Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ

Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường, tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kỹ năng mới trong “Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ”, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Đó là lí do tại sao tôi chọn đề tài này.

và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”.

Một điểm đổi mới trong phương pháp dạy học hiện nay luôn coi trọng việc lấy học sinh làm trung tâm, người thầy chỉ đóng vai trò là người giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động sáng tạo Chính

vì vậy, việc phát triển trí thông minh cho các em thông qua môn toán là hết sức cần thiết

1.2 Về mặt thực tiễn

Phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn toán nói riêng là nguyện vọng tha thiết của đội ngũ giáo viên THPT Như chúng ta đã biết, Toán

là khoa học suy diễn trừu tượng nhưng toán học THPT lại mang tính trực quan

cụ thể bởi vì mục tiêu của môn toán ở trung học là hình thành những biểu tượng toán học ban đầu và rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, tạo cơ sở phát triển tư duy và phương pháp cho học sinh sau này Một mặt khác toán học còn là khái quát từ nhiều tình huống trong cuộc sống Dạy học toán ở trung học là hoàn thiện những gì vốn có trong học sinh, cho học sinh làm và ghi lại một cách chính thức các kiến thức toán học bằng ngôn ngữ và các kí hiệu toán học Mỗi tiết học

là dịp để học sinh hình thành những kiến thức và kỹ năng mới, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán trong cuộc sống sau này Chính vì vậy người giáo viên cần biết phát huy tính tích cực, trí thông minh của học sinh thông qua giờ học toán

1.3 Về mặt cá nhân

Xuất phát từ lý luận và thực tiễn trên, để góp phần vào việc “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học” cho học sinh trong giai đoạn hiện nay, và qua thực tiễn kiểm tra và giảng dạy học sinh ở trường, tôi nhận thấy việc hình thành

những kiến thức và kỹ năng mới trong “Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ”, vận dụng một cách sáng tạo nhất, thông minh nhất

trong việc học toán trong cuộc sống cho học sinh là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên Đó là lí do tại sao tôi chọn đề tài này.

Tác giả viết sáng kiến kinh nghiệm này nhắm cung cấp một cách tiếp cận

và giải quyết khác của một số bài toán hình học không gian cho các bạn yêu thích toán học, các thầy cô giáo, các em học sinh lớp 12 làm tài liệu tham khảo

và tiếp tục phát triển hơn nữa

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Hình học không gian và phương pháp tọa độ trong không gian là nội dung quan trọng của hình học 12 trong chương trình toán THPT Các em đã được bắt đầu học hình học không gian từ năm lớp 11 và tiếp tục ở nửa đầu năm học lớp 12 Sau đó, các em tiếp tục làm quen với phương pháp tọa độ vì thế có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện

4 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm

Đối tượng khảo sát và thực nghiệm là một số các bài toán hình học không gian trong chương trình phổ thông đối với học sinh lớp 12, học sinh ôn thi tốt nghiệp, học sinh ôn thi đại học

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận: “phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng thông minh những điều đã học”

Nhìn nhận kết quả của học sinh trong năm học vừa qua đối với môn toán đặc biệt là hình học từ đó đưa ra phương pháp để nâng cao kết quả học tập cho học sinh, và nhằm thiết lập mối quan hệ giữa hình học không gian và hình học giải tích

6 Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu là một số các bài toán hình học không gian trong chương trình phổ thông và một số các bài toán liên quan trong chương trình ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học

Kế hoạch nghiên cứu: Nghiên cứu trong năm học 2010 – 2011 đối với các

em học sinh lớp 12A12, tại trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội

B NỘI DUNG VÀ QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI SKKN

1 Thực trạng trước khi thực hiện đề tài

Từ trước đến nay, các bài toán hình học không gian trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học vốn không phải là phần khó Tuy nhiên với việc giảng dạy, và đặc biệt việc học tập của học sinh phổ thông có thể có chỗ chưa phù hợp, chưa đủ kích thích học sinh, chưa tạo cho các em sự hứng thú và say mê với môn hình học Từ đó, học sinh thấy hình học “khó và khổ”, và tạo cho học sinh một tâm lý không tốt khi học hình học và đối mặt với các bài toán hình học và đặc biệt hơn đó là các bài tập hình học không gian Nhiều em thường không biết bắt đầu từ đâu khi trước mặt các em là một hình vẽ rối tung rối mù …

