GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Nguyễn Tăng Vũ Tôi người không giỏi tính toán, thực sử dụng phương pháp việc giải toán hình học, nhiên thầy thầy Trần Nam Dũng lại thích phương pháp này, thầy giải toán “Tìm quỹ tích điểm M cách điểm F đường thẳng d cho trước” thầy học lớp với vốn công cụ hạn chế Với kiến thức lớp 9, ta dùng phương pháp tổng hợp không đoán đường ta biết hai quỹ tích đường thẳng đường tròn Nhưng dùng phương pháp tọa độ ta tìm phương trình biểu diễn quỹ tích điểm M phương trình Parabol Các bạn quen với hình học suy luận không thích đến phương pháp dựa nhiều vào tính toán, nhiên, mạnh Phương pháp tọa độ giúp ta giải toán quỹ tích khó, chứng minh mà ta ko giải suy luận, phương pháp cứu cánh ta bí, hiệu lúc thời gian, dù tính toán có rắc rối không cần phải suy nghĩ nhiều Cái hay phương pháp theo không phụ thuộc vào cách chọn trục, để toán có lời giải đẹp ta phải chọn trục cách khéo léo tham số Trong viết nhỏ nêu vài ví dụ ứng dụng nhỏ phương pháp tọa độ hầu hết chọn hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Bạn không tìm thấy hệ trục affine toán liên quan đến đại lượng có hướng I Tóm tắt kiến thức Phương trình đường thẳng Phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm M(x0,y0) có vectơ pháp tuyến n A, B : A x x0 B y y0 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk x x0 at y y0 bt Phương trình tham số đường thẳng Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(a, 0) B(0, b) là: x y (PT đoạn a b chắn) Phương trình đường tròn, trục đẳng phương hai đường tròn 2 Phương trình đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là: x a y b R 2 2 Cho hai đường tròn (C1): x a1 y b1 R12 (C2): x a2 y b2 R22 , phương trình trục đẳng phương hai đường tròn là: a1 a2 x b1 b2 y R12 R22 Phương trình đường Conic Phương trình tắc Parabol: y px Phương trình tắc Elip: x2 y2 1 a b2 Phương trình tắc Hyperbol: x2 y 1 a b2 II Ví dụ áp dụng Các toán chứng minh tính chất hình học Ví dụ Cho hai hình vuông ABCD AB’C’D’ cùng chiều Chứng minh đường thẳng BB’, CC’ DD’ đồng quy Lời giải Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk Bài toán đề đơn giản, chứng minh phương pháp tổng hợp rắc rồi, hình có nhiều yếu tố vuông góc nên ta nghĩ tới cách giải dùng tọa độ Và với ta thấy cách xây dựng hệ trục để toán đơn giản Chọn hệ trục tọa độ cho A(0, 0), B(0,1), D(1, 0), suy C(1, 1) Gọi B(a, b) hai hình vuông chiều nên ta suy D’(b, -a), C(a+b, b-a) Trong (a, b) ≠ (0, 1) Khi phương trình đường thẳng Đường thẳng BB’: (1 − ) Đường thẳng CC’: (1 + ) + ( + − 1) – + ( – 1) = hay (1 − )( − 1) + ( + ) + = (1) – 1)( – 1) = hay ( + − = (2) Đường thẳng DD’: ( − 1) + –1 = hay + ( − 1) = (3) Ta có (1) + (3) phương trình (2) Do BB’ DD’ cắt (x0, y0) (x0, y0) thỏa phương trình đường thẳng CC’ Vậy đường thẳng BB’, CC’ DD’ đồng quy Chú ý Cho đường thẳng có phương trình a1 x b1 y c1 0, a2 x b2 y c2 0, a3 x b3 y c3 Khi đường thẳng đồng quy định thức: a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a1 b1 c1 Trong đó: a2 b2 c2 a1 a3 b3 c3 b2 c2 b3 c3 b1 a2 c2 a3 c3 c1 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk a2 b2 a3 c3 - Cách chọn độ dài hình vuông phương pháp