Đó là phần kiến thức nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế- Một mảng kiến thức mới gây không ít khó khăn, không chỉ cho học sinh trong quá trình học mà còn gây khó khăn cho
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất
bằng phương pháp suy luận ngược
Người thực hiện: Phan Văn Thế
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2013
Trang 2ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình môn Toán cấp THPT, Xác Suất là phần học được đưa vào giảng dạy ở lớp 11 từ năm học 2007-2008 Đó là phần kiến thức nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế- Một mảng kiến thức mới gây không ít khó khăn, không chỉ cho học sinh trong quá trình học mà còn gây khó khăn cho giáo viên trong công việc giảng dạy Đặc biệt, nhiều học sinh còn lúng túng trong việc sử dụng “CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT” để giải toán
Qua những năm giảng dạy phần Xác Suất trong trường THPT tôi đã tìm
ra cách thức giúp giáo viên có thể dạy các bài toán “tính xác suất bằng phép tính” tự nhiên hơn, giúp học sinh hiểu rõ hơn, chủ động, sáng tạo hơn Đó là
“Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất bằng phương pháp suy
luận ngược” Vì vậy tôi viết Sáng kiến Kinh nghiệm này mong nhận được trao
đổi, góp ý của các đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn đọc nhằm thực hiện công việc dạy và học môn Toán trong chương trình THPT ngày một tốt hơn
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trang 3A CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay hành động mà
- Kết quả quả của nó không dự đoán trước được
- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể có xảy ra của nó
Phép thử thường được kí hiện là T
• Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω
• Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không
xảy ra của nó tùy thuộc vào kết quả của T.
• Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A
• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi ΩA
• Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A B C, , và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con
• Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
- Tập φ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không)
- Tập Ωđược gọi là biến cố chắc chắn
2 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
• Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả của T đồng khả năng Khi đó xác suất của biến cố A liên quan đến
T là tỉ số giữa kết quả thuận lợi cho A và số kết quả có thể
3 QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT
• Hợp của hai biến cố A và B =
∪ BiÕn cè A x¶y ra
A B=
BiÕn cè B x¶y ra
- Nếu ΩAvả ΩAlần lượt là các kết quả thuận lợi cho biến cố A và B thì
tập hợp các kết quả thuận lợi cho A B là ∪ Ω ∪ΩA B
• Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến
cố kia không xảy ra
B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Trang 4Xác suất là phần học mới chỉ đưa vào dạy ở chương trình THPT gần đây do vậy các Tài liệu tham khảo các Sáng kiến kinh nghiệm viết về phần này còn ít Một số tài liệu chỉ nêu lên phương pháp dạy một cách hàn lâm nên kể cả giáo viên và học sinh muốn tìm hiểu một cách thấu đáo và hệ thống cũng rất khó khăn
Xác suất thuộc lĩnh vực “toán rời rạc” do vậy ít có sự hỗ trợ của các kiến thức mà học sinh được học trước đó
Thực tế cho thấy khi gặp bài toán xác suất phải sử dụng các phép toán để giải chúng thì học sinh thường lúng túng trong các vấn đề sau:
• Không biết chọn các biến cố cơ sở
• Nếu chọn được các biến cố cơ sở thì không biểu diễn được biến cố cần tính xác suất thông qua các biến cố cơ sở
