Đang tải... (xem toàn văn)
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa.. www.DeThiThuDaiHoc.com.[r]
(1)1 1 Hình chóp tam giác
Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh AB=a Gọi M, N lần lượt trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC)
Gợi ý:
Gọi O trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC, ta có
3
, ,
2
a a a
OA= OB=OC= OG=
Đặt SG =z>0 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Oxchứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SG (xem hình vẽ) Khi
3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;
2 2
a a a a
A B C S z
−
3
; ; , ; ;
12 12
a a z a a z
M N −
Tính 15 a
z= Suy
2 10
16
AMN
a
S =
x
y
z
G
O S
A
B
C
Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối B năm 2007) Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường trịn đường kính AB điểm C nửa đường trịn cho AC=R Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 60o Gọi H, K lần lượt hình chiếu của A SB,
SC Chứng minh tam giác AHK vng tính thể tích khối chóp S ABC Gợi ý:
Ta có AC =R BC, =R Đặt SA= z>0
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡C, tia Oxchứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó:
(0;0;0 ,) ( ;0;0 ,) (0; 3;0 ,) ( ;0; )
C A R B R S R z Khi tính
được ; 4;
9 9
R R R
H
2 2
;0;
3
R R
K
Thể tích khối chóp S ABC là:
3
6 12
S ABC
R
V =
2R x
y z
A S
B
C K
H
Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng ∆ Trên ∆ lấy hai điểm A,B với AB=a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với ∆ AC =BD= AB=a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc ( ;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).)
A a B C a a D a
+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm ( / 2; / 2; / 2)
I a a a bán kính R=a / + Mặt phẳng (BCD) có phương trình x−y=0
+ Khoảng cách từ A đến (BCD) ( , ( ))
2 a d A BCD =
P
Q
a a a
y z
x A
B D
C
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(2)Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác
đều cạnh a, SA=2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
Gợi ý:
+ Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
hình vẽ, lúc
3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;
2 2
a a a a
A B C − S a
+ Tìm tọa độ điểm M, N 2; ;2
10 5
a a a
M
3 2
; ;
10 5
a a a
N −
+ Thể tích khối chóp A.BCNM
3
3
50
A BCNM
a
V =
a 2a
z
x
y
N
O S
C
B A
M
Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC =2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung
điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o
Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Gợi ý:
+Đặt SA=z >0 Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó: (2 ;0;0 ,) (0;0;0 ,) (0; ;0 ,)
A a B C a M a( ;0;0 , (2 ;0; ).) S a z + Tìm điểm N a a( ; ;0 )
+ Vectơ pháp tuyến (SBC) nSBC = −( z;0; 2a)
+Vectơ pháp tuyến (ABC) nABC =(0;0;1 )
+ Từ giả thiết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o
tìm z=2a 3⇒S(2 ;0; 2a a ) + Suy VSBCNM =a3
2 39
( , )
13 a d AB SN =
z
y
x N
M
C
B A
S
Bài (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3 ,a BC =4a, mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB =2a SBC=30 o Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a
Gợi ý:
+ Kẻ SO⊥BC, SO⊥(ABC) Tính
3, ,
SO=a OB= a OC =a
+ Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, lúc đó: (3 ;3 ;0 ,) (3 ;0;0 ,) ( ;0;0 ,) (0;0; )
A a a B a C −a S a
+ Tính thể tích khối chóp S.ABC VS ABC. =2a3 + Phương trình mặt phẳng (SAC) là:
3x 4y 3z 3a
− + + − =
