Chuyên đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng toán chuyển động

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH - DẠNG: “TOÁN CHUYỂN ĐỘNG”.. Chính vì vậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì dạng toán

HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG

TRÌNH - DẠNG: “TOÁN CHUYỂN ĐỘNG”.

I/ LÝ DO KHÁCH QUAN.

- Trong xu hướng phát triển chung, xã hội luôn đặt ra những yêu cầu mới cho

sự nghiệp đào tạo con người Chính vì vậy, việc dạy và học cũng không ngừng đổi mới để đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của xã hội Trước tình hình đó, mỗi giáo viên cũng phải luôn tìm tòi, sáng tạo, tìm ra phương pháp dạy mới phù hợp với đối tượng học sinh để phát huy cao nhất tính chủ động, sáng tạo, tích cực của người học, nâng cao năng lực phân tích, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hoàn thành các kỹ năng vận dụng thành thạo các kiến thức một cách chủ động, sáng tạo trong thực tế cuộc sống

- Đối với lứa tuổi học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 9 nói riêng Mặc dù tuổi các em không phải còn nhỏ nhưng khả năng phân tích, suy luận còn rất nhiều hạn chế nhất là đối với đối tượng học sinh học yếu Chính

vì vậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đối với các em là dạng khó

II/ LÝ DO CHỦ QUAN.

- Qua nhiều năm được phân công dạy bộ môn Toán 9 ở trường THCS Đại Tự

và qua nhiều lần kiểm tra, bản thân tôi nhận thấy khả năng tiếp thu và vận dụng kiến

thức của học sinh ở phần “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” còn rất

nhiều hạn chế Nguyên nhân là do các bài toán dạng này đều xuất phát từ thực tế cuộc sống nếu học sinh không biết tìm hiểu, phân tích bài toán một cách rõ ràng, chính xác thì việc xác định được cách giải là rất khó

- Trong chương trình toán 9 thì “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương

trình” chiếm một vị trí rất quan trọng Đây cũng là một dạng toán vận dụng kiến thức

vào thực tế cuộc sống mà nếu các em nắm được thì sẽ tạo hứng thú học tập và yêu thích bộ môn hơn Khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình nói chung và

dạng toán “Chuyển động” nói riêng thì việc phân tích đề bài là rất quan trọng nhưng

trong thực tế khi làm bài tập của học sinh hoặc khi chữa bài tập của giáo viên thì đều chưa chú trọng đến bước phân tích đề bài, nên học sinh không biết cách lập được hệ phương trình, dẫn đến học sinh thấy khó và thấy chán học dạng toán này Bước khó nhất của học sinh khi giải dạng toán này là không biết cách phân tích, lập luận để lập được hệ phương trình

- Để giúp học sinh có thể nắm vững cách “phân tích và giải bài toán bằng

cách lập hệ phương trình” – dạng toán: “chuyển động” và cũng để rèn luyện, nâng

cao trình độ chuyên môn mỗi giáo viên trong tổ nên chúng tôi muốn được trao đổi một vài kinh nghiệm trong việc giải dạng toán này cùng các thầy cô Đó chính là lý

do chúng tôi chọn đề tài này

Phần II:

ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1/ Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 9 trường THCS ĐẠI TỰ

2/ Cơ sở nghiên cứu:

Căn cứ vào chất lượng của học sinh và dựa trên việc dạy và học giải bài toán

bằng cách lập hệ phương trình dạng “Chuyển động” thực tế ở trường THCS Đại Tự

qua nhiều năm

3/ Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu: “ Một số vấn đề về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán trong trường THCS”

- Qua các lần tập huấn thay sách

- Phương pháp hỏi đáp trực tiếp đối với học sinh

- Phương pháp luyện tập, thực hành và qua các bài kiểm tra

- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm

Phần III:

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

A/ MỞ ĐẦU:

- Căn cứ vào tình hình thực tế việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

dạng “ Toán chuyển động” của học sinh và của giáo viên trong nhiều năm chúng tôi nhận thấy việc tìm ra cách phân tích đề bài một cách hợp lý và dễ hiểu là bước hết

sức quan trọng và cần thiết Chỉ cần các em có ý thức học tập và tìm tòi cộng với việc phân tích đề bài một cách hợp lý là các em có thể lập được hệ phương trình một cách nhanh và chính xác, từ đó làm cho các em yêu thích môn Toán hơn, hướng các em đến những khả năng phân tích, tổng hợp, sáng tạo, linh hoạt trong giải toán cũng như trong thực tế cuộc sống Học sinh thấy được Toán học gắn với thực tế cuộc sống và quay lại phục vụ cuộc sống, dẫn đến các em thấy sự cần thiết của việc học môn Toán

B/ CÁCH THỨC TIẾN HÀNH:

I) Phương pháp chung.

1)Phương pháp Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình nói chung gồm các bước sau:

- Như vậy bước phân tích đề bài không thấy có trong các bước giải của

“ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”, nhưng theo tôi đó lại là bước quan

trọng nhất để định hướng ra cách lập hệ phương trình Nếu như học sinh không làm tốt được bước này thì sẽ rất khó khăn khi lập hệ phương trình

- Khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thì dạng toán chuyển động là dạng toán khó, đa dạng về nội dung, nhiều bài toán có nội dung phức tạp Để áp dụng được cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng toán chuyển động bằng cách phân tích đề bài một cách hợp lý thì việc đầu tiên là phải giúp học sinh nhận ra dạng toán Chúng tôi tạm chia thành 3 dạng sau:

+ Chuyển động có vận tốc thay đổi

+ Chuyển động có dòng nước

+ Chuyển động cùng chiều, ngược chiều

*/ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua các ẩn số và các đại lượng đã biết

- Từ đó lập hệ phương trình biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng

*/ Bước 2: Giải hệ phương trình:

Giải hệ phương trình vừa lập được

*/ Bước 3: Trả lời:

Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi trả lời

- Có rất nhiều cách phân tích đề bài nhưng chúng tôi thường dùng phân

tích bằng cách lập bảng

2) Để giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng toán chuyển động ta thường sử dụng các công thức: S = v.t

v= S

t

t= S

v

Trong đó: S là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian

II.Các ví dụ.

Dạng 1: Chuyển động có vận tốc thay đổi.

*Ví dụ 1.1: Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50 km/giờ, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h Biết quãng đường tổng cộng dài 165 km và thời

gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là

30 phút Tính thời gian ô tô đi trên mỗi quãng đường.

*/ Gv hướng dẫn học sinh phân tích đề bài bằng cách lập bảng như sau:

-Yêu cầu h/s đọc đề bài Cho h/s xác định dạng toán

( Đây là bài toán có dạng chuyển động của vật có vận tốc thay đổi trên từng đoạn)

Gv cùng học sinh lập bảng phân tích: ( gọi ẩn trực tiếp)

S (Km)

V (Km/h)

t (Giờ) Quãng đường AB 50x 50 x

( x > 0 ) Quãng đường BC 45y 45 y

( y > 0 ) Mối quan hệ 50x+45y= 165 x + 0,5 = y

-GV: Bài toán cho biết những gì?

-HS: Vận tốc của ô tô trên mỗi quãng đường

- GV: Bài toán yêu cầu phải tìm những gì ?

-HS: Bài toán yêu cầu tính vận tốc của ô tô trên mỗi quãng đường

-Gv nhấn mạnh: Dạng toán này, đề bài yêu cầu tìm gì thì thường gọi các đại lượng

đó làm ẩn Vậy bài toán này ta gọi ẩn như thế nào ?

-HS: Gọi thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC lần lượt là x(giờ ) và y(giờ ) Điều kiện x, y >0

-GV: Hãy biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết ?

-HS: Độ dài quãng đường: AB = 50x (km);

BC = 45y (km)

-GV: Tổng quãng đường AC là bao nhiêu km? Vậy ta lập được phương trình nào ?

- HS : 50x+45y= 165 (1)

- Gv hướng dẫn học sinh lập pt(2)

-GV: Bài toán còn cho biết gì?

- HS:Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường

BC là 30 phút

-GV: Vậy ta lập được phương trình nào?

-HS: x + 0,5 = y (2)

-GV: Vậy ta có hệ phương trình nào ?

-HS:







= +

= +

y x

y x

5 ,

0

165 45

50

-Yêu cầu cả lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình

HS giải hpt tìm được nghiệm :







=

=

2

5 , 1

y

x

( Thỏa mãn điều kiện) -Kiểm tra lại điều kiện và trả lời bài toán

- Gv củng cố lại cách làm

* Ví dụ 1.2: Xe máy thứ nhất đi trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ

20 phút Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn

xe máy thứ hai 3 km.Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình?

-Gv cùng học sinh phân tích đề bài:

-Yêu cầu 1 h/s đọc đề bài toán

-Bài toán thuộc dạng nào ?

( Đây là dạng toán chuyển động của hai vật có vận tốc khác nhau)

- Hãy đổi thời gian về giờ?

3 giờ 20 phút = 10

3 giờ , 3 giờ 40 phút =

11

3 giờ

Gv lưu ý học sinh khi đổi thời gian ra giờ phải đưa về dạng phân số

Tương tự bài toán 1: Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng pt:

S ( Km )

v ( Km/h )

t ( Giờ )

Xe thứ nhất 10

3 x

x ( x > 3 )

10 3

Xe thứ hai 11

3 y

y ( y > 0 )

11 3 Mối quan hệ 10

3 x =

11

3 y

x – y = 3

-Nhìn vào bảng phân tích lập pt (1) ?

h/s: x y 3

4

+ =

-Bài toán cho biết thêm điều gì ?

h/s trả lời: Thời gian chảy Khối lượng c/việc

(7) vòi 1: 1

6 giờ được 1

6.x (bể) (8) vòi 2: 1

5 giờ được 1

5.y (bể) (9) 2 vòi chảy được 2

15 (bể) -Vậy với thời gian đó thì mỗi vòi chảy được bao nhiêu phần của bể ?

h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt

-Từ phân tích, lập pt (2) ?

h/s: 1 1 2

6x+ 5y= 15

-Từ đó ta có hệ phương trình nào ?

h/s: có hpt:

4

4

1 1 2 5 6 4

6 5 15

x y

x y

x y

x y

 + =  + =



Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào các bước của bảng phân tích.

h/s lần lượt đứng trả lời

-Yêu cầu h/s giải hpt được nghiệm :

1 2 1 4

x y

 =





 =



(TM)

1 2 1 4

x y

 =



⇔ 

 =



-Yêu cầu 1 h/s đứng trả lời bài toán:

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ

vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 4 giờ

Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải chú ý:

Thời gian hoàn thành công việc của người 1 là: 1

x

Thời gian hoàn thành công việc của người 2 là: 1y

Dạng 2: Chuyển động có dòng nước.

Các kiến thức thường dùng:

- Nếu ký hiệu: Vx là vận tốc xuôi dòng

Vng là vận tốc ngược dòng

Vn là vận tốc của dòng nước

Vcn là vận tốc riêng của ca nô

Thì ta có công thức: Vx = Vcn + Vn = Vng +2Vn

Vng= Vcn - Vn = Vx – 2Vn

*Ví dụ 1.2:

Một ca nô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc là 20km/h, sau đó lại xuôi từ

bến B trở về bến A Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian canô xuôi dòng từ B về A là 2 giờ 40 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B Biết vận tốc dòng nước là 5km/h, vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng

là bằng nhau

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2003-2004)

*/ Gv cùng h/s phân tích:

-Yêu cầu 1 h/s đọc đề bài toán

-Bài toán thuộc dạng nào ?

