Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai - THCS.TOANMATH.com

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.. Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một ngh[r]

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: ax2bx c 0 * ,  a0 ,   b24ac

Gọi S , P tổng tích hai nghiệm x x Hệ thức Viét: 1, 2

1

1

b

S x x

a c P x x

a      



  



 Điều kiện PT * có hai nghiệm trái dấu   P

 Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt dấu 0 P   

  



 Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt dương

0 0 S P    

 

  

 Điều kiện PT * có hai nghiệm phân biệt âm

0 0 S P    

 

  

 Các hệ thức thường gặp:

 2  2  2

1 2 2 2 2 2

x x  x  x x x  x x  x x  x x S  P

  2

1 2 4

x x   x x  x x   S  P

  2

2 1 4

x   x x x  x x   S  P

 2       2

1 2 2

x x  x x x x   x x x x  x x  S S  P

 3   2    2  

1 2 1 2 2

x x  x x x x x x  x x  x x  x x S S  P

 4     2 2 2 22 2  2 2

1 2 2 2 2 2

x x  x  x  x x  x x  x x  x x   x x

 2 2 2

2

S P P

  



1 2

1 x x S

x x x x P



  

  

2 2

1 2

2

1 2

4

1 x x x x x x S 4P

x x x x x x P

 

 

       

2

2 2

1 2

1 2

1 2

2 1 2

4

x x x x x x

x x x x

x x x x S S P

x x x x x x x x P

  

 

 

      

 3   2    2

1 2 1 2 2

x x  x x x x x x  x x  x x x x 

 

   2  2  2

1 2

x x x x  x x x x  S P S P

            

 4     2 2 2 2 2   

1 2 2

x x  x  x  x x x x   S  P S S  P

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Cho phương trình 2m1x22mx  Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc 1 0

khoảng 1;0

Lời giải

 Xét 1

2

m    phương trình trở thành m       x x  1;0

 Xét 1

2

m    ta có: m

   2

2

' m 2m m 2m m

          m

Suy phương trình có nghiệm với m Ta thấy nghiệm x không thuộc khoảng 1;0

Với

2

m phương trình cịn có nghiệm 1

2

m m x

m m

 

 

 

Phương trình có nghiệm khoảng 1;0suy

1

1 0

1

1 2

2 2 1 0 2 1 0

m

m

m m

m m m

    

 

         

     

 

Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng 1;0 m

Câu 2: Cho phương trình x22m1x m 2  (1 0 x ẩn số)

a) Tìm điều kiện m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm x , 1 x phương trình cho thỏa mãn:2 x1x22 x1 3x2 Lời giải

a)  2m124.m2  1 5 4m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

4 m  

b) Phương trình hai nghiệm

4 m  

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2

1

2

1

x x m

x x m

  



  

 

 

   

2

1 2

2

1 2

2

1

1

3

4

2

3

x x x x

x x x x x x

m m x x

x x m

  

    

     

   

Ta có hệ phương trình:

1

2

1

2 2

3 3( 1)

2 m x

x x m

x x m m

x    

  

 

     

  



   

2

2

2

1 3( 1)

1

2

3

1

m m

m

m m

m m

 

   

   

  

  

Kết hợp với điều kiện    giá trị cần tìm m

Câu 3: Tìm m để phương trình x25x3m  ( x ẩn số, m tham số) có hai nghiệm 1 0

x , x 2

thỏa mãn 3

1 75

x x  x x 

Lời giải

 

2

5 4.1 3m 29 12m

     

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 29

12 m

    

Áp dụng hệ thức Vi-ét 2

5

3

x x

x x m

  



  



Ta có: 3

1 75

x x  x x 

   2 

1 2 75

x x x x x x x x

     

x1 x225 x x1 2 3x x1 75

    

 2  2 2

25 x x x x x x 3x x 75

     

1

x x

  

Kết hợp x1x2  suy x1 1;x2  Thay vào x x1 2 3m suy m

Vậy

3

m giá trị cần tìm

Câu 4: Cho phương trình x210mx9m 0

 (m tham số) a) Giải phương trình cho với m

b) Tìm giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x , 1 x thỏa điều kiện 2

1

x  x 

Lời giải

a) Với m phương trình cho trở thành x210x  9 0

Ta có a b c   nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

1 x x

     b)   '  5m21.9m25m29m

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2 2

1 2 1

2

1 2

10 10 10

9 9 ,(*)

9 9 0

1

x x m x m x m x m

x x x x x m x m m

x x m x x m m m m

m   

    

  

          

   

        

   

 



Câu 5: Cho phương trình x22(m1)x m m 1 0

   (m tham số) a) Giải phương trình cho với m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn điều kiện 2

1

1 4

x x 

Lời giải a) Với m , phương trình cho trở thành: x22x  1 0

1,2

' ; x

   

Vậy với m nghiệm phương trình cho x1,2 1

b) '   Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt m          m m

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 2

1

2( 1)

1

x x m

x x m m

  



   

 Do đó:

1

2

1 2

2

2

1 2( 1)

4 4

1

1

1

3

1 2( 1)

2

x x m

x x x x m m

m

m m m m

m

m m m m m

 

     

 

 

       

  

  

  

      

 

  

Kết hợp với điều kiện 1;

2

m  

   

  giá trị cần tìm

Câu 6: Cho phương trình 2x2(2m1)x m 1 0

   (m tham số) Khơng giải phương trình, tìm m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 3x14x211 Lời giải

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x 2  

 2  

2m 4.2 m

    

 

2

2

4 12

2

3

m m

m

m

   

  

 

Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét giả thiết ta có: 

   



 

  

 

 

 

1

1

1

2m x x

2 m x x

2

3x 4x 11

2

 



 

 

 



  



1

13- 4m x

7 7m x

26 -8m

13- 4m 7m

3 11

7 26 -8m

Giải phương trình 313- 4m47m 7 11

7 26 -8m

Ta

4,125 m

m      

Vậy

4,125 m

m     

 giá trị cần tìm

Câu 7: Cho phương trình x22(m1)x m 3 0

  (m tham số) a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm

b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Lời giải

a) Phương trình cho có nghiệm   ' 0

   2 

1

m m

      

2m

   

2 m  

Vậy m giá trị cần tìm

b) Với m phương trình cho có hai nghiệm

Gọi nghiệm phương trình cho a nghiệm 3a Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

2

3 2

.3

a a m

a a m

  



  



2

1

3

2

m m

a     m

      

 

2 6 15 0

m m

   

3 m

    (thỏa mãn điều kiện)

Vậy    m giá trị cần tìm

Câu 8: Cho phương trình 2 4 1 0

2x mx2m  m  (m tham số) a) Giải phương trình cho với m 

b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn 1 2

1

1 x x

x x  

Lời giải

a) Với m  phương trình trở thành 1 0 2 9 0

2x    x x  x 

1

2

1 10

1 10

x x

    

 

   

b) Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  

 2 4 .1 4 1 0 8 2 0

2

m  m m  m m

            

 

Để phương trình có nghiệm khác 4 1 0

2m m

   

1

2

4 m

m

   

  

   

Ta có   

1 2

1 2

0

1

1

1

x x

x x x x x x

x x

x x

 



        

2

0

2

4 19

8

4 19

m m

m

m m

m   

 

    

  

    



Kết hợp với điều kiện ta

4 19

m m

 

   



Vậy

4 19

m m

 

   

 giá trị cần tìm

Câu 9: Tìm tất số tự nhiên m để phương trình x2m x m2 1 0

   (m tham số) có nghiệm nguyên

Lời giải

 2   4

4.1 4

m m m m

       

Phương trình có nghiệm ngun  m44m số phương 4

Nếu

1 m m

   

   (loại) Nếu m    (nhận) 4 22

Nếu m 2m m 2 5 2m24m  5 0

 

   

2

4

2

2

2 4

2

1

m m m

m m m

m m

          

     

    

 khơng số phương Vậy m giá trị cần tìm

Câu 10: Cho phương trình x22(m1)x m 3 0

   (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho mà không phụ thuộc vào m

c) Tìm giá trị nhỏ 2

1

P x  (với x x , 1 x nghiệm phương trình cho) 2 Lời giải

a)    

2

' 1 1. 3 3 4 0

2

m m m m m 

              

  , m

Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2

1 2

2( 1) 2

3 2

x x m x x m

x x m x x m

     

 



     

 

1 2

x x x x

     không phụ thuộc vào m

c) 2  2  2  

1 2 2

P x x  x x  x x  m  m

2

5 15 15

2

2 4

m

 

    