• Khi biểu diễn biến cố cần tính qua các biến cố cơ sở đồng kết quả
mà phép tính phức tạp thì học sinh lúng túng trong phép tính
Xuất phát từ những khó khăn trên, tôi xin đưa ra phương pháp “suy luận ngược” này để học sinh nhìn nhận các bài toán xác suất thân thiện hơn
C GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1 Phương pháp suy luận ngược
Bước 1: Phương pháp suy luận ngược (Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài
toán)
• Xuất phát từ biến cố cần tìm xác suất (chẳng hạn là X)
• Từ nội dung của biến cố X, dùng các phép toán của tập hợp(giao các biến cố, hợp các biến cố và biến cố đối) biểu diễn X theo các
“biến cố con” X i, i=1,n
• Từ nội dung của biến cố X i, i=1,n , dùng các phép toán của tập
hợp(giao biến cố, hợp biến cố đối) biểu diễn X i, i=1,n theo các “biến
cố con của X i, i=1,n ”là Y i, i=1,m …
• Quá trình trên được dừng lại khi các “biến cố con”trùng hoặc
ngược với giả thiết của bài toán
Bước 2: Trình bày lời giải (Ngược lại với quá trình suy luận)
2 Ví dụ
Ví dụ 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2 Tính xác
suất để trong ba lần bắn độc lập:
a) Người đó bắn trúng hồng tâm một lần;
b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần
Câu a
Suy luận:
Trang 5
A="ng ời đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần
bắn trúng hồng tâm lần 1
= bắn trúng hồng tâm lần 2
bắn trúng hồng tâm lần 3
=
bắn trúng hồng tâm lần 1
bắn trúng hồng tâm lần 2
bắn tr ợt hồng tâm lần 2
bắn tr ợt hồng tâm lần 3
bắn tr ợt hồng tâm lần 1
bắn tr ợt hồng tâm lần 3
bắn tr ợt hồng tâm lần 1
bắn tr ợt hồng tâ
→
1
2
"bắn trúng hồng tâm lần 1"=A
"bắn trúng hồng tâm lần 2"=A
bắn trúng hồng tâm lần 3
bắn tr ợt hồng tâm lần 2 bắn tr ợt hồng tâm lần 3 bắn tr ợt hồng tâm lần 1
bắn
m lần 2
"bắn trúng hồng tâm lần 3"=A3
tr ợt hồng tâm lần 3 bắn tr ợt hồng tâm lần 1 bắn tr ợt hồng tâm lần 2
• Từ đú dẫn đến A A A A= 1 2 3∪A A A1 2 3∪A A A1 2 3
Lời giải cõu a)
• Gọi A ilà biến cố “người đú bắn trỳng hồng tõm lần thứ i”, i 1,3 = , ta cú
A , A , A là cỏc biến cố độc lập và P(A ) 0,2 i =
• Gọi A là biến cố “người đú bắn trỳng hồng tõm một lần”, suy ra
3
P(A) C 0,2.(0.8) 0,384
Cõu b)
Suy luận:
Cỏch 1:
•
⇒
B="ng ời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần B="Cả ba lần bắn đều tr ợt"
⇒ =
bắn tr ợt hồng tâm lần 1
B bắn tr ợt hồng tâm lần 2
bắn tr ợt hồng tâm lần 3
⇒ =B A A A1 2 3
Cỏch 2:
B="ng ời đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần
Trang 6
b¾n tróng hång t©m 1 lÇn
= b¾n tróng hång t©m 2 lÇn
b¾n tróng hång t©m 3 lÇn
1 2 3
b¾n tróng hång t©m 1 lÇn=B
= b¾n tróng hång t©m 2 lÇn=B b¾n tróng hång t©m 3 lÇn=B
• Suy luận tương tự câu a), ta được
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Lời giải câu b)
Cách 1:
• Gọi B là biến cố “người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần”, suy ra B
là biến cố “ người đó bắn trượt cả ba lần”, ⇒ = B A A A 1 2 3
P(B) 1 P(B) 1 P(A )P(A )P(A ) 1 (0,8) = − = − = − = 0, 488
Cách 2:
• Gọi B ilà biến cố “ người đó bắn trúng hồng tâm i lần”,i 1,3, ta có=
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
P(B) P(B ) P(B ) P(B ) C 0,2.(0,8) C (0,2) 0,8 (0.2) 0,488
Ví dụ 2:Gieo một con súc sắc liên tiếp 6 lần Tìm xác suất để ít nhất một lần
xuất hiện mặt lục
Phân tích
Cách 1
•
⇒
A="Ýt nhÊt mét lÇn xuÊt hiÖn mÆt lôc" A="C¶ 6 lÇn kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc"
=
=
=
⇒
1
2
3
lÇn 1 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 1 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
lÇn 2 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 2 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
