Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân (LV00958)

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI H TH THANH MT S PHNG PHP GII BI TON BIấN I VI PHNG TRèNH VI PHN LUN VN THC S TON HC H NI, 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI H TH THANH MT S PHNG PHP GII BI TON BIấN I VI PHNG TRèNH VI PHN Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYN VN HNG H NI, 2013 i LI CAM OAN Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Nguyn Vn Hựng Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun vn, tụi ó k tha nhng thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc v ng nghip vi s trõn trng v bit n Tụi xin cam oan rng cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, ngy 25 thỏng 11 nm 2013 Tỏc gi H Th Thanh ii LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo TS Nguyn Vn Hựng S giỳp v hng dn tn tỡnh ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi Tỏc gi xin c by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy Tỏc gi xin c gi li cm n chõn thnh ti Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc Cui cựng, tỏc gi cng c by t lũng cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, ng nghip ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s v hon thnh lun ny H Ni, ngy 25 thỏng 11 nm 2013 Tỏc gi H Th Thanh iii MC LC Trang Li cm n i Li cam oan ii Bng ký hiu v M u 1 Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu Nhim v nghiờn cu i tng v phm vi nghiờn cu .1 Phng phỏp nghiờn cu D kin kt qu nghiờn cu Chng Kin thc chun b .3 1.1 Lý thuyt v sai s 1.1.1 Khỏi nim v s gn ỳng 1.1.2 Sai s tớnh toỏn 1.2 Sai phõn 1.2.1 nh ngha 1.2.2 Tớnh cht ca sai phõn 1.2.3 Bng sai phõn 1.3 Khỏi nim v hm gii tớch 1.4 Khụng gian nh chun 11 1.4.1 Khỏi nim khụng gian nh chun 11 1.4.2 S hi t khụng gian nh chun 12 1.4.3 Toỏn t tuyn tớnh khụng gian nh chun 13 1.5 Phng trỡnh vi phõn thng v bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn thng 14 iv 1.5.1 Mt s khỏi nim v phng trỡnh vi phõn 14 1.5.2 Bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn thng 16 Chng Mt s phng phỏp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn 20 2.1 Phng phỏp Galerkin 20 2.1.1 Ni dung phng phỏp 20 2.1.2 Phng phỏp Galerkin gii mt s bi toỏn biờn tuyn tớnh 23 2.2 Phng phỏp Collocation (Phng phỏp sp xp th t) 28 2.2.1 Ni dung phng phỏp 28 2.2.2 Phng phỏp Collocation gii mt s bi toỏn biờn tuyn tớnh 31 2.3 Phng phỏp kh lp 33 2.3.1 Ni dung phng phỏp 33 2.3.2 Phng phỏp kh lp gii mt s bi toỏn biờn tuyn tớnh 38 Chng Mt s ng dng 43 3.1 Gii mt s bi toỏn biờn tuyn tớnh bng nhiu phng phỏp 43 3.2 ng dng Maple vo cỏc phng phỏp Galerkin, phng phỏp Collocation, phng phỏp kh lp gii bi toỏn biờn tuyn tớnh 54 Kt lun 65 Ti liu tham kho 66 v BNG Kí HIU Ơ Tp hp s t nhiờn Ơ* Tp s t nhiờn khỏc khụng Â Tp s nguyờn Ă Tp s thc Ê Tp s phc K Tp s thc hoc phc Ăn Khụng gian Euclide n-chiu C[a,b ] Khụng gian cỏc hm s thc liờn tc trờn on [a;b] L[2a ,b] Khụng gian cỏc hm bỡnh phng kh tớch trờn [a;b] L(X,Y) Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc t X vo Y M U Lý chn ti Lý thuyt phng trỡnh vi phõn c nghiờn cu ln u tiờn vo gia th k 18, t ú n nú l mt nhng lnh vc quan trng ca toỏn hc hin i Rt nhiu bi toỏn toỏn hc, vt lý, húa hcu dn n vic gii phng trỡnh vi phõn Vỡ th s i ca lý thuyt phng trỡnh vi phõn l rt cn thit i vi cỏc phng trỡnh i s, nghim cn tỡm thng nhn c l giỏ tr c th, cũn i vi phng trỡnh vi phõn nghim cn tỡm l mt hm ca cỏc bin c lp tha mi quan h v vi phõn C th l i vi mt s bi toỏn, ngoi vic cho dng phng trỡnh vi phõn nú cũn kốm theo mt s iu kin m ta gi l iu kin biờn, cỏc bi toỏn nh vy c gi l bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn nghiờn cu sõu hn v lý thuyt phng trỡnh vi phõn, c bit l vic gii gn ỳng mt s bi toỏn biờn liờn quan n phng trỡnh vi phõn, cựng vi s nh hng v tn tỡnh ch bo ca thy giỏo- TS Nguyn Vn Hựng, tụi ó chn ti: MT S PHNG PHP GII BI TON BIấN I VI PHNG TRèNH VI PHN Mc ớch nghiờn cu Lun nghiờn cu bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn v mt s phng phỏp gii bi toỏn ú Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v cỏc bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn v phng phỏp gii cỏc bi toỏn ú i tng v phm vi nghiờn cu +) i tng nghiờn cu: Cỏc bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn +) Phm vi nghiờn cu: Cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn: Phng phỏp Galerkin, phng phỏp Collcation, phng phỏp kh lp Phng phỏp nghiờn cu - S dng phng phỏp tng hp, phõn tớch ti liu v kin thc cú liờn quan - S dng phng phỏp nghiờn cu ca phng trỡnh vi phõn v gii tớch s D kin kt qu nghiờn cu ti nghiờn cu mt cỏch cú h thng mt s phng phỏp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn Nờu lờn mt s ng dng vo cỏc bi toỏn c th Chng KIN THC CHUN B 1.1 Lý thuyt v sai s 1.1.1 Khỏi nim v s gn ỳng nh ngha 1.1 S a c gi l s gn ỳng ca s a * nu a khụng sai khỏc a * nhiu Ký hiu: a ằ a * nh ngha 1.2 i lng D = a - a * c gi l sai s thc s ca a Núi chung ta khụng bit a * nờn khụng bit D Tuy nhiờn ta cú th c lng sai s thc s ca a bng s dng Da cho a - a * Ê