Trước khi thực hiện đề tài tôi đã thực hiện một cuộc điều tra nhanh về tình hình học môn toán của các em và khảo sát chất lượng môn hình học của học sinh thông qua việc cho các em học sinh làm hai bài bài kiểm tra viết với các nội dung sau:

a) Cuộc điều tra nhanh về sự yêu thích môn toán:

 Đối tượng điều tra: 45 học sinh lớp 12A12 – Trường THPT Mỹ Đức A.

 Hình thức điều tra: Phát 45 phiếu điều tra với nội dung sau:

Các em hãy khoanh tròn câu trả lời em cho là đúng với mình nhất

Câu 1 Điểm kiểm tra Toán cao nhất năm học này cho tới nay là ở môn học nào?

Câu 2 Học Đại số và học Hình học, em thích học gì hơn?

Câu 3 Khó khăn trong việc học Hình học của em là gì ?

A Lý thuyết hình học khó hiểu C Cả hai khó khăn trên

B Việc tự vận dụng làm các bài tập hình học D không gặp khó khăn trên.Câu 4 Các dạng bài tập nào sau đây em làm tốt hơn và đạt kết quả cao hơn?

A Bài tập hình học tọa độ trong không gian

B Bài tập hình học không gian

C Cả hai dạng trên đều làm không tốt và có kết quả kém

Câu 5 Theo em thì en đã ứng dụng được nhiều các kiến thức toán học vào cuộc

sống và đối với các môn học khác chưa?

Câu 6 Tổng thời gian em dành cho việc tự học toán ở nhà trung bình trong một

tuần là bao nhiêu giờ?

Câu 7 Môn Toán là môn học như thế nào đối với em?

A Yêu thích, sở trường B Môn học yêu thích C Bình thường

 Thống kê kết quả điều tra: Có 45 phiếu điều tra đã hoàn thành các câu trả lời

Câu 4 Các bài tập nào sau đây em làm tốt hơn và đạt kết quả cao hơn?

C Cả 2 dạng trên đều làm không tốt và kết quả kém 9 20 %Câu 5 Theo em thì em đã ứng dụng được nhiều các kiến thức toán học vào cuộc sống và đối với các môn học khác chưa?

C Bình thường 23 51 %

 Phân tích, nhận xét:

 Nhiều em chưa xác định được vai trò của môn học, chưa có được niềm say

mê hứng thú với môn học đặc biệt là môn hình học, một phần là do trong thâm tâm các em luôn nghĩ rằng hình học khó hiểu và khó học

 Nhiều em chưa tìm được phương pháp học hợp lý và hiệu quả

 Thời gian để các em tự học và tự tìm tòi sáng tạo quá ít, mà đây mới chính

là động lực chính giúp các em phát triển trí tuệ, các năng lực học tập Lí do

ở đây là vì hầu như các em cả ngày và cả tuần ở trường, ở các lớp học phụ đạo nên thời gian các em ở nhà tự học và tự rèn luyện là không nhiều

 Phiếu điều tra trên chỉ phản ánh một phần nào đó tình hình học tập và giảng dạy trong nhà trường THPT, nhưng nó cũng cho ta một số kết quả đáng báo động với nhà trường, các thầy cô giáo, các em học sinh và nghành giáo dục của chúng ta

b) Khảo sát chất lượng học môn hình học của học sinh

 Đối tượng khảo sát: 45 học sinh lớp 12A12 – Trường THPT Mỹ Đức A.

 Hình thức khảo sát: Kiểm tra viết tự luận.

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD, A’B’C’D’

Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC’ với A’O, CO’

⇒IK là khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

Ta có: A’O // CO’, do O là trung điểm của AC ⇒I là trung điểm của AK

Bài kiểm tra số 1: (Thời gian làm bài 25 phút)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

Tương tự, do O’ là trung điểm của A’C’ ⇒K là trung điểm của IC’.

