Một số phương pháp tìm tòi lời giải bài toán

Mở đầu Lý chọn đề tài: Bài tập Toán học có vai trò quan trọng môn Toán Điều tập có vai trò giá mang hoạt động học sinh Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc/phơng pháp, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Một số ngời có tham vọng muốn có thuật giải tổng quát để giải toán Đó điều ảo tởng Ngay lớp toán riêng biệt có trờng hợp có, có trờng hợp thuật giải Tuy nhiên, trang bị hớng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát cách giải toán lại cần thiết Dựa t tởng tổng quát với gợi ý chi tiết Polya (1975) cách thức giải toán đợc kiểm nghiệm thực tiễn dạy học, nêu lên phơng pháp chung để giải toán nh sau: Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài; Bớc 2: Tìm cách giải; Bớc 3: Trình bày lời giải; Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải Trong trình dạy học phơng pháp chung giải Toán, cần có gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò để trò tự định hớng suy nghĩ tìm lời giải Một câu hỏi đặt là, làm để học sinh hiểu đợc vận dụng đợc phơng pháp chung để giải Toán vào việc giải toán cụ thể mà họ gặp chơng trình Mặt khác, học phơng pháp chung để giải toán học thuật giải mà học kinh nghiệm giải Toán mang tính chất tìm tòi, phát Quá trình học sinh học phơng pháp chung giải Toán trình biến tri thức phơng pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải Toán thân thông qua việc giải hàng loạt toán cụ thể Từ phơng pháp chung giải Toán tới cách giải toán cụ thể chặng đờng đòi hỏi lao động tích cực ngời học sinh, có nhiều yếu tố sáng tạo "Tìm đợc cách giải toán điều phát minh" (Polya 1975) Vì lý trên, chọn đề tài luận văn là: "Một số phơng pháp tìm tòi lời giải toán" mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: Mục đích luận văn nghiên cứu để tìm số phơng pháp định hớng, tìm tòi lời giải toán, qua tạo tiền đề để ngời giáo viên áp dụng hình thức thuyết trình phát giải vấn đề vào trình dạy học toán trờng phổ thông phơng pháp nghiên cứu: Đúc kết kinh nghiệm mặt suy nghĩ đứng trớc toán có kiểm chứng qua thực tiễn s phạm bớc đầu Giả thuyết khoa học: Nếu ngời giáo viên đúc kết đợc kinh nghiệm phơng diện suy nghĩ tìm tòi đứng trớc toán không mẫu mực, họ truyền thụ kinh nghiệm cho học sinh, trang bị cho học sinh thủ pháp, kỹ thuật giải Toán, góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán trờng phổ thông Cấu trúc luận văn: Luận văn phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo có chơng: Chơng Quan niệm vấn đề giải toán nội dung phơng pháp tìm tòi lời giải toán Chơng Một số phơng pháp tìm tòi lời giải toán Chơng Thực nghiệm s phạm CHƯƠNG I quan niệm vấn đề giải toán nội dung phơng pháp tìm lời giải toán i quan niệmvề vấn đề rèn luyện giải toán Việc rèn luyện giải toán bao gồm hai nội dung chủ yếu: Rèn luyện việc tìm lời giải toán Rèn luyện việc giải toán Có thể mô tả công việc thành hai công đoạn theo mô hình: Rèn luyện giải toán Rèn luyện khả tìm lời giải Rèn luyện khả giải toán Trong trình rèn luyện, hai nội dung có tiến hành đồng thời nhng có tách thành hai trình riêng biệt Tuy mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung hoàn toàn khác nhau, độc lập với (tuy có quan hệ hỗ trợ lẫn nhau) Mỗi nội dung đảm bảo yêu cầu riêng biệt việc rèn luyện giải toán Ngời giải toán cần nhận thức rõ ý nghĩa tác