  , m

Do

15

P  dấu " " xảy 5

2

m    m

Vậy min 15

4

P  với

4 m

Câu 11: Cho phương trình x2mx m 1 0

a) Gọi hai nghiệm phương trình x , x Tính giá trị biểu thức

2 2

2

1 2

1

x x

M

x x x x

 



 Từ

đó tìm m để M 

b) Tìm giá trị m để biểu thức 2

P x x  đạt giá trị nhỏ Lời giải

a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1

x x m

x x m

 



  



Ta có  

     

2 2

2

1 2

1

2

1 2 2

2 1

1

1

x x x x m m

x x

M

x x x x x x x x m m

     

 

  

  

   

2

2 2 1 1

1

m

m m

m m m m



 

 

 

Để  

   

2

0

1

1

0

0

1

1 m

m m

m

M m m

m

m m m

m

 



   

  

        



   

   

b) Ta có 2  2  

1 1 2 2 1

P x x   x x  x x  m  m 

 2

2 2 1 1 0

m m m

      , m

Do Pmin  dấu " "0  xảy m    m Vậy Pmin  với m

Câu 12: Cho phương trình x22m2x2m0

(m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x , 1 x thỏa mãn 2 x1  x2 

Lời giải

Điều kiện PT có nghiệm khơng âm x , 1 x 2

1

1

' 0

x x

x x   

   

 



2 1 0

2( 1) 0

2

m

m m

m

  



    

 



Theo hệ thức Vi-ét:  

1

2

2

x x m

x x m

   



 



Ta có x1 x2    x1 x2 x x1 2  2m 2 2m    (thoả mãn) m Vậy m giá trị cần tìm

Câu 13: Cho phương trình x2m1x m 0

( m tham số) Gọi x , x hai nghiệm phương

trình cho Tìm giá trị m để 2

1 2 2007

A x x x x  đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

Lời giải

Ta có  [-(m+1)]24m m 22m 1 (m1)2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2

1

x x m

x x m

  



 



Ta có 2  

1 2 2007 2 2007

A x x x x  x x x x 

 1 2007 2007 2 .1 2006

2 4

m m m m m m

          

2

1 8027 8027

2 4

m

 

    

  , m

Dấu " " xảy 1

2

m   m 

Vậy min 8027

4

A  với

2 m 

Câu 14: Cho phương trình x22mx2m 1 0

  (m tham số) Gọi x , x hai nghiệm phương

trình cho Tìm giá trị m để 2

1 2

A x x x x đạt giá trị lớn Lời giải

Ta có   2m 24.1 2 m 1 4m28m 4 4m12

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt   0 m12    m Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1

2

2

x x m

x x m

  



  



Ta có 2  

1 2 2

A x x x x x x x x

 1 2007 2 1 2  4 2 4

2

m m m m m m m m

             

 

2

2 1 1 1

4

4 16 16 4

m m m

   

            

    , m

Dấu " " xảy 1

4

m    m

Vậy m ax

4

A  với

4 m

Câu 15: Cho phương trình x22m1x2m 5 0

( m tham số)

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x , x thỏa mãn x1  x2

Lời giải

a) Ta có    2m124.1 2 m54m212m22

 

 2  2

2m 2.2 13m 2m 13

        , m

Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 2

2

2

x x m

x x m

  



  

 (I)

Theo giả thiết     

1 2 2

2

1

1 1

1 x

x x x x x x x x

x   

             

 (II)

Thay (I) vào (II) ta có:

2m 5 2m   2 0.m  , với m

Vậy với m phương trình có hai nghiệm x , 1 x thỏa mãn 2 x1  x2

Câu 16: Cho phương trình x2mx m 2 0

a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Định m để hai nghiệm x , x phương trình thỏa mãn

2

1

1

2

1

x x

x x

  

 

Lời giải

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m

2 4.( 2) 4 8 ( 2)2 4 0

m m m m m

            , m

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt với m

b) Vì a b c         , m1 m m  nên phương trình có nghiệm x x1, 2  , m1  Phương trình x2mx m   2 0 x2 2 mx m

Ta có 12 22

1 2

2

1 1

x x mx m mx m

x x x x

      

   

2

2

1

1

( 1)( 1)

4

( 1)( 1)

m x x

m m

x x

 

      

 

Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 17: Cho phương trình x2mx 1 0

  (1) (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm trái dấu b) Gọi x , x nghiệm phương trình (1):

Tính giá trị biểu thức:

2

1 2

1

1

x x x x

P

x x

   

 