Ta có: QRuuur=(0;1; 1), QS ( 1;1; 0)- uur = - Þ êéëQR, QSuuur uurùúû=(1;1;1).

Mặt phẳng (QRS) có vectơ pháp tuyến là nr =éQR, QSuuur uurù=(1;1;1)

Bài kiểm tra số 1:

 Số học sinh giải hoàn chỉnh: 9 em (20 %)

 Số học sinh giải sai, chưa xong: 36 em (80 %)

Bài kiểm tra số 2:

 Số học sinh giải hoàn chỉnh: 30 em (76 %)

 Số học sinh giải sai, chưa xong: 20 em (24 %)

 Phân tích kết quả:

Bài kiểm tra số 1:

 Trong số 36 em chưa có lài giải hoàn chỉnh có nhiều em đã chứng minh được hai mặt phẳng song song nhưng loay hoay không biết tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này thế nào

Bài kiểm tra số 2: (Thời gian 15 phút)

Trong không gian Oxyz cho các điểm M(0; 0; 1), N(1; 0; 0), P(0; 1; 0), Q(1; 0; 1), R(1; 1; 0), S(0; 1; 1) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (QRS)

 Cũng trong số 80 % số chưa có lời giải hoàn chỉnh học sinh này thì cũng

có một số em mất rất nhiều thời gian vào việc vẽ hình (có em phải vẽ đến lần thứ 3) để có được hình vẽ tương đối thoáng, dễ nhìn do vậy thời gian còn lại để các em suy nghĩ và làm bài cũng bị hạn chế

 Trong số 9 học sinh có lời giải hoàn chỉnh thì chất lượng bài làm một số

em vẫn còn hạn chế

Bài kiểm tra số 2:

 Trong số 30 em giải hoàn chỉnh có nhiều bài làm có chất lượng rất tốt, các

em giải rất nhanh trong khoảng hai phần ba thời gian kiểm tra

 Trong số 24 % học sinh chưa có lời giải hoàn chỉnh một số em rất đáng tiếc chỉ nhầm dấu một chút trong tính toán để có kết quả chính xác, các em còn lại mất khá nhiều thời gian trong việc viết phương trình hai mặt phẳng

và xây dựng công thức công thức thính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

 Nhận xét:

 Nhiều em khâu vẽ hình còn rất nhiều hạn chế, kiến thức của các em về các quan hệ song song, vuông góc trong không gian và về khoảng cách vẫn còn chưa vững, kỹ năng phân tích một bài toán vẫn còn yếu do vậy đứng trước một hình vẽ rối bời các em không biết bắt đầu từ đâu Chính vì vậy các em thường có tâm lý “sợ” các bài toán hình học không gian

 Bài kiểm tra số 2, thực chất thì vẫn là nội dung của bài kiểm tra số 1 chỉ có điều tác giả đã gắn vào hình lập

phương một hệ trục tọa độ Oxyz

và thay đổi tên của một số điểm

trong hình lập phương ở bài kiểm

tra số 1 để có được một bài toán

hình giải tích theo ý đồ của tác

giả nhằm khảo sát chất lượng

học sinh đối với dạng bài hình

giải tích này và so sánh với kết

quả bài kiểm tra số 1 ở trước đó

 Kết quả bài kiểm tra số 2 khá tốt, tốt hơn bài kiểm tra số 1 rất nhiều điều

đó chứng tỏ rằng kiến thức về hình giải tích của các em khá vững, các em

tự tin hơn trong làm bài và tâm lý “sợ” đối với các bài toán hình không gian dường như không còn ở đây nữa Để phát huy các điểm mạnh trên giúp các em tự tin khi đối mặt với các bài tập hình học không gian và phần

nào nâng cao kết quả học tập của các em tác giả đã xây dựng kế hoạch và phối hợp thực hiện cùng các em đề tài này

2 Các biện pháp thực hiện đề tài

 Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức liên quan

 Bước 2: Hướng dẫn học sinh làm một số ví dụ điển hình

 Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải các bài tập tương tự cho học sinh thông qua một số các bài tập bổ sung, nâng cao Gợi cho học sinh hướng phát triển và mở rộng.