dụng nội dung mối quan hệ hai nội dung Ta nói đến vấn đề giải toán có đờng lối giải Vấn đề tất nhiên quan trọng việc rèn luyện giải toán Ngời giải toán cần thấy rõ từ chỗ tìm đợc phơng hớng giải toán đề việc giải hoàn chỉnh toán trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững kiến thức nội dung lý thuyết thao tác có tính chất kỹ thuật Điều đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn phơng pháp làm việc khoa học ngời giải toán Mặt khác, nh biết kết toán trớc hết phải biểu lời giải đầy đủ Lại có toán mà việc tìm đờng lối giải không khó, rõ ràng mà khó chủ yếu thuộc kỹ thuật giải, đòi hỏi ngời giải toán không sáng tạo Quá trình phân tích chứng tỏ tính chất quan trọng việc rèn luyện giải toán (khi có đờng lối) Nhng dù phải xem việc rèn luyện khả tìm lời giải toán khâu có tính chất định toàn công việc rèn luyện giải toán lẽ sau đây: - Dù có kỹ thuật cao, có thành thạo việc thực thao tác phép tính nhng cha có phơng hớng cha có phơng hớng tốt cha thể có lời giải lời giải tốt - Mặt khác, phải xem lao động khâu thực thao tác có phơng hớng lao động có tính chất kỹ thuật, có mặt sáng tạo lớn nh lao động để tìm phơng hớng - Ngoài ra, coi trọng khâu rèn luyện phơng pháp tìm lời giải toán sở quan trọng cho việc rèn luyện khả làm việc độc lập sáng tạo - khả thiếu đợc ngời giải toán Những điều nêu (dù sơ bộ) đủ chứng tỏ tính chất định khâu: Rèn luyện phơng pháp tìm lời giải toán toàn trình rèn luyện giải toán khả t cho ngời giải toán ii nội dung phơng pháp tìm lời giải toán Nội dung phơng pháp tìm lời giải toán bao gồm mặt sau đây: Trớc hết, với toán công việc ngời giải toán cần đặt là: Phải từ liệu toán cho bao gồm giả thiết, điều kiện có toán kể yêu cầu mà toán đòi hỏi cần xác định đợc: - Thể loại toán - Vạch đợc phơng hớng giải toán - Tìm đợc phơng pháp công cụ thích hợp Làm cho trớc thực thao tác có đợc phơng hớng bớc để giải toán Phải phân tích cho đợc nguồn gốc hình thành giả thiết, điều kiện cho toán có kết toán Phải phát cho đợc mối liên hệ có tính tất yếu giả thiết kết luận, điều cho điều mà toán đòi hỏi Từ kết trên, ngời giải toán cần đặt vấn đề tìm kiếm toán liên quan sáng tạo toán Cuối ngời ta giải toán phải vơn tới việc đoán nhận trình hình thành toán tác giả Mối liên hệ mặt nội dung phơng pháp tìm lời giải toán Mặt thứ yêu cầu quan trọng định thành bại, hay dở lời giải toán Năng lực ngời giải toán thể rõ mặt Có số ngời giải toán có thói quen không tốt có toán ghi ghi chép chép nháp lia lịa, cha biết giải số tính phục vụ cho yêu cầu Có thể nói mặt thớc đo lực ngời giải toán đánh giá lực làm toán tốt mà thể khâu tiếp thu vận dụng tốt Bỏ qua mặt mà toán giải đợc toán dễ có đờng lối rõ ràng kết ngẫu nhiên trình mò mẫm Mặt thứ hai nhằm rèn luyện khả sâu vào toán: Việc phân tích giải thiết, điều kiện toán kết giúp cho ngời giải toán thấy rõ trình xảy có tính chất quy luật toán Nói cụ thể ngời giải toán biết đợc giả thiết, điều kiện cho nh tất yếu kết phải diễn nh nào? Và để có kết nh cần đòi hỏi giả thiết, điều kiện nh nào? Điều kiện này, biểu thức có mặt toán phải đợc hình thành trình nào? Làm quen mặt ngời giải toán có đủ lòng tin vào đờng lối mà tiến hành hy vọng tính đắn thao tác, biến đổi Nó sở vững ngời giải toán có điều kiện đoán nhận kết xảy để cách chứng minh kiểm nghiệm tính đắn đoán nhận Làm tốt khâu giúp ích nhiều cho ngời