Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng ''làm chung - làm riêng'' - Giáo viên Việt Nam

Điều này là không khó khăn vì dạng toán “Làm chung – Làm riêng” thì hầu như bao giờ đề bài cũng cho: “Thời gian làm chung của hai đội (hai người,…)” và yêu cầu tìm: “Thời gian làm một mì[r]

Phương pháp Giải toán cách lập hệ phương trình nói chung gồm bước sau:

- Như bước phân tích đề khơng thấy có bước giải “Giải bài tốn cách lập hệ phương trình”, lại bước quan trọng để định hướng cách lập hệ phương trình Nếu học sinh khơng làm tốt bước khó khăn lập hệ phương trình

- Bên cạnh cách gọi ẩn gián tiếp giúp học sinh giải hệ phương trình vừa lập cách nhanh dễ dàng Cụ thể là: Bài toán giải tốn bằng cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” “vòi nước chảy chung – vòi nước chảy riêng” nói chung hỏi thời gian làm đội bao lâu hay vòi chảy đầy bể Theo dạng tốn trước, tốn hỏi điều ta chọn đại lượng làm ẩn, dạng tốn ta :

“Gọi thời gian hồn thành cơng việc đội 1(người 1…) x (đv), đk. Gọi thời gian hoàn thành cơng việc đội 2(người 2…) y (đv), đk “. Từ ta suy ra:

Thời gian hồn thành cơng việc đội 1(người 1…)

x (đv).

Thời gian hồn thành cơng việc đội 1(người 1…)

y (đv).

- Để áp dụng cách giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “Làm chung – Làm riêng” cách phân tích đề cách hợp lý việc phải giúp học sinh nhận dạng tốn Điều khơng khó khăn dạng tốn “Làm chung – Làm riêng” đề cho: “Thời gian làm chung hai đội (hai người,…)” yêu cầu tìm: “Thời gian làm đội (mỗi người,…) để hồn thành cơng việc”

Khi thực giải toán cần lưu ý tất thời gian phải đổi dạng phân số chẳng hạn:

10 phút =

10

606 giờ, 12 phút = 12 605 giờ

Lưu ý: Khi tìm người, đội hay vịi nước thứ thứ hai

x hay

1

y thì

suy để hồn thành cơng việc vịi nước chảy vào bể Cịn đại lượng đề

bài mơ tả

u u số thời gian đề cho Đây dạng tốn khó hiểu

nhất giải tốn cách lặp hệ phương trình

- Có nhiều cách phân tích đề dùng cách phân tích cách lập bảng, sau:

*/ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm:

- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn số đại lượng biết - Từ lập hệ phương trình biểu diễn tương quan đại lượng */ Bước 2: Giải hệ phương trình:

Giải hệ phương trình vừa lập */ Bước 3: Trả lời:

Thời gian hồn thành cơng việc

Năng suất làm việc trong ngày (1 ) Hai đội

(2 vòi )

a

a

Đội (vòi )

x

x

Đội (vòi )

y

y

Ngoài cần nhấn mạnh cho học sinh: “Thời gian hồn thành cơng việc năng suất làm việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch”.

Ví dụ:

*/ Bài tốn 1: (Bài 33/24 SGK Toán – Tập 2)

“Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu?”

*/ Gv hướng dẫn học sinh phân tích đề cách lập bảng sau: (Gv dùng hệ thống câu hỏi, học sinh trả lời, gv điền vào bảng phân tích) -Yêu cầu h/s đọc đề Cho h/s xác định dạng tốn

Gv nhấn mạnh: Có cách gọi ẩn

a/ Gv học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn trực tiếp)

Thời gian hồn thành cơng việc (giờ)

Năng suất làm việc Hai

người

16

16

Người x

(đk: 16 < x)

1

x

Người y

(đk: 16 < y)

1

y

-Bài tốn cho biết thời gian hồn thành cơng việc người bao lâu? h/s: thời gian hoàn thành công việc người 16 - gv điền bảng.

- Thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc hai đại lượng có quan hệ nào?

h/s: thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch

- Gv nhấn mạnh: Vì thời gian hồn thành công việc suất làm việc 2 đại lượng tỉ lệ nghịch , nên suất làm việc người bao nhiêu?

h/s: Năng suất làm việc người

16(cv) - Gv điền vào bảng -Bài tốn u cầu gì?

h/s: Nếu làm riêng người phải hồn thành cơng việc

-Gv nhấn mạnh: Dạng tốn này, đề u cầu tìm thường gọi đại lượng làm ẩn Vậy toán ta gọi ẩn nào?

thời gian hồn thành cơng việc đội y (giờ) -Điều kiện ẩn?

h/s: 16 < x, 16 < y - Gv điền vào bảng.

