Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp vectơ

Khoá luận tốt nghiệp PhầnI : mở đầu I- lý chọn đề tài K hái niệm quỹ tích hình học phẳng hay không gian liên hệ chặt chẽ với khái niệm tập hợp phép toán tập hợp Khái niệm quỹ tích khái niệm trừu tợng toán học, nhiều em học sinh gặp khó khăn giải toán này, đặc biệt phần đảo Đối với toán quỹ tích có nhiều phơng pháp để giải nh: phơng pháp tổng hợp, phơng pháp toạ độ, phơng pháp biến hìnhv v Tuy nhiên có phơng pháp mẻ em học sinh phơng pháp véctơ Hiện cha có tài liệu sâu nghiên cứu việc sử dụng phơng pháp véctơ để giải toán quỹ tích Mặt khác, việc đa phơng pháp véctơ vào chơng trình học bậc phổ thông vừa nhằm đại hoá chơng trình, vừa đáp ứng mục tiêu đào tạo nhà trờng phổ thông Việt Nam, vừa cập nhật với toán học giai đoạn phát triển Phần véctơ phần quan trọng sách giáo khoa hình học lớp 10 Và phần gây cho học sinh nhiều hứng thú nghiên cứu, tìm tòi Chủ đề véctơ có ý nghiã vô quan trọng sở để xây dựng số phơng pháp khác nh: phong pháp toạ độ, số phép biến hình nh phép vị tự, phép tịnh tiến công cụ để giải toán hữu hiệu Hơn phơng pháp véctơ đợc đa vào chơng trình phổ thông dịp để học sinh làm quen với ngôn ngữ toán cao cấp học sinh đợc trang bị thêm công cụ để giải toán suy nghĩ vấn đề toán học theo phơng pháp mới, khác với phơng pháp quen thuộc từ trớc đến Với ý nghĩa quan trọng phơng pháp véctơ có nhiều công trình khoa học nhiều sách tham khảo nghên cứu cứu véctơ nh: ứng dụng tích vô hớng để giải toán, toán phơng pháp toạ độ, quy trình giải toán hình học phơng pháp véctơ v v Nhng cha có tài liệu viết sâu quy trình sử dụng phơng pháp véctơ để giải toán quỹ tích Vì Khoá luận tốt nghiệp lí nêu chọn đề tài nghiên cứa là:"Quy trình giải toán quỹ tích phuơng pháp véctơ" II- mục đích nghiên cứu - Xây dựngvà vận dụng quy trình vào giải toán quỹ tích - Nêu biện pháp khắc sâu thực quy trình - Xây dựng hệ thống toán rèn luyện kỹ giải toán quỹ tích véctơ - Góp phần nâng cao chất lợng việc dạy học phần véctơ chơng trình toán phổ thông iii- giả thuyết nghiên cứu Nếu biết xây dựng đợc quy trình giải toán quỹ tích phơng pháp véctơ , đồng thời đề xuất đợc hệ thống tập thích hợp vận dụng quy trình góp phần nâng cao hiệu dạy học véctơ trờng phổ thông IV-bố cục luận văn Phần I: IIIIIIPhần II: Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu nội dung Chơng I: Một số nét đại cơng lôgic trình bày kiến thức sgk hình học 10 IMục đích, nội dung cuả việc trình bày chơng véctơ sgk hình học lớp 10 IINội dung kiến thức véctơ trình bày sgk hình học lớp 10 Ptth yêu cầu dạy học nội dung chơng ii: Quy trình giải toán quỹ tích phơng pháp véctơ biện pháp khắc sâu thực quy trình IQuy trình giải toán quỹ tích phơng pháp véctơ i.1 Quy trình gì? i.2 Quy trình giải toán quỹ tích phơng pháp véctơ ii- biện pháp khắc sâu thực quy trình Khoá luận tốt nghiệp phần phụ lục: Thực nghiệm s phạm IMục đích thực nghiệm IINội dung thực nghiệm III- Tổ chức thực nghiệm IV- Đánh giá kết thực nghiệm phần III: kết luận