giải toán việc tìm kiếm toán liên quan, sáng tạo toán đoán nhận đợc trình hình thành toán tác giả Mặt thứ ba: Tìm toán liên quan sáng tạo toán Muốn làm việc đó, trớc hết ngời giải toán phải phân tích kỹ để nắm đợc đặc điểm chất toán, yếu tố cấu tạo nên toán Nh thấy đợc mối liên hệ toán loại toán loại toán khác Công việc sáng tạo toán mới, trớc hết (đơn giản cả) từ việc thay đổi điều kiện cho toán để tìm kết Sau nữa, phát đợc mối liên hệ chất liệu tạo nên toán nên thay đổi mối liên hệ để tạo toán Làm tốt mặt này, làm tốt mặt thứ hai nêu Từ ngời giải toán không nắm đợc toán dới dạng riêng lẻ mà nắm đợc dới dạng tổng quát Có làm tốt mặt này, ngời giải toán làm quen với việc nhận dạng toán nh phân loại toán Cuối cùng, đoán nhận đợc trình hình thành toán tác giả ngời giải toán có hiểu biết sâu sắc toán Mặt này, làm đợc làm tốt (tuy khó) giúp ích nhiều cho việc sáng tạo toán Bốn mặt trên, mặt có yêu cầu khác nhng lại có quan hệ hỗ trợ cho cách đắc lực Chính trình để rèn luyện khả giải toán, ngời giải toán phải tiến hành cách toàn diện bốn mặt chơng ii số phơng pháp tìm tòi lời giải toán Phơng pháp 1: Khai thác triệt để giả thiết toán a Nghiên cứu đặc điểm dạng toán Các đặc điểm dạng toán phần hình thức toán Do thống nội dụng hình thức nên việc nghiên cứu phần hình thức toán thực chất việc khám phá đặc điểm nội dung toán Vì vậy, nhiều toán có đợc lời giải có lời giải nhờ vào việc khai thác đắn đặc điểm dạng toán Mặt khác, tính phong phú hình thức nên đặc điểm dạng biểu muôn vẻ, đòi hỏi ngời giải toán phải biết cách nhìn toán Đặc điểm toán đợc thể khâu sau đây: Trớc hết đặc điểm thể mối liên hệ số có mặt toán Đặc điểm toán thể mối liên hệ nhóm số hạng tham gia toán Đặc điểm toán thể tính chất hình, vị trí tơng đối đờng, dạng biểu thức, có toán Đặc điểm toán thể tính chất kì dị, không mẫu mực hay tính chất nguỵ trang toán Sau vào tình cụ thể: Các đặc điểm thể mối liên hệ số có mặt toán Bài toán 1: Chứng minh rằng: + 2tg + tg = cotg 16 32 32 Nhận xét: Chúng ta nên dùng biến đổi lợng giác đối số cụ thể + 4tg nhng góc đặc biệt Chúng ta để ý hệ số cotg , tg 32 Hơn nữa, để ý thấy = ; ý tới đẳng = 32 16 32 16 2 cosx sinx cos x sin x thức: cotgx - tgx = = = 2cotg2x có mối liên hệ sinx cosx sinx.cosx đối số x, 2x nên ta sử dụng để giải toán - tg ữ - 2tg - 4tg - = Ta có (1) cotg 32 32 16 cotg - 2tg - 4tg - = cot g tg ữ 4tg = 16 16 16 16 2.2 cotg cotg 4tg = cot g tg ữ = 16 8 = cotg =0 8 -8 = Vì điều nên ta suy điều cần phải chứng minh Bài toán 2: Tính sin 180 (không dùng bảng tính) Nhận xét: Để tìm sin 180, không đợc dùng bảng tính, ta phải lập phơng trình xem sin180 = x > ẩn có số 180 Vậy xem xét mối liên hệ nào? Ta biết có công thức tính sin 2x, sin3x, cos 2x biết sinx Ta xét 180.2 180.3 tơng ứng 360 540 Giữa 360 540 có mối liên hệ gì? Đó 360 + 540 = 900 Điều quan trọng lợng giác, góc phụ Do ta xuất phát từ: sin 540 = cos 360 3sin 180 - 4sin3180 =1 - 2sin2180 (1) Đặt x = sin 180 Từ (1) ta có: 4x3 - 2x2 - 3x + = (x - 1) (4x2+ 2x - 1) = 4x2 + 2x - = (vì sin 180 nên x 1) + x = x = Vì x = sin 180 > nên sin 180 = + Bài toán 3: Giải hệ phơng trình: 6,751x + 3,249 y = 26,751 (I) 3,249 x + 6,751y = 23,249 Nhận xét: Đây hệ phơng trình hai ẩn, nguyên tắc học sinh giải theo cách thông thờng (phơng pháp hay phơng pháp tính định thức) Tuy nhiên, ta quan sát số dài dòng toán, cho