n1 f ) gọi sai phân cấp n f ( x) x 1.4.2 Tính chất sai phân 1.4.2.1 Sai phân ánh xạ tuyến tính ( tốn tử tuyến tính )  k ( f  g )   k f   k g k ( f )   k f 1.4.2.2 c = với c - const 1.4.2.3 Giả sử P(x) đa thức bậc n P(x) đa thức bậc n-1 m P(x) = c - số m = n m P(x) = - m > n n 1.4.2.4 f ( x  nh)   Cnk  k f ( x) k 0 n   Cnk  k f k 0 1.4.3 Bảng sai phân f (xi) = yi với i = 0; 1; 2; …; n GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 10 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn Theo cơng thức (2.2.11) ta tìm y10 theo cơng thức : yn  1cn2d n2  Bh 1 (1  cn2 )  0 h Sau ta tìm giá trị yi ( i =9,8,…,1 ) theo công thức (2.2.12):  yn1  cn2 (d n2  yn )  y  c (d  y )  n  n 3 n 3 n 1    y1  c0 (d0  y2 ) Cịn với giá trị y0 ta tìm theo công thức (2.2.13): y0  1 y1  Ah 1   h Bài Bằng phương pháp khử lặp giải phương trình: y  x y  với điều ''  y (0)   y (1)  kiện biên:  Giải Sử dụng công thức sai phân trung tâm: yi'  yi 1  yi " yi   yi 1  yi , yi  h h2 GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 41 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn lấy h = 0,1 xi = 0,1i (i=0, 1, …, 10) thay vào phương trình điều kiện biên ta hệ phương trình sai phân là:  yi   yi 1  yi  xi2 yi   0,01  ; i  0,8  y0  y 1  10  Sau biến đổi ta hệ:  yi   yi 1  (1  0,01xi2 ) yi   ; i  0,8  y0  y 1  10 Như ta có: mi =-2 0  0  ki =1+ 0,01 xi2 1  1  fi = A=0 B=1 Thứ tự điền vào bảng : GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 42 Khóa luận tốt nghiệp i xi Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn mi ki fi ci di yi 0,0 -2 1,0 0,0 -0,5000 0,0000 0,0000 0,1 -2 1,0001 0,0 -0,6667 0,0000 0,1029 0,2 -2 1,0004 0,0 -0,7502 0,0000 0,2059 0,3 -2 1,0009 0,0 -0,8005 0,0000 0,3089 0,4 -2 1,0016 0,0 -0,8346 0,0000 0,4117 0,5 -2 1,0025 0,0 -0,8596 0,0000 0,5142 0,6 -2 1,0036 0,0 -0,8793 0,0000 0,6163 0,7 -2 1,0049 0,0 -0,8957 0,0000 0,7169 0,8 -2 1,0064 0,0 -0,9103 0,0000 0,8154 0,9 0,9103 10 1,0 1,0000  Chiều thuận Điền vào bảng số xi = 0,1i tính giá trị mi, ki, fi với i  0,8 Tiếp theo ta tìm : 1   h  c   m0  a1   h   k01   k0 Ah d   h2 f0  m0  a1   h   k01 Với giá trị ci , di mà i  0,8 ta tính theo cơng thức :  ci  m  k c i i i 1  d  h f  k c d i i i 1 i 1  i GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 43 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn  Chiều ngƣợc Theo cơng thức (2.2.11) ta tìm y10 theo cơng thức : yn  1cn2d n2  Bh 1 (1  cn2 )  0 h Sau ta tìm giá trị yi ( i =9,8,…,1 ) theo công thức (2.2.12):  yn1  cn2 (d n2  yn )  y  c (d  y )  n  n 3 n 3 n 1    y1  c0 (d0  y2 ) Cịn với giá trị y0 ta tìm theo cơng thức (2.2.13): y0  1 y1  Ah 1   h Bài Bằng phương pháp đưa tốn Cauchy giải phương trình:  y (0)   y (1)  y''  y '  y  x2  10 x  với điều kiện biên:  Giải Nghiệm phương trình vi phân có dạng: y ( x)  Z ( x)  c1Z1 ( x)  c2 Z ;0  x  c1, c2 số tùy ý; Z(x), Z1(x), Z2(x) nghiệm toán Cauchy sau : GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 44 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Toán Z "  5Z '  6Z  x  10 x  (I) (II) (III) Z (0)  0; Z ' (0)  Z1"  5Z1'  Z1  Z1 (0)  0; Z1' (1)  Z 2"  5Z 2'  6Z  Z (0)  1; Z 2' (1)  Giải (I) Z "  5Z '  6Z  x  10 x  Z (0)  0; Z ' (0)  Phương trình đặc trưng là:   5   có nghiệm thực khác là: 1  2; 2  Do nghiệm riêng phương trình vi phân khơng * viết dạng: Z ( x)  Ax  Bx  C Thay biểu thức vào phương trình ta đến hệ thức sau: Ax  (6 B  10 A) x  6C  5B  A  x  10 x  Đồng hệ số lũy thừa bậc x ta được: A  6;6 B  10 A  10;6C  5B  A  * Suy A = 1; B = 0; C = Do Z ( x)  x Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: Z ( x)  c1e 2x  c2e3x  x ' Với