SKKN Giải bài toán cực trị bằng phương pháp phương trình bậc hai

Giới hạn của đề tài a, Về kiến thức Để giải bài toán tìn cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S có... Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) có một vị trí xứngđáng trong chương trình dạy và học toán ở khối T.H.C.S Các bài toán này rấtphong phú về thể loại, về cánh giải Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiềukiến thức và vận dụng một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo Có nghĩa đây thực

Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìmgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số Cụ thể là :

* Thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị

* Củng cố, khắc sâu cách giải phương trình bậc hai

Việc thể hiện các nội dung trên được trình bày thông qua hệ thống ví dụ từ dễđến khó Cuối cùng là hệ thống bài tập để luyện giải

2 Giới hạn của đề tài

a, Về kiến thức

Để giải bài toán tìn cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S có

Cách 1 : Dùng bất đẳng thức đại số :

* f x( )≥ K1;∀ ∈x TXĐ ( K1 = Const )

Dấu “ = “ Có thể thực hiện được  fmin = K1

* f x( )≤ K2;∀ ∈x TXĐ ( K2 = Const )

Dấu “ = “ Có thể thực hiện được  fmax = K2

Cách 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2

Gọi y0 là 1 giá trị của f(x) có thể đạt được ⇔ ∃ ∈x TXĐ/ f(x) = y0 (I)

Khai thác điều kiện để (I) có nghiệm x ∈TXĐ ta tìm được miền giá trị T của hàm

số f(x) từ đó tìm thấy fmax, fmin (nếu có)

Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2,đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm được cực trị của những biểu thứcđại số dạng như thế nào?

Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ : Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628

“Dùng bất đẳng thức đại số” lại không phù hợp, nó làm cho học sinh lúng túng

vì cách làm lại mang tính chất áp đặt không tự nhiên, không hình thành cho họcsinh một phương pháp suy luận

Ví dụ : Trong tài liệu ôn tập môn toán 9 của sở giáo dục Hải Hưng năm 1996, đề 3câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A với : 2 22 3

2

x x A

x

=

+Giải : Phương pháp “dùng bất đẳng thức đại số”

Để tìm Min A ta biến đổi:

Một ví dụ khác :

Câu 4 đề 4 tài liệu ôn tập toán 9 của sở giáo dục Hải Hưng năm 1997 có bài

Cho x2 +3y2 =1.Tìm giá trị lớn nhất của A= −x y

Giải : “ Dùng bđt đại số”

Nhận thấy x- y và x2 +3y2 là các thành phần của bđt B.C.S

( a x b y+ ) ≤(a +b )(x + y ) áp dụng bđt trên ta có:

Cách giải này là quá khó đối với học sinh thậm chí khó cả đối với giáo viên.

Trong thực tế giảng dạy tôi đã chữa cho học sinh 2 ví dụ trên theo cách “dùng bất đẳng thức đại số” sau đó cho học sinh làm 2 ví dụ tương tự, kết quả số học sinh

Tôi nghĩ rằng phương pháp tìm cực trị này cần được tổng kết và áp dụng vào giảngdạy, ôn luyện cho học sinh nhằm mục đích :

- Thuật toán hoá cách giải bài toán tìm cực trị

- Củng cố khắc sâu cách giải phương trình bậc hai

Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, đề tại này khó trách khỏi thiếu sót Rấtmong các bạn đồng nghiệp phê bình, góp ý

B Phương pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu tài liệu tham khảo

Trước khi viết đề tài nay tôi luôn suy nghĩ có những phương pháp nào để tìmcực trị của hàm số? Phương pháp nào phù hợp với học sinh cấp T.H.C.S? Từ các

câu trả lời tìm được tôi dã tham khảo các chuyên đề về bất đẳng thức, phương trìnhbậc 2, tam thức bậc 2 và các bài toán về tim cực trị Qua các chuyên đề đó tôinghiên cứu lời giải, phân tích các ưu điểm, hạn chế của từng phương pháp nhằmnắm vững phương pháp suy luận, tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạngbài tập.