ta điều gì? Ta nhận thấy: 6,751 + 3,249 =10 6,751 3,249 = 3,502 3,249 + 6,751 =10 3,249 6,751 = 3,502 26,751 + 23,249 = 50 26,751 23,249 = 3,502 Từ mối liên hệ số nh trên, ta nghĩ đến giải hệ cho cách cộng, trừ vế phơng trình hệ Khi đó, ta đợc hệ với hệ số đơn giản nhiều 10 x + 10 y = 50 x + y = x =3 (I) 3,502 x 3,502 y = 3,502 x y =1 y = Bài toán 4: Giải phơng trình sau: x 29 x 27 x 15 x 1970 x 1972 x 1984 + + + = + + + 1970 1972 1984 29 27 15 Nhận xét: Khi giải phơng trình này, học sinh nghĩ đến quy đồng mẫu số đợc, mẫu số lớn Điều khiến cho nghĩ đến phải xét mối liên hệ số có mặt toán Ta nhận thấy: 29 + 1970 = 27 + 1972 = = 15 + 1984 = 1999 vế phơng trình có 14 số hạng Từ để giải phơng trình trên, ta nghĩ đến việc sử dụng đặc điểm vừa phát Muốn vậy, cần - vào số hạng phơng trình đợc: (1) = x 27 x 27 x 15 + + + 1970 1972 1984 x 1970 x 1972 x 1984 1+ 1+ + 29 27 15 1 + + + (x-1999) 1984 1970 1972 1 = (x-1999) + + + 15 29 27 1 1 + + + = (x- 1999) 1984 29 15 1970 1972 x - 1999 = x = 1999 Đặc điểm toán thể mối liên hệ nhóm số hạng tham gia toán Mối liên hệ thể rõ ràng, dễ thấy, nhng có ẩn kín bên đòi hỏi nhiều phép biến đổi có cách nhìn tinh phát đợc Bài toán 1: Giải phơng trình: 2( x + 2) = x + (1) Nhận xét: Nếu quan niệm phơng trình vô tỉ dạng f ( x ) = g( x ) tuý nghĩ đến việc khử thức cách bình phơng vế, ta đợc phơng trình bậc Nhng ta để ý đến mối liên hệ sau: (x + 1)(x2 - x + 1) = x3 + (x + 1) + (x2 - x + 1) = x2 + 2, ta nghĩ đến đa phơng trình (1) dạng tơng đơng: ( x +1) + ( x x +1) = x + x x +1 Chia hai vế phơng trình cho x2 - x +1 > x +1 x +1 +1 = (1) x x +1 x x +1 Đặt t = x +1 x x +1 t = Phơng trình (1) 2t2 - 5t + = t = * Với t = x +1 =2 x x +1 x (vô nghiệm) x 5x + = * Với t = x +1 = x x +1 2 37 x = x + 37 x 5x = x2 = Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1, = m 37 Bài toán 2: Giải phơng trình: 2(1 - sinx - cosx) + tgx + cotgx = (1) Lời giải nhận xét: x k sin x Điều kiện: cos x x + k ( k  ) (k  ) xk (k  ) sin x cos x + = cos x sin x sin x cos x (sinx + cosx)2 =1 + 2sinx.cosx nghĩa ta biểu diễn tgx + cotgx qua sinx.cosx, sinx.cosx lại biểu diễn qua sinx + cosx Chính nhờ mối liên hệ nhóm đó, nghĩ đến việc đặt t = sinx + cosx Ta ý rằng: tgx + cotgx = = sin( x + ) với t t Nh (1) 2(1 - (sinx + cosx)) + ơng trình ẩn t nh sau: 10 = đa phsin x.cos x Ta ý, với điều kiện x ( (1) Đặt g ( x ) = ( ) x x > ( x + x x x ) a x + x x x ) Bài toán đa tìm a để g(x) a có nghiệm Vấn đề trở nên đơn giản ta tìm đợc Min g(x) với x ta nghiên cứu tính chất hàm số g(x): Ta thấy với x g(x) Do hàm số g(x) đồng biến [1, +) Ming(x) = g(1) = Vậy bất phơng trình có nghiệm a Bài toán 4: Cho ABC chứng minh rằng: 1 + x cos A + ( cos B + cos C ) x, x (1) Nhận xét: Trong toán vừa chứa x R, vừa chứa hệ thức lợng tam giác, với cách thông thờng không giải đợc Ta ý coi vế trái tam thức bậc x, hệ số bậc hai a = > Nên để chứng minh (1) ta đa chứng minh f ( x ) = x x ( cos B + cos C ) + cos A x Điều đợc chứng minh 0, x Thật vậy: = ( cos B + cos C ) ( cos A ) = ( cos B + cos C ) 4sin 2 = 4sin A A B C A cos 4sin 2 2 29 = 4sin A B C cos ữ f(x) Ta có điều phải chứng minh x Bài toán 5: Chứng minh rằng: x < sin x < x x > Nhận xét: Để giải toán này, biến đổi thông thờng đợc vừa chứa biểu thức đại số, vừa chứa hệ thức lợng giác Ta nghĩ đến dùng phơng pháp hàm số, nghiên cứu tính