Tæng thêi gian nµy gÊp 4,5 lÇn thêi gian hai ®éi cïng lµm chung ®Ó xong c«ng viÖc ®ã... TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu.[r]
(1)Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình
A Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình:
B
íc 1 : LËp hƯ ph¬ng trình(phơng trình)
1) Chn n v tỡm iu kin ẩn (thông thờng ẩn đại lợng mà tốn u cầu tìm) 2) Biểu thị đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết
3) Lập hệ phơng trình, (phơng trình)biểu thị mối quan hệ lợng
B
ớc 2 : Giải hệ phơng trình, (phơng trình)
B
íc 3 : KÕt ln bµi toán
B Bài toán:
Dng toỏn quy v n v
Bài tập 1: Hai vòi nớc chảy đầy bẻ nớc 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ , vòi phải chảy đầy bể ? biết vòi chảy sau lâu vòi trớc h
Gi¶i
Gọi thời gian vịi đầu chảy chảy đầy bể x ( x > , x tính ) Gọi thời gian vịiớau chảy chảy đầy bể y ( y > , y tính ) vòi đầu chảy đợc
x ( bể ) vòi sau chảy đợc
y ( bể ) hai vòi chảy đợc
x +
1
y ( bÓ ) (1) Hai vòi chảy đầy bể 3h 45ph = 15
4 h
Vậy hai vòi chảy đợc 1: 15
4 =
15 ( bÓ ) ( 2)
Tõ (1) (2) ta có phơng trình 1x + 1y = 154
Mt khác ta biết chảy vòi sau chảy lâu vòi trớc giê tøc lµ y - x =
VËy ta có hệ phơng trình
1
15 x y y x
4 14 60
4 x x y x
2 30
4 x x y x 2,5 x x y x ( ) 10 2,5 ( ) 1,5 x a y x b y
Hệ (a) thoả mÃn đk ẩn Hệ (b) bị loại x <
Vậy Vòi đầu chảy đầy bể h Vòi sau chảy đầy bể 10 h
Bµi tËp 2:
Hai ngời thợ làm công việc Nếu làm riêng rẽ , ngời nửa việc tổng số làm việc 12h 30ph Nếu hai ngời làm hai ngời làm việc Nh , làm việc riêng rẽ công việc ngời thời gian ?
Gi¶i
Gọi thời gian ngời thứ làm riêng rẽ để xong nửa công việc x ( x > ) Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l;ẻ để xong nửa công việc y ( y > ) Ta có pt : x + y = 12
2 ( )
thời gian ngời thứ làm riêng lẻ để xong công việc 2x => ngời thứ làm đợc
(2)Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng lẻ để xong công việc 2y => ngời thứ hai làm đợc
2y c«ng viƯc
1 hai ngi lm c
6 công việc nên ta cã pt : 2x +
1 2y =
1
6 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt :
¿
x+y=121
2
2x+
1 2y=
1
⇔
¿x=5
y=15
2 ¿
x=15
2
y=5
¿{
¿
Vậy làm việc riêng rẽ công việc ngời làm 10 ngời làm giê
Bµi tËp 3:
Hai tổ niên tình nguyện sửa đờng vào xong Nếu làm riêng tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm xong việc ?
Gi¶i
Gọi thời gian tổ 1sửa xong đờng x( ) ( x > ) Thời gian tổ sửa xong đờng x + ( )
Trong tổ sửa đợc
x ( đờng ) Trong tổ sửa đợc
x+6 (con đờng ) Trong hai tổ sửa đợc
4 (con đờng )
VËy ta cã pt: x +
1
x+6 =
1
4 ⇔4(x+6)+4x=x(x+6)⇔x
−2x −24=0⇔ x1= 6; x2 =
-4
X2 = - < , không thoả mÃn điều kiện ẩn
Vậy tổ sửa xong đờng hết ngày tổ sửa xong đờng hết 12 ngày
Bµi tËp 4:
Hai đội công nhân làm đoạn đờng Đội làm xong nửa đoạn đờng đội đến làm tiếp nửa lại với thời gian dài thời gian đội đã làm 30 ngày Nếu hai đội làm 72 ngày xong đoạn đờng Hỏi đội làm ngày đoạn đờng ?