-Vậy suất làm việc người bao nhiêu?

h/s: suất làm việc người

x công việc.

-Vậy suất làm việc người bao nhiêu?

h/s: suất làm việc người

y công việc

- Gv điền vào bảng. -Năng suất làm việc người cịn tính nào?

h/s: suất người + suất người = suất người -Vậy ta lập phương trình nào?

h/s :

1 1

16

x y 

Gv ghi xuống bảng phân tích: Pt (1) :

1 1

16

x y 

Gv nhấn mạnh : Pt (1) lập:

Gv hướng dẫn học sinh lập pt(2)

(Gv hỏi - H/s trả lời – Gv ghi bảng )

-Bài tốn cịn cho biết gì? Thời gian làm khối lượng c/việc người 1: 3

1

x (c/việc)

người 2: 6

y (c/việc)

người làm 25% =

4 (c/việc) -Vậy người htws làm phần công việc?

h/s trả lời : người làm

x (c/việc) – Gv ghi sang bên.

-Vậy người làm phần công việc?

h/s trả lời : người làm

y (c/việc) – Gv ghi sang bên.

Gv nhấn mạnh:

-Dựa vào quan hệ ta lập pt nào?

h/s:

1 1

3

x y 

Gv nhấn mạnh : cách lập pt (2):

năng suất người + suất người = suất người

Khối lượng c/việc = Thời gian x suất

*> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề lập bảng

Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích và làm theo sơ đồ bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: )

Thời gian hồn thành cơng việc (giờ)

Năng suất làm việc Hai

người

(5) 16

(6) 16 Người (1) x

(đk: 16 < x) (3)

x

Người (2) y

(đk: 16 < x) (4)

y

-Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1):

1 1

16

x y 

Thời gian làm khối lượng c/việc (7) người 1: giờ 3.

1

x (c/việc)

(8) người 2: giờ 6.

y (c/việc)

(9) người làm 25% =

4 (c/việc)

-Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2):

1 1

3

x y 

-Vậy ta có hệ phương trình nào?

h/s:

1 1

16

1 1

3

x y

x y



 

  

  

 

-Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình

h/s giải hpt tìm nghiệm :

24 48

x y

  



 (TM)

-Kiểm tra lại điều kiện trả lời toán Gv củng cố lại cách làm

b/ Gv học sinh lập bảng phân tích: (gọi ẩn gián tiếp)

Thời gian hồn thành công việc (giờ)

Hai người

16

16

Người 1

x

x

(đk: < x < 16 )

Người

y

y

(đk: < y < 16 )

*/ Gv ý h/s cách phân tích đề giống ta gọi ẩn gián tiếp.

-Gv nhấn mạnh: Nếu ta gọi ẩn gián tiếp tức gọi suất làm việc mỗi người ẩn tốn ta gọi ẩn nào?

h/s: gọi suất làm việc đội x (c/việc) suất làm việc đội y (c/việc) -Điều kiện ẩn?

h/s: < x <

16 , < y <

16 - Gv điền vào bảng. -Vậy thời gian hồn thành cơng việc người bao nhiêu?

h/s: thời gian hồn thành cơng việc người

x (giờ)

-Vậy thời gian hồn thành cơng việc người bao nhiêu?

h/s: thời gian hồn thành cơng việc người

y (giờ)

- Gv điền vào bảng. -Vậy ta lập phương trình (!) nào?

h/s :

1 16

x y 

Gv nhấn mạnh : Tương tự pt (1) lập:

-Bài tốn cịn cho biết gì? Thời gian làm Khối lượng c/việc (h/s trả lời – Gv ghi bảng) người 1: 3.x (c/việc)

người 2: 6.y (c/việc) người làm 25% =

1

4 (c/việc) -Vậy người làm phần công việc?

h/s trả lời : 3.x – Gv ghi sang bên.

-Vậy người làm phần công việc? h/s trả lời : 6.y – Gv ghi sang bên.

-Tương tự ta lập pt nào?

h/s:

1 3x 6y

4

 

Gv nhấn mạnh cách lập pt (2) tương tự trên:

năng suất người + suất người = suất người

*> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề lập bảng.

Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích và làm theo sơ đồ bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: )

Thời gian hoàn thành công việc (giờ)

Năng suất làm việc Hai

người

(5) 16

(6) 16 Người

(3)

x

(1) x (đk: < x <

1 16 ) Người

(4)

y

(2) y (đk: < y <

1 16 )

-Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1):

1 16

x y 

Thời gian làm Khối lượng c/việc (7) người 1: giờ 3.x (c/việc) (8) người 2: giờ 6.y (c/việc)

(9) người làm 25% =

4 (c/việc) -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2) :

1

4

x y -Vậy ta có hệ phương trình nào?

h/s:

1 16

1

3

4

x y

x y



  

 

  

 

-Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình

h/s giải hpt tìm nghiệm :

1 24

1 48

x

y

       

 (TM)

1 24

48

x

y

     

    -Kiểm tra lại điều kiện trả lời toán:

Vậy người thứ hồn thành cơng việc 24 người thứ hai hồn thành cơng việc 48 Gv nhấn mạnh: Với cách gọi ẩn trả lời phải ý:

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

x

Thời gian hoàn thành công việc người là:

y

Gv củng cố lại cách làm

h/s: hệ pt cách gọi ẩn gián tiếp dễ giải

Gv nhấn mạnh lại: Trong dạng tốn ta nên gọi ẩn gián tiến lập hệ phương trình hệ phương trình dễ giải cách gọi ẩn trực tiếp phải ý trả lời */Bài toán 2: (Bài 38/24 SGK Tốn – Tập 2)

“Nếu hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) bể đầy sau 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút mở vòi thứ hai 12 phút

2

15 bể nước Hỏi mở riêng vòi thời gian để vịi chảy đầy bể bao nhiêu? ” */ Gv học sinh phân tích đề bài:

-Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào? - Hãy đổi thời gian giờ?

20 phút =

3 , 10 phút =

6 , 12 phút = 5 giờ. Gv lưu ý học sinh đổi thời gian phải đưa dạng phân số

Tương tự toán 1: Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng pt:

Thời gian chảy đầy bể (h/thành c/việc) (giờ)

Năng suất chảy (làm việc) giờ Hai vòi

(5)

3 (6) Vòi

(3)

x

(1) x (đk: < x <

3 4) Vòi

(4)

y

(2) y (đk: < y <

3 4) -Nhìn vào bảng phân tích lập pt (1)?

h/s:

3 x y

4

 

-Bài tốn cho biết thêm điều gì?

h/s trả lời: Thời gian chảy Khối lượng c/việc

(7) vòi 1:

6 giờ được

1

6.x (bể) (8) vòi 2:

1

5 giờ được

1

5.y (bể) (9) vòi chảy

2

15 (bể) -Vậy với thời gian vịi chảy phần bể?

h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt -Từ phân tích, lập pt (2)?

h/s:

1

6x5y15

h/s: có hpt:

3

3

4

1 5 6 4

6 15

x y

x y x y

x y



  

  

 



 

     

 

Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích. h/s đứng trả lời

-Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm :

x

y

       

 (TM)

2

4

x

y

     

    -Yêu cầu h/s đứng trả lời tốn:

Vậy vịi thứ chảy đầy bể vịi thứ hai chảy đầy bể Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý:

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

x

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

y

*/Bài toán 3: (Bài 32/23 SGK Toán – Tập 2)

“Hai vòi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) sau 4

5 giờ đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ sau mở thêm vịi thứ hai sau

6

5 giờ đầy bể Hỏi từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể? ”

*/ Gv h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào?

Tương tự ví dụ : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng h/s: Đổi

4

5 = 24

5

Gv lưu ý học sinh đổi thời gian phải đưa dạng phân số Thời gian hồn

thành cơng việc (giờ)

Năng suất làm việc Hai vòi

(5) 24

5 (6) 24 Vòi

(3)

x

(1) x (đk: < x <

5 24) Vòi

(4)

y

(2) y (đk: < y <

5 24)

-Vậy lập pt (1) nào? h/s:

5 x y

24

-Bài tốn cho biết thêm điều gì?

h/s trả lời: Thời gian chảy Khối lượng c/việc (7) vòi 1: +

6

5 (9 +

5).x (bể) (8) vòi 2:

6

5

5.y (bể) (9) vòi chảy đầy bể = 100% = -Vậy với thời gian vịi chảy phần bể? h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt

*/Gv ý học sinh:

- Vòi chảy mở thêm vòi 5 giờ Tức là: vòi chảy +

6

5 vòi chảy 5 giờ - Chảy đầy bể tức 100% bể =

-Vậy ta có phương trình lập nào?

h/s: (9 + 5).x +

6

5.y =

Gv: Ngồi cách lập pt (2) ta cịn cách khác sau: -Vịi chảy giờ? h/s trả lời

-Hai vòi chảy chung giờ? Gv vẽ sơ đồ phân tích :

vòi 1: vòi: 5 giờ Thời gian k/lượng c/việc (7) vòi 1: giờ 9.x (bể ) (8) sau vịi:

6

5 giờ 5.

5

24 (bể ) (9) Khi chảy đầy bể = 100% (bể ) = -Trong vòi chảy phần bể?

h/s trả lời - gv ghi xuống bên sơ đồ -Trong

6

5 vòi chảy phần bể? h/s trả lời - gv ghi xuống bên sơ đồ -Vậy ta có phương trình (2) nào?

h/s: 9.x + 5.

5

24 =

1

9

4

x

  

-Từ ta có hpt nào?

h/s:

5 24

9

4

x y

x



  

 

  

  Giải

-Yêu cầu h/s giải hpt tìm nghiệm :

1 12

1

x

y

       

 (TM)

12

8

x

y

     

    -Yêu cầu h/s đứng trả lời toán:

Vậy từ đầu mở vịi thứ hai sau đầy bể Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý:

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

x

Thời gian hoàn thành công việc người là:

y

*/ Bài toán 4: (Bài – Đề kiểm tra chương III- Sách nâng cao Toán 9, Tập 2 - Nhà xuất Hà Nội ).

“Hai đội công nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày đội thứ hai làm khối lượng công việc nhiều gấp đôi đội thứ Hỏi làm đội làm xong đoạn đường bao lâu? “

*/ Gv h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào?

Tương tự ví dụ : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng Thời gian hồn

thành cơng việc (giờ)

Năng suất làm việc Hai đội (5) 24

(6) 24 Đội

(3)

x

(1) x (đk: < x <

1 24) Đội

(4)

y

(2) y (đk: < y <

1 24)

-Vậy lập pt (1) nào? h/s:

1 x y

24

 

-Bài toán cho biết thêm điều gì?

h/s: Mỗi ngày đội thứ hai làm khối lượng công việc nhiều gấp đơi đội thứ

- Em hiểu điều nào?

h/s: Năng suất đội hai làm gấp đôi suất đội -Vậy ta có phương trình lập nào?

h/s: y = 2.x -Từ ta có hpt nào?

h/s:

1 24

x y y x



  

-Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích h/s đứng trả lời

-Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm :

1 72

1 36

x

y

       

 (TM)

72

36

x

y

     

    -Yêu cầu h/s đứng trả lời toán

Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý:

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

x

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

y

*/ Bài toán 5:

(Bài – Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm 2007 -2008 tỉnh Đăk Lăk)

“Hai máy cày làm việc xong

18 cánh đồng Nếu máy thứ làm việc máy thứ hai làm việc 10 hai máy cày 10% cánh đồng Hỏi máy cày làm việc riêng cày xong cánh đồng giờ?

*/ Gv h/s phân tích: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng nào?

-Bài tốn có khác so với tốn trước?

h/s: Bài tốn khơng cho thời gian hồn thành cơng việc hai đội -Vậy tốn cho điều gì?

h/s: Cho hai máy cày làm việc cày xong

18 cánh đồng. -Vậy thời gian cày xong cánh đồng máy bao lâu?

h/s: Thời gian cày xong cánh đồng máy là: 5.18 = 90

Tương tự ví dụ : Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng Thời gian hồn

thành cơng việc (giờ)

Năng suất làm việc Hai máy (5) 90

(6) 90 Máy

(3)

x

(1) x (đk: < x <

1 90) Máy

(4)

y

(2) y (đk: < y <

1 90) -Vậy lập pt (1) nào?

h/s:

1 x y

90

 

-Bài tốn cho biết thêm điều gì?

(7) máy 1: 6.x (cánh đồng ) (8) máy 2: 10 giờ 10.y (cánh đồng )

(9) máy làm 10% =

10(cánh đồng ) -Vậy với thời gian máy làm phần cánh đồng?

h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt

-Vậy ta có phương trình lập nào?

h/s:

1 6.x 10.y

10

 

-Từ ta có hpt nào?

h/s:

1 90

1 10

10

x y

x y



  

 

  

 

Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích. h/s đứng trả lời

-Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm :

1 360

1 120

x

y

       

 (TM)

1 360

120

x

y

     

    -Yêu cầu h/s đứng trả lời toán

Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý:

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

x

Thời gian hồn thành cơng việc người là:

y