Khoá luận tốt nghiệp phần II: nội dung Chơng I: Một số nét đại cơng lôgic trình bày kiến thức véctơ sgk hình học Kiến thức véctơ đợc trình bày chơng I chơng II sách giáo khoa hình học 10 -sách chỉnh lý hợp năm 2000 I - Mục đích, nội dung việc trình bày ch ơng véctơ sách giáo khoa lớp 10 Mục đích: Chơng véctơ đợc đa vào chơng trình sách giáo khoa lớp 10 phổ thông với mục đích sau: 1- Phơng pháp véc tơ cho phép tiếp cận kiến thức toán học phổ thông cách gọn gàng, sáng sủa (nh chứng minh định lý Pitago, định lý côsin, hệ thức lợng tam giác v v) Đồng thời phơng pháp véctơ phơng pháp giải toán có hiệu cách nhanh chóng, tổng quát không cần đến hình vẽ Mặt khác, có tác dụng tích cực phát triển t trừu tợng, lực phân tích tổng hợp - Từ phơng pháp véctơ xây dựng chặt chẽ phơng pháp tiên đề theo tinh thần toán học đại, từ với phơng pháp tiên đề xây dựng lý thuyết hình học nh công cụ giải toán, cho phép giới thiệu cách đại số hoá hình học hình học hoá đại số 3- Việc nghiên cứu véctơ góp phần mở rộng nhân quan toán học cho học sinh, nh tạo khả cho học sinh làm quen với phép toán trênđói tợng số, nhng lại có tính chất tơng tự Điều dẫn đến hiểu biết tính thống toán học, phép toán đại số, cấu trúc đại số Đặc biệt nhóm không gian véctơ khái niệm quan trọng toán học đại Khoá luận tốt nghiệp 4-Véctơ có nhiều ứng dụng vật lý, kỹ thuật, công cụ véctơ tạo điều kiện thực mối quan hệ bên trờng phổ thông - Hiện nhiều phân môn toán trờng đại học cao đẳng đợc xây dựng sở véctơ nh hình học, giải tích, đại số tuyến tính, hình học vi phân Vì nắm vững kiến thức véctơ phổ thông tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tiếp tục không đột ngột nắm chơng trình toán cao đẳng, đại học Nội dung: Nội dung chơng véctơ nội dung đối tợng học sinh lớp 10 Nội dung véctơ nội dung khó, trừu tợng em Chơng véctơ chơng quan trọng chơng trình hình học lớp 10, làm giảm nhẹ số vấn đề lý thuyết mà vấn đề trình bày chứng minh đờng tổng hợp cồng kềnh mà cung cấp phơng pháp giải toán hiệu quả, sở để xây dựng phơng pháp khác vv II -Nội dung kiến thức véctơ trình bày sách giáo khoa hình học 10 PTTH yêu cầu dạy học nội dung Nội dung: Véctơ đợc trình bày sách giáo khoa chỉnh lý hợp năm 2000 với nội dung sau: Định nghĩa véctơ: Véctơ đoạn thẳng định hớng, nghĩa rõ diểm mút đoạn thẳng điểm đầu điểm mút điểm cuối Có nhiều cách định nghĩa véctơ nh định nghĩa theo lớp tơng đơng, định nghĩa theo hệ tiên đề Tuy nhiên sách giáo khoa định nghĩa theo cách truyền thống tức định nghĩa dựa đoạn thẳng định hớng Sự lựa chọn cách định nghĩa phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Định nghĩa phơng, hớng độ dài véctơ: - Hai véctơ gọi có phơng (hoặc nói gọn phơng) chúng lần lợt nằm hai đờng thẳng song song với (hoặc trùng nhau) - Cho hai véctơ phơng AB CD , chúng ngợc hớng Sách giáo khoa đa hình ảnh trực quan để làm sáng tỏ điều vừa Khoá luận tốt nghiệp nêu - Độ dài véctơ AB độ dài đoạn thẳng A: | AB |= A=A Định nghĩa hai véctơ nhau: - Hai véctơ gọi chúng hớng độ dài Các phép