+ Khoảng cách từđiểm B đến mặt phẳng (SAC) ( , ( ))
7 a
d B SAC = 4a 3a
z
y
x S
A
B C
O
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(3)3
Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a, AB = 2a, AC = 4a, BAC =60o Gọi H, K hình chiếu vng góc B AC CD Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD E Chứng minh BE vng góc với CD tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a
Giải:
60o
4a
2a 3a
E A
B
C D
x z
y
H
K
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với A trùng với gốc tọa
độ O
A(0;0;0), B(2a;0;0), C(2 ;2a a 3;0), D(0;0;3a)
.cos60o
AH= AB =a Suy tọa độ ; 3;0
2
a a H
(2 ;2 3; )
DC= a a − a
suy u=(2;2 3; 3− )
vecto
phương DC nên phương trình đường thẳng DC là:
2
3
x t
y t
z a t
=
=
= −
Vì K thuộc DC nên K(2 ;2 ;3t t a−3t) Ta có BK =(2t−2 ;2 ;3a t a−3t)
13
25
a
BK DC= ⇔ =t Vậy 26 ;26 36;
25 25 25
a a a
K
Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z) ; 3;
2
a a
EH z
= −
; 27 ;27 36;
50 50 25
a a a
HK
=
Vì E, H, K thẳng hàng nên EH HK; phương, suy
3
a
z= − Vậy E(0;0;
3
a
− )
4 ;0;
3
a EB= a
DC=(2 ;2a a 3; 3− a)
nên EB
DC
= 2 0.2 ( )
a
a a+ a + − a = Vậy BE vng góc với CD
A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a
Giải:
60o
O H C
A
B S
x
y
z Gọi O trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ
Ta có: 0; ;0
a A
, 0; 2;0
a B −
,
3 ;0;0
a C
6
a
OH = 2
3
a
CH CO OH
⇒ = + =
tan 60 21
o a SH CH
⇒ = =
0; ; 21
6
a a S
⇒ −
•
3
1
3 12
S ABC ABC a
V = SH S =
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(4)• AB=(0;−a;0)
; 0;2 ; 21
3
a a SA
= −
; 3; ;0
2
a a
BC
=
;
2 2
21 24
; ; ; ;
6 3
SA BC a a a SA BC a
= − ⇒ =
3
7
;
2
SA BC AB a
= −
Suy ra: ( )
3
2
; 7 3 42
;
2 24
;
SA BC AB a a
d SA BC
a SA BC
= = =
☺☺☺☺
B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chóp vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Giải:
K O
A
B
C S
x
y z
H
Gọi K hình chiếu vng góc S lên (ABC) K tâm tam giác ABC
Gọi O trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
hình vẽ
Ta có: 0; ;0
a A −
, 0; ;02
a B
,
3
0; ;0
2
a C
3
a
CK = 2 33
3
a
SK SC CK
⇒ = − = 0; 3; 33
6
a a
S
⇒
3 33
0; ;
3
a a
SC
= −
; AB=(0; ;0a )
AB SC= ⇒ AB⊥SC
( )
AB SC
AB ABH AB OH
⊥
⇒ ⊥
⊥
11
4
SK OC a OH
SC
⇒ = =
Giải:
( )
2
1
,( )
3
ABCD ACD ACD
a
V = S d B ACD ⇒S = Từđây tính ;
3 A
a a
CD= h =
O A
C
D B
x y
z Gọi O trung điểm CD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có: 0; 5;0
3
a A
, 3;0;0 , 3;0;0 , ; ;
a a a
C D B x y
với y >
Từ giả thiết BC = BD = a ta giải 0;
3
a x= y=
Vậy 0; ;
3
a a B
2
2
; 0; ;
3
a a
BC BD
= −
( )
(ACD) 0;0;1
n =
; n(BCD) =(0;1; 1− )
Gọi α góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD)
Ta có: ( ( ) ( ))
2 2 2
0.0 0.1 1.( 1)
cos cos ; 45
2
0 1
o
ACD BCD
n n
α = = + + − = ⇒α =
+ + + +
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(5)5
Tốn học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, BC = a ABC=30o Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với đáy góc 60o Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Giải:
B
A
C S
y x
z
H
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm A
A(0;0;0), 3;0;0 , 0; ;0 , ( ; ; )
2
a a
B C S x y z
với
0; 0;
x> y> z> ;H x y( ; ;0) với H hình chiếu vng góc của S (ABC)
( )
1 0;0;1
n =
vectơ pháp tuyến (ABC)
2
3
; 0; ;
2
a a
n AB AS z y
= = −
vectơ pháp tuyến (SAB)
3 ; ;0;
2
a a
n =AC AS= z − x
vectơ pháp tuyến (SAC)
• ( ) 2
2
1
1
cos ( ),( )
2
n n y
SAB ABC z y
n n z y
= ⇔ = ⇔ =
+
(1)
• ( ) 2
2
1
1
cos ( ),( )
2
n n x
SAC ABC z x
n n z x
= ⇔ = ⇔ =
+
(2)