Tương tự các ví dụ trên : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng

Đổi 2 giờ 40 phút =

3

8

giờ

- Gv lưu ý học sinh khi đổi thời gian ra giờ nên đưa về dạng phân số

S (Km)

V (Km/h)

t (Giờ)

( x > 0 )

( y > 0 ) Mối quan hệ 20x = 30y x - y =

3 8

-Ở bài tập này nếu ta chọn ẩn trực tiếp thì việc lập bảng phân tích sẽ gặp khó khăn,vậy ta nên chọn ẩn như thế nào?

- HS: Ta nên chọn thời gian xuôi dòng và thời gian ngược dòng là ẩn

-Những đại lượng nào đã biết?

-HS: Đã biết vận tốc khi ngược dòng là 20 km/h

- Vận tốc khi xuôi dòng là bao nhiêu?

-HS: Theo công thức Vx = Vng +2Vn = 20+ 2.5= 30 (km/h)

-Dựa vào mối tương quan giữa các đại lượng hãy lập hệ phương trình ?

- HS: - Vì quãng đường khi xuôi dòng bằng quãng đường khi ngược dòng , nên ta có phương trình: 20x = 30y (1)

- Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nô xuôi dòng

từ B về A là 2 giờ 40 phút, ta có phương trình: x - y =

3

8

(2)

Ta có hệ phương trình:









=

−

=

3 8

30 20

y x

y x

- Giải hệ phương trình ta được :









=

=

3 16

8

y x

( Thỏa mãn điều kiện)

* Ví dụ 2.2: Một bè nứa trôi tự do và một ca nô đồng thời rời bến A để xuôi dòng

sông Ca nô xuôi dòng được 96 km thì quay ngay lại A Cả đi lẫn về hết 14 giờ Trên đường quay về A, khi còn cách A 24 km thì ca nô gặp chiếc bè nứa nói trên Tính vận tốc của ca nô và vận tốc của dòng nước?

+GV hướng dẫn HS lập bảng, phân tích bài toán.

S

(km)

V

(km/h)

T

(Giờ) Mối quan hệ

Ca nô

VCN: x

SXuôi: 96 VXuôi: x + y

tXuôi: x96+y

96

x+y+ 96

x−y= 14

SNgược:96 VNgược: x – y

tNgược: x96−y

Bè nứa 24 Vn: y 24

y

96

x+y+ 72

x−y=24

y

- Nếu gọi y (km/h) là vận tốc của dòng nước thì bè nứa trôi với vận tốc nào?

Dạng 3: Chuyển động cùng chiều, chuyển động ngược chiều

Với bài tập dạng này GV cung cấp cho HS các kiến thức sau:

+ Chuyển động cùng chiều ( ngược chiều ) trên đường thẳng:

Hai vật ở hai điểm A và B trên một đường thẳng:

- Nếu đi ngược chiều thì khi gặp nhau tổng quãng đường mà hai vật đi được bằng khoảng cách giữa A và B

- Nếu đi cùng chiều thì khi gặp nhau hiệu giữa quãng đường mà hai vật đi được bằng khoảng cách giữa A và B

+ Chuyển động cùng chiều ( ngược chiều ) trên đường tròn:

Hai vật ở cùng một vị trí trên một đường tròn:

- Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì trong lần gặp nhau thứ nhất tổng quãng đường hai vật đi được bằng chu vi của đường tròn

- Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì trong lần gặp nhau thứ nhất hiệu quãng đường hai vật đi được bằng chu vi của đường tròn

+ Nếu hai vật xuất phát cùng một thời điểm thì từ khi xuất phát đến khi gặp nhau chúng đi với thời gian bằng nhau

* Ví dụ 1.3: Từ hai tỉnh cách nhau 126 km có một ô tô và một người đi bộ cùng khởi

hành một lúc Nếu đi ngược chiều nhau thì sẽ gặp nhau sau 3,5 giờ Nếu đi cùng chiều thì ô tô sẽ đuổi kịp người đi bộ sau 4,5 giờ Tính vận tốc của ô tô và người đi bộ

+ GV hướng dẫn HS phân tích bài toán:

Với bài toán này, nếu chúng ta phân tích bằng cách lập bảng thì sẽ phức tạp GV nên

sử dụng hệ thống câu hỏi một cách khéo léo để giúp HS lập hệ phương trình

-Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô và y (km/h) là vận tốc người đi bộ.

Nếu đi ngược chiều nhau thì sẽ gặp nhau sau 3,5 giờ hay 7

2 giờ nên ta có phương trình: 7

2x+7

2y= 126 hay 7x + 7y = 252 (1) Nếu đi cùng chiều thì ô tô sẽ đuổi kịp người đi bộ sau 4,5 giờ hay 9

2giờ nên ta có phương trình: 9

2x−9

2y= 126 hay 9x – 9y = 252 (2)

Ta có hệ phương trình: 7x+ 7y= 252

9x− 9y= 252







* Ví dụ 2.3: Hai vật chuyển động trên đường tròn đường kính 20m, xuất phát cùng

một lúc từ cùng một điểm Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau Tìm vận tốc của mỗi vật

-GV hướng dẫn HS:

+ Trước hết phải tính chu vi của đường tròn: 20π

+ Lập luận tương tự ví dụ 1.3 ta được hệ phương trình: x− y=π

x+ y=5π







*/ TÓM LẠI

Qua các ví dụ trên, ta thấy giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng

“ Toán chuyển động” không phải là dạng toán quá khó, mà chỉ cần biết cách phân

tích bài toán và gọi ẩn một cách hợp lý là học sinh có thể nhìn vào bảng phân tích để lập luận, lập được hệ phương trình và có thể giải được bài toán từ đó khiến các em yêu thích bộ môn hơn

Sau khi thực hiện chuyên đề, chúng tôi thấy số học sinh nắm được cách lập hệ

phương trình và giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng “ Toán chuyển

động” đã tăng lên rõ rệt Đa số các em đã có chiều hướng tích cực, ham làm bài tập,

các em trước đây lười học và lười làm bài tập thì giờ đây đã có sự chuẩn bị tốt hơn, tiết học cũng thấy sôi nổi, hào hứng hơn, học sinh nào cũng muốn được phát biểu để phân tích và lập hệ phương trình chứ không còn đơn điệu một mình thầy cô giải như trước kia nữa Học sinh bàn luận với nhau về cách phân tích và giải các bài tập khác trong sách bài tập, sách tham khảo không chỉ trong tiết học mà còn cả ở cả ngoài giờ học, không khí học tập sôi nổi hơn tạo tâm lí tốt cho các thầy các cô khi bước vào tiết dạy

Học sinh biết vận dụng các kiến thức của Toán học vào thực tế cuộc sống một cách năng động, sáng tạo, linh hoạt cũng là một trong những yêu cầu và nhiệm vụ mà người học Toán cần rèn luyện và tích lũy hơn nữa

* Ưu - nhược điểm

+/ ƯU ĐIỂM

-SKKN có thể áp dụng nhiều cho đối tượng học sinh học Yếu; Trung bình và Khá đang chiếm đa số trong các lớp học…

+/ HẠN CHẾ

-Học sinh ở địa bàn đa số là con nhà nông, điều kiện kinh tế khó khăn, thời gian ở nhà phần lớn là giúp đỡ gia đình nên giành cho tự học là còn ít

-Phong trào học ở địa phương chưa cao, đa phần phụ huynh chưa quan tâm nhiều đến việc học của con em mình, ngoài ra còn một phần lớn các em đua đòi, ham chơi nên ý thức học tập còn yếu

-Phương pháp dạy này chưa phát huy đối với học sinh Giỏi