Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Nguyễn Tăng Vũ Tôi là một người không giỏi tính toán, và thực sự ít sử dụng phương pháp này trong việc giải toán hình học, tuy nhiên thầy

GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Nguyễn Tăng Vũ

Tôi là một người không giỏi tính toán, và thực sự ít sử dụng phương pháp này trong việc giải toán hình học, tuy nhiên thầy tôi là thầy Trần Nam Dũng thì lại rất thích phương

pháp này, và thầy đã giải bài toán “Tìm quỹ tích những điểm M cách đều điểm F và đường

thẳng d cho trước” khi thầy học lớp 9 với vốn công cụ còn rất hạn chế Với kiến thức lớp

9, nếu ta dùng phương pháp tổng hợp sẽ không đoán được nó là đường nào vì ta chỉ biết hai quỹ tích cơ bản là đường thẳng và đường tròn Nhưng khi dùng phương pháp tọa độ thì

ta sẽ tìm được phương trình biểu diễn quỹ tích điểm M và đó là phương trình của một Parabol

Các bạn đã quen với hình học suy luận thì đôi khi không thích đến phương pháp dựa

nhiều vào tính toán, tuy nhiên, thế mạnh của Phương pháp tọa độ là giúp ta giải quyết

được các bài toán quỹ tích khó, hoặc các bài chứng minh mà ta ko giải được bằng suy luận, phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả trong lúc còn ít thời gian, vì dù tính toán có hơi rắc rối nhưng không cần phải suy nghĩ nhiều Cái hay của phương pháp này theo tôi là nó không phụ thuộc vào cách chọn trục, nhưng để bài toán có lời giải đẹp thì

ta phải chọn trục một cách khéo léo và ít tham số

Trong bài viết nhỏ này tôi chỉ nêu một vài ví dụ ứng dụng nhỏ của phương pháp tọa

độ và hầu hết là chọn hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Bạn sẽ không tìm thấy hệ trục affine hay là các bài toán liên quan đến các đại lượng có hướng trong đây

I Tóm tắt kiến thức

1 Phương trình đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(x0,y0) và có vectơ pháp tuyến n A B, 

là : A x x0B y y00

Phương trình tham số của đường thẳng 0

0







chắn)

2 Phương trình đường tròn, trục đẳng phương của hai đường tròn

xa  yb R

xa  yb R , khi đó phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn là:

2 a a x2 b b yR R 0

3 Phương trình các đường Conic

2

y  px

Phương trình chính tắc của Elip:

2 2

2 2 1

Phương trình chính tắc của Hyperbol:

2 2

2 2 1

II Ví dụ áp dụng

1 Các bài toán chứng minh các tính chất hình học

Ví dụ 1 Cho hai hình vuông ABCD và AB’C’D’ cùng cùng chiều Chứng minh rằng các

đường thẳng BB’, CC’ và DD’ đồng quy

Lời giải

Bài toán này đề bài khá đơn giản, nhưng chứng minh bằng phương pháp tổng hợp thì cũng khá rắc rồi, và trong hình có nhiều yếu tố vuông góc nên ta có thể nghĩ tới cách giải dùng tọa độ Và với bài này ta có thể thấy ngay cách xây dựng hệ trục để bài toán được đơn giản hơn

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0, 0), B(0,1), D(1, 0), suy ra C(1, 1) Gọi B(a, b) vì hai hình vuông cùng chiều nên ta suy ra D’(b, -a), C(a+b, b-a) Trong đó (a, b) ≠ (0, 1)

Khi đó phương trình các đường thẳng

Đường thẳng CC’: (1 + – )( − 1) + ( + – 1)( – 1) = 0 hay ( + 1 −

Ta có (1) + (3) được phương trình (2) Do đó BB’ và DD’ cắt nhau tại (x0, y0) thì (x0, y0) cũng thỏa phương trình của đường thẳng CC’ Vậy 3 đường thẳng BB’, CC’ và DD’ đồng quy

Chú ý Cho 3 đường thẳng lần lượt có phương trình

1 1 1 0, 2 2 2 0, 3 3 3 0

a x b y c   a x b y c   a x b y c   Khi đó 3 đường thẳng trên đồng quy khi

và chỉ khi định thức:

0



Trong đó:

2 2

3 3 3 3 3 3

a c

- Cách chọn độ dài hình vuông bằng 1 là phương pháp chuẩn hóa, nhằm giảm các tham số rất có lợi trong việc tính toán

Ví dụ 2 (Thi vào chuyên Toán PTNK năm học 2009 – 2010) Cho đường tròn  O tâm

O , đường kính AB C là một điểm thay đổi trên đường tròn  O sao cho tam giác ABC

không cân tại C Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ C Hạ HE HF ,

vuông góc với AC BC tương ứng Các đường thẳng , EF và AB cắt nhau tại K Gọi D

là giao điểm của  O và đường tròn đường kính CH , DC Chứng minh rằng K, D, C

thẳng hàng

Bài này hình vẽ khá rắc rối và có thể ít khi nào các bạn nghĩ tới phương pháp tọa độ

mà nghĩ tới các phương pháp khác, tuy vậy nếu biết cách chọn trục một cách khéo léo thì dùng phương pháp tọa độ ta giải bài toán này mà không phải tính toán quá nhiều Lời giải

Đối với bài toán này, ta chọn trục như sau:

A(-1+a)

E

F C(0;b)

O(a;0)

Khi đó:

Phương trình đường tròn (I): x2 + (y - b/2)2 = b2/4

Phương trình đường tròn (O): (x-a)2 + y2 = 1

Đường thẳng CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (O) nên có phương trình là:

- 2ax + a2 + by – b2/4 = 1 – b2/4  2ax – by + b2 = 0

Phương trình đường thẳng AC: x/(a – 1) + y/b = 1  bx + (a – 1)y = b(a – 1)

Phương trình đường thẳng HE: (a – 1)x – by = 0

Suy ra tọa độ điểm E: (-b2/2; b(1 – a)/2)

Suy ra phương trình đường thẳng EF:

2

/ 2

/ 2

b





 Suy ra tọa độ giao điểm K của EF và AB là K(- b2/2a; 0)

Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa phương trình đường thẳng CD, suy ra K thuộc CD

Vậy 3 điểm K, C, D thẳng hàng ■

Nhận xét Bài toán trên là bài toán khá hay và có nhiều cách giải Trong cách giải bằng

phương pháp tọa độ như trên nhận xét CD là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) là khá quan trọng, giúp ta giảm nhiều trong việc tính toán Ý tưởng này cũng thường hay được sử dụng để viết phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn hay

là đường thẳng đi qua hai tiếp điểm

Ví dụ 3 (China TST 1996) Cho tam giác ABC, đường tròn đường kính BC cắt AB, AC

lần lượt tại E và D Gọi F, H là hình chiếu của D và E trên BC Gọi M là giao điểm của EF

và DG Chứng minh rằng AM ⊥ BC

Nhìn vào đề bài có nhiều yếu tố vuông góc và hình vẽ thì thấy bài toán này rất thuận lợi trong việc áp dụng phương pháp tọa độ

Lời giải

Ta chọn hệ trục như sau Chân đường cao hạ từ A là H làm gốc tọa độ, A(0,1), B(0,b) và C(0,c)

Tọa độ điểm

2 2

2 , 2

D

và

2 2

2 , 2

E

Suy ra tọa độ điểm

Phương trình đường thẳng DG: 2 2 2 2

1

cb b x

y b







Suy ra giao điểm của DG với trục tung là M có là tung độ

  

   2 2 

1

1 1

M

y

bc



Ta thấy biểu thức trên đối xứng với b, c nếu gọi M’ là giao điểm của EF với trục tung thì M’ cũng có tung độ như trên Do đó EF, DG cắt nhau tại một điểm trên trục tung, hay AM

⊥ BC

2 Chứng minh đường đi qua điểm cố định

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC vuông tại A không phải vuông cân, trên cạnh AB và AC lấy M,

N sao cho BM = CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như sau: A(0, 0), B(0, b) và C(1, 0) M(0, m) thay đổi trên cạnh

AB với 0 < m < b ≠ 1

Ta có MB = CN, suy ra N(1 + m – b, 0) Suy ra trung điểm P của MN có tọa độ

1

,

m b m

P   

  và MN 1 m b , m

Suy ra phương trình đường trung trực của MN là :