Từ (1), (2) ta có x= y Nên H x x( ; ;0) Vì H thuộc BC nên 3; ;0 , ; ;0
2 2
a a a
BC CH x x
= − = −
phương, suy
( )
3
3
2
a x
x a
x a
a
−
= ⇔ =
+ −
thay vào (1), ta
( )
3
2
a z=
+
•
( )
( )
2
3
1 3
3 2 1 3 32
S ABC ABC
a
a a
V = SH S∆ = = −
+
☺☺☺☺
A
B
C S
x
y
z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
với điểm A
Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0 SA=7a⇔ x2 +y2 +z2 =49a2 (1)
SB=9a⇔(x−8a)2 +y2 +z2 =81a2 (2) SC=11a⇔ x2 +(y−6a)2 +z2 =121a2 (3) Giải hệ (1), (2) (3), ta S(2a;-3a;6a)
Suy đường cao hình chóp S.ABC h=zS =6a
2
1
24
2
ABC
S = AB AC= a VS ABC =48a3
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(6)2 Hình chóp tứ giác
Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD=60 ,o SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA=a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC' song song với BD cắt SB, SD B D', ' Tính thể tích khối chóp
' ' ' S AB C D Gợi ý:
Gọi O giao điểm AC DB
Vì tam giác ABD nên ,
2
a a
OB=OD= OA=
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Oxchứa A, tia Oy chứa B tia Oz nằm đường thẳng qua O song song với SA (xem hình vẽ) Khi đó:
3
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2
a a a a
A B C D
− −
3
' 0;0; , ;0;
2
a a
C S a
x y
z
O
C D
A B
S
Tìm ' 3; ;
6 3
a a a
B
3
' ; ;
6 3
a a a
D −
Thể tích khối chóp S AB C D' ' ' là:
3 3
' ' ' ' ' ' '
1 1 3
, ' ' , ' '
6 6 6 18
S AB C D S AB C S AC D
a a a
V =V +V = SA SC SB + SA SC SD = + =
Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2006) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với
, 2,
AB=a AD=a SA=a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Gợi ý:
+Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡ A, tia Oxchứa B, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:
(0;0;0 ,) ( ;0;0 ,) ( ; 2;0 ,) (0; 2;0 ,) (0;0; );
A B a C a a D a S a
2
0; ;0 , ; ;
2 2
a a a a
M N
(0;0; ), ( ; 2;0 ,) 0; 2; , ( ;0; )
a
AS a AC a a SM = −a SB= a −a
Vectơ pháp tuyến (SAC) AS AC, = −( a2 2;a2;0 )
x
z
y I
N
M D
C B
A S
Vectơ pháp tuyến (SBM)
2
2
2
, ; ;0
2 a
SM SB a
= − −
Vì AS AC, SM SB, =a4 −a4 =0 nên (SAC)⊥(SBM) Ta có IC BC IC 2IA
IA = AM =
⇒= − Từđây tìm ; 2;0
3
a a
I
Thể tích khối tứ diện ANIB
3
1 2
,
6 6 36
ANIB
a a
V = AN AI AB = =
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(7)7
Bài (Trích đềĐH Khối A năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP
Gợi ý:
Gọi O trung điểm AD, SO⊥(ABCD) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Oxchứa A, tia Oy chứa N tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:
( )
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2
3
; ;0 , ; ;
2 4
a a a
A B a N a S
a a a a a
P M
−
Ta có: ; ; , ; ;0
4 2
a a a a
AM = − BP= − − a
Thể tích khối tứ diện CMNP
3
3 96
CMNP
a
V =
x
z
y P
M
N O
C D
A
B S
Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Gợi ý:
Gọi O giao điểm AC BD Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz cho tia Oxchứa A, tia Oy chứa B tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Đặt SO=z, Khi đó:
( )
2 2
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2
2 2
;0;0 , ; ;0 , ;0; ,
2 4
2 2
; ; ; ; ;
2 2
a a a
A B D S z
a a a a z
C N I
a a a a z
E z M
−
− −
Ta
có 2;0; , 0; 2;0
4 4
a z a
MN BD
= = −
a
z
x y
N M
E I
O
C D
A B
S
+ MN BD =0⇒MN ⊥BD
+ Khoảng cách MN AC ( , ) a d MN AC =
Bài (Trích đề ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang,
90 ,o ,
ABC=BAD= AB=BC =a AD= a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
Gợi ý:
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(8)Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡ A, tia Oxchứa B, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ)
(0;0;0 ,) ( ;0;0 ,) ( ; ;0 ,) (0; ;0 ,) (0;0; )
A B a C a a D a S a Tìm
được ;0;
3
a a
H
Phương trình mặt phẳng (SCD) là: x+y+ 2z−2a=0 Khoảng cách từ H đến (SCD) ( , ( ))
3 a
d H SCD =
a
2a a
z
x
y
C
D A
B S
H
Bài (Trích đề ĐH Khối B năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a,
,
SA=a SB=a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN
Gợi ý:
Gọi O hình chiếu S AB Ta có:
3
, ,
2 2
a a a
SO= OA= OB=
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Oxchứa A, tia Oy vng góc với AB tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi
đó:
3
;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
2 2
a a a a
A B− C− a D a
3
0;0; , ;0;0 , ; ;0
2 2
a a a
S M− N− a
2a a
x
z
y N
M C
B
A
D O
S
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
3
3
S BMDN
a
V =
+ cosin góc hai đường thẳng SM, DN cos(, ) 5 SM DN =
Bài (Trích đềĐH Khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D;AB =AD =2 ,a CD=a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60o Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Gợi ý:
Từ giả thiết suy SI ⊥(ABCD) Đặt SI = z>0
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡I, tia Oxchứa D, tia Oy vuông góc với AB tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:
( ;0;0 ,) ( ; ;0 ,) ( ; ;0 ,) ( ;0;0 ,) (0;0; )
A −a B −a a C a a D a S z
+ Từ giả thiết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60o ta tìm 15
5 a z=
+ Thể tích khối chóp S.ABCD
3
3 15
S ABCD
a
V =
2a
2a
a
z
y x
I
C
B A
D S
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(9)9
Bài (Trích đềĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N lần lượt trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH =a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai
đường thẳng DM SC theo a Gợi ý:
Trước hết chứng minh DM ⊥CN
+ 2 2 2 42 12 52
5 a DH HD = DN + DC = a +a = a ⇒ =
+ 5
2 10
a a
DM = ⇒HM =DM −DH =
+ 5;
10
a a
HN = HC=
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡H, tia Oxchứa N, tia Oy chứa D tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:
( )
5 5
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 ,
10 5
3
0; ;0 , 0;0;
10
a a a
N D C
a
M S a
−
−
a
x y
z
H N M
C B
A D
S
+ Thể tích khối chóp S.CDNM
3
5
24
S CDNM
a
V =
+ Khoảng cách hai đường thẳng DM SC là: ( , ) 57 19 a d DM SC =
Bài (Trích đềĐH Khối D năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SA=a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC,
4 AC
AH = Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡H , tia Oxsong song với tia AB, tia Oy song song với tia AD tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Khi đó:
2
2 2 14
4
a a
SH = SA −AH = a − =
3 3
; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
4 4 4
3 14
; ;0 , 0;0;
4 4
a a a a a a
A B C
a a a
D S
− − −
−
a a
x
y z
M
H
D A
B C
S
Ta có SC = SH2 +CH2 =a = AC nên tam giác SAC cân tại C đó M trung điểm SA Suy 14
; ;
8 8
a a a M− −
Thể tích khối chóp S.BMC
3
14 48
S BMC
a
V =
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(10)Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD bình hành, AD=4 ,a cạnh bên hình chóp a Tìm cơsin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) thể tích khối chóp S.ABCD lớn
Gợi ý:
+ Gọi O giao điểm AC BD; M,N AB AD Từ giả thiết suy
( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥
⇒ ⊥
⊥
2
6
OA=OB=OC=OD = a −SO nên ABCD hình chữ nhật