2.1 Hệ thống kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ

 Hệ trục tọa độ

Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz

vuông góc từng đôi một tại O Gọi i, j, kr r r lần lượt là

các vectơ đơn vị trên các trục trục x’Ox, y’Oy, z’Oz

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông

góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ tọa

độ Oxyz

 Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ

 Trục x’Ox gọi là trục hoành

 Trục y’Oy gọi là trục tung

 Trục z’Oz gọi là trục cao

 Tọa độ của một vectơ

 Tích có hướng của hai vectơ vuur1 =(x ; y ; z )1 1 1 và vuur2 =(x ; y ; z )2 2 2 là một vectơ ký hiệu v , vuur uur1 2 hoặc vuur uur1∧v2, xác định bởi công thức:

Tính chất:  v , vuur uur1 2⊥v ; v , vuur uur uur1  1 2⊥v uur2

 vuur1 cùng phương với vuur2 ⇔ v , vuur uur1 2 = 0r

 u, v, wr r ur đồng phẳng ⇔u, v w 0r r ur = .

 Tọa độ của một điểm

Ta có: Gốc tọa độ O=(0; 0; 0)

 Liên hệ tọa độ của vectơ và tọa độ của hai điểm mút:

Cho hai điểm A x ; y ; z và B x ; y ; z , ta có( A A A) ( B B B)

 Chia một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ số cho trước

Điểm M x y z chia đoạn thẳng ( , , ) M M theo tỉ số k: 1 2 MMuuuuur1 =kMMuuuuur2 được xác định bởi công thức:

M= x; y; z ⇔OMuuuur= x; y; z

 Hai vectơ u, vr r không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( )α thì vectơ u, vr r là một vectơ pháp tuyến của ( )α

 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng ( )α : Ax By Cz D 0+ + + = ;

 Vectơ u 0r r≠ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của

ur song song hoặc trùng với d

 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ; z và có ( 0 0 0)vectơ chỉ phương ur=(a; b; c) dạng:

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M và có vec tơ chỉ phương u.r Đường thẳng ∆' đi qua điểm N và có vec tơ chỉ phương u 'ur Ta có

 ∆ ≡ ∆ ⇔' u,u 'r ur  = u,MNr uuuur=0.ur

 // '∆ ∆ ⇔ u,u 'r ur =0 và u,MNr r uuuur ≠0.ur

 ∆ ∩ ∆ = ⇔' I u,u 'r ur≠0 và u,u ' MN 0.r r ur uuuur ur =

 chéo '∆ ∆ ⇔u,u ' MN 0.r ur uuuur ur ≠

Đặc biệt ∆ ⊥ ∆ ⇔ ⊥ ⇔' ur u 'ur u.u ' 0.r ur=

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng ∆đi qua điểm M x ; y ; z và có vectơ chỉ phương ( 0 0 0)

 Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( )α : sin( ,( ) ) u n

 Góc giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )β : cos( ( ) ( ), ) n n

 Công thức về khoảng cách

 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆: ( ) MM , u0

Với M0∈∆, uuur∆ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

 Khoảng cách từ điểm M x ; y ; z đến mặt phẳng ( 0 0 0) ( )α : Ax By Cz D = 0+ + + bằng:

Với M, M’ lần lượt là các điểm thuộc , '∆ ∆ .