điều kiện Z (0)  0; Z (0)  suy c1 = 0; c2 = Vậy phương trình (I) có nghiệm là: Z ( x)  x Giải (II) Z1"  5Z1'  Z1  Z1 (0)  0; Z1' (1)  GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 45 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn Phương trình đặc trưng là:   5   có nghiệm thực khác là: 1  2; 2  Do nghiệm phương trình vi phân viết dạng: Z1 ( x)  c1e 2x  c2e3x Với điều kiện Z1 (0)  0; Z1' (0)  suy c1 = -1; c2 = Vậy phương trình (II) có nghiệm là: Z1 ( x)  e 2x  e3x Giải (III) Z 2"  5Z 2'  6Z  Z (0)  1; Z 2' (1)  Phương trình đặc trưng là:   5   có nghiệm thực khác là: 1  2; 2  Do nghiệm phương trình vi phân viết dạng: Z1 ( x)  c1e 2x  c2e3x Với điều kiện Z2 (0)  1; Z2' (0)  suy c1 = 3; c2 = -2 2x 3x Vậy phương trình (III) có nghiệm là: Z ( x)  3e  2e Vậy tốn có nghiệm là: y( x)  x2  c1 (e2 x  e3 x )  c2 (3e2 x  2e3 x ) 2e3  3e2  ; c2  Với điều kiện y(0)  1; y(1)  suy c1  e3  e Kết luận: Phương trình có nghiệm y( x)  x2  c1 (e2 x  e3 x )  c2 (3e2 x  2e3 x ) với 2e3  3e2  c1  ; c2  e3  e GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 46 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Toán Bài Bằng phương pháp đưa tốn Cauchy giải phương trình:  y (0)   y (1)  y ''  y '  5x2  x với điều kiện biên:  Giải Nghiệm phương trình vi phân có dạng: y ( x)  Z ( x)  c1Z1 ( x)  c2 Z ;0  x  c1, c2 số tùy ý; Z(x), Z1(x), Z2(x) nghiệm toán Cauchy sau : Z "  Z '  5 x  x (I) (II) (III) Z (0)  0; Z ' (0)  Z1"  5Z1'  Z1 (0)  0; Z1' (1)  Z 2"  5Z 2'  Z (0)  1; Z 2' (1)  Giải (I) Z "  Z '  5 x  x Z (0)  0; Z ' (0)  Phương trình đặc trưng là:   5  có nghiệm thực là: 1  0; 2  Do nghiệm riêng phương trình vi phân khơng * viết dạng: Z ( x)  x( Ax  Bx  C ) Thay biểu thức vào phương trình ta đến hệ thức sau: 15 Ax  (6 A  10 B) x  B  5C  5 x  x Đồng hệ số lũy thừa bậc x ta được: 15 A  5;6 A  10 B  2; 5C  B  GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 47 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Toán 1 Suy A  ; B  0; C  Do Z * ( x)  x3 3 5x Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: Z ( x)  c1  c2e  x ' Với điều kiện Z (0)  0; Z (0)  suy c1 = 0; c2 = Vậy phương trình (I) có nghiệm là: Z ( x)  x Giải (II) Z1"  5Z1'  Z1 (0)  0; Z1' (1)  Phương trình đặc trưng là:   5  có nghiệm thực là: 1  0; 2  Do nghiệm phương trình vi phân viết 5x dạng: Z1 ( x)  c1  c2e Với điều kiện Z1 (0)  0; Z1' (0)  suy c1   ; c2  5 5x Vậy phương trình (II) có nghiệm là: Z1 ( x)    e Giải (III) Z 2"  5Z 2'  Z (0)  1; Z 2' (1)  Phương trình đặc trưng là:   5  có nghiệm thực là: 1  0; 2  Do nghiệm phương trình vi phân viết 5x dạng: Z1 ( x)  c1  c2e Với điều kiện Z2 (0)  1; Z2' (0)  suy c1 = 1; c2 = Vậy phương trình (III) có nghiệm là: Z ( x)  GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 48 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn 1 5x Vậy tốn có nghiệm là: y ( x)  x  c1  c2 (  e ) 5 Với điều kiện y(0)  1; y(1)  suy c1  0; c2   3e5 Kết luận: Phương trình có nghiệm y ( x)  1 x  c1  c2 (  e5 x ) với 5 c1  0; c2   3e5 Bài tập yêu cầu Bằng phương pháp khử lặp giải phương trình vi phân sau:  '' ' y  y  y  x  1;0,5  x   x  a)  y (0,5)  0,125  y (1)  y ' (1)     '' ' y  x y  y  1;0,5  x   x2  ' b)  y (0,5)  y (0,5)   y (1)     '' '  y  x y  1;0,5  x   ' c)  y (0,5)   y (1)  y ' (1)    GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 49 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Toán  y ''  xy '  y  x,0  x   ' d)  y (0)  y (0)   y (1)   Bằng phương pháp đưa tốn Cauchy giải phương trình vi phân sau: a) y ''  y '  y  2e2 x ,0  x  với điều kiện biên: y(0)  y ' (0)  1; y(1)  b) y ''  y  (2 x  1)e2 x ,0  x  với điều kiện biên: y(0)  1; y(1)  y ' (1)  c) y ''  y '  y  e x (cos x  7sin x),0  x  với điều kiện biên: y (0)  1; y (1)  d) y ''  y  2sin x,0  x  với điều kiện biên: y(0)  y ' (0)  1; y(1)  GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 50 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn Kết luận Như biết, toán phát sinh thực tế khơng phải lúc tìm nghiệm xác tìm phải nhiều thời gian nhiều khơng cần thiết Việc xuất phương pháp gần toán làm tăng thêm khả ứng dụng tốn học vào thực tiễn Trong khóa luận này, ngồi kiến thức sai số, phương trình vi phân thường tốn biên phương trình vi phân thường em nêu lên hai phương pháp để giải tốn biên phương trình vi phân thường ứng dụng công nghệ thông tin ngơn ngữ Pascal q trình tính tốn Các phương pháp giải gần toán biên phương trình vi phân thường phong phú khn khổ khóa luận lực thân có hạn nên khóa luận em nêu hai phương pháp Thông qua khóa luận em rút nhiều điều bổ ích việc nghiên cứu khoa học em thấy việc phát triển phương pháp gần cần thiết ứng dụng to lớn chúng GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 51 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, Nxb ĐHQG Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2003), Giải tích số, Nxb Giáo Dục Hoàng Hữu Đường (1979), Phương trình vi phân- tập 2, Nxb Giáo Dục Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002), Phương pháp tính thuật tốn, Nxb Giáo Dục Nguyễn Thế Hồn – Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nxb Giáo Dục I.a.D.Mamedov (1979), Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường, Nxb Maarif.Bacu GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 52 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khóa luận này, em nhận quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện thầy, giáo khoa Tốn, đặc biệt thầy, tổ Giải tích trường ĐHSP Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô giáo, đặc biệt thầy giáo - PGS.TS Khuất Văn Ninh động viên, hướng dẫn tận tình giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Tâm GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 53 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em Trong nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với tôn trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Tâm GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 54 Khóa luận tốt nghiệp Ngơ Thị Tâm-K34C Tốn MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng Các kiến thức mở đầu 1.1 Số gần 1.2 Sai số tính tốn 1.3 Bài toán ngược lý thuyết sai số 1.4 Sai phân 1.5 Một số kiến thức phương trình vi phân thường 11 1.6 Bài toán biên phương trình vi phân thường 12 Chƣơng Một số phƣơng pháp giải tốn biên phƣơng trình vi phân thƣờng cấp - phƣơng pháp đƣa toán Cauchy, phƣơng pháp khử lặp 17 2.1 Phương pháp đưa toán Cauchy 17 2.2 Phương pháp khử lặp giải tốn biên phương trình vi phân tuyến tính cấp 20 Chƣơng Ứng dụng vào giải toán cụ thể 30 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 GVHD: PGS.TS Khuất Văn Ninh 55 ...  0; a  x  b phương pháp dồn vi phân ổn định sai số tính toán 2. 2 Phƣơng pháp khử lặp giải toán biên phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. 2.1 Nội dung phương pháp Cho toán biên: y" ( x) ... tiễn Trong khóa luận này, ngồi kiến thức sai số, phương trình vi phân thường tốn biên phương trình vi phân thường em nêu lên hai phương pháp để giải tốn biên phương trình vi phân thường ứng dụng... 12 | x2 x2 x2  |x | x1  12 x2 | x2 | x2  | x2 | x1  | x1 | x2 | x 22 | Có y  y | x2 | x1  | x1 | x2 | x2 |  | y| | x2 |2 | x1 |  | x2 | x1  | x1 | x2 | x1 | | x2 |  | x2