Đặt ON =x>0 Khi OA= x2 +4a2
2 2
2
SO= SA −OA = a −x
+ Thể tích khối chóp S.ABCD
2
1
3
S ABCD
V = AB AD SO= ax a −x 4a
x
y
z
M
N
O
C B
A D
S
+ Bằng cách xét hàm số ( ) 2
f x = ax a −x với x∈(0;a 2) áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy VS ABCD. lớn x=a Suy SO=a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi
đó: ; ;0 , ; ;0 , ; ;0 , (0;0; )
2 2
a a a
B a − C− a − D− a S a
Gọi ϕgóc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) cos ϕ =
*****
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(11)11 3 Hình lăng trụ tam giác
Bài (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 có
1
, ,
AB=a AC= a AA = a BAC=120 o Gọi M trung điểm cạnh CC1.Chứng minh MB⊥MA1 tính khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (A BM1 )
Giải:
a) Kẻ AO⊥BC Ta có
2
4 .2 cos120o
BC = a + a − a a =a
.sin120 21
.sin120
7
o
o AB AC a
AO BC AB AC AO
BC
= ⇒ = =
2
2 2 21
;
49
5
=
a a
OB AB AO a
a
OC BC OB
= − = − =
= −
Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi
1
21
;0;0 , 0; ;0 ,
7
5 21
0; ; , ;0;
7
a a
A B
a a
M a A a
−
Ta có 1 21 5; 7; , (0; 7; )
7
a a
MA = a MB= a −a
2
1 5 1
MA MB= a − a = ⇒MA ⊥MB⇒MA ⊥MB
a 2a
z
x y
C1
A1 B1
B
A
b) Phương trình mặt phẳng (A BM1 ) là: 12 15 21
a
x y z
− − − =
Khoảng cách từ A đến (A BM1 ) là: ( , ( 1 )) a d A A BM =
Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụđứng ABC A B C 1 1 1 có tất cạnh a, M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥B C1 tính khoảng cách hai đường thẳng BM B C1
Gợi ý:
Gọi O trung điểm BC chon hệ trục tọa độ Oxyz có tia Oxchứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa trung điểm B C1 1 (xem hình vẽ) Khi đó:
1
3
0; ;0 , 0; ;0 , ;0; 0; ;
2 2 vµ
a a a a a
B C M B a
− −
Ta có (0; ;0 ,) 3; ; , 1 (0; ;0 )
2 2
a a a
BC = a BM = B C = −a
+
2
1
2
a a
BM B C= − + = ⇒BM ⊥B C
a a
a z
x
y O
C1 B1
A1
A
B C
3
1 2
1
3
, 30
2
( , )
10 10
,
2 a
BM B C BC a
d BM B C
a BM B C
= = =
+
2
2
3
, ; ;
2
a a
BM B C a
= − −
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(12)Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009) Cho hình lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB =a AA, '=2 , 'a A C =3 a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A C' ', I giao
điểm AM A C' Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (IBC)
Giải: Ta có
2 2
' ' 5;
AC = A C −AA =a BC= AC −AB = a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡B, tia Oxchứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó:
(0;0;0), ( ;0;0), (0; ;0), ; ;
a
B A a C a M a a
Gọi I x y z( ; ; ), 2 ;2 ;4
3 3
a a a
IA= − IM ⇒ I
Thể tích khối tứ diện IABC là:
3
1
,
6
IABC
a a
V = BA BC BI = =
a 2a
x
y z
3a I
M
C'
A' B'
B
A
C
+ Gọi n
vectơ pháp tuyến mặt phẳng (IBC) Khi
2
8
, ;0;
3
a a
n=BI BC= −
phương với
( )
' 2;0;1 n = −
Mặt phẳng (IBC) qua B có vectơ pháp tuyến n'= −( 2;0;1)
nên có phương trình: 2x z
− + = Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) ( )
2
| |
, ( )
5 ( 2)
a a
d A IBC = − =
− +
Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có độ dài cạnh bên ,a đáy ABC tam giác vuông A, AB=a AC, =a 3và hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ABC' cosin góc hai
đường thẳng AA' ' '.B C Giải:
+ Gọi O trung điểm BC, H trung điểm AB, K trung
điểm AC OHAK hình chữ nhật Ta có:
2
2 2
2 , ,
2
' '
BC
BC AB AC a OA a
OA AA OA a a a
= + = = =
= − = − =
2
2 2
2
2 2
3 ;
4
3
4
a a
OH OA AH a
a a
OK OA AK a
= − = − =
= − = − =
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Oxchứa H, tia Oy chứa K tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó:
x
y z
K H
O
C' B'
A'
A
B C
( ) 3
' 0;0; , ; ;0 , ; ;0 , ; ;0
2 2 2
a a a a a a
A a A B − C−
+ Thể tích khối chóp A ABC'
3 3
'
1 3
' , ' '
6 2
A ABC
a a a
V = A A A B A C = − − =
+ BC = −( a 3; ;0 a )
Gọi ϕ góc AA' B C' ' Khi đó: cos cos( ', ) '
'
AA BC AA BC
AA BC
ϕ = = =
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(13)13
Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng B, góc ACB=60o, biết AA'=BA'=a 7, mặt bên (ABB A' ') vuông góc với mặt phẳng (ABC) Mặt phẳng (ACC A' ') tạo với (ABC) góc 60 o Tính thể tích khối lăng trụđã cho
Gợi ý:
+ Gọi O trung điểm AB, M trung điểm AC Khi A O' ⊥ AB A O, ' ⊥OM OM, ⊥ AB
Đặt OA=x>0,khi ' 2; x OA = a −x OM =
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Oxchứa A, tia Oy chứa M tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó:
( 2)
( ;0;0), 0, ;0 , ' 0;0;
3 x
A x M A a −x
Theo giả thiết cos
2 x a
ϕ = ⇒ =
Suy , ; '
3 a
AB= a BC= OA =a Thể tích khối lăng trụ cho
3
1
' '
2
ABC
a
V =S OA = AB BC OA = a a = a
x
z
y M O
C' A'
B'
B A
C
Bài (Trích đề dự bị – ĐH Khối D năm 2007) Cho lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 đáy ABC tam giác vuông, AB= AC =a AA, 1 =a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA BC1 1
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡ A, tia Oxchứa B, tia Oy chứa C tia Oz chứa A’ (xem hình vẽ) Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , ;0; ,
2
0; ; , 0;0; , ; ;
2 2
B a C a A a B a a
a a a a
C a a M N
+ ; ;0 , 1 (0;0; ,) 1 ( ; ; ) 2
a a
MN = AA = a BC = −a a a
1
1
MN AA
MN AA
MN BC =
⇒ ⊥
= MN ⊥BC1 MN
đường vng góc chung AA1 BC1
a
a z
x
y N
M
C1 B1
A1
A B
C
Tính thể tích khối chóp MA BC1 1
1
3
2 12
MA BC
a
V =
Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2008) Cho lăng trụđứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC =a AA, '=a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' khoảng cách hai đường thẳng AM B C, '
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O≡B, tia Oxchứa A, tia Oy chứa C tia Oz chứa B’ (xem hình vẽ) Khi đó:
( ;0;0 ,) (0;0;0 ,) (0; ;0 ,) '( ;0; , ' 0;0;) ( ,) (' 0; ; ,) 0; ;0 a
A a B C a A a a B a C a a M
+ Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' V =a3
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(14)+ Ta có:
( ) ( )
2
2
; ;0 , ' 0; ; , ' ;0;
2
2
, ' ; 2;
2 a
AM a B C a a AB a a
a
AM B C a a
= − = − = −
= − − −
+ Khoảng cách hai đường thẳng AM B C, '
( , ' ) , ' '
7 , '
AM B C AB a
d AM B C
AM B C
= =
a
a z
x
y M
C'
A' B'
B A
C
Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2009) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có BB'=a; góc
đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60o; tam giác ABC vuông tại C BAC=60o Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ
diện A ABC' theo a Gợi ý:
Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt AC =x, suy BC =x 3,AC=2 x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có
( ;0;0 ,) (0; 3;0 ,) (0;0;0 ,) ; 3;0
3
x x
A x B x C G
2
2 13
; ;0
3 3
13
'
9
x x x
BG BG
x
GB a
−
= ⇒ =
⇒ = −
a
x y
z
G B'
C' A'
A
C
B
Sử dụng giả thiết góc BB’ mặt phẳng (ABC) B BO' =60o suy 13 26 a x=
Vậy 13; 39; '
26 26
a a a
AC = BC = OB = Thể tích khối tứ diện A ABC'
3 '
9 208
A ABC
a
V =
Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010) Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có AB=a, góc (A’BC) (ABC) 60o Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụđã cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