Da (1.1) nh ngha 1.3 S Da nh nht tha iu kin (1.1) gi l sai s tuyt i ca s gn ỳng a Khi ú a * = a D a nh ngha 1.4 S da = Da c gi l sai s tng i ca a a Nhn xột - Sai s tuyt i cng nh sai s tng i ca mt s gn ỳng a ca s ỳng a * l khụng nht - chớnh xỏc ca mt phộp o phn ỏnh qua sai s tng i nh ngha 1.5 Sai s thu gn Mt s thp phõn a cú dng tng quỏt: ( ) a = ak 10k + ak -110k -1 + L + ak -t 10k -t , ú , t ẻ Ơ, k ẻ Z, Ê Ê 9, ak > 0, i = k - 1, k - t 52 * S dng phng phỏp kh lp Ta cú phng trỡnh 3y ÂÂ + x 2y Â - xy = x 1 y ÂÂ + x 2y Â - xy = x 3 Ly h = 0,1 v thay phng trỡnh ó cho bng h cỏc phng trỡnh sai phõn hu hn ỡùy - 2y + y yi +1 - yi 1 i +1 i ùù i +2 + xi - x iyi = x i2 ùù 0, 01 0,1 3 ùù ớy = ùù ùùy10 = ùù ùợ Sau bin i ta c ổ ổ 0,1 ửữ 0,1 0, 01 ửữ yi +2 + ỗỗ-2 + x i ữữ yi +1 + ỗỗ1 xi x i ữữ yi = h fi ỗố ỗố 3 ứữ ứữ vi fi = x i2 Ta cú mi = -2 + 0, 03x i2 ; ki = - 0, 03x i2 - 0, 003x i ; a0 = , a1 = , b0 = , b1 = , A = , B = * Chiu thun: in cỏc giỏ tr x i = 0,1i vo bng v tớnh cỏc giỏ tr mi , ki , fi (i = 0, 8) , tip theo tớnh cỏc giỏ tr ci , di c0, d0 c tớnh theo cụng thc c0 = a1 - a0h m 0(a1 - a0h ) + k0a1 , 53 d0 = k Ah m (a1 - a0h ) + k0a1 + h f0 ci , di (i = 1, 8) c tớnh theo cụng thc ỡù ùùc = i ùớ mi - kici -1 ùù ùùợdi = h fi - kici -1di -1 * Chiu ngc: Ta tỡm cỏc giỏ tr yi (i = 10, 9, ,1, 0) y10 c tớnh theo cụng thc y10 = b1cn -2dn -2 + Bh b1 (1 + cn -2 ) + b0h y0 c tớnh theo cụng thc y0 = a1y1 - Ah a1 - a0h yi (i = 9, 8, ,2,1) tớnh theo cụng thc yn -1 = cn -2 (dn -2 - yn ) , yn -2 = cn -3 (dn -3 - yn -1 ) , y1 = c0 (d0 - y2 ) Sau tớnh theo chiu thun v chiu ngc, ta cú kt qu bng sau: 54 i xi mi ki fi ci di yi 0 -2 0,5 0 0,1 -1,9997 0,9994 0,01 0,4 0,0001 4.10-6 0,2 -1,9988 0,9982 0,04 0,417 0,0004 8.10-6 0,3 -1,9973 0,9964 0,09 0,4144 0,0007 8.10-5 0,4 -1,9952 0,994 0,16 0,4154 0,0013 0,0002 0,5 -1,9925 0,991 0,25 0,4159 0,0019 0,0003 0,6 -1,9892 0,9874 0,36 0,4166 0,0028 0,0004 0,7 -1,9853 0,9832 0,49 0,4175 0,0037 0,0009 0,8 -1,9808 0,9784 0,64 0,4185 0,0048 0,0007 0,9 0,002 10 1,0 Bng Nhn xột 3.2 Trong trng hp khụng tỡm c nghim chớnh xỏc ca bi toỏn thỡ ta cú s sai khỏc v kt qu ca ba phng phỏp trờn Nu ta chn h tuyn tớnh cng nhiu thỡ chớnh xỏc cng cao Tựy theo tng bi toỏn m ta cú th chn mt ba phng phỏp cho cỏc bc ngn gn, n gin v phự hp 3.2 ng dng Maple 13 vo cỏc phng phỏp Galerkin, phng phỏp Collocation, phng phỏp kh lp gii bi toỏn biờn tuyn tớnh Trong quỏ trỡnh s dng cỏc phng phỏp nờu trờn gii cỏc bi toỏn biờn tuyn tớnh, khú khn gp phi l vic tớnh toỏn vi cỏc s cng knh, phc Vỡ th tin hc i ó giỳp cho ngi vt v hn Trong mc ny a ng dng Maple 13 vo cỏc phng phỏp Galerkin, phng phỏp Collocation, phng phỏp kh lp gii cỏc bi toỏn biờn tuyn tớnh Bi toỏn 3.3 Tỡm nghim ca phng trỡnh sau bng phng phỏp Galerkin y '' - y ' cos x + ysinx = sin x , (2.26) 55 vi iu kin: y (-p ) = y (p ) = Lp trỡnh trờn Maple 13 gii bi toỏn: > > > > > > > > > > > > > 56 > > > > > > > > > 57 > > > > > > > > > > > Tỡm c c1, c2 , c3 , c4 ta s tỡm c nghim ca phng trỡnh l: 58 y ( x) = + sin x - (cos2 x - 1) 7 Bi toỏn 3.4 Tỡm nghim ca phng trỡnh sau bng phng phỏp Collocation y '' + y + x = x - vi iu kin: y (0) = y (1) = Lp trỡnh trờn Maple 13 gii bi toỏn: > > > > > > > > > Khi tỡm c c1, c2 ta s tỡm c nghim ca phng trỡnh l: y ( x) = 1 x(1 - x) + x (1 - x) 4 (2.27) 59 Bi toỏn 3.5.Gii phng trỡnh sau bng phng phỏp kh lp y '' + ( x + 1) y ' + y = x vi iu kin: y (0) = 1, y (1) = Lp trỡnh trờn Maple 13 gii bi toỏn: > > > > > > > > > > > > > > > > > > (2.28) 60 > > > > > > > > > > > > > > > > 61 > > > > > > > > > > > > > > > > 62 > > > > > > > > > > > 63 > > > > > > > > > > > > > 64 > > > > > > > > > > > 65 KT LUN - Lun ó nghiờn cu mt s phng phỏp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn: phng phỏp Galerkin, phng phỏp Collocation, phng phỏp kh lp - Vi mi phng phỏp trờn, lun u cú cỏc bi toỏn minh c th c bit, lun ó trỡnh by mt s bi toỏn c gii bng nhiu phng phỏp cú th thy c s sai s quỏ trỡnh tớnh toỏn - Lun cng ó trỡnh by ng dng ca Maple 13 vo cỏc phng phỏp Galerkin, phng phỏp Collocation, phng phỏp kh lp gii cỏc bi toỏn biờn tuyn tớnh Cỏc phng phỏp gii bi toỏn biờn tuyn tớnh ca phng trỡnh vi phõn rt phong phỳ v a dng nhng vi kh nng v thi gian cú hn, chỳng tụi cha nờu c y v mt cỏch cú h thng cỏc phng phỏp ny Mc dự ó c gng rt nhiu song lun khụng trỏnh nhng thiu sút, vỡ vy tụi rt mong c s úng gúp ý kin v nhn xột lun y v hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! 66 TI LIU THAM KHO [A] Ti liu Ting Vit [1] Phm K Anh (2002), Gii tớch s, NXB HQG H Ni [2] Trn Anh Bo, Nguyn Vn Khi, Phm Vn Kiu, Ngụ Xuõn Sn (2003), Gii tớch s, NXB i hc s phm [3] Nguyn Minh Chng, Nguyn Vn Khi, Khut Vn Ninh, Nguyn Vn Tun, Nguyn Tng (2001), Gii tớch s, NXB Giỏo dc [4] Nguyn Mnh Hựng (2008), Phng trỡnh o hm riờng, NXB i hc s phm [5] Nguyn Ph Hy (2006), Gii tớch hm, NXB Khoa hc v k thut [6] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB HQG H Ni [B] Ti liu Ting Anh [7] A Jeffrey, H Brezis, and R.G Douglas (1998), Numerical Anlysis, by the Spinger-Verlag of Berlin [8] D Rusell, M Ascher, M M Mattheij (1995), Numerical Solution of Boundary Value Problems for Odinary Differential Equation, by the Society for Industrial and Applied Mathematics [9] R S Varga (1971), Functional Analysis and Approximation Theory in Numerical Analysis, by SIAM, Philadelphia, Pensylvania [...]... cng c gi l kh vi phc hay Ê - kh vi ti z 10 Bi vỡ ộ f (z + Dz ) - f (z )ự = lim f (z + Dz ) - f (z ) Dz = 0 , ờ ỳỷ Dz đ0 Dz đ 0 ở Dz lim nờn nu f l Ê - kh vi ti z thỡ lim ộờở f (z + Dz ) - f (z )ựỳỷ = 0 Núi cỏch khỏc Dz đ 0 f liờn tc ti z Cng nh i vi hm bin thc, theo quy np ta vit ( f (k ) = f (k -1) )Â nu v phi tn ti v gi l o hm phc cp k ca f trờn W nh lý 1.1 Nu f (z ) v g(z ) kh vi phc ti z 0 thỡ... liờn tc khi v ch khi nú b chn 1.5 Phng trỡnh vi phõn thng v bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn thng 1.5.1 Mt s khỏi nim v phng trỡnh vi phõn 15 Phng trỡnh vi phõn l phng trỡnh cha mt hm cn tỡm v cỏc o hm ca nú Nu hm cn tỡm ch ph thuc vo mt bin c lp ta cú phng trỡnh vi phõn thng Nu hm cn tỡm ph thuc vo hai hay nhiu bin c lp ta cú phng trỡnh o hm riờng Phng trỡnh vi phõn thng cp n l phng trỡnh trong ú cú... thng li cỏc kin thc c bn chun b lm c s lý thuyt xõy dng cỏc phng phỏp gii bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn chng 2, chng chớnh ca lun vn 20 Chng 2 MT S PHNG PHP GII BI TON BIấN I VI PHNG TRèNH VI PHN 2.1 Phng phỏp Galerkin 2.1.1 Ni dung phng phỏp Xột phng trỡnh vi phõn y ÂÂ + p(x )y Â + q(x )y = f (x ) (2.1) vi iu kin biờn ỡùa y(a ) + a y Â(a ) = A 1 ù 0 ớ ùùb0y(b) + b1y Â(b) = B ợ (2.2.) Ta ký... )g(z ) v f (z ) (g(z 0 ) ạ 0) cng kh vi phc ti z 0 vi mi a, b ẻ Ê v g(z ) (i) (a f + bg )Â (z 0 ) = a f Â(z 0 ) + bg Â(z 0 ) (ii) ( fg )Â (z 0 ) = f Â(z 0 )g(z 0 ) + f (z 0 )g Â(z 0 ) ổ f ửữÂ f Â(z 0 )g(z 0 ) - f (z 0 )g Â(z 0 ) (iii) ỗỗ ữữ (z 0 ) = ỗố g ứữ g 2(z ) 0 (iv) Nu w = f (z ) kh vi phc ti z 0 cũn g(w) kh vi phc ti w0 = f (z 0 ) , thỡ hm hp g o f kh vi phc ti z 0 v ( ) (gf )Â (z 0 ) = g... D ( D l min xỏc nh ca phng trỡnh) ta cú th gii ra c = j(x , y ) (ii) Hm y = j(x , c) tha món (1.4) khi (x , y ) chy khp D vi mi c ẻ Ă 16 1.5.2 Bi toỏn biờn ca phng trỡnh vi phõn thng a) Mt s khỏi nim Gi s hm f (x ), fi (x ) liờn tc trờn ộa, b ự v f ạ 0 ờở ỳỷ n Lp phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh n L(y ) = ồ fi (x )y (i )(x ) = f (x ) (1.5) i =0 Chn cỏc hng s a(jk ); b (j k ) sao cho ma trn ộa(0) L a(n... cựng hng vi ma trn ổV (j ) ỗỗ 1 1 ỗỗ ỗỗV2 (j1 ) ỗỗ L ỗỗ ỗỗV (j ) ố m 1 V1 (j2 ) L V1 (jn ) ửữữ ữ V2 (j2 ) L V2 (jn ) ữữữ ữữ L L ữữ ữ Vm (j2 ) L Vm (jn )ứữữ (1.9) Nu ma trn (1.8) cú hng r thỡ bi toỏn biờn thun nht gii c v cú (n - r ) bc t do, vỡ vy nú cú nghim khụng tm thng vi m < n 18 Nu ma trn (1.9) cú hng r thỡ bi toỏn biờn thun nht gii c v cú (n - r ) bc t do, vỡ vy nú cú nghim khụng tm thng vi m... (1.11), (1.12) l tuyn tớnh i vi y(x ), y Â(x ), y ÂÂ(x ), , y (n )(x ) thỡ bi toỏn biờn (1.10)-(1.12) l bi toỏn biờn tuyn tớnh n gin chỳng ta thng xột bi toỏn biờn tuyn tớnh vi n = 2 Khi ú phng trỡnh vi phõn v iu kin biờn c vit di dng L (y(x )) = y ÂÂ(x ) + p(x )y Â(x ) - q(x )y(x ) = f (x ) , a Ê x Ê b , l0 (y(a )) = a0y(a ) + b0y Â(a ) = g 0 , l1 (y(b)) = a1y(b) + b1y Â(b) = g1 , (1.13) (1.14)... trng K Mt ỏnh x A : X đ Y gi l mt toỏn t tuyn tớnh nu: 1 A (x 1 + x 2 ) = A (x1 ) + A (x 2 ) "x 1, x 2 ẻ X 2 A(ax ) = aA(x ) "x ẻ X , "a ẻ K õy cho gn ta vit Ax thay cho A(x ) ch phn t ng vi x trong toỏn t A D thy hai iu kin 1 v 2 tng ng vi A (a1x1 + a2x 2 + + an x n ) = a1Ax 1 + a2Ax 2 + + an Ax n ("x1, x 2, , x n ẻ X ; "a1, a2, , an ẻ K ) Nu X = Y thỡ ta núi A l mt toỏn t trong X Vớ d 1.2... phõn thng cp n l phng trỡnh trong ú cú cha hm s cha xỏc nh (úng vai trũ nh n s) v nhng o hm ca hm s ú: ( ) F x , y(x ), y Â(x ), , y (n )(x ) = 0 hay vit gn l ( ) F x , y, y Â, , y (n ) = 0 , (1.4) trong ú x l bin c lp, y l hm cn tỡm Cp ca phng trỡnh vi phõn l cp cao nht ca o hm cú mt trong phng trỡnh Hm y = j(x ) c gi l nghim ca phng trỡnh (1.4) nu thay y = j(x ), y Â = j Â(x ), , y (n ) = j(n )(x... Ê gi l hm chnh hỡnh ti z 0 ẻ W nu tn ti r > 0 sao cho f l Ê - kh vi ti mi z ẻ D (z 0, r ) è W 11 Nu f gii tớch ti mi z ẻ W , ta núi f gii tớch trờn W (hay f chnh hỡnh trờn W ) nh lý 1.2 Gi s min W è Ê v H (W) l tp cỏc hm gii tớch trờn W Khi ú (i) H (W) l mt khụng gian vộc t trờn Ê (ii) H (W) l mt vnh (iii) Nu f ẻ H (W) v f (z ) ạ 0 vi mi z ẻ W , thỡ 1 ẻ H (W) f (iv) Nu f ẻ H (W) v f ch nhn giỏ tr ... trỡnh vi phõn l rt cn thit i vi cỏc phng trỡnh i s, nghim cn tỡm thng nhn c l giỏ tr c th, cũn i vi phng trỡnh vi phõn nghim cn tỡm l mt hm ca cỏc bin c lp tha mi quan h v vi phõn C th l i vi mt... ngoi vic cho dng phng trỡnh vi phõn nú cũn kốm theo mt s iu kin m ta gi l iu kin biờn, cỏc bi toỏn nh vy c gi l bi toỏn biờn i vi phng trỡnh vi phõn nghiờn cu sõu hn v lý thuyt phng trỡnh vi. .. vic gii gn ỳng mt s bi toỏn biờn liờn quan n phng trỡnh vi phõn, cựng vi s nh hng v tn tỡnh ch bo ca thy giỏo- TS Nguyn Vn Hựng, tụi ó chn ti: MT S PHNG PHP GII BI TON BIấN I VI PHNG TRèNH VI

Định dạng
Số trang	73
Dung lượng	2,08 MB