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) và ( )α β :

 Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ bằng: V= AB, AD AA '

uuur uuur uuuur

 Thể tích tứ diện ABCD bằng:

ABCD

AB, AC ADV

song, vuông góc, bằng nhau Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, vectơ với phép toán trên nó Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hướng

rõ ràng hơn và khả năng tìm được lời giải nhanh hơn Để thực hiện được điều

đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm được quy trình giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp

Phương pháp giải toán:

 Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp

 Bước 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ

 Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán

 Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học

Trong các bước trên, bước 2 và bước 4 học sinh có thể hoàn toàn làm được nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bước 3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các bài toán Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phương pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một

số đặc điểm của bài toán để khai thác theo hướng thuận lợi nhất Dưới đây là một số nguyên tắc căn bản để lập hệ trục tọa độ:

 Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm một quan hệ vuông góc ở mặt đáy điều náy có nghĩa là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau Nơi giao nhau và vuông góc đó chính là gốc tọa độ cần chọn và đồng thời hai trục kia chính là trục hoành và trục tung

 Từ gốc (đã xác định ở trên) ta dựng trục vuông góc với mặt đáy để hoàn thành việc thiết lập hệ trục, trục vuông góc với mặt đáy chính là trục cao

 Nhìn vào hình vẽ với tính chất của hình và mối quan hệ giữa các điểm

để khai tọa độ các điểm liên can đến yêu cầu bài toán Để ý rằng với một số điểm không dễ khai tọa độ ta cần chú ý đến các quan hệ cùng hướng, ngược hướng, đồng phẳng, song song, vuông góc, độ dài và sử dụng các công thức định lượng để khai bằng được tọa độ các điểm liên quan tới bài toán

Một số nguyên tắc khai tọa độ cần chú ý:

 Nếu điểm A trùng với gốc tọa độ thì A(0; 0; 0)

 Nếu điểm B nằm trên trục Ox thì B có tung độ và cao độ bằng 0

Ví dụ: B Ox∈ , độ dài OB = a và OBuuur cùng hướng với tia Ox

B(a;0;0)

Tượng tự cho các điểm khác nằm trên các trục Oy, Oz.

 Nếu hai điểm B, C thỏa mãn BC // Ox thì B và C có cùng hoành

độ Tương tự cho các cặp điểm khác nằm trên các đường thẳng song song với các trục Oy, Oz

Ví dụ: B(a; 0; 0), D(0; b; 0), BCuuur cùng hướng với tia Oy và

DCuuur cùng hướng với tia Ox ⇒ C(a; b; 0)

 Nếu điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) thì M có cao độ bằng không

Tương tự cho các điểm nằm trên các mặt phẳng (Oyz), (Ozx)

 Nếu điểm N nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục Ox và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ a thì N có hoành độ bằng a

Tương tự cho các điểm khác nằm trên các mặt phẳng vuông góc với các trục Oy, Oz

Trong một bài toán cụ thể, để khai được tọa độ các điểm cần thiết chúng ta cần áp dụng linh hoạt và sáng tạo một số nguyên tắc trên, và đôi khi chúng ta cần sử dụng thêm một số các tính chất về tọa độ, véc

tơ, các biểu thức định tính, định lượng

2.2.1 Hình chóp tam giác

a) Hình chóp tam giác có một góc tam diện vuông

 Trường hợp này việc chọn hệ trục khá đơn giản: Gốc tọa độ là đỉnh tam diện vuông, các trục tọa độ là ba cạnh tương ứng của góc tam diện vuông.

Ví dụ 2: (Trích đề thi đại học khối D – năm 2002)

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC =

AD = 4 cm; AB = 3 cm; BC = 5 cm Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

Vậy với a 3 và b 6 và c 9= = = thì thể tích O.ABC nhỏ nhất và bằng 27.

b) Hình chóp tam giác có đáy là một tam giác vuông

Ví dụ 3: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng(OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất

 Trong tình huống này ta có thể chọn luôn hai cạnh vuông góc ở mặt đáy lần lượt là trục hoành và trục tung, lúc này gốc tọa độ chính là đỉnh vuông của tam giác đáy, từ đó ta hãy dựng trục vuông góc với mặt đáy lên và đây chính là trục cao.