lÇn 3 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 3 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
A=
lÇn 4 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc
=
=
=
4
5
6
=lÇn 4 xuÊt hiÖn mÆt lôc A lÇn 5 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 5 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
lÇn 6 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 6 xuÊt hiÖn mÆt lôc A
⇒ =A A A A A A A1 2 3 4 5 6
Cách 2
Trang 7• =
1 2 3 4 5
"xuất hiện mặt lục 1 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 2 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 3 lần"=X A="ít nhất một lần xuất hiện mặt lục"
"xuất hiện mặt lục 4 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 5 lần"=X
"xuất hiện mặt lục 6 l
• Mỗi X , i=1,6 i biểu diễn theo cỏc biến cố A i(cỏch 1)
Lời giải
Cỏch 1
• Gọi
⇒
A="ít nhất một lần xuất hiện mặt lục" A="Cả 6 lần không xuất hiện mặt lục"
• Gọi A ilà biến cố " Lần thứ i xuất hiện mặt lục", i= 1,6 ( ) 5, i=1,6
6
i
P A
A A A A A A A
⇒ =
•
6
5 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
6
P A P A P A P A P A P A P A P A
Cỏch 2
• Gọi A là biến cố “ ớt nhất một mặt suất hiện mặt lục”,
• X , i=1,6 i là biến cố “xuất hiện mặt lục i lần A X = 1 ∪ X 2 ∪ X 3 ∪ X 4 ∪ X 5 ∪ X 6
•
i
−
= ữ ữ
, do đú
6 i 6
i 1
−
=
= ữ ữ = − ữ
∑
Vớ dụ 3: Trong một lớp học cú 6 búng đốn, mỗi búng cú xỏc suất bị chỏy là 1
4 Lớp học đủ ỏnh sỏng nếu cú ớt nhất 4 búng đốn sỏng Tỡm xỏc suất để lớp học đủ ỏnh sỏng
Phõn tớch
•
"Lớp học có 4 bóng đèn sáng"=B A= "Lớp học đủ ánh sáng"= "Lớp học có 5 bóng đèn sáng"=C
"Lớp học có 6 bóng đèn sáng"=D
• B, C, D biểu diễn theo cỏc biến cố A i= “Búng đốn thứ i sỏng”
Lời giải
• Gọi A là biến cố “ Lớp đủ ỏnh sỏng”, B, C, D lần lượt là cỏc biến cố “ lớp
cú 4 búng đốn sỏng”, “ lớp cú 5 búng đốn sỏng”, “ lớp cú 6 búng đốn
sỏng”,
• A B C D= ∪ ∪
Trang 8• ữ ữ ữ ữ
Vớ dụ 4: Một mỏy bay cú ba bộ phận A, B, C cú tầm quan trọng khỏc nhau Mỏy
bay sẽ rơi khi cú một viờn đạn bắn trỳng vào A, hoặc hai viờn đạn bắn trỳng vào
B, hoặc ba viờn đạn bắn trỳng vào C Biết rằng mỏy bay bị trỳng hai viờn đạn và giả sử cỏc bộ phận A, B, C lần lượt chiếm 15%, 35%, 55% diện tớch mỏy bay Tỡm xỏc suất để mỏy bay bị rơi
Phõn tớch
Cỏch 1
• Z "Máy bay bị rơi"= "ít nhất một viên đạn bắn trúng A"=X
"Cả hai viên đạn bắn trúng B"=Y
=
•
2
"Viê n đạn thứ nhất không trúng A"=X
X "Không viên đạn nào bắn trúng A"=
"Viê n đạn thứ hai không trúng A"=X
• ⇒ =X X X1 2
1 2 2
"Viên đạn thứ nhất trúng B"=Y
"Viên đạn thứ hai trúng B"=Y
Cỏch 2
• Z "Máy bay bị rơi"= ⇒ =Z "Máy bay không bị rơi"
•
1 2
1 2
"Viên đạn thứ nhất trúng C"=C
"Viên đạn thứ hai trúng C"=C
"Viên đạn thứ nhất trúng B"=B
"Hai viên đạn bắn trúng C"
"Viên đạn thứ hai trúng C"=C
"Một viên đạn trúng B và một viên trúng C
"Viên đạn thứ nhất trúng C"=C
"Viên đạn thứ hai trúng B"=B
• Z C C= 1 2∪B C1 2∪B C2 1
Lời giải
Cỏch 1
• Gọi Z là biến cố “Mỏy bay bị rơi”, X là biến cố “Ít nhất một viờn đạn trỳng A”, Y là biến cố “ Cả hai viờn đạn trỳng B”, suy ra Z X = ∪ Y
Trang 9• Gọi X i lần lượt là cỏc biến cố “Viờn đạn thứ i trỳng A”, i 1,6 =
X X X = ⇒ P(X) 1 P(X )P(X ) 1 (0,85) = − = − = 0,2775
• Gọi Y i lần lượt là cỏc biến cố “Viờn đạn thứ i trỳng B”, i 1,6 =
Y Y Y = ⇒ P(Y) P(Y )P(Y ) (0,3) = = = 0,09 P(Z) P(X) P(Y) 0,2775 0,09 0.3675 = + = + =
Cỏch 2
• Gọi Z là biến cố “Mỏy bay bị rơi”, suy ra Z là biến cố “mỏy bay khụng
bị rơi”
⇒Z= "Hai viên đạn bắn trúng C"
"Một viên đạn trúng B và một viên trúng C Gọi C , C 1 2lần lượt là cỏc biến cố “viờn đạn thứ nhất trỳng C”và “viờn đạn thứ hai trỳng C”, Gọi B , B 1 2lần lượt là cỏc biến cố “viờn đạn thứ nhất trỳng B”và “viờn đạn thứ hai trỳng B”
• Ta có Z C C= 1 2∪B C1 2∪B C 2 1
2
1 P(Z) 1 P(C )P(C ) P(B )P(C ) P(B )P(C ) =1-(0,55) 2.0,3.0,55 0,3675
Vớ dụ 6: An làm bài kiểm tra trắc nghiệm Vật Lý, đề kiểm tra gồm 40 cõu Mỗi
cõu cú 4 phương ỏn trả lời, trong đú chỉ 1 phương ỏn đỳng Trả lời đỳng mỗi cõu được 0,25 điểm An làm được 30 cõu trong đú đỳng 24 cõu Ở 10 cõu cũn lại mỗi cõu An chọn ngẫu nhiờn 1 phương ỏn trả lời Tớnh xỏc suất để An đạt 8 điểm trở lờn
Phõn tớch
=
"An đạt 8.0 điểm"
"An đạt 8.0 điểm trở lên"= "An đạt 8.25 điểm"
"An đạt 8.5 điểm"
8 9 10
"An trả lời đúng 8 câu"=A
= "An trả lời đúng 9 câu"=A
"An trả lời đúng 10 câu"=A
Lời giải
Trang 10• Gọi A là biến cố “An đạt 8.0 điểm trở lên”, A8 , A9, A10 lần lượt là các biến cố “An làm được 8, 9, 10 câu” trong 10 câu còn lại
• Ta có A A= ∪ ∪8 A9 A10
•
P A P A P A P A ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
3 Bài tập
1 Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn Xác suất để trúng cả ba viên vòng 10 là 0.0008, xác suất để một viên trúng vòng 8 là 0.15 và xác suất để một viên trúng vòng dưới 8 là 0.4 Biết rằng các lần bắn độc lập với nhau Tìm xác suất để vận động viên đạt ít nhất 28 điểm
2 Một bài thi trắc nghiệm có 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời, nhưng chỉ có một phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi một điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời Tìm xác suất để:
a Học sinh đó được 13 điểm
b Học sinh đó bị điểm âm
3 Một người say rượu bước 8 bước Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước 1m hoặc lùi lại phóa sau 1m với xác suất như nhau Tìm xác suất để:
a. Anh ta trở lại điểm xuất phát
b Anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m
4 Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0.8 và 0.7 Tìm xác suất để ít nhất một cầu thủ làm bàn
5 Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65% Chọn ngẫu nhiên 12 người Tìm xác suất để trong đó có 5 người thích xem bóng đá
6 Một máy bay có ba bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau Giả sử các bộ phận A, B, C tương ứng là 15%, 30%, 55% diện tích máy bay Máy bay bị rơi nếu có một viên đạn trúng vào A hoặc hai viên đạn trúng vào B hoặc ba viên đạn trúng vào C Tìm xác suất để máy bay bị rơi nếu:
a Máy bay bị trúng hai viên đạn
b Máy bay bị trúng ba viên đạn
D KIỂM NGHIỆM
1 Quá trình khảo sát
Trong các năm học 2012-2013 tôi đã khảo sát chất lượng thông qua hai lớp học 11B1 và 11B2 ở trường THPT Lê Hồng Phong với bài kiểm tra viết thông qua kiểm tra viết về “các quy tắc tính xác suất”:
2 Kết quả khảo sát
Kết quả khảo sát Lớp 11B1 (không được dạy phương pháp “suy luận ngược” và lớp có 30% học sinh khá giỏi)
Trang 11Điểm 8.0 đến 10 6.5 đến cận 8.0 5.0 đến cận 6.5 Dưới 5.0
Kết quả khảo sát Lớp 11B2 (được dạy phương pháp “suy luận ngược” và lớp có phần đa học sinh có học lực trung bình)
Điểm 8.0 đến 10 6.5 đến cận 8.0 5.0 đến cận 6.5 Dưới 5.0
KẾT LUẬN
Phương pháp “ suy luận ngược” khi giải các bài toán xác suất bằng phép tính được rút ra từ thực tế dạy học của bản thân tôi Sau khi cho học sinh áp dụng phương pháp này vào các ví dụ, bài tập xác suất thì số lượng học sinh làm bài tập nhiều hơn, hứng thú hơn và giải được nhiều bài toán ở mức độ vận dụng
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của cá nhân tôi được đúc rút trong quá trình giảng dạy, phạm vi áp dụng mới ở trường THPT Lê Hồng Phong- Thanh Hóa nên không tránh khỏi hạn chế Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học sinh cùng bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 3 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người
khác
(Ký và ghi rõ họ tên)