chất đơn điệu hàm số sin x < x , x > f(x) = x - sinx > 0, x > Ta có f(x) = - cosx x > 0, nên f hàm đồng biến x > f(x) > f(0) x - sinx > sinx < x x > x3 x3 x < sin x x > g( x ) = sin x + x > 0, x > 6 Ta có g '( x ) = x + cos x g(x) = x - sinx > x > g(x) đồng biến x > g(x) > g(0) = x > g(x) đồng biến x > g(x) > g(0) = x3 sin x + x > x > Vậy ta có điều phải chứng minh D Bài toán 6: Cho tứ điệnABC có AB = a, CD =A b, ( ãAB, CD ) = SABC = S1, SABD = S2 Gọi nhị diện cạnh AB làH T 2 Chứng minh rằng: a2b2sin2 = S1 + S2 8SK1S2 cos Nhận xét: Ta thấy biểu thức (*) có vế phải gần giống với định lý hàm số côsin học Nhng biểu thức định lý hàm số (*) C B D' 30 (P) C' côsin phần tử bình phơng độ dài Vì vế phải (*), ta làm xuất bình phơng độ dài cách chia vế cho a2 (vì diện tích S1, S2 chung cạnh đáy a) Khi (*) có dạng: b2 sin = h12 + h22 2h1h2cos (**) Ta thấy, vế phải (**) công thức tính cạnh lại có hai cạnh h1, h2 góc hai cạnh có độ dài h1, h2 Để xuất tam giác (bảo toàn độ dài h1, h2, bảo toàn góc) ta chiếu lên mặt phẳng (P) // h1, h2 (tức AB) Giả sử qua phép chiếu song song này: A, H, K, B a O C a C D a D ã ', OC ' ) = Khi ODC có OD = h1, OC = h2 ( OD Từ (**)ta cần C ' D ' = b sin = ( b.sin ) Thật vậy, dựng CT DD CD = CT = CD sin = b sin Nh vậy, ta có điều phải chứng minh Bài toán 7: Cho hệ phơng trình: ax + bx + c = y ay + by + c = z , (a 0) (b - 1)2 - 4ac < az + bz + c = x Chứng minh hệ phơng trình vô nghiệm Nhận xét: Bằng cách thông thờng ta giải toán Mỗi phơng trình hệ có x, y, z bình đẳng, có bóng dáng hàm số nhng để ý giả thiết (b - 1) - 4ac < (*) làm cho ta nghĩ đến hàm cần xét f(t) = at2 + (b - 1) t + c Điều cho phép ta nghĩ cộng vế hệ phơng trình lại với Giả sử hệ phơng trình cho có nghiệm (z0, y0, z0), nghĩa là: 31 ax02 + bx + c = y0 ay0 + by0 + c = z0 az0 + bz0 + c = x0 Cộng vế theo vế ta đợc: ax02 + ( b 1) x0 + c + ay02 + ( b 1) y0 + c + az02 + ( b 1) z0 + c = (2) Đến ta đặt: f(t) = at2 +(b - 1)t + c Thì (2) f(x0) +f(y0) + f(z0)= Vì (b - 1)2 - 4ac < af(t) > 0, t - Nếu a > f(t) > 0, t f ( x0 ) > f ( y0 ) > f (z ) > Vế trái (2) > (vô lý) - Nếu a < tơng tự vế trái (2) < (vô lý) Vậy hệ phơng trình cho vô nghiệm Bài toán 8: Giải hệ phơng trình sau: (1) x + y + xy = 3 2 y x 2 (2) x y x + xy + y = e e sin x + sin y Nhận xét: Việc giải hệ phơng trình phơng pháp chủ yếu phơng pháp khử ẩn Nhng với hệ việc làm nh bất lực, chứa nhiều loại hàm ( )( ) ( )( VT (2) > Ta ý (2): x > y vô nghiệm VP (2) < VT (2) < x < y (vô nghiệm) VP(2) > Nh để thoả mãn (2) có x = y x = Thay x = y vào (1) ta thu đợc: x2 - 2x - = x = 32 ) x = x =3 Từ suy nghiệm hệ phơng trình là: y = y = Bài toán 9: Tính tích phân: I = x sin x dx + 2004 x Nhận xét: Vì cấu trúc dới dấu tích phân nói chung phức tạp, buộc ta phải nghĩ đến đặc điểm, tính chất biểu thức dới dấu tích phân Ta nhận thấy f ( x ) = x sin x hàm số chẵn miền đối xứng x , , mẫu dới biểu thức tích phân có dạng + a (a>0) Ta liên tởng đến kết quả: Cho f hàm số chẵn liên tục R, a> ta có: x f (t ) dt = x at + f (t )dt (*) x áp dụng (*) ta có: I = x sin x = x sin x 0 Tính tích phân theo công thức phần cho ta kết I = - Từ kết (*), xem toán gốc, ta tạo đợc lớp dạng có tính phức tạp cao, miễn miền lấy tích phân có tính đối xứng hàm f(t) phải hàm chẵn, a > Bài toán 10: Giải bất phơng trình: x ữ x ữ+ +3 2cos x (1) Nhận xét: Ta giải toán phép biến