2 Nghiên cứu phương pháp dạy đại số 9

Thông qua việc tìm cực trị của biểu thức đại số kết hợp ôn lại công thức nghiệmcủa phương trình bậc 2, định lý vi ét, bất phương trình bậc nhất, giải phương trìnhbậc nhất

Kết hợp giữa việc học kiến thức mới với việc ôn lại, hệ thống lại từng bướckiến thức, kỹ năng tính toán

Kết hợp linh hoạt giữa phân tích và tổng hợp, quy nạp và suy diễn nhưng luônđảm bảo tính vừa sức đối với học sinh

3 Nghiên cứu đến nội dung đề tài

*Xây dựng lý thuyết

*Hệ thống bài tập từ dễ đến khó

*Hệ thống bài tập luyện giải

C Nội dung chuyên đề

I/ Kiến thức cơ bản.

1.Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên miền D nào đó Ta nói rằng M là giá trị lớn

nhất (Max) trên D nếu thoả mãn

Khi đó Max f(x) = M tại x = x0

Tương tự, m là giá trị nhỏ nhất (Min) trên D nếu thoả mãn :

 (m= const ) Khi đó Min f(x) = m tại x = x0

Như vậy, khi nói đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số, ta phải xác địnhxem hàm số xác định trên tập hợp nào? có tồn tại giá trị của biến số để dấu “=”xảy ra hay không?

2.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai : ax2+ + =bx c 0 Với ∆ =b2 −4ac

• Nếu ∆< 0 : Phương trình vô nghiệm

• Nếu ∆= 0 : Phương trình có nghiệm kép 1 2

* Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm

000

S P

S P

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) được làm như sau:

Gọi y0 là một giá trị của f(x) điều đó có nghĩa y0 = f(x) có nghiệm trên D (I)

* Với f(x) là hàm bậc hai ta có thể dễ dàng tìm được điều kiện của y0 thoảmãn (I)

+ Nếu y0 ≤M và dấu “=” có thể đạt được thì Max f(x) = M

+ Nếu y0 ≥m và dấu “=” có thể đạt được thì Min f(x) = m.

Như vậy bản chất của phương pháp này chính là việc tìm điều kiện để một phươngtrình bậc hai có nghiệm (∆ ≥ 0) Việc này đối với học sinh lớp 9 không phải là việckhó

*Trường hợp f(x) không phải là hàm bậc hai,

+ Nếu y0 = f(x) có thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai với TXĐ là'

D thì bài toán quy về việc tìm điều kiện của y0 để phương trình mới cónghiệm trên D'.

+ Nếu y0 = f(x) không thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai thì dùngphương pháp này không làm được

II Một số ví dụ:

2 3( )

Vậy Max f(x) = 2 khi x = 1 ; Min f(x) = 1/2 khi x = - 2

• Chú ý : Nếu 1- y0 = 0 suy ra y0 = 1 thì phương trình đã cho cũng cónghiệm, nhưng 1/2 < y0 = 1 < 2 nên kết quả bài toán không thay đổi

Ví dụ 3: Tìm Max, Min của

y P

34 2

Kết hợp (1) và (2) suy ra để phương trình có nghiệm không âm thì 2 ≤ y0 ≤ 6

+ Với y0 = 2 suy ra m = 2 hay x= ± 2

+ Với y0 = 6 suy ra

8 3

ax bx c

a x b x c

+ ++ + hoặc

4 2 ' 4 ' 2 '

ax bx c

a x b x c

⇔ − ≤ ≤ Vì y0 ≥ 0 nên 0 ≤y0 ≤ 4

Với y0 = 4 thì v = 2 suy ra x = 2 ( thoả mãn)

Vậy Max f(x) = 4 với x = 2

Chú ý:

ở ví dụ 4 ta cũng có thể tìm được Min của f(x) bằng cách tìm điều kiện để hệ (*)

có nghiệm không âm và ta tìm được điều kiện của y0 là 2 2 ≤ y0 ≤ 4

Do đó Min f(x) = 2 2 với x = 6 hoặc x = -2

Nhận xét:

Với dạng f x( ) = ax b± ± a x b' ± ' bằng cách đặt ẩn phụ u= ax b v± ; = a x b' ± ' rồixây dựng u2 ± =v2 const để đưa về dạng quen biết đã biết cách giải

Ví dụ 5: Cho x2 +3y2 =1.Tìm Max x y−

f x y

x y

− + Như vậy từ việc tìm cực trị của một

hàm số hai biến ta trở về dạng bài toán quen biết

Gọi t0 là một giá trị nào đó của 42 4

1

t t

− + .

đó còn phụ thuộc vào khả năng vận dụng linh hoạt của người làm toán.