Gi¶i
Gọi thời gian đội làm x ngày ( x > ) thời gian đội làm việc x + 30 ( ngày ) Mỗi ngày đội làm đợc
2x ( đoạn đờng ) Mỗi ngày đội làm đợc
2(x+30) ( đoạn đờng ) Mỗi ngày hai đội làm đợc
(3)VËy ta cã pt :
1 2x
+
2(x+30)
=
72
Hay x2 - 42x - 1080 =
' = 212 + 1080 = 1521 = 392
x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < không thoả mÃn đk ẩn
Vy i làm 60 ngày , đội làm 90 ngày
Bµi 5:
Hai đội cơng nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch thời gian Đội phải trồng 40 , đội phải trồng 90 Đội hoàn thành công việc sớm ngày so với kế hoạch Đội hoàn thành muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc thời gian thời gian đội làm đội làm trông thời gian đội làm diện tích trồng đợc hai đội Tính thời gian đội phải làm theo kế hoạch ?
Gi¶i
Gọi thời gian đội phải làm theo kế hoạch x ( ngày ) , x > Thời gian đội làm x - ( ngày )
Thời gian đội làm x + ( ngày ) Mỗi ngày đội trồng đợc 40
x −2 (ha)
Mỗi ngày đội trồng đợc 90
x+2 (ha)
Nếu đội làm x + ngày trồng đợc 40
x −2 (x + 2) (ha)
Nếu đội làm x - ngày trồng đợc 90
x+2 (x - 2) (ha)
Theo đầu diện tích rừng trồng dợc hai đội trờng nên ta có pt:
40
x −2 (x + 2) = 90
x+2 (x - 2) Hay 5x2 – 52x + 20 = 0
/ = 262 – 5.20 = 576 ,
√❑ / = 24
x1 = 26 +24
5
= 10 ; x2 = 26−24
5 =
2
x2 < , không thoả mãn đk ẩn Vậy theo kế hoạch đội phải làm việc 10 ngày Bài 6: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm cơng việc xong
Gi¶i:
Gọi x , y lần lợt số ngời thứ ngời thứ hai làm xong cơng việc ( x > , y > )
Ta cã hÖ pt
¿
x+
1
y=
1 16
x+
6
y=
1
⇔
¿x=24
y=28 ¿{
¿
Bài 7 Hai vòi nớc chảy vào bể khơng chứa nớc sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy , vịi thứ chảy đợc
5 bể Hỏi vòi chảy
(4)Gi¶i :
Gọi x , y lần lợt số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bể ( x > , y > 0)
Ta cã hÖ pt
¿
x+
1
y=
1
x+
3
y=
2
⇔
¿3
x+
3
y=
1 2
x+
3
y=
2
⇔
¿x=10
y=15 ¿{
¿
x = 10 , y = 15 thoả mÃn đk ẩn Vậy vòi thứ chảy 10 giờ, vòi thứ hai chảy mét m×nh mÊt 15 giê
Bài tập 8 Hai ngời dự định làm công việc 12 xong Họ làm với đợc ngời thứ nghỉ, ngời thứ hai tiếp tục làm Do cố gắng tăng suất gấp đôi, nên ngời thứ hai làm xong cơng việc cịn lại 3giờ 20phút Hỏi ngời thợ làm với suất dự định ban đầu xong cơng việc nói trên?
Giải
Gọi x, y lần lợt thời gian ngời thợ thứ ngời thợ thứ hai làm xong công việc với suất dự định ban đầu
Một ngời thứ làm đợc 1x (công việc ) Một ngời thứ hai làm đợc 1y (công việc ) Một hai ngời làm đợc
12 (công việc )
Nên ta có pt : x +
1
y =
1
12 (1)
trong hai ngời làm đợc
12 =
3 (công việc )
Công việc lại -
3 =
3 ( công việc )
Năng suất ngời thứ hai làm y =
2
y (Công việc ) Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc lại 10
3 (giê) nªn ta cã pt
3 :
y =
10
3 hay
y
6 = 10
3 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt :
1 1
12 10
6
x y y
¿
x=30 y=20
¿{
¿
(5)Bài tập 9: Hai ngời A B làm xong công việc trơng 72 giờ, cịn ngời A C làm xong cơng việc trong 63 ngơ B C làm xong công việc 56 Hỏi ngời làm trong làm xong cơng việc >Nếu ba ngời làm hồn thành cơng việc giờ?