đổi tơng đơng, biểu thức xa lạ nhau, vừa có hàm số lợng giác, vừa có số mũ Ta phân tích, đánh giá: Ta có: x ữ x ữ+ +3 x x ữ + ữ+ = x +2ữ 2.30 = vế trái (2) 2cos2x, x x x ữ 4 +8 + ữ Từ đó, bất phơng trình cho tơng đơng với =2 2cos x = 33 x x x ữ 4 x ữ + ữ = + ữ= = =1 x = - sin x = sin x = Vậy bất phơng trình có nghiệm x = -2 Bài toán 11: Giải phơng trình: ( ) +( x 3+ ) =( 5) x x (1) Nhận xét: Thoạt nhìn vào phơng trình tởng có dạng: x x a + b = c , đợc giải cách chia hai vế cho c đa về: a ữ + b ữ =1 c c x x x x a b =1 c c + 1, nên đa (1) về: 5 Nhng x x 3+ (2) ữ ữ ữ + ữ =1 5 Ta phải đánh giá: x * x ữ ữ > 0; x 3+ ữ ữ vế trái (2) > x * tơng tự với x < ữ >1; ữ x 3+ > , vế trái (2) > ữ ữ x ta (2), nghĩa là, phơng trình cho vô nghiệm Bài toán 12: Giải hệ phơng trình: z + = xy (1) x = yz xy 34 Nhận xét: Đây hệ phơng trình ẩn, chứa vô tỉ, nên giải theo phơng pháp thông thờng không hợp lý Để ý điều kiện phơng trình có nghiệm: xy xy (*) xy Mặt khác từ (1) xy = z xy Vậy kết hợp với điều kiện (*) ta có xy = 4 x =1 x = z + = 2 z = Vậy hệ cho x = x =1 y = y = 1 xy = xy = z = z = x =1 x = Vậy hệ cho có nghiệm y = y = z = z = Bài toán 13: Giải hệ phơng trình: y + =( x ) (1) (2) ( z y ) ( y + ) = + y 2 với(3) điều kiện z x + z = x Nhận xét: Hình thức hệ làm ta nản đọc đề Vì ta cố gắng phân tích, tính chất biểu thức phơng trình Hy vọng tìm đợc lời giải ngắn gọn: Chú ý (2) 2yz - y2 - 2y + 4z = + 4y y2 + z2 - 2yz + 6y- 6z + = z2 - 2z (y - z + 3)2 = z2 - 2z z2 - 2z z z (*) Chú ý, (3) (x - 2)2 = - z2 35 - z2 -2 z (**) 36 Từ hệ cho suy ra: z2 2z z z = z = z x2 4x =0 x = - Nếu z = y + = ( x ) y = ( y + 3) = hệ có nghiệm (4, -3, 0) x2 4x + =0 x = - Nếu z = y + = ( x ) y = ( y + 1) = hệ có nghiệm (2, -1, 2) Vậy nghiệm hệ cho (4, -3, 0) (2, -1, 2) 37 Phơng pháp 2: chuyển hoá hình thức toán Trong thực tế với số toán, ta biết thay đổi hình thức dễ giải có lời giải hay Thông thờng, ngời ta chuyển toán có dạng đại số sang dạng lợng giác, lợng giác sang đại số đại số sang hình học, Thông qua toán chuyển đổi, học sinh nắm đợc dấu hiệu hay nói cách khác cách chuyển đổi toán từ hình thức sang hình thức khác Từ rèn luyện dần t giải toán Sau toán cụ thể: Bài toán 1: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm: (1) a+x =a ax Nhận xét: (1) a + x + a x = a (2) a x a Điều kiện: a0 Giải toán theo cách giải thông thờng phơng trình vô tỉ đến kết Tuy nhiên, để ý điều kiện x x , ta giải toán lợng giác hoá có lời giải ngắn gọn Cụ thể: 1) a = : (2) x + x = x = 2) a > ta có điều kiện x Cho x = a cos với [ 0, ] a Khi (2) a (1 + cos ) + a (1 cos ) = a a cos( ) = Vì [ 0, ] cos ữ nên phơng trình cho có nghiệm 2 a a 2 Bài toán 2: Cho x + y x y + = chứng minh rằng: x y + xy 2(1 + 3) x + (4 ) y + Nhận xét: Nhìn vào hình thức toán, bất đẳng thức cần chứng minh điều kiện cho toán, ta nhận thấy, việc biến dổi tơng đơng 38 áp dụng bất đẳng thức có để giải toán khó khăn phức tạp Trong lúc đó, để ý điều kiện cho x y là: x + y x y + = ta có đẳng thức tơng đơng ( x 1) + ( y 2) = Từ đó, ta chuyển đổi toán đại số sang toán lợng giác nh sau: x = sin y = cos Đặt ( [ 0,2 ] ) Ta có: x y + 3xy 2(1 + 3) x + (4 3) y + = ( x 1) ( y 2) + 3( x 1)( y 2) = sin cos + sin cos sin cos = 2( sin cos ) = sin(2 ) 2 Vì tập giá trị hàm số sin [-1,1] nên ta có sin(2 ) sin(2 ) Đó điều phải chứng minh Bài toán3: Giải phơng