 Bình luận: Trong ví dụ trên ta cũng có thể lấy cạnh bên AS vuông góc với

đáy làm trục cao, AB làm trục hoành, A là gốc tọa độ và tia Az cùng hướng với BC

uuur

làm trục tung.

c) Hình chóp có đáy là một tam giác cân (hoặc tam giác đều)

 Đối với trường hợp này ta có thể lợi dụng quan hệ vuông góc ở mặt phẳng đáy giữa đường cao và đáy của tam giác cân (hoặc tam giác đều) và coi

đó lần lượt là hai trục hoành, trục tung của hệ trục Lưu ý tới việc chọn gốc tọa

độ để thuận lợi cho việc xây dựng trục cao.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại B, AC = a 3,

AB = SA = SC = a Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC)

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

b) Tìm cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

Ví dụ 6: (Trích đề thi đại học khối A – năm 2002)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Khi đó OA, Oy, OS đôi một vuông góc, chọn hệ trục như hình vẽ và đặt OS = h.

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(0; 0; a), D(a; a; 0).

Giả sử tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I(x; y; z) Ta có

2ay

2az

Ví dụ 7 (Trích đề thi đại học khối D – năm 2003)

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm

C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và

AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a

⇒BC, BDuuur uuur= −( a ; 0; a 2 − 2)

Mặt phẳng (BCD) đi qua B và có vec tơ pháp tuyến n= BC, BD

r uuur uuur

, có phương trình dạng:

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: AB = CD = a, BC

= AD = b, AC = BD = c Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm của cặp cạnh đối là đường vuông góc chung của hai cạnh đó

Giải:

Không mất tính tổng quát ta chứng minh đoạn IK là đường vuông góc chung của cặp cạnh đối AB và CD, với I, K lần lượt là trung điểm của AB, CD

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc O trùng với A⇒ A(0; 0; 0)

Giả sử trong hệ trục toạ độ đó: B (x ; y ;z );C (x ; y ;z );D (x ; y ;z )= 1 1 1 = 2 2 2 = 3 3 3

⇒ là đường vuông góc chung của cặp cạnh đối diện AB và CD

 Bình luận: Trong bài trên ta cũng có thể chọ hệ trục tọa độ sao cho một

cạnh của tứ diện trùng với một trục tọa độ, khi đó ta sẽ có tọa độ một số điểm sẽ đơn giản hơn Nhưng với cách chọn hệ trục tọa độ như trong lời giải trên chúng

ta thấy thiết lập các mối quan hệ giữa các ẩn số và chúng có quy luật nhất định

từ đó ta sử dụng phép chứng minh tương tự khá dễ dàng và thuận lợi.

 Luyện tập

Bài 1 Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC Biết BM vuông góc với AN Tính thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Bài 2: Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm và OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H trên các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

1 Tính diện tích D MAB theo a

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MB và AC theo a

3 Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a SA vuông góc với đáy và SA a 3=

1 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC)

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Bài 5 cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC Biết rằng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a

Bài 6 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = b Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60° Tính thể tích hình chóp và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A và đường thẳng ∆vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A Các điểm M, N thay đổi trên đường thẳng ∆sao cho (MBC) vuông góc với mặt phẳng (NBC)

a) Chứng minh rằng AM.AN không đổi

b) Xác định vị trí của M, N để tứ diện MNBC có thể tích nhỏ nhất

Ví dụ 9: (Trích đề thi Đại học khối B - 2006 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a, AD a, SA a= = = và SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD,

SC; I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt

phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể

tích khối tứ diện ANIB

2.2.2 Hình chóp tứ giác

a) Hình chóp tứ giác có một góc tam diện vuông

 Trong trường hợp này, ta chọn đỉnh của tam diện vuông là gốc tọa độ,

ba trục tọa độ lần lượt là ba cạnh của tam diện vuông.

Giải:

Chọn hệ trục tọa

độ Oxyz như hình

vẽ với gốc O trùng với A

2 2

AS (0; 0; a), AC (a 2; a; 0)uuur= uuur= ⇒AS,ACuuur uuur= −( a ; a 2; 0)

⇒Chọn nr=AS,ACuuur uuur= −( a ; a2 2 2; 0).

uuur uuur uur

Kết luận:  Vậy (SAC) ⊥ (SMB)

Ví dụ 10: (Trích đề thi Đại học khối D - 2007 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ·ABC=BAD 90· = ° ,

BA BC a= = , AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh tam giác

SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

 Thể tích khối tứ diện AINB bằng a 23