Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Duy Thành MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Ngọc Anh GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Đỗ Duy Thành LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Ngọc Anh GS.TSKH Phạm Kỳ Anh có ý kiến đóng góp chỉnh sửa luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong trình học tập nghiên cứu, thông qua giảng, hội nghị seminar, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ có ý kiến đóng góp q báu thầy trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hải Phòng bạn đồng nghiệp khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn anh, chị, em nhóm Giải tích bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi đến gia đình lịng biết ơn tình cảm yêu thương MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Chương Bài toán cân ánh xạ không giãn 1.1 Sự hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert thực 14 14 1.2 Phép chiếu tính chất 17 1.3 Ánh xạ không giãn định lý điểm bất động 18 1.4 Bài toán cân 1.4.1 Bài toán cân 20 21 1.4.2 Các trường hợp riêng toán cân 22 1.4.3 Sự tồn nghiệm toán cân Một số phương pháp tìm nghiệm chung tốn cân 25 toán điểm bất động ánh xạ không giãn 27 1.5.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 29 1.5.2 1.5.3 Phương pháp chiếu Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ 31 32 Kết luận 35 Chương Phương pháp điểm bất động 2.1 Một số cách tiếp cận điểm bất động ánh xạ không giãn 36 37 1.5 1.6 2.2 Xây dựng dãy lặp 38 2.3 Kết hội tụ 40 2.4 2.5 Kết tính tốn Kết luận Chương Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 46 47 49 3.1 3.2 Một số phương pháp chiếu cho họ ánh xạ không giãn Phương pháp đạo hàm tăng cường 49 50 3.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 52 3.4 Kết luận 60 Chương Phương pháp tìm kiếm theo tia 4.1 4.2 4.3 4.4 61 Giải toán cân ánh xạ không giãn 61 4.1.1 4.1.2 Thuật toán Kết hội tụ 63 64 4.1.3 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân 72 Giải tốn cân họ ánh xạ khơng giãn 75 4.2.1 4.2.2 76 77 Thuật toán Kết hội tụ Giải toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn 4.3.1 Thuật toán 90 92 4.3.2 93 Kết hội tụ Kết luận 110 Kết luận 111 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 113 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực H∗ không gian đối ngẫu H z số phức liên hợp số phức z ∥x∥ chuẩn véc tơ x ∃x tồn x ∀x với x ⟨x, y⟩ tích vơ hướng hai véc tơ x y A⊂B tập hợp A tập thực tập hợp B A⊆B tập hợp A tập tập hợp B A∩B tập hợp A giao với tập hợp B A∪B tập hợp A hợp với tập hợp B B tích Đề-Các hai tập hợp A B diamD := sup ∥x − y∥ đường kính tập hợp D x,y∈D argmin{f (x) : x ∈ C} tập điểm cực tiểu hàm f C ∂f (x) vi phân f x δC (·) hàm C P rC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn ⇀ x dãy {xn } hội tụ yếu tới x V I (C, F ) toán bất đẳng thức biến phân OP toán tối ưu EP (C, f ) toán cân F ix toán điểm bất động Sol(C, F ) tập nghiệm toán V I (C, F ) Sol(C, f ) tập nghiệm toán EP (C, f ) I ánh xạ đồng F ix(S ) tập điểm bất động ánh xạ S MỞ ĐẦU Mơ hình cân xem phát triển mở rộng mô hình tối ưu hố tốn bất đẳng thức biến phân Các toán tối ưu bất đẳng thức biến phân trường hợp riêng tốn cân Trong tốn tối ưu có chủ thể với nhiều mục tiêu mà chủ thể mong muốn tìm giải pháp tối ưu điều kiện định Trong vấn đề có nhiều chủ thể tham gia, chủ thể có mục tiêu khác nhau, quan hệ mật thiết, chí đối kháng nhau, phương án tối ưu khó tất chủ thể chấp nhận, tối ưu cho chủ thể này, lại không tốt cho chủ thể khác Trong tình khái niệm cân bằng, đặc biệt khái niệm cân Nash, dễ chấp nhận Trong thời đại thông tin nay, vấn đề quan hệ mật thiết với nhau, lợi ích thường mâu thuẫn nhau, nên dễ xảy xung đột Do đó, mơ hình cân tỏ thích hợp, để giải mâu thuẫn quyền lợi Điều giải thích lý thập kỷ gần đây, cân quan tâm nghiên cứu nhiều Lớp toán cân bằng, mô tả