Lời giải

a) Ta có a c 1 1     , với m1  nên phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu với m

b) Ta có

2

1

2

2

1

x mx

x mx

  

 

 

 x , x nghiệm phương trình (1)

Do

2

1 2 1 2

1 2

1 1 1

x x x x mx x mx x

P

x x x x

         

   

       

1

1

1

1

x m x m

m m

x x

 

       x , x2

Vậy P

Câu 18: Cho phương trình x22m1x m 2 1 0  1 ( m tham số)

a) Tìm điều kiện m để phương trình  1 có nghiệm phân biệt

b) Định m để hai nghiệm x , 1 x phương trình 2  1 thỏa mãn: x1x22  x1 3x2 Lời giải

a)    2m124.1.m2  1 4m5

 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt 5

4

m m

       

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có 2

1

2

1

x x m

x x m

  



  



Ta có x1x22  x1 3x2x1x224x x1  x1 x24x2

 2  2 

2 2

3

2 4 6

2 m

m m m x m x x 

            

Suy 1

2 m

x  

Do 3. 1 1 0 1

2

m m

m m m

         

Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 19: Tìm m để phương trình x22x2m 1 0

  (m tham số) có hai nghiệm phân biệt x , x

thỏa mãn điều kiện 2 2

2( 1) 1( 1)

x x  x x  

Lời giải

 2  

2 4.1 2m 8m

      

Phương trình có hai nghiệm phân biệt   0 8m 0 m

Theo hệ thức Vi-ét, ta có 2

2

2

x x

x x m

 



   

 (I)

Ta có 2 2  2 2

2( 1) 1( 1) 2 ( 2)

x x  x x    x x  x x 

 2 2

1 2

2 x x (x x ) 2x x 

     (II)

Thay (I) vào (II) ta có:

 

2

2( 2 m1) 4 2  m1  8 2m 3m 2

2 m

m     

 



So với điều kiện có nghiệm m Vậy m giá trị cần tìm

Câu 20: Xác định giá trị m phương trình x28x m 0

  để 3 nghiệm phương trình Với m vừa tìm được, phương trình cho cịn nghiệm Tìm nghiệm cịn lại

Lời giải Do 4 nghiệm phương trình nên thỏa:

  2 

4 8 4   m

13 13

m m

    

Thay m13vào phương trình ta phương trình: x28x13 0  *

 2

' 4 1.13 3

    

Phương trình  * có hai nghiệm phân biệt là:

4

4

x x    

  

Vậy x 4 giá trị cần tìm

Câu 21: Cho phương trình x22m1x m 2  m 1 0

( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m

b) Gọi x , 1 x hai nghiệm phương trình Tìm m cho 2 A2x1x22x2x1 đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ

Lời giải a) Ta có    2m124.1.m2   m 1 5 0

  , m

Nên phương trình ln có nghiệm với m

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2

1

2

1

x x m

x x m m

  



   



Ta có     2  2

1 2 1 2 2

2

A x x x x  x x  x x  x x  x x

 2   2 2

9 m m 2m m m 11

2

2 2 .1 1 11 45 45

2 4 4

m m m 

          

  , m

Dấu " " xảy 1

2

m  m 

Vậy min 45

4

A   với

2 m 

Câu 22: Cho phương trình 2 0

2

x  mx m   (m tham số)

a) Chứng minh hhương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối

c) Tìm m để hai nghiệm số đo cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền

Lời giải

a) '  2 1. 1 0

2

m m 

       

  , m

Nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Hai nghiệm phương trình

2

2

2

x m

x m



  

 

  



Theo đề ta có 2 2 2

2 2

m  m m  m m  m

2 2m m

   

c) Theo định lý Pitago ta có:

2

2 2

2 9 2 8 0 4 0

2

2

m

m m m m

m

     

          

    

      

   

Vậy

2 m m

    

 giá trị cần tìm

Câu 23: Cho phương trình x22x m 3 0

   (m tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tính nghiệm cịn lại b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn hệ thức 2 3

1

x x 

Lời giải

a) Vì phương trình x22x m   có nghiệm 3 0 x  nên ta có: 1

( 1) 22.( 1)          m 3 0 m 6 0 m 6

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

x1x2   2 x2  2 x2  Vậy m nghiệm lại x b)   ' 12 1.m3   m 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt       ' 0 m 2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2

2

x x

x x m

 



  

3

3

1 2

3

8

( ) ( )