trình: 2y x = y y = 2x x2 (1) (2) Nhận xét: Để giải hệ phơng trình này, ta dùng phơng pháp thế, nhng nhìn vào dạng phơng trình (1) (2) ta chuyển đổi việc giải hệ phơng trình đại số sang giải hệ lợng giác đơn giản Ta có lời giải nh sau: y y Điều kiện để hệ có nghĩa: x 1 x Mà ta biết công thức tg = Vì x nên Khi đó: y = tg x = 2tg tg ta đặt x = tg k ( k ) + 2tg 2 k = tg , suy tg = tg = tg 39 ( k ) k y = tg Vậy 2k x = tg (k Z) Từ đó, với k ta thu đợc nghiệm hệ là: x = y = x= x = ; y = y= ; Bài toán 4: Giải phơng trình: sinx.cosx = 6(sinx + cosx - 1) Nhận xét: Từ mối liên hệ (sinx + cosx)2 = + 2sinxcosx, nên đặt sinx + cosx=t, t ta có sinx.cosx = t Ta đa việc giải phơng trình lợng giác cho giải phơng trình đại số: t = 6(t 1) t 12t + 11 = t = t = 11 Vì t nên ta lấy t = Do ta có sinx + cosx = Giải phơng trình cho ta nghiệm phơng trình là: x = k x = + k ( k ) Bài toán 4: Chứng minh với giá trị x y ta có: 4cos2 x.cos y + sin ( x y) + 4sin x.sin y + sin ( x y) Nhận xét: Bằng phơng pháp biến đổi thông thờng ta giải đợc toán nhng dài dòng, ta để ý dạng biểu thức dới dấu căn, tìm đợc lời giải ngắn gọn Thật vậy! Phân tích để ý biểu thức dới dấu tổng bình phơng hai số hạng, ta xem độ dài đoạn thẳng đó, theo hớng đa baì toán chứng minh bất đẳng thức đại số cho bất đẳng thức độ dài Điều quan trọng chọn điểm có toạ độ nh để đợc điều mong muốn ta chọn: M (2cosxcosy, sin(x-y)) N (2sinxsiny, sin(x-y)) O(0 , 0) Khi ta có: OM = cos x cos y + sin ( x y ) 40 ON = sin x sin y + sin ( x y ) Ta chuyển toán hình học chứng minh tổng độ dài OM + ON nhỏ Giải toán hình học cách gọi : P = (2(cosxcosy + sinxsiny), 2sin(x-y)) dựng hình bình hành OMPN OM + ON = OM + MP Mà OP = 4(cos x cos y + sin x sin y ) + sin ( x y ) = 4(cos ( x y ) + sin ( x y )) =2 Mặt khác OM + MP OP nên ta có OM + ON Từ ta có điều phải chứng minh Bài toán 5: Giải bất phơng trình: x + + x + 50 x 12 Nhận xét: Chúng ta vất vả giải bất phơng trình theo cách biến đổi thông thờng bất phơng trình vô tỉ Vì thế, ta để ý mối liên hệ: ( ) x + + ( 2x 3)2 + ( 50 x ) = 48 số Điều đặt cho câu hỏi là: Vậy xem vế trái tích hai vec tơ, vế phải tích độ dài chúng đợc hay không? Với hớng suy nghĩ nh vậy, ta có đợc lời giải toán độc đáo nh sau: Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là: x 3 50 x x x 2 50 x Đặt u ( x + 1, x 3, 50 3x ) v (1,1,1) u v = x + + x + 50 x u = ( x + 1) + (2 x 3) + (50 x) = 48 v = u v = 12 Ta chuyển toán cho toán hình học: Chứng minh u.v u v 41 Đây bất đẳng thức với tích vô hớng hai véctơ Từ đó, ta có nghiệm bất phơng trình cho giá trị x mà bất phơng trình có nghĩa, tức 50 x Bài toán 6: Chứng minh giá trị nhỏ biểu thức: P(a, b)= a + ab + b 3(a + b) + Nhận xét: P(a, b) đa thức biến Theo yêu cầu toán, ta cần chứng minh: Với a, b giá trị nhỏ P(a, b) Hay nói cách khác, với a, b P(a, b) Nh vậy, ta chuyển đợc toán tìm giá trị nhỏ toán chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức này, ta biến đổi P(a,b) thành tổng đại lợng không âm nh sau: P (a, b) = (a 2a + 1) + (b 2b + 1) + ab a b + = (a 1) + (b 1) + (a 1)(b 1) Dễ thấy P với a, b Đẳng thức xảy a = b = Bài toán7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y= 1+ x4 (1 + x ) Nhận xét: Ta giải toán biến đổi sơ cấp hay dùng công cụ đạo hàm Ta nghĩ đến việc dùng công cụ lợng giác hàm y xác định với x, điều có nghĩa biến số x nhận giá trị 2 tuỳ ý; mặt khác biểu thức: + x gợi ý cho ta đặt x = tg với ( ; ) Từ đó, ta chuyển toán đại số sang toán lợng giác: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y= + tg = (1 + tg ) Do cos nên sin cos = sin + cos = + cos 4 4 cos 1+ y Và y = cos = = , x = tg = y= cos = = , x = 42 Vậy ymax= y(0) = ymin= y( ) = Kết luận: Nh chuyển toán từ hình thức sang hình thức khác Điều quan trọng chuyển bàng cách nào? Trên vài toán chuyển đổi hình thức Để có bớc chuyển đổi, cần phân tích toán để có công cụ giải toán phù hợp, từ học sinh đợc nâng dần t giải tập toán 43 [...]... 3 Vậy nghiệm của bất phơng trình đã cho là 3 50 x 2 3 3 50 x 2 3 Bài toán 7: Giải phơng trình: 1 x2 x2 1 2 x x2 1 1 (1) = 2 x Nhận xét: Bài toán sẽ có thể không thể giải đợc nếu không có một mối liên hệ đặc biệt nào đó trong các nhóm số hạng tham gia trong bài toán Vì lẽ đó, ta cố gắng tìm cho đợc điều đang dấu kín bên trong bài toán Để ý mối liên hệ: 2 2 1 2 x 1 x 2 x 2 2 x 2 1 1 2 = =1 = 2... (*), xem đây là bài toán gốc, ta có thể tạo ra đợc lớp các bài dạng có tính phức tạp cao, miễn là miền lấy tích phân có tính đối xứng và hàm f(t) phải là hàm chẵn, a bất kỳ > 0 Bài toán 10: Giải bất phơng trình: 2 x ữ 4 3 x 4 ữ+ 8 +3 2cos 2 x (1) Nhận xét: Ta không thể giải bài toán bằng phép biến đổi tơng đơng, bởi vì các biểu thức xa lạ nhau, vừa có hàm số lợng giác, vừa có số mũ Ta sẽ phân... cho vô nghiệm Bài toán 3: Với phơng trình nào của a bất phơng trình sau có nghiệm: x 3 + 3 x 2 1 a ( x x 1 ) 3 (1) Nhận xét: Ta không thể giải quyết bài toán bằng phơng pháp thông thờng 28 Ta chú ý, với điều kiện x 1 thì ( (1) Đặt g ( x ) = ( ) 3 x x 1 > 0 ( x 3 + 3 x 2 1 x x 1 ) 3 a x 3 + 3 x 2 1 x x 1 ) 3 Bài toán đa về tìm a để g(x) a có nghiệm Vấn đề sẽ trở nên đơn giản nếu ta tìm đợc Min... + k 4 x = + k 2 4 ( k  ) , thoả mãn sin = 1 5 2 Bài toán 3: Giải bất phơng trình: ( 4x2 1 1+ 2 x ) 2 0, ta đa về phơng trình tơng... các đại lợng có trong bài toán để định hớng đờng lối giải Bài toán 1: Cho phơng trình: f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0 (1) a Giả sử a > b + c , chứng minh rằng trong (-1; 1), (1) có 2 nghiệm hoặc không có nghiệm nào b Giả sử b > a + c , chứng minh rằng trong (-1, 1), (1) có đúng 1 nghiệm c Giả sử c > a + b , chứng minh rằng trong (-1, 1), (1) không có nghiệm 25 Nhận xét: Để giải bài toán này, chúng ta nghiên... 5 x2 4x 5 2 ữ+ 3 = 5 x + 4 x+4 Đây là một phơng trình bậc hai với ẩn x2 4x 5 x+4 x2 4x 5 =1 x + 4 Giải phơng trình này cho ta: 2 x 4x 5 = 3 x+4 2 Giải hai phơng trình vô tỷ này, chú ý điều kiện x 5 cho ta hai nghiệm của phơng trình là x = 8 và x = 5 + 61 2 Bài toán 5: Giải phơng trình: 3 x 2 7 x + 3 x 2 2 = 3 x 2 5 x 1 x 2 3 x + 4 Lời giải và nhận xét: 3 x 7 x + 3 0 2 0 x ... nội dung phơng pháp tìm tòi lời giải toán Chơng Một số phơng pháp tìm tòi lời giải toán Chơng Thực nghiệm s phạm CHƯƠNG I quan niệm vấn đề giải toán nội dung phơng pháp tìm lời giải toán i quan... khâu: Rèn luyện phơng pháp tìm lời giải toán toàn trình rèn luyện giải toán khả t cho ngời giải toán ii nội dung phơng pháp tìm lời giải toán Nội dung phơng pháp tìm lời giải toán bao gồm mặt sau... dung phơng pháp tìm lời giải toán Mặt thứ yêu cầu quan trọng định thành bại, hay dở lời giải toán Năng lực ngời giải toán thể rõ mặt Có số ngời giải toán có thói quen không tốt có toán ghi ghi