toán véctơ : Sách giáo khoa giới thiệu phép toán chơng I phép cộng véctơ, phép trừ hai véctơ phép nhân véctơ với số phép toán chơng II phép nhân véctơ với véctơ (tích vô hớng hai véctơ) Phép cộng xuất phát từ định nghĩa có tính chất kiến thiết tổng hai véctơ (chỉ cách xác định véctơ tổng), từ định nghĩa phép cộng hai véctơ - Định nghĩa phép cộng hai véctơ: Cho hai véctơ a b Từ điểm A vẽ véctơ AB = a , lại từ điểm vẽ vectơ BC = b Khi véctơ AC đợc gọi tổng hai véctơ a b ta viết AC = a + b Sau sách giáo khoa giới thiệu quy tắc thực phép toán: quy tắc điểm, quy tắc đờng chéo hình bình hành Phép trừ đợc đa dựa khái niệm phép cộng vectơ khái niệm véctơ đối véctơ - Định nghĩa phép trừ hai véctơ: Hiệu véctơ a véctơ b tổng véctơ a véctơ đối véctơ b Nói cách khác, hiệu véctơ a b a +(- b ) Phép nhân véctơ với số có tính chất kiến thiết: Định nghĩa phép nhân véctơ với số: Tích véctơ a với số thực k (hoặc tích số thực k với véctơ a ) véctơ kí hiệu k a (hoặc a k) đợc xác định nh sau: Véctơ k a hớng với a k0 ngợc hớng với a k[...]... OB +z OC ;x+y+z=1; 0 x,y,z 3 .Quỹ tích là đờng tròn Một loại quỹ tích cơ bản nữa vô cùng quan trọng cho quá trình giải các bài toán quỹ tích nói chung và các bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ nói riêng Nhng để sử dụng quỹ tích cơ bản này vào quy trình giải các bài toán quỹ tích bắng phơng pháp véctơ thì ta phải chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp của loại quỹ tích cơ bản này sang ngôn ngữ... luận quỹ tích điểm I là đ2 ờng tròn tâm K bán kính R 2 17 Khoá luận tốt nghiệp II Biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình Một bài toán quỹ tích ở trong chơng trình phổ thông muốn giải đợc đều phải đa về các dạng quỹ tích cơ bản Để có thể giải đợc bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ ta phải nắm đợc các quỹ tích cơ bản ở các dạng véctơ Do đó biện pháp đầu tiên là: II.1.Biện pháp 1: Chuyển các bài toán. .. dịch bài toán quỹ tích từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ một cách phù hợp thì bớc tiiếp theo là ta phải giải bài toán trên ngôn ngữ véctơ để đa bài toán quỹ tích về các dạng quỹ tích cơ bản Từ yêu cầu đó ta phải nắm vững các phép toán véctơ và các tính chất của phép toán véctơ, ngoài ra ta cần nắm vững đợc các dạng của quỹ tích cơ bản quen thuộc nh : Quỹ tích là đờng thẳng ,quỹ tích. .. dạng véctơ của quỹ tích đờng tròn ta kết luận :Quỹ tích những điểm M là đờng tròn đơng kính IJ 32 Khoá luận tốt nghiệp II.2- Biện pháp 2 Quan tâm xây dựng các bài toán gốc tạo vốn ( khả năng) huy động kiến thức cho học sinh Quan tâm đến các bài toán gốc có ý nghĩa hết sức quan trọng trrong việc giải các bài toán nói chung và trong việc thực niện quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ nói... véctơ của quỹ tích đờng tròn ta có kết luận: Quỹ tích của điểm M là đờng tròn đờng kính IJ Ví dụ 8: cho đờng tròn tâm O bán kính R và tam giác ABC Với mỗi điểm M thuộc đờng tròn dựng điểm N sao cho: MN = MA + MB + MC Hãy tìm quỹ tích điểm N