chuẩn hóa, nhằm giảm tham số có lợi việc tính toán Ví dụ (Thi vào chuyên Toán PTNK năm học 2009 – 2010) Cho đường tròn O tâm O , đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn O cho tam giác ABC không cân C Gọi H chân đường cao tam giác ABC hạ từ C Hạ HE , HF vuông góc với AC , BC tương ứng Các đường thẳng EF AB cắt K Gọi D giao điểm O đường tròn đường kính CH , D C Chứng minh K, D, C thẳng hàng Bài hình vẽ rắc rối bạn nghĩ tới phương pháp tọa độ mà nghĩ tới phương pháp khác, biết cách chọn trục cách khéo léo dùng phương pháp tọa độ ta giải toán mà tính toán nhiều Lời giải Đối với toán này, ta chọn trục sau: C(0;b) F E A(-1+a) H O(a;0) B(1+a) H(0;0), O(0;a), A(-1+a), B(0;1+a) C(0;b) Khi b2 = |(-1+a)(1+a)| = – a2 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk Khi đó: Phương trình đường tròn (I): x2 + (y - b/2)2 = b2/4 Phương trình đường tròn (O): (x-a)2 + y2 = Đường thẳng CD trục đẳng phương hai đường tròn (I) (O) nên có phương trình là: - 2ax + a2 + by – b2/4 = – b2/4 2ax – by + b2 = Phương trình đường thẳng AC: x/(a – 1) + y/b = bx + (a – 1)y = b(a – 1) Phương trình đường thẳng HE: (a – 1)x – by = Suy tọa độ điểm E: (-b2/2; b(1 – a)/2) Suy phương trình đường thẳng EF: x b / y b / b 1 a / b / Suy tọa độ giao điểm K EF AB K(- b2/2a; 0) Dễ thấy tọa độ điểm K thỏa phương trình đường thẳng CD, suy K thuộc CD Vậy điểm K, C, D thẳng hàng ■ Nhận xét Bài toán toán hay có nhiều cách giải Trong cách giải phương pháp tọa độ nhận xét CD trục đẳng phương hai đường tròn (O) (I) quan trọng, giúp ta giảm nhiều việc tính toán Ý tưởng thường hay sử dụng để viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường tròn đường thẳng qua hai tiếp điểm Ví dụ (China TST 1996) Cho tam giác ABC, đường tròn đường kính BC cắt AB, AC E D Gọi F, H hình chiếu D E BC Gọi M giao điểm EF DG Chứng minh AM ⊥ BC Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk Nhìn vào đề có nhiều yếu tố vuông góc hình vẽ thấy toán thuận lợi việc áp dụng phương pháp tọa độ Lời giải Ta chọn hệ trục sau Chân đường cao hạ từ A H làm gốc tọa độ, A(0,1), B(0,b) C(0,c) + Khi phương trình đường thẳng AC: − Phương trình đường thẳng AB: − – = =0 Phương trình đường cao BD: − − =0 Phương trình đường cao CE: − − =0 bc c c bc cb b b bc Tọa độ điểm D , , E c 1 c 1 b 1 b 1 bc c cb b Suy tọa độ điểm F ,0,G ,0 c 1 b 1 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk cb b y Phương trình đường thẳng DG: b 12 bc c cb b c bc c2 1 b 1 c2 1 x Suy giao điểm DG với trục tung M có tung độ yM bc bc 1 c b bc 1 cb c bc b bc bc Ta thấy biểu thức đối xứng với b, c gọi M’ giao điểm EF với trục tung M’ có tung độ Do EF, DG cắt điểm trục tung, hay AM ⊥ BC Chứng minh đường qua điểm cố định Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A vuông cân, cạnh AB AC lấy M, N cho BM = CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Lời giải Chọn hệ trục tọa độ sau: A(0, 0), B(0, b) C(1, 0) M(0, m) thay đổi cạnh AB với < m < b ≠ Ta có MB = CN, suy N(1 + m – b, 0) Suy trung điểm P MN có tọa độ 1 m b m P , MN 1 m b, m 2 Suy phương trình đường trung trực MN : 1 m b x 1 m b m m y hay 2 Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu http://vuptnk.tk