III Một số bài tập luyện giải:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất) của

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) = x−2y với x; y thoả mãn

a/ Max f(x) = 3 tại x = 1; Min f(x) = 1/3 tại x = - 1

b/ Max f(x) = 3 tại x = 0; Min f(x) = 5/2 tại x = - 1; x = 1

Bài 3: Đưa về ví dụ 3 rồi kết hợp điều kiện Max f(x) = 9, Min f(x) = -1 Giải

ra được a = 8, b =7 hoặc a = - 8, b = 7

Bài 4: Tương tự bài 3, giải ra được m = 8, m= - 8

Bài 5: Như ví dụ 4, tìm được Max f(x) = 4 với x = -1

Bài 6: Như ví dụ 5, giải ra được Max f(x, y) = 2 với 2; 2

*Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9

*Thời gian khảo sát: Năm học : 2002 – 2003, 2003 – 2004, 2004 – 2005

*Thời gian làm bài là 90 phút

• Nếu dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phương pháp “ Dùng

bất đẳng thức” kết quả khảo sát như sau:

(9; 10)

Khá(7; 8)

TB(5; 6)

Yếu(4; 5)

Kém( < 4)

TB(5; 6)

Yếu(4; 5)

Kém( < 4)

• Khi giảng dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phương pháp “dùng bấtđảng thức” học sinh thường làm tốt vị dụ 1, một số em có tính sáng tạo đãdùng pháp đặt ẩn phụ để đưa các Ví dụ 2, 3, 4, 5 về dạng hạm bậc hai như ví

dụ 1, tuy nhiên số học sinh làm được điều này rất ít Hầu hết các ví dụ từ 2đến 7 học sinh đề bó tay

• Nhưng nếu giảng cho học sinh phương pháp tìm cực trị bằng “phương trìnhbậc 2” thì số học sinh làm được các ví dụ từ 1 đến 7 là rất nhiều có thể lêntới 60% hoặc nhiều hơn

• Do những kết quả trên tôi thấy nên trang bị cho học sinh lớp 9 phương phápnày, tuy nhiên điều này chỉ áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi Nhằmgiúp các em củng cố, khắc sâu cách giải phương trình bậc hai đồng thờithuật toán hoá cách giải bài toán cực trị

“dùng bất đẳng thức” tỏ ra chiếm ưu thế vì học sinh lớp 8 có thể sử dụng được

2 Về đối tượng áp dụng

Tìm cực trị bằng phương pháp “phương trình bậc 2” chỉ áp dụng dạy đối tượnghọc sinh khá giỏi, không áp dụng được cho đối tượng đại trà.

3 Về dạng bài tập

Như trong phần lý thuyết chúng tôi đã trình bày Nếu phương trình y0 = f(x) khôngbiến đổi được về dạng phương trình bật hai thì phương pháp này không giải quyếtđược

II- Đề xuất hướng tiếp tục nghiên cứu

Ta đã biết bằng phương pháp “phương trình bậc hai” ta có thể tìm được min,max của các hàm số f(x) nếu phương trình y0 = f(x) có thể đưa được về dạngphương trình bậc hai 1 ẩn (ẩn khác y0) Để làm được điều đó thì f(x) phải có dạngnhư thế nào?

Ngoài các dạng ở ví dụ 1 đến 7 thì dạng nào khác của f(x) mà ta có thể áp dụngphương pháp này để tìm cực trị?

PHẦN THỨ BA

KẾT LUẬN

Qua thực tế giảng dạy và kết quả thực nghiệm chúng tôi thấy nội dung chuyên

đề có tác dụng tương đối tốt cho việc giải toán của học sinh nói riêng, việc họctoán của học sinh nói chung

Bên cạnh việc tháo gỡ một số khó khăn của học sinh trong quá trình giải toán

nó còn có tác dụng khơi sâu kỹ năng giải một phương trình bậc hai, khả năng nhìnmột vấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau Điều này rất quan trọng đối với họcsinh lớp 9

Cũng qua chuyên đề này, chúng tôi cảm thấy tự tin hơn trong quá trình giảngdạy nó cũng thúc đẩy việc tự nghiên cứu, tìm tòi của giáo viên làm phong phú hơnnội dung và phương pháp giảng dạy

Sau cùng, rất mong các bạn đồng nghiệp và các em học sinh phê bình, góp ý đểnội dung chuyên đề đầy đủ, chặt chẽ hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !