Rèn luyện tư duy lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh khi giải một số bài toán hình học bằng phương pháp vec tơ

Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ A.Đặt vấn đề I Lời nói đầu: Trong chơng trình môn Toán nói chung bậc THPT nói riêng đa phần học sinh ngại học phân môn hình học, hứng thú say mê phần nhiều lý do: ngại vẽ hình, không chịu phát huy trí tởng tợng không gian,vv.Đội ngũ thầy cô giảng dạy cha tập trung cao độ cải tiến cách dạy cho tránh khô khan, nhàm chán Từ thực tế giảng dạy qua việc hớng dẫn chuyên đề Đổi chơng trình SGK bậc học THPT Sở GD&ĐT Thanh Hoá năm qua thực hành đề tài Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ II Thực trạng vấn đề nghiên cứu Thực trạng: Từ trớc đến việc học phân môn hình học t học sinh thờng dừng mức tơng tự hoá, cha có khả sáng tạo dựa lôgic Toán học Bắt đầu vào lớp 10 THPT học sinh đợc học đại lợng hình học làVec tơ, công cụ mạnh để sử dụng nghiên cứu giải vấn đề Hình học Nó giúp chọn phơng pháp mới, đờng giải số toàn hình học phẳng không gian Nó tạo nên tính đa dạng nhìn nhận toán, công cụ mạnh giúp giải nhiều lĩnh vực có hình học Kết thực trạng: Nhiều học sinh lúng túng việc sử dụng công cụ dẫn đến kết cao học phần phơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian Phạm vi nghiên cứu: Tôi áp dụng đề tài cho học sinh khối 10 khối 12 trờng THPT Yên Định Khối 12 cho lớp 12B1, 12B2, 12B4 năm học 2009-2010 Khối 10 cho lớp 10 B1, 10B3 năm học 20102011 B.Giải vấn đề I Các giải pháp thực hiện: Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ 1.1.Trang bị kiến thức vec tơ: Học sinh phải đợc trang bị kiến thức vectơ: Các định nghĩa, quy tắc, phép toán, tính chất Quy tắc điểm: A, B, C ba điểm không uuu r uuu r uuur gian ta có: AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành: Nếu tứ giác ABCD hình bình uuur uuur uuur hành ta có: OA + OC = OB 3.Tính chất trung điểm đoạn thẳng: Nếu M trung uuur uuur ur điểm đoạn thẳng AB MA + MB = O với điểm O uuur uuu r uuuu r có: OA + OB = 2OM Tính chất trọng tâm tam giác: Nếu G trọng tâm tam uuu r uuu r uuur ur giác ABC thìuGA + GB + GC = O với điểm O ta có uuur uuu r uuur uur OA + OB + OC = 3OG uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB CD = AB CD cos AB ;CD Tích vô hớng hai vec tơ: r Điềur kiện để hai vectơ phơng: vectơ a phơng với r r vectơ b(b o) r r k R : a = k.b ( ) Điều kiện ba điểm thẳng hàng: Điều kiện cầnuuvà đủ để ba u r uuur điểmphân biệt A, B, C thẳng hàng là: k R, k 0, AB = k.AC uuu r uuur uuu r uuur Điều kiện để hai vectơ vuông góc: AB CD AB.CD = Điềurkiện cần đủ để ba vectơ đồngr phẳng: Cho hai r vectơ a; bkhông phơng vectơ c Khi r r r điều kiện cần đủ để ba vectơ a; b;c đồng phẳng tồn r r r số thực m; n cho: c = ma + nb ( số m, n nhất) 1.2 Trang bị cho học sinh quy trình giải toán hình học băng phơng pháp vectơ Bớc 1: Lựa chọn hệ vectơ gốc; chuyển đổi điều kiện toán cho sang ngôn ngữ vectơ Bớc 2: Giải toán biến đổi hệ thức vectơ, tính toán, chứng minh ,vvdựa tính chất, hệ thức vectơ Bớc 3: Chuyển kết luận từ ngôn ngữ vectơ sang tính chất hình học tơng ứng Việc thực quy trình thờng qua hai giai đoạn: Giai đoạn 1: Chuẩn bị số yếu tố cần thiết cho việc thực quy trình, gồm số việc sau: Dạy học sinh biết thành lập từ điển véctơ từ từ điển biểu diễn mối liên hệ kiện hình học hệ thức véctơ Ví dụ: sau số từ từ điển véctơ Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ + Điểm a trùng với điểm B điều kiện sau đợc thực hiện: uuu r r a/ AB = uuur uuu r b/ Với điểm tuỳ ý OA = OB + Cho đoạn thẳng AB, M trung điểm AB uumột điều kiện sau đợc thực hiện: ur uuur a/ u AM = BM uur uuur r b/ MA + MB = uuuu r uuu r uuur c/Với điểm O tuỳ ý OM = (OA + OB) Từ điển véctơ giúp cho việc chuyển đổi kiện hình học sang ngôn ngữ véctơ chuyển kết luận véctơ thu đợc sang ngôn ngữ hình học tơng ứng Kinh nghiệm cho thấy rằng, học sinh chuyển kiện hình học ngôn ngữ véctơ tốt giải thích hình học ý nghĩa hệ thức véctơ Vì trình dạy học cần hớng dẫn học sinh rằng: Các ký hiệu véctơ kiện hình học không Việc dạy học sinh trình bày cách phát biểu hình học hệ thức véctơ có tác dụng bồi dỡng trí tởng tợng không gian cho học sinh Dạy cho học sinh biết sử dụng cách có ý thức phép biến đổi hai chiều hệ thức véctơ Ví dụ: Sau giới thiệu cho học sinh quy tắc gốc (đối với phép trừ) cần luyện cho học sinh biết sử dụng thành thạo quy tắc thông qua số dạng tập thực phép biến đổi hai chiều hệ thức véctơ, giúp học sinh khắc phục số nhợc điểm học tập kiến thức véctơ là: khai triển mọt véctơ theo số véctơ học sinh thờng dùng quy tắc tam giác (đối với phép cộng) mà không quen dùng quy tắc tam giác (cho phép trừ), thực phép biến đổi véctơ học sinh thờng chuyển phép trừ véctơ sang phép cộng véctơ trờng hợp áp dụng quy tắc tam giác phép trừ Một số dạng tập cần rèn luyện cho học sinh: Dạng 1: Khai triển véctơ thành hiệu hai véctơ chung gốc Dạng 2: Thay hiệu hai véctơ chung gốc véctơ 3.Dạy cho học sinh chọn hệ véctơ gốc thông qua việc phân tích đặc điểm kiện toán dựa vào trực giác học sinh.Gốc hệ véctơ gốccó thể điểm đặc biệt điểm chọn tuỳ ý, điểm véctơ thông thờng điểm biết Hệ véctơ gốc không thiết phải hai véctơ cộng tuyến mặt Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ phẳng ba véctơ không đồng phẳng trng không gian, mà số véctơ tuỳ thuộc vào đặc điểm toán mà ta xét Nh vậy: véctơ sở trùng phận hệ véctơ gốc Việc dạy học sinh trực giác phát đợc hệ véctơ gốc cần đợc tiến hành cách có chủ định học sinh tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ Ví dụ: Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý Chứng minh: uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB CD + BC.BD + CA.BD = Việc chứng minh hệ thức dựa ý tởng: biểu diễn véctơ vế trái theo hệ véctơ gốc, việc biến đổi vế trái chuyển biến đổi biểu thức vế trái theo hệ véctơ gốc đến điều cần phải chứng minh Hệ uuur uuu r uuur uuur véctơ gốc chọn { OA;OB;OC;OD} với O tuỳ ý Trong dạy học cần lu ý cho học sinh chọn gốc điểm A, B,C,D tìm hệ véctơ gốc tơng ứng Việc học sinh lựa chọn hệ véctơ gốc cần kết hợp chặt chẽ với việc dạy học sinh cách khai triển véctơ càn xét theo hệ véctơ gốc thông qua việc biểu diễn véctơ theo véctơ cộng tuyến, sử dụng quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp phép biến đổi véctơ Thực tế học cho thấy, nhiều học sinh gặp khó khăn cần biểu diễn véctơ theo véctơ cộng tuyến Chẳng hạn với toán: Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh a Trên DC, BB lần lợt lấy điểm M, N cho DN = BM = x (với x a) Chứng minh AC MN Thông qua việc theo dõi làm học sinh câu trả lời họ, ta thấy khó khăn mà học sinh gặp phải uuuu r x uuur a em biểu diễn DM = DC Để giúp học sinh khắc phục khó khăn trên, giao viên cần dạy học sinh số dạng tập đơn giản hệ véctơ gốc gồm véctơ hai véctơ Đồng thời làm cho học sinh nhận thức đợc diện toán đơn giản lời giải số tập phức tạp Ví dụ: Một số dạng tập sau: Dạng 1: Biểu diễn véctơ theo véctơ cộng tuyến Bài 1: Cho AB = a; điểm M uthuộc đoạn thẳng AB Đặt AM uuur uu r = x Hãy biểu diễn AM theo a, x, AB Bài 2: Cho ba điểm A, B, uM thẳng hàng; A năm M uuur uu r B Hãy biểu diễn AM theo a, x, AB Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ Sau dạy học sinh tập này, cần hớng dẫn để học sinh nhận thấy diện lời giải toán Dạng 2: Khai triển véctơ theo véctơ không cộng tuyến uuu r uuur Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, biểu diễn AB; AD uuur uuur theo AC; BD Bài 4: Cho tam giác ABC Gọi I điểm cạnh BC cho BIuu= k.IC uuuruuur r Tính AI theo hai véctơ AB;AC Sự tổ chức học sinh thch số hoạnt động nêu thông qua việc giải toán nâng dần mức độ khó khăn chuẩn bị cần thiết cho việc thực giai đoạn Giai đoạn 2: Dạy học sinh theo quy trình thông qua việc giải số tập trọng tâm chơng trình học trờng THPT Việc phân chia dạng tập dựa hai sở: dựa vào tính chất tập dựa vào công cụ để giải tập Việc thiết kế chuỗi tập theo chủ đề, việc bổ sung tập dựa vào phân tích cấu trúc hệ thống tập đợc trình bày sách giáo khoa sách tập II Một số ví dụ 1.Hớng dẫn học sinh chứng minh số định lý phơng pháp véctơ Nhìn lại sách giáo khoa đợc xây dựng đờng hình học tổng hợp, việc chứng minh định lý có phần phức tạp cồng kềnh Sử dụng phơng pháp véctơ cho phép trình bày cách chứng minh số định lý ngắn gọn, dễ hiểu, giúp học sinh tiếp thu củng cố kiến thức dễ dàng 1.1 Hớng dẫn học sinh chứng minh định lý cosin Việc chứng minh định lý đợc trình bày rõ sách giáo khoa, xin hớng dẫn học sinh để đến cách chứng minh nh Định lý: Trong tam giác ABC ta có: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A; b2 = a2 + c2 - 2ac cos B; c2 = a2 + b2 - 2ab cos C Giáo viên hớng dẫn học sinh nh sau: - Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại định lý Pitago (tam giác ABC vuông A a2 = b2 + c2 ) Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ - Hớng dẫn học sinh chứng minh định lý Pitago cánh sử dung kiến thức véctơ nh sau: +GV: Hệ thức Pitago viết dới dạng véctơ nh nào? ( uuuur uuuur uuuur BC2 = AC2 + AB2 ) + Hãy chứng minh hệ thức (Học sinh suy nghĩ tìm tòi hớng giải quyết) Nếu học sinh không trả lời đợc, giáo viên hớng dẫn tiếp: + Hãy biến đổi vế thành vế kia, chẳng hạn vế trái thành vế phải Chú ý: nhìnuuvào kết luận để biến đổi (kết ur uuu r luận phải xuất véctơ AC; AB ) Khi học sinh biến đổi nh sau: uuuur uuur uuuu r uuuur uuur uuu r uuuur uuuur uuuur VP = BC2 = (AC AB) = AC2 2AC.AB + AB2 = AC2 + AB2 - Nh định lý Pitago đợc chứng minh công cụ véctơ Bây ta nghiên cứu trình chứng minh để tìm hệ thức mở rộng Giả thiết ABC vuông đợc sử dụng chỗ trình chứng minh? ( ABC vuông uuur uuu r uuur uuu r AC AB AC.AB = uuur uuu r uuur uuu r - Nếu ABC sao? ( AC.AB = AC.AB.cos(AC; AB) = bc cosA uuuur uuuur uuuur - Vậy ta đợc hệ thức mở rộng gì? ( BC2 = AC2 + AB2 - 2AB.AC cosA hay a2 = b2 + c2 - 2bc cosA) - Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu định lý mở rộng định lý Pitago tự trình bày lại cách chứng minh Tất nhiên với định lý trên, giáo viên có nhiều cách khác để dẫn dắt học sinh chứng minh Chẳng hạn: Giáo viên nêu nội dung định lý, sau hớng dẫn để học sinh chứng minh trực tiếp nh sách giáo khoa trình bày Song thấy rằng, với cách dạy theo đờng quy nạp (mở rộng định lý Pitago) hấp dẫn học sinh qua hớng dẫn giáo viên học sinh đợc hoạt động cách tích cua cực, chủ động phát nh chứng minh định lý 1.2 Hớng dẫn học sinh chứng minh định lý Ba đờng cao tam giác đồng quy( Bài tập 7, T.52- SGK hình học nâng cao lớp 10) Đây định lý quen thuộc học sinh từ THCS Việc chứng minh phơng pháp vectơ phơng pháp hoàn toàn mới( cấp THCS học sinh cha đợc học khái niệm vectơ) Nội dung nh sau r Cho điểm A, B, C, D Chứng minh uuur uuu r uuur uuu uuur uuu r rằng: DA.BC + DB.CA + DC.AB = 0(*) Từ suy cách chứng minh định lý Ba đờng cao tam giác đồng quy Việc chứng minh hệ thức (*) có nhiều cách không khó.Tuy nhiên, từ kết để chứng minh định lý Ba đờng cao Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ tam giác đồng quy không dễ số học sinh Sau gợi ý hớng dẫn chứng minh : +H1 :Gọi H giao điểm hai đờng cao AM BN ABC yêu cầu utoán đợc phát biểu lại gì? ( Cần chứng uur uuu r minh CH AB hay CH.AB = 0) AC ) ta suy đợc +H2 :Từ giả thiết toán ( AH BC; BH uuur uuu r uuur uuur hệ thức vec tơ nào? Vì sao? ( AH.BC = 0; BH.AC = ) +H3: Đẳng thức (*) tìm liên hệ D H? Viết hệ thức liênuuurhệ mới? r uuur uuur uuu r uuur uuu ( HA.BC + HB.CA + HC.AB = 0(**) ) +H4: Từ hệ thức (**) suy định lý phải chứng minh? +H5: Định lý cho không ta thay Đờng cao đờng khác tam giác nh: Trung tuyến; Phân giác,vv? Đây loạt toán ứng dụng tính chất Tơng tự hoá toán học Sau việc chứng minh Ba đờng trung tuyến tam giác đồng quy; chứng minh khác xem nh tập áp dụng 1.3 Chứng minh định lý Ba đờng trung tuyến tam giác đồng quy Gọi G giao điểm hai trung tuyến AM; BN tam giác ABC; E trung điểm AB, ta cần chứng minh cho C; G; E thẳng hàng A E N G B C M uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r GA GB GM + GA = GN + GB (1) 2 uuuu r uuu r A, G, M thẳng hàng GM = k.GA (2) uuur uuu r (3) B, G, N thẳng hàng GN = nGB Ta có: MN = AB GN GM = ( ) Thay (2) , (3) vào (1) ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r r r uuu uuu k.GA + GA = nGB + GB k + ữGA = n + ữGB 2 2 ( 4) Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ uuu r n + uuu r GB Nếu k ( 4) GA = A, G, B thẳng hàng ( vô lí ) k+ r r uuur uuu uuuu GM = GA = AG 2 Vậy k = Từ ( 4) n = uuur u u u r 1 uuur GN = GB = BG 2 Vì E trung điểmcủa AB nên ta có: uuur uuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r GE = GA + GB = MG + NG = MC + CG + NC + CG = 2CG CA + CB 2 uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur = CG + CG CE = CG + EG = CG GE uuur uuur uuu r uuur uuur Vậy GE = CG GE 2GE = CG , hay ba điểm C, G, E thẳng hàng ( ( ) ) ( ) (Đpcm) Việc vận dụng chứng minh nhiều định lý khác nh : Định lý Ta let, định lý liên hệ độ dài trung tuyến độ dài cạnh tam giác, vv Rèn luyện tính chủ động, t sáng tạo, linh hoạt cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vectơ Cũng nh việc giải số toán phơng pháp toạ độ đề tài trớc trình bày.Một vấn đề đợc đặt hiển nhiên cho em là: Những toán hình học có dạng giải đợc phơng pháp vectơ? Dạng toán giải phơng pháp vectơ có lợi hơn: ngắn gọn hơn, dễ hiểu hơn, lời giải đẹp hơn,vvĐờng lối giải nh ? Trong thực tế vấn đề khó toán sơ cấp nói chung hình học nói riêng có phơng pháp toàn cho toán Tuy nhiên số tập chơng trình hình học cấp THPT dạng trung bình, yêu cầu không phức tạp nh: chứng minh số yếu tố, tính chất hình học, tính toán giá trị số biểu thức,vvNhững đối tợng học sinh khá, giỏi thầy cô giáo yêu cầu vấn đề phức tạp hơn, khó nh: chuyển dịch ngôn ngữ, thiết lập giả thiết, kết luận mới,Sau số dạng ví dụ kèm theo 2.1 Dạng 1: Chứng minh điểm trùng Ví dụ: Cho điểm A, B, C, D, E, F tuỳ ý, ba điểm thẳng hàng Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Quy trình giải toán nh sau: Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ Bớc 1: Chuyển đổi kiện, điều kiện cho toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Chọn Hệ vectơ gốc { OA;OB;OC;OD;OE;OF } với gốc O tuỳ ý Gọi G1; G2 lần lợt trọng tâm hai tamuuu giác MPR NQS u r uuur uuur uuuur OM + OP + OR uuur uuur uuu r uuuur ON + OQ + OS G2 trọng tâm tam giác MPR OG2 = uuu r uuu r uuuu r OA + OB M trung điểm AB OM = uuur uuur uuur OB + OC N trung điểm BC ON = uuur uuur uuur OC + OD P trung điểm CD OP = uuur uuur uuur OD + OE Q trung điểm DE OQ = uuur uuur uuur OE + OF R trung điểm EF OR = uuu r uuur uuu r OA + OF S trung điểm FA OS = uuuur uuuur G1 G2 OG1 = OG2 G1 trọng tâm tam giác MPR OG1 = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Bớc 2: Thực yêu cầu toán Chứng minh hệ thức uuuur uuuur (9) cách biểu diễn vectơ OG1;OG2 theo hệ vectơ gốc để so sánh vectơ uuuur Thay (3); (5); (7) vào (1) ta có: OG1 = (10) uuuur Thay (4); (6); (8) vào (2) ta có: OG2 = r uuu r uuur uuur uuur uuur uuu OA + OB + OC + OD + OE + OF ( ) r uuur uuur uuur uuur uuur uuu OA + OB + OC + OD + OE + OF ( ) (11) uuuur uuuur Từ (10) (11) OG1 = OG2 Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng: uuuur uuuur OG1 = OG2 G1 G2 2.2 Dạng 2: Tính khoảng cách hai đờng thẳng chéo Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD vuông góc với đôi Biết AB = 1; BC = BD; CD = 2 Gọi M, N lần lợt trung điểm BC CD Tính khoảng cách AM BN Bớc 1: Chuyển giả thiết, kết luận toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vec tơ Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ Kí hiệu EF đờng vuông góc chung AM BN uuu r uuur uuu r uuu r r uuur r uuu r r Chọ B gốc, hệ vectơ gốc { BC; BD; BA} Đặt BC = a; BD = b; BA = c r r r rr rr rr a = b = 2; c = 1; a.b = bc = c.a = uuur r uuu uuur uuu r uuur N trung điểm CD BN = BC + BD uuu r2 uuur E thuộc đờng thẳng AM x; AE = xAM uuu r uuur F thuộc đờng thẳng BN y; AE = y.AM uuu r uuur uuu r uuur EF AM EF AM = 0; EF BN EF BN = uuu r uuu r2 Tính EF = EF = EF M trung điểm BC BM = BC ( ) Bớc 2: Biểu diễn vectơ cần xét theo hệ vectơ gốc, biến đổi hệ thức vectơ theo yêu cầu toán uuur uuur uuu r r r uuu r uuur r r AM = BM BA = a c AE = x.AM = x.a xc 2 ( 1) uuur r r uuu r uuur r r BN = a + b BF = y.BN = ya + yb ( 2) 2 2 uuu r uuu r uuu r uuu r r r r + (x 1).c Từ (1) (2) EF = EA + AB + BF = (y x)a + yb 2 uuu r uuur x = EF AM = Từ giả thiết: uuur uuur ta tính đợc: EF BN = y= uuu r r r r 1 EF = a + b c 6 uuu r uuu r2 r r 1r EF = EF = a + b cữ = Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng uuu r 3 EF = EF = 3 2.3 Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh đẳng thức hình học đẳng thức vectơ Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, CD G trung điểm MN a) Chứng minh đờng thẳng AG qua trọng tâm A tam giác BCD Phát biểu kết luận tơng tự đờng thẳng BG, CG DG 10 Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ b) Chứng minh GA = GA Đây toán hình không gian, giải phơng pháp thông thờng học sinh gặp nhiều khó khăn Học sinh phải vẽ đờng phụ, hình vẽ phức tạp, lập đợc chơng trình giải phức tạp Tuy nhiên biết vận dụng phơng pháp vec tơ toán không khó Quy trình giải toán nh sau: Bớc 1: Chuyển đổi giả thiết, kết luận toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ uuu r uuur uuur A ; AB ; AC; AD} làm sở Ta có Chọ hệ { A M D G N C uuur r uuu uuur uuur uuur N trung điểm CD AN = AC + AD uuur uuur uuur uuu r uuur uuur AG = ( AM + AN ) = ( AB + AC + AD) ( 1) G trung điểm MN uuur uuu r uuur uuur A trọng tâm tam giác BCD AA ' = (AB + AC + AD) ( 2) uuu r uuur AG qua A A; G; A thẳng hàng AG = k.AA' M trung điểm AB AM = AB ( ) Bớc 2: Thực yêu cầu toán: uuur uuur Từ (1) (2) suy ra: AG = AA' Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng uuur uuur AG = AA ' A; G; A thẳng hàng AG = AA ' hay GA = GA 4 (đpcm) 2.4.Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng song song 11 Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ Ví dụ: Cho lăng trụ tam giác ABCDA1B1C1D1 Gọi M; N; E; F lần lợt trọng tâm tam giác AA1B1; A1B1C1; ABC; BCC1 Chứng minh NM // EF Quy trình giải toán: Bớc 1: Chuyển giả thiết, kết luận toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ uuur r uuu r r uuur r Chọn hệ { A; AA1 = a; AB = b; AC = c} uuur uuur uuur r r M trọng tâm tam giác AA1B1 AM = (AA1 + AB1) = (2a + b) N trọng tâm tam giác uuur uuur uuur uuuu r r r r A1B1C1 AN = AA1 + AB1 + AC1 = 3a + b + c 3 uuu r E trọng tâm tam giác ABC AE = uuu r F trọng tâm tam giác BCC1 AF = uuuu r uuu r MN // EF k : MN = k.EF ( ) ( ) uuu r uuur r r ( AB + AC ) = 13( b+ c) uuu r uuur uuuu r r r r ( AB + AC + AC ) = 13( a+ b+ 2c) Bớc 2: Thực yêu cầu toán: uuuu r uuur uuur Ta có: MN = AN AM = r uuu r uuu r r r uuuu r uuu r r r uuu a + c ; EF = AF AE = a + c MN = EF 3 ( ) ( ) Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng: uuuu r uuu r MN = EF MN // EF B1 N A1 C1 M B F E A C 2.5 Dạng 5: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoitâm O Biết 12 Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ SA = SC; SB = SD Chứng minh rằng: a) SO OA b) AC SD Bớc 1: Chuyển đổi kiện, điều kiện toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ uuu r uuur uuu r Chọn hệ vectơ sở { O;OA;OB;OS} uur uuu r uuu r uur uuur uuu r uuur uuu r Ta có: SA = OA OS; SC = OC OS = ( OA + OS) uur uur Từ giả thiết toán SA = SC SA2 = SC2 SA = SC uuur uuu r OA OS OA.OS = (2) uuur uuu r AC SD AC.SD = ( 3) ( 1) Bớc 2: Thực yêu cầu toán: Ta chứng minh (2) cách biến đổi (1) để xuất tích uuur uuu r OA.OS uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu r Vì SA = SC SA2 = SC2 ( OA OS) = ( OA + OS) OA.OS = 0( 5) 2 uuur uuu r Chứng minh (3) cách biểu diễn vectơ AC; SD qua hệ uuur uuu r vectơ sở, sau ta tính tích AC.SD uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r Ta có AC = 2OA; SD = OD OS AC.SD = 2OA ( OD OS) = Bớc 3: Chuyển kết luận vectơ sang tính chất hình học tơng ứng: uuur uuu r a) OA OS = OA OS uuur uuu r b) AC.SD = AC SD S A B D O C Một số tập đề nghị: 13 Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ 3.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết : SA = SC; SB = SD Chứng minh rằng: SO (ABCD); AC CD 3.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N lần lợt trung điểm SA, SD a) Chứng minh mp( OMN) // mp( SBC) b) Gọi P, Q lần lợt trung điểm AB ON Chứng minh: PQ // mp(SBC) 3.3 Chứng minh tổng bình phơng tất đờng chéo hình hộp tổng bình phơng tất cạnh hình hộp 3.4 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b; AD = BC = c a) Chứng minh đoạn nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ diện đoạn vuông góc chung hai cạnh Tính độ dài đoạn vuông góc chung b) Tính cosin góc hợp hai đờng thẳng AC BD 3.5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đờng tròn đờng kính AD = 2a có cạnh SA vuông góc với đáy (ABCD); SA = a a) Tính khoảng cách từ A B đến mp(SCD) b) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AD đến mp(SBC) II Biện pháp thực kết quả: Đề tài đợc thực hai năm học Năm học 2009-2010 cho lớp 12B1; 12B2; 12B4 trờng THPT Yên Định Năm học 2010-2011 cho lớp 10B1, 10B3 trờng THPT Yên Định Qua khảo sát thu đợc kết nh sau: Bảng kết năm học 2009-2010 Lớp Giỏi SL % 30/55 54,5 20/50 40,0 10/48 20,8 Kết 12B1 12B2 12B4 Khá SL % 18/55 32,8 25/50 50,0 15/48 31,3 TB SL 7/55 5/50 20/48 % 12,7 10,0 41,6 Y, SL % 0 0 3/48 6,3 Bảng kết năm học 2010-2011 Lớp Kết Giỏi Khá TB 14 Y, Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ SL % SL % SL % SL % 10B1 35/47 74,5 10/47 21,2 2/47 4,3 0 10B3 20/48 41,6 15/48 31,3 13/48 27,1 0 C Kết luận Dạy học phân môn hình học khó, dạy cho học sinh say mê, hứng thú,tìm tòi, sáng tạo phơng pháp tiếp thu, lĩnh hội kiến thức đòi hỏi thầy, cô giáo phải đầu t cao Đây hớng góp phần nâng cao chất lợng học tập môn Toán nói chung phân môn hình học nói riêng Với tất yêu cầu việc khai thác hớng giảng dạy cần thiết góp phần đào tạo ngời Việt Nam công chấn hng đất nớc đờng hội nhập phát triển Bằng đề tài nhỏ hy vọng đồng nghiệp góp phần cải tiến, đổi phơng pháp giảng dạy môn Toán nói chung giảng dạy phân môn hình học nói riêng trờng THPT Yên Định mùa xuân 2011 Ngời viết LêKh ắc Khuyến 15 .. .Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ 1.1.Trang bị kiến thức vec tơ: Học sinh phải đợc trang bị kiến thức vectơ:... nh sau: Rèn luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ Bớc 1: Chuyển đổi kiện, điều kiện cho toán từ ngôn ngữ hình học tổng... luyện t lô gic, sáng tạo, phát huy tính tích cực, chủ động cho học sinh giải số toán hình học phơng pháp vec tơ Sau dạy học sinh tập này, cần hớng dẫn để học sinh nhận thấy diện lời giải toán Dạng