dạng bất đẳng thức, gọi bất đẳng thức Ky Fan, xuất lần vào năm 1972 báo có tựa đề "A Minimax Inequality and Its Applications" [25] áp dụng để nghiên cứu mơ hình cân kinh tế theo khái niệm cân J.F Nash, nhà toán học Mỹ giải Nobel kinh tế cơng trình nghiên cứu cân bằng, đưa Sau tốn cân theo bất đẳng thức Ky Fan nghiên cứu nhiều tác giả nhà toán học chuyên gia kinh tế Về mặt lý thuyết tồn nghiệm, nhiều kết quan trọng đạt cho toán cân tổng quát không gian trừu tượng Tuy nhiên mặt tính tốn, kết cịn hạn chế Các phương pháp giải thu cho toán cân với song hàm nhận giá trị thực có thêm tính chất đơn điệu Các phương pháp giải cho lớp toán cân tổng quát hơn, lớp toán cân với song hàm có tính đơn điệu suy rộng, giả đơn điệu, tựa đơn điệu v.v nghiên cứu nhiều tính lý thú mặt toán học, khả ứng dụng lớp toán Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H song hàm f : C × C → R Bài tốn cân đặt tìm điểm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y ) ≥ với y ∈ C Ta biết rằng, x∗ nghiệm tốn cân nghiệm toán tối ưu f (x, y ) y∈C Như vậy, với x ∈ C , x∗ điểm bất động ánh xạ nghiệm S (x) = argmin{λf (x, y ) + ∥y − x∥2 , y ∈ C}, λ > 0, ánh xạ nghiệm S : C → 2C Đây sở để đưa đến cách tiếp cận nghiên cứu việc giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Thực tế cho thấy, tốn tìm điểm bất động chung hai ánh xạ toán phổ biến lý thuyết điểm bất động, toán thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu lĩnh vực tồn nghiệm thuật toán giải Do vậy, việc nghiên cứu đề tài cần thiết phù hợp Trong năm gần đây, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn đề tài hấp dẫn nhiều nhà khoa học giới Hầu hết thuật tốn để giải tốn dựa tính chất rằng: Với r > x ∈ H, tồn z ∈ C cho f (z, y ) + r ⟨y − z, z − x⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C, f song hàm thỏa mãn số tính chất cho trước Khi đó, bước lặp thứ n, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {xn } sau:   x0 ∈ C tùy ý ,  Tìm un ∈ C : f (un , y ) + ⟨y − un , un − xn ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C, rn điểm lặp xn+1 tính theo xn un thơng qua kỹ thuật điểm bất động Vậy, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn chuyển việc giải dãy toán cân phụ Thực tế cho thấy, toán phụ giải nghiệm dạng xấp xỉ, chưa dãy lặp hội tụ nghiệm tối ưu cần tìm Đây vấn đề quan tâm giải câu hỏi mở cho việc nghiên cứu để tìm thuật tốn hữu hiệu cho toán Một vài phương pháp tiếp cận bật giải toán không gian Hilbert thực H thời gian gần biết đến như: Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) đề xuất nhóm tác giả S Takahashi W Takahashi [55] dựa kết P.L Combettes S.A Hirstoaga [21] tính chất ánh xạ nghiệm phương pháp xấp xỉ cho toán điểm bất động A Moudafi [38] Các tác giả trình bày hai định lý hội tụ mạnh yếu thuật toán đề xuất Phương pháp chiếu A Tada W Takahashi [53] giới thiệu Tác giả cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết chiếu xấp xỉ ban đầu dãy lặp lên giao hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm toán thu hội tụ mạnh thuật toán Phương pháp đạo hàm tăng cường lần G.M Korpelevich [34] đề xuất để giải tốn tìm điểm n ngựa sau phát triển cho tốn bất đẳng thức biến phân Phương pháp sử dụng hai phép chiếu bước lặp sau: x0 ∈ C, y n = P rC (xn − λn F (xn )) xn+1 = P rC (xn − λn F (y n )) (1) Tiếp cận cho phép giải toán toán bất đẳng thức biến phân V I (C, F ) .. .nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động họ ánh xạ khơng giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân bằng, tập nghiệm toán ... 12 tốn cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động họ ánh xạ khơng giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân bằng, tập nghiệm toán bất đẳng... [55] tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân bằng, tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân với tập điểm bất động họ đếm ánh