Gợi ý:
Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho, tia Oxchứa A, tia Oy chứa B tia Oz song song với tia AA’ (xem hình vẽ) Khi đó: 3;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0
2 2
−
a a a
A B C
3 3
' ;0; , ;0;
2
a a a a
A G
Thể tích khối lăng trụđã cho là:
3 ' ' '
3
ABC A B C
a
V =
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC 12
a R=
z
x
y
G
O
C'
B' A'
A
B
C www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(15)15
K2pi.net - 2013: Cho hình lăng trụđứng ABC.A’B’C’ có BC = 2AB, AB⊥BC Gọi M, N trung điểm A'B' BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B'C
7
a
Góc hai mặt phẳng (AB'C) (BCC'B') 60o Tính thể tích khối chóp MABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a
Giải:
M
N
C'
B'
A
B
C A'
x y
z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
điểm B
Đặt AB = x (x>0) BC = 2x
Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0) A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0;
2
x
; y)
( )
0; ; , ' ;0;
2
x
AM= − y B C= x −y
2
; ' ;2 ;
2
xy
AM B C xy x
⇒ =
(2 ; ;0)
AC= x −x
( , ' ) ; '
; '
AM B C AC d AM B C
AM B C
=
2
2 2
2
2
7 17
4
x y a xy a
x y x y
x y x
−
⇔ = ⇔ =
+
+ +
(1)
( )
' 0; ;
AB = −x y
AC=(2 ;x −x;0)
nên ( 2)
', ;2 ;2
AB AC xy xy x
=
nên (AB'C) có vectơ pháp tuyến
( ;2 ;2 )
n= y y x
(vì n
phương với AB AC', ) (BCC'B') có vectơ pháp tuyến j =(0;1;0)
( ) 2
2
1 2 11
cos ( ' ),( ' ') 16
2 5 4
n j y
AB C BCC A y x y x y
n j y x
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =
+
(2)
Thế (2) vào (1), giải phương trình ta kết
11
a
y= x=2a
Vậy
3
1 16 11
.AA'=
3 11 33
MABC ABC
a a
V =S a a =
☺☺☺☺
• Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng:
( ) 2
1
: 2
S x +y +z + a x+ by+ cz+d= với tâm ( ) 2
1; ; ,
T −a − −b c R= a +b +c −d
Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ:
2
2
2
1
2
1
3
16 11
11 11
31
4 13
11
4 11
8
16
a a
a a c d
b a
a a b d a R a
c a a a d
d a
a a a d
= −
+ + =
= −
+ + = ⇔ ⇒ =
= −
+ + =
=
+ + =
☺☺☺☺
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa
(16)4 Lăng trụ tứ giác
Bài (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a AD, =a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao
điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD A1 1) (ABCD) 60o Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từđiểm B1 đến mặt phẳng (A BD1 ) theo a
Gợi ý:
Gọi O giao điểm AC BD Chọn hệ trục tọa
độ Oxyz hình vẽ Khi đó:
3 3
; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
2 2 2
3 ; ;0
2
a a a a a a
A B C
a a
D
− − −
−
Từ giả thiết góc hai mặt phẳng (ADD A1 1) (ABCD) 60o tìm 1 0;0;
2
a
A
Suy
1
3
0; ;
2
a B −a
Thể tích khối lăng trụđã cho
1 1
3
3
ABCD A B C D
a
V =
a
z
x
y O
D1 C1
B1
C B
A D
A1
Khoảng cách từđiểm B1 đến mặt phẳng (A BD1 ) ( 1, ( 1 )) a d B A BD =
D12: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Giải:
C D
A
C'
B' A'
D'
B x
y z
Từ giả thiết ta tính '
a AC= AA =
2
a AB=
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với
điểm A
Ta có: A(0;0;0), 0; ;0
a B
, 2; ;0
a a C
, 2;0;0
a D
' 0;0;
a A
, ' 0; ;2
a a B
, ' 2; ;
a a a C
, ' 2;0;
a a
D
0; ;0
a AB=
; ' 0; ;
2
a a AB =
; ' ; ;
2 2
a a a AC =
2
; ' ;0;0
2
a
AB AB
= ⇒
3
; ' '
4
a AB AB AC
=
' '
1
; ' '
6 48
ABB C
a V AB AB AC
⇒ = =
• ;0;0
2
a CB= −
, ' 0; ;
2
a a CD = −
( )
2
; ' 0; ; 0; 2;1
4 2
a a
CD CD n
⇒ = ⇒ =
VTPT mặt
phẳng (BCD’) nên (BCD’): 2
a
y+ −z = ( )
2
2
2.0
2 6
,( ')
6
( )
a
a d A BCD
+ −
⇒ = =
+
☺☺☺☺
HẾT
www.MATHVN.com - Nguyễn Trung Nghĩa