Gi¶i:
Gọi ngời A làm xong cơng việc x (giờ ), x > làm đợc x (cơng việc) Ngời B làm xong cơng việc y (giờ), y > làm đợc
1
y ( công việc) Ngời C làm xong cơng việc z (giờ ), z > làm đợc
z ( c«ng viƯc)
Ta cã hpt :
¿
x+
1
y=
1 72
x+
1
z=
1 63
y+
1
z=
1 56
⇔
¿x=504 =168
y=504
4 =126
z=504
5 =100 ¿{ {
¿
Nếu ba ngời làm yhì làm đợc x +
1
y +
1
z =
12
504 ( công việc )
Vậy ba ngòi cïng lµm sÏ hoµn thµnh cong viƯc 504
12 =42 (giê )
Bài tập 10: Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong cơng việc thời gian để đội II làm xong cơng việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong cơng việc Hỏi đội làm phải xong
Gi¶i :
Gọi thời gian đội I làm xong công việc x ( x > ) Suy thời gian đội II làm xong công việc x + Trong hai đội làm chung đợc:
x+
1
x+4=
2x+4
x(x+4) ( công việc ) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc x(x+4)
2x+4 (giê)
VËy ta cã pt : 2x + = 4,5 x(x+4)
2x+4 hay x
2 + 4x – 32 = x
1 = - ( lo¹i ) x2 = ( thoả
mÃn điều kiện ẩn )
Vậy Đội I làm xong cơng việc hết , đội hai hết
DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1 : Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đờng, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp tơ
(6)ta cã hƯ phơng trình :
3x+3y=156
y x=28
⇔
¿x=12
y=40
¿{
¿
Vậy vận tốc xe đạp 12 (km/h), vận tốc ô tô 40 (km/h)
Bài 2 : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận
tốc 35 km/h đến chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB thời gian dự định từ A đến B
HD : Gọi quãng đờng AB x(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B y (giờ) (x > ; y > 1)
Ta có hệ phơng trình :
¿
x
35−2=y
y − x
50=1
⇒
¿x=350 y=8
¿{
¿
Vậy quãng đờng AB 350(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B (giờ)
Bài 3 : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85 km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi dịng lớn vận tốc ca nơ ngợc dịng km/h vận tốc dòng nớc 3km/h HD : Gọi vận tốc thật ca nô xi dịng x(km/h), vận tốc ca nơ ngợc dịng y (km/h) (x,y > 3)
Theo bµi ta có phơng trình :
x+3(y −3)=9
5
3(x+3)+
3(y −3)=85
⇒
¿x=27
y=24
¿{
¿
Vậy vận tốc thật ca nô xuôi dòng 27(km/h), vận tốc ca nô ngợc dòng 24 (km/h)
Bài 4 : Hai đội công nhân làm cơng việc 16 ngày xong Nếu đội thứ làm ngày, đội thứ hai làm ngày hồn thành đợc
4 c«ng viƯc Hái nÕu
làm đội hồn thành cơng việc ?
(7)⇒
1
x+
1
y=
1 16
x+
6
y=
1
⇒
¿x=24
y=48
¿{
Vậy thời gian đội thứ hồn thành cơng việc 24 ( ngày)
Thời gian đội thứ hai hồn thành cơng việc 48 ( ngày)
Bài 5 : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 10 phút, vịi thứ hai 12 phút đợc
15 bể nớc Hỏi chảy
mình vòi chảy đầy bể ?
HD : Gọi thời gian vòi chảy đầy bể x (phút), thời gian vòi chảy đầy bể y (phút)
80
x +
80
y =1
10
x +
12
y =
2 15
⇒
¿x=120
y=240 ¿{
Vậy thời gian vòi chảy đầy bể 120 (phút), thời gian vòi
chảy đầy bể 240 (phút)
Bi 6: Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45 m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lên lần chu vi ruộng khơng thay đổi
HD : Gäi chiỊu réng cđa thưa rng lµ x (m), chiỊu dµi cđa thưa ruéng lµ y (m) ( x> 0, y > 0)
⇒
y − x=45 2(x+y)=2(3x+ y
2)
⇒
¿x=15
y=60 ¿{
⇒ DiÖn tÝch cđa thưa rng lµ : 900 m2.
Bài 7 : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho tăng thêm 27 đơn vị
HD : Gäi sè tù nhiªn cã hai chữ số ab ( 0<a9,0 b 9 )
⇒
a+b=11 ba−ab=27
⇒
¿a=4
b=7 {
Vậy số cần tìm 47
(8)Bài 1 : Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc định vận tốc tăng thêm 20 km/h thời gian giảm giờ, vận tốc giảm bớt 10 km/h thời gian tăng lên Tính vận tốc thời gian dự định ô tô
Bài 2 : Hai ngời hai địa điểm A B cách 3,6 km, khởi hành lúc , ng-ợc chiều gặp địa điểm cách A km Nếu hai giữ nguyên vận tốc, nhng ngời chậm xuất phát trớc ngời phút họ sễ gặp quãng đờng Tính vận tốc ngời
Bài 3 : Quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5km Một ngời xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B A hết 41 phút ( vận tốc lên dốc xuống dốc lúc lúc nh nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc
Bài 4 : Hai đội lao động làm chung sau ngày sễ hồn thành cơng việc nh-ng lúc đầu, đội làm đợc nh-ngày đội hai tới hai đội làm nh-ngày cơng việc hồn thành Hỏi đội làm sau xong cơng việc ?
Bài 5 : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 30 phút đày bể Nếu vịi chảy riêng vòi I chảy băng nớc vòi II chảy vào bể Hỏi chảy vịi chảy đầy bể ?
Bài 6 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đơn vị Nếu đổi hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho giảm 27 đơn vị
Bài 7: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích
giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
C BI T P T LUYN :
Bài 1 : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nơ (vận tốc ca nô nớc yên lặng không đổi) biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngợc dịng 9km/h vận tốc dòng nớc 3km/h
HD : Gäi x (km/h) vận tốc ca nô xuôi dòng, x >
⇒
3 x +
3 (x - 9) = 85 ⇒ x = 30 Vậy vận tốc thật ca nô xuôi dòng :
27 km/h Vận tốc thật ca nô ngợc dòng 24km/h
Bi 2 : Khoảng cách hai bến sông A B 45 km Một ca nô từ A đến B nghỉ B 30 phút quay trở lại A Thời gian kể từ lúc đến lúc trở đến bến A 30 phút Tính vận tốc ca nơ nớc n lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h
HD : Gọi x(km/h) vận tốc ca nô nớc yên lặng (x > 6) Ta có phơng tr×nh : 45x −6+45
x+6+ 2=4
1 22x
2
45x 72=0 , phơng trình cã nghiƯm x = 24 (TM) VËy vËn tèc cđa ca nô dòng nớc yên lặng 24 km/h
Bài 3 : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm thời gian định Khi làm mối thêm sản phẩm nên ngời làm xong trớc dự định mà làm thêm sản phẩm Hỏi ngời dự định làm đợc sản phẩm ?
HD : Gọi x số sản phẩm ngời dự định làm ( x > 0)
⇒120
x −
126
x+2=1⇒x
+8x −240=0 , phơng trình có nghiệm x = 12 (TM) Vậy dự định làm đợc 12 sản phẩm
B
à i 4: Hai đội đào mơng Nếu đội làm mơng thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm chung cơng việc hồn thành Tính xem đội làm xong mơng bao lâu? HD: Gọi thời gian đội I hồn thành cơng việc x (giờ) 25 > x > Thời gian đội hai hồn thành cơng việc 25 – x ngày
⇒1
x+
1 25− x=
1 6⇒x
2
(9)Hoặc thời gian đội I hồn thành cơng việc 15 (giờ) Thời gian đội II hồn thành cơng việc 10 (giờ)
Bµi 5: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55 phút đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy nhanh vòi thứ hai Nếu mở riêng vòi vòi chảy đầy bể?
HD: Gọi x ( giờ) thời gian vòi I chảy đầy bể x + ( giờ) thời gian vòi II chảy đầy bể Ta có phơng trình:
x+
1
x+2=
12 35⇒6x
2
−23x −35=0
Bài 6: Trong phịng họp có 80 ngời, đợc xếp ngồi ghế Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm ngời đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy đợc xếp chỗ ngồi?
HD: Gäi x số dÃy ghế phòng họp, x N*, chỗ ngồi dÃy 80
x + Nếu bớt hai ghế số chỗ ngồi dÃy : 80x 2
+ Theo ta có phơng trình: 80
x −2 - 80
x = ⇒ x1 = 9; x2 = - Vậy số dãy ghế phòng họp 10 dãy, dãy đợc xếp chỗ ngồi
Bài 7: Quãng sông từ A đến B dài 36 km Một ca nô xuôi dòng từ A đến B ng ợc dòng từ B trở A hết tổng cộng Tính vận tốc thực ca nơ biết vận tốc dịng n ớc km/h
Bài 8 : Lúc ô tô từ A đến B Lúc 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc tơ 24 km/h Ơ tơ đến B đợc 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe, biết quãng đờng AB dài 120 km
Bài 9: Một thuyền khởi hành từ bến sơng A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuyền , biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 Km/h
Bài 10: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đ ờng dài 120 km thời gian định Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa quãng đờng lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng
Bài 11: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do đó, để đến B hạn, xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ơtơ
Bài 12 : Một đơi cơng nhân dự định hồn thành cơng việc với 500 ngày cơng thợ Hãy tín số ngời đội, biết bổ sung thêm cơng nhân số ngày hồn thành cơng việc giảm ngày
Bài 13: Hai đội công nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?
Bài 14 Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đợc bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng
Bài 15 Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể ?