Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xá xuất bằng phương pháp suy luận ngược

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất bằng phương pháp suy luận ngược Người thực hiện: Phan Văn Thế Chức vụ: Giáo viên SKKN môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2013 ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình môn Toán cấp THPT, Xác Suất là phần học được đưa vào giảng dạy ở lớp 11 từ năm học 2007-2008. Đó là phần kiến thức nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế- Một mảng kiến thức mới gây không ít khó khăn, không chỉ cho học sinh trong quá trình học mà còn gây khó khăn cho giáo viên trong công việc giảng dạy. Đặc biệt, nhiều học sinh còn lúng túng trong việc sử dụng “CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT” để giải toán. Qua những năm giảng dạy phần Xác Suất trong trường THPT tôi đã tìm ra cách thức giúp giáo viên có thể dạy các bài toán “tính xác suất bằng phép tính” tự nhiên hơn, giúp học sinh hiểu rõ hơn, chủ động, sáng tạo hơn. Đó là “Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất bằng phương pháp suy luận ngược”. Vì vậy tôi viết Sáng kiến Kinh nghiệm này mong nhận được trao đổi, góp ý của các đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn đọc nhằm thực hiện công việc dạy và học môn Toán trong chương trình THPT ngày một tốt hơn. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2 A. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ • Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay hành động mà - Kết quả quả của nó không dự đoán trước được - Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể có xảy ra của nó. Phép thử thường được kí hiện là T • Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là Ω • Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của nó tùy thuộc vào kết quả của T. • Mỗi kết quả của phép thử T làm cho biến cố A xảy ra được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. • Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu bởi Ω A • Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa , , A B C và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con. • Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt: - Tập φ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). - Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn. 2. ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT • Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả của T đồng khả năng. Khi đó xác suất của biến cố A liên quan đến T là tỉ số giữa kết quả thuận lợi cho A và số kết quả có thể. • Ω = Ω A P(A) 3. QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT • Hợp của hai biến cố A và B =     ∪ BiÕn cè A x¶y ra A B= BiÕn cè B x¶y ra - Nếu Ω A vả Ω A lần lượt là các kết quả thuận lợi cho biến cố A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho ∪A B là Ω ∪Ω A B • Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 3 Xác suất là phần học mới chỉ đưa vào dạy ở chương trình THPT gần đây do vậy các Tài liệu tham khảo các Sáng kiến kinh nghiệm viết về phần này còn ít. Một số tài liệu chỉ nêu lên phương pháp dạy một cách hàn lâm nên kể cả giáo viên và học sinh muốn tìm hiểu một cách thấu đáo và hệ thống cũng rất khó khăn. Xác suất thuộc lĩnh vực “toán rời rạc” do vậy ít có sự hỗ trợ của các kiến thức mà học sinh được học trước đó. Thực tế cho thấy khi gặp bài toán xác suất phải sử dụng các phép toán để giải chúng thì học sinh thường lúng túng trong các vấn đề sau: • Không biết chọn các biến cố cơ sở • Nếu chọn được các biến cố cơ sở thì không biểu diễn được biến cố cần tính xác suất thông qua các biến cố cơ sở • Khi biểu diễn biến cố cần tính qua các biến cố cơ sở đồng kết quả mà phép tính phức tạp thì học sinh lúng túng trong phép tính Xuất phát từ những khó khăn trên, tôi xin đưa ra phương pháp “suy luận ngược” này để học sinh nhìn nhận các bài toán xác suất thân thiện hơn. C. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1. Phương pháp suy luận ngược Bước 1: Phương pháp suy luận ngược (Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán) • Xuất phát từ biến cố cần tìm xác suất (chẳng hạn là X) • Từ nội dung của biến cố X, dùng các phép toán của tập hợp(giao các biến cố, hợp các biến cố và biến cố đối) biểu diễn X theo các “biến cố con” , i=1, i X n • Từ nội dung của biến cố , i=1, i X n , dùng các phép toán của tập hợp(giao biến cố, hợp biến cố đối) biểu diễn , i=1, i X n theo các “biến cố con của , i=1, i X n ”là , i=1, i Y m … • Quá trình trên được dừng lại khi các “biến cố con”trùng hoặc ngược với giả thiết của bài toán Bước 2: Trình bày lời giải (Ngược lại với quá trình suy luận) 2. Ví dụ Ví dụ 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập: a) Người đó bắn trúng hồng tâm một lần; b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần. Câu a Suy luận: 4       A="ng êi ®ã b¾n tróng hång t©m ®óng mét lÇn b¾n tróng hång t©m lÇn 1 = b¾n tróng hång t©m lÇn 2 b¾n tróng hång t©m lÇn 3               = b¾n tróng hång t©m lÇn 1 b¾n tróng hång t©m lÇn 2 b¾n tr ît hång t©m lÇn 2 b¾n tr ît hång t©m lÇn 3 b¾n tr ît hång t©m lÇn 1 b¾n tr ît hång t©m lÇn 3 b¾n tr ît hång t©m lÇn 1 b¾n tr ît hång t©                                  → 1 2 "b¾n tróng hång t©m lÇn 1"=A "b¾n tróng hång t©m lÇn 2"=A b¾n tróng hång t©m lÇn 3 b¾n tr ît hång t©m lÇn 2 b¾n tr ît hång t©m lÇn 3 b¾n tr ît hång t©m lÇn 1 b¾n m lÇn 2                                  3 "b¾n tróng hång t©m lÇn 3"=A tr ît hång t©m lÇn 3 b¾n tr ît hång t©m lÇn 1 b¾n tr ît hång t©m lÇn 2 • Từ đó dẫn đến = ∪ ∪ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A A A A A A A A Lời giải câu a) • Gọi i A là biến cố “người đó bắn trúng hồng tâm lần thứ i”, i 1,3= , ta có 1 2 3 A ,A ,A là các biến cố độc lập và i P(A ) 0,2= • Gọi A là biến cố “người đó bắn trúng hồng tâm một lần”, suy ra 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A A A A A A A A= ∪ ∪ 1 2 3 P(A) C .0,2.(0.8) 0,384⇒ = = . Câu b) Suy luận: Cách 1: • ⇒B="ng êi ®ã b¾n tróng hång t©m Ýt nhÊt mét lÇn B="C¶ ba lÇn b¾n ®Òu tr ît"        ⇒ = b¾n tr ît hång t©m lÇn 1 B b¾n tr ît hång t©m lÇn 2 b¾n tr ît hång t©m lÇn 3 ⇒ = 1 2 3 B A A A Cách 2: B="ng êi ®ã b¾n tróng hång t©m Ýt nhÊt mét lÇn 5       b¾n tróng hång t©m 1 lÇn = b¾n tróng hång t©m 2 lÇn b¾n tróng hång t©m 3 lÇn       1 2 3 b¾n tróng hång t©m 1 lÇn=B = b¾n tróng hång t©m 2 lÇn=B b¾n tróng hång t©m 3 lÇn=B • Suy luận tương tự câu a), ta được 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B B B B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A = ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ Lời giải câu b) Cách 1: • Gọi B là biến cố “người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần”, suy ra B là biến cố “ người đó bắn trượt cả ba lần”, 1 2 3 B A A A⇒ = • 3 1 2 3 P(B) 1 P(B) 1 P(A )P(A )P(A ) 1 (0,8) 0,488= − = − = − = Cách 2: • Gọi i B là biến cố “ người đó bắn trúng hồng tâm i lần”, =i 1,3 , ta có = ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B B B B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A • = + + = + + = 1 2 2 2 3 1 2 3 3 3 P(B) P(B ) P(B ) P(B ) C .0,2.(0,8) C (0,2) .0,8 (0.2) 0,488 Ví dụ 2:Gieo một con súc sắc liên tiếp 6 lần. Tìm xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt lục. Phân tích Cách 1 • ⇒A="Ýt nhÊt mét lÇn xuÊt hiÖn mÆt lôc" A="C¶ 6 lÇn kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc" = = = ⇒ 1 2 3 lÇn 1 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 1 xuÊt hiÖn mÆt lôc A lÇn 2 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 2 xuÊt hiÖn mÆt lôc A lÇn 3 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 3 xuÊt hiÖn mÆt lôc A A= lÇn 4 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc              = = = 4 5 6 =lÇn 4 xuÊt hiÖn mÆt lôc A lÇn 5 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 5 xuÊt hiÖn mÆt lôc A lÇn 6 kh«ng xuÊt hiÖn mÆt lôc=lÇn 6 xuÊt hiÖn mÆt lôc A ⇒ = 1 2 3 4 5 6 A A A A A A A Cách 2 6 = 1 2 3 4 5 "xuất hiện mặt lục 1 lần"=X "xuất hiện mặt lục 2 lần"=X "xuất hiện mặt lục 3 lần"=X A="ít nhất một lần xuất hiện mặt lục" "xuất hiện mặt lục 4 lần"=X "xuất hiện mặt lục 5 lần"=X "xuất hiện mặt lục 6 l 6 ần"=X Mi i X , i=1,6 biu din theo cỏc bin c i A (cỏch 1) Li gii Cỏch 1 Gi A="ít nhất một lần xuất hiện mặt lục" A="Cả 6 lần không xuất hiện mặt lục" Gi i A l bin c " Ln th i xut hin mt lc", 1,6=i 5 ( ) , i=1,6 6 = i P A 1 2 3 4 5 6 A A A A A A A = 6 1 2 3 4 5 6 5 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 6 = = = ữ P A P A P A P A P A P A P A P A Cỏch 2 Gi A l bin c ớt nht mt mt sut hin mt lc, i X , i=1,6 l bin c xut hin mt lc i ln 1 2 3 4 5 6 A X X X X X X= i 6 i i i 6 1 5 P(X ) C , i=1,6 6 6 = ữ ữ , do ú i 6 i 6 6 i 6 i 1 1 5 5 P(A) C 1 6 6 6 = = = ữ ữ ữ Vớ d 3: Trong mt lp hc cú 6 búng ốn, mi búng cú xỏc sut b chỏy l 1 4 . Lp hc ỏnh sỏng nu cú ớt nht 4 búng ốn sỏng. Tỡm xỏc sut lp hc ỏnh sỏng. Phõn tớch "Lớp học có 4 bóng đèn sáng"=B A= "Lớp học đủ ánh sáng"= "Lớp học có 5 bóng đèn sáng"=C "Lớp học có 6 bóng đèn sáng"=D B, C, D biu din theo cỏc bin c i A = Búng ốn th i sỏng Li gii Gi A l bin c Lp ỏnh sỏng, B, C, D ln lt l cỏc bin c lp cú 4 búng ốn sỏng, lp cú 5 búng ốn sỏng, lp cú 6 búng ốn sỏng, = A B C D 7 ữ ữ ữ ữ = + + = 4 2 5 6 4 5 6 6 3 1 3 1 3 P(A) C C 0,8305 4 4 4 4 4 Vớ d 4: Mt mỏy bay cú ba b phn A, B, C cú tm quan trng khỏc nhau. Mỏy bay s ri khi cú mt viờn n bn trỳng vo A, hoc hai viờn n bn trỳng vo B, hoc ba viờn n bn trỳng vo C. Bit rng mỏy bay b trỳng hai viờn n v gi s cỏc b phn A, B, C ln lt chim 15%, 35%, 55% din tớch mỏy bay. Tỡm xỏc sut mỏy bay b ri. Phõn tớch Cỏch 1 "ít nhất một viên đạn bắn trúng A"=X Z "Máy bay bị rơi"= "Cả hai viên đạn bắn trúng B"=Y = = 1 2 "Viê n đạn thứ nhất không trúng A"=X X "Không viên đạn nào bắn trúng A"= "Viê n đạn thứ hai không trúng A"=X = 1 2 X X X = = 1 1 2 2 "Viên đạn thứ nhất trúng B"=Y Y Y Y Y "Viên đạn thứ hai trúng B"=Y Cỏch 2 = =Z "Máy bay bị rơi" Z "Máy bay không bị rơi" 1 2 1 2 "Viên đạn thứ nhất trúng C"=C "Viên đạn thứ hai trúng C"=C "Viên đạn thứ nhất trúng B"=B "Hai viên đạn bắn trúng C" Z= = "Viên đạn thứ hai trúng C"=C "Một viên đạn trúng B và một viên trúng C 1 2 "Viên đạn thứ nhất trúng C"=C "Viên đạn thứ hai trúng B"=B = 1 2 1 2 2 1 Z C C B C B C Li gii Cỏch 1 Gi Z l bin c Mỏy bay b ri, X l bin c t nht mt viờn n trỳng A, Y l bin c C hai viờn n trỳng B, suy ra Z X Y = 8 • Gọi i X lần lượt là các biến cố “Viên đạn thứ i trúng A”, i 1,6= • Ta có 2 1 2 1 2 X X X P(X) 1 P(X )P(X ) 1 (0,85) 0,2775= ⇒ = − = − = • Gọi i Y lần lượt là các biến cố “Viên đạn thứ i trúng B”, i 1,6= • Ta có 2 1 2 1 2 Y Y Y P(Y) P(Y )P(Y ) (0,3) 0,09= ⇒ = = = P(Z) P(X) P(Y) 0,2775 0,09 0.3675= + = + = Cách 2 • Gọi Z là biến cố “Máy bay bị rơi”, suy ra Z là biến cố “máy bay không bị rơi”     ⇒ "Hai viªn ®¹n b¾n tróng C" Z= "Mét viªn ®¹n tróng B vµ mét viªn tróng C . Gọi 1 2 C , C lần lượt là các biến cố “viên đạn thứ nhất trúng C”và “viên đạn thứ hai trúng C”, Gọi 1 2 B , B lần lượt là các biến cố “viên đạn thứ nhất trúng B”và “viên đạn thứ hai trúng B” • = ∪ ∪ 1 2 1 2 2 1 Ta cã Z C C B C B C ⇒ − = − − − − = 1 2 1 2 2 1 2 1 P(Z) 1 P(C )P(C ) P(B )P(C ) P(B )P(C ) =1-(0,55) 2.0,3.0,55 0,3675 Ví dụ 6: An làm bài kiểm tra trắc nghiệm Vật Lý, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ 1 phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. An làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên 1 phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. Phân tích • A      = "An ®¹t 8.0 ®iÓm" "An ®¹t 8.0 ®iÓm trë lªn"= "An ®¹t 8.25 ®iÓm" "An ®¹t 8.5 ®iÓm" 8 9 10      "An tr¶ lêi ®óng 8 c©u"=A = "An tr¶ lêi ®óng 9 c©u"=A "An tr¶ lêi ®óng 10 c©u"=A Lời giải 9 • Gọi A là biến cố “An đạt 8.0 điểm trở lên”, A 8 , A 9 , A 10 lần lượt là các biến cố “An làm được 8, 9, 10 câu” trong 10 câu còn lại. • Ta có 8 9 10 A A A A= ∪ ∪ • 8 2 9 1 10 8 9 10 1 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 P A P A P A P A            ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           = + + = + + 3. Bài tập 1. Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn. Xác suất để trúng cả ba viên vòng 10 là 0.0008, xác suất để một viên trúng vòng 8 là 0.15 và xác suất để một viên trúng vòng dưới 8 là 0.4. Biết rằng các lần bắn độc lập với nhau. Tìm xác suất để vận động viên đạt ít nhất 28 điểm. 2. Một bài thi trắc nghiệm có 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời, nhưng chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi một điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để: a. Học sinh đó được 13 điểm. b. Học sinh đó bị điểm âm. 3. Một người say rượu bước 8 bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước 1m hoặc lùi lại phóa sau 1m với xác suất như nhau. Tìm xác suất để: a. Anh ta trở lại điểm xuất phát. b. Anh ta cách điểm xuất phát hơn 4m. 4. Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0.8 và 0.7. Tìm xác suất để ít nhất một cầu thủ làm bàn. 5. Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65%. Chọn ngẫu nhiên 12 người. Tìm xác suất để trong đó có 5 người thích xem bóng đá. 6. Một máy bay có ba bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Giả sử các bộ phận A, B, C tương ứng là 15%, 30%, 55% diện tích máy bay. Máy bay bị rơi nếu có một viên đạn trúng vào A hoặc hai viên đạn trúng vào B hoặc ba viên đạn trúng vào C. Tìm xác suất để máy bay bị rơi nếu: a. Máy bay bị trúng hai viên đạn. b. Máy bay bị trúng ba viên đạn. D. KIỂM NGHIỆM 1. Quá trình khảo sát Trong các năm học 2012-2013 tôi đã khảo sát chất lượng thông qua hai lớp học 11B1 và 11B2 ở trường THPT Lê Hồng Phong với bài kiểm tra viết thông qua kiểm tra viết về “các quy tắc tính xác suất”: 2. Kết quả khảo sát Kết quả khảo sát Lớp 11B1 (không được dạy phương pháp “suy luận ngược” và lớp có 30% học sinh khá giỏi) 10 [...]... dạy phương pháp suy luận ngược và lớp có phần đa học sinh có học lực trung bình) Điểm Tỉ lệ 8.0 đến 10 30% 6.5 đến cận 8.0 40% 5.0 đến cận 6.5 20% Dưới 5.0 10% KẾT LUẬN Phương pháp “ suy luận ngược khi giải các bài toán xác suất bằng phép tính được rút ra từ thực tế dạy học của bản thân tôi Sau khi cho học sinh áp dụng phương pháp này vào các ví dụ, bài tập xác suất thì số lượng học sinh làm bài. .. làm bài tập nhiều hơn, hứng thú hơn và giải được nhiều bài toán ở mức độ vận dụng Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm của cá nhân tôi được đúc rút trong quá trình giảng dạy, phạm vi áp dụng mới ở trường THPT Lê Hồng Phong- Thanh Hóa nên không tránh khỏi hạn chế Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học sinh cùng bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, . Đó là Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất bằng phương pháp suy luận ngược . Vì vậy tôi viết Sáng kiến Kinh nghiệm này mong nhận được trao đổi, góp ý của các đồng nghiệp, các em. HỒNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số kinh nghiệm khi giải các bài toán xác xuất bằng phương pháp suy luận ngược Người thực hiện: Phan Văn Thế Chức vụ: Giáo viên SKKN môn: Toán THANH HOÁ NĂM. nhận các bài toán xác suất thân thiện hơn. C. GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1. Phương pháp suy luận ngược Bước 1: Phương pháp suy luận ngược (Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán) • Xuất