Quy tình giải bài toán này nh sau : Bớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán sang ngôn ng véctơ Dữ kiện bài toán đã cho ở dạng véctơ Bớc 2: Giải bài toán trong... R= 1 6( GA 2+ GB 2+ GC 2) 3 Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích những điểm M thoả mãn: | MA + 3 MB -2 MC | =| 2 MA - MB - MC | Quy trình giải bài toán này bằng phơng pháp véctơ nh sau: Bớc 1: Chuyển đổi các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ véctơ -Điều kiện của bài toán đã cho dới dạng ngôn ngữ véctơ 29 Khoá luận tốt nghiệp Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ Gọi I là tâm tỉ cự của ba điểm... điểm cố định ta có kết luận: Quỹ tích của những điểm M là đờng tròn tâm I bán kính AJ Ví dụ 7: Cho A,B,C.D là 4 điểm cố định cho trớc.Tim quỹ tích những điểm M thoả mãn: ( MA +2 MB +3 MC )( MA + MD ) = 0 Quy trình giải bài toán này nh sau: Bớc 1: Chuyển đổi các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ véctơ Các dữ kiện của bài toán đã đợc cho dới dạng ngôn ngữ véctơ Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ... Hai quỹ tích cơ bản mà hầu hết các sách tham khảo ncho lớp 10 đều đè cập đến sẽ đợc đa ra sau đây có ý nghĩa hết sức quan trọng Từ hai quỹ tích cơ bản này mà đã có rất nhiều bài toán quỹ tích đợc đa ra Quỹ tích cơ bản 1: Cho hai điểm A và B cố định và k cho trớc Quỹ tích những điểm M thoả mãn MA MB = k là: 1 4 1 Với k>- AB 2-thì quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm I, bán kính 4 1 Với k=- AB 2-thì quỹ tích. .. =2R và K là điểm cố định, R cho trớc ta kết luận: Quỹ tích điểm N là đờng tròn tâm K bán kính 2R 31 Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 9: Cho tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm M thoả mãn: (2 MA -3 MB )( MA +2 MB ) = 0 Quy trình giải bài toán này nh sau: Bớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ véctơ: (2 MA -3 MB )( MA +2 MB ) = 0 Bớc 2: Giải bài toán trên ngôn ngữ véctơ Gọi I là tâm tỉ cự của A,... luận tốt nghiệp đó tuỳ vào mỗi bài toán cụ thể mà ta có sự chuyển đổi thích hợp sao cho với sự chuyển đổi này bài toán sẽ đợc giải quy t dễ dàng và chính xác nhất Ví dụ: Cho một nửa đờng tròn đờng kính AB=2R Gọi C là một điểm chuyển động trên nửa đờng tròn Trên tia đối của tia CA lấy một điểm D sao cho CD= CA Tìm quỹ tích điểm D - Để giải bài toán này trớc hết ta chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng ... ii: Quy trình giải toán quỹ tích phơng pháp véctơ biện pháp khắc sâu thực quy trình IQuy trình giải toán quỹ tích phơng pháp véctơ i.1 Quy trình gì? i.2 Quy trình giải toán quỹ tích phơng pháp. .. việc giải lớp toán nói riêng có quy trình thực Đối với lớp toán quỹ tích giải phơng pháp véctơ có quy trình để thực I.2- Quy trình giải toán quỹ tích phơng pháp véctơ 2.1 Quy trình giải toán Để giải. .. Một loại quỹ tích vô quan trọng cho trình giải toán quỹ tích nói chung toán quỹ tích phơng pháp véctơ nói riêng Nhng để sử dụng quỹ tích vào quy trình giải toán quỹ tích bắng phơng pháp véctơ