2 3.( 3).2

6( 3)

3

x x

x x x x x x

m m m

 

    

   

  

  

3 m

   (thỏa mãn điều kiện) Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 24: Tìm giá trị tham số m để phương trình x22m1x m 2 1 0

có hai nghiệm phân biệt x , 1 x cho biểu thức 2 2

1

P x  đạt giá trị nhỏ x Lời giải

2m 12 4.1.m2 1 4m 5

       

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

4 m     

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2  

1

2

1

x x m

x x m

   

 

 



Ta có 2  2

1 2 2

P x x  x x  x x

   2  2

2m m 2m 4m

        

 2   2

2 m .1 1m m 1

         , m

Dấu " " xảy m    (nhận) m Vậy Pmin  m

Câu 25: Cho phương trình x2m5x2m  ( x ẩn số) 6 0

a) Chứng minh rằng: phương trình cho ln ln có hai nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 2

1 35

x x 

Lời giải: a) Δ  m 5 24.1 2m 6  

m524 2 m 6 m210m25 8 m24

m22m 1

m12  0; m

Vậy với giá trị m phương trình ln ln có hai nghiệm

b) Với m , phương trình cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1

1

5;

2

b

S x x m

a c

P x x m

a 

      



    



Ta có: 2

1 35

x x 

 2

1 2 35

x x x x

   

 2  

5 2 35

m m

    

2 10 25 4 12 35 0

m m m

      

 

2 6 22 1

m m

 

2

' 22 22 31

       

Vì ' 0  nên phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt: m1  3 31;m2   3 31 Vậy m   31; 3  31

Câu 26: Cho phương trình x22x m   2 0  1 (m tham số)

a) Tìm m để phương trình  1 có nghiệm

b) Tìm m để phương trình  1 có nghiệm tìm nghiệm cịn lại Lời giải

a) Phương trình  1 có nghiệm : '

  

 

1 m

   

3 m

   m  

Vậy phương trình  1 có nghiệm m

b) Do phương trình  1 có nghiệm nên thỏa:

2

2 2.2   m

m

   m

  

Thay m  vào phương trình  1 ta phương trình: x22x  8 0  *

 

2

' 1 8 0, '

          

Do ' 0  nên phương trình  * có hai nghiệm phân biệt: 1 2; 2

1

x    x     

Vậy m  nghiệm lại 46  giá trị cần tìm

Câu 27: Cho phương trình x2mx m   1 0  1 với x ẩn số

a) Giải phương trình m

b) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với giá trị m

c) Gọi x x nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức 1,

  2 2

1 2016

A x  x  

Lời giải

a) Khi m = 2, phương trình  1 trở thành: x22x  1 0  2

Ta có a b c      nên phương trình1  2 có hai nghiệm: 1 1; 2 2 c

x x

a

       

Vậy m , tập nghiệm phương trình  2 S     1; 2 b)  m24.1.m 1 m24m 4 m220;với m

Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m

c) Với m, phương trình cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1,

1

1

b

S x x m

a c

P x x m

a        



    



   1 2016

A x  x   

 2

1 2 2016

A x x  x x  

 2

1 2016

A m  m 

2

0 2016

A 

2016 A

Câu 28: Cho phương trình x22m1x2m với x ẩn số; m tham số Tìm m để phương 0

trình có nghiệmx Tìm nghiệm cịn lại

Lời giải

Do phương trình có nghiệm x nên thỏa: 222m1 2  m 0

4 4m 2m

    

2m

  

2m

  

1 m   

Thay m  vào phương trình ta phương trình: x23x  2 0  *

Ta có a b c       nên phương trình  3  * có hai nghiệm: 1 1; 2 2 c

x x

a

   

Vì x2 nên nghiệm lại x1

Vậy m  nghiệm lại là giá trị cần tìm

Câu 29: Cho phương trình x2m1x m   (2 0 x ẩn số, m tham số)

a) Chứng tỏ phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2 b) Tính tổng tích hai nghiệm x x phương trình theo m 1, 2

c) Tính biểu thức 2

1

A x x  x x theo m tìm m để A đạt giá trị nhỏ Lời giải

a)    m124.1.m2  2  

1

m m

    m22m 1 4m 8

2 2 9

m m

   m22m 1 8  2

1

m

    ; với m

Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt x x với mọi1, 2 m

b) Với m, phương trình cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1

1

1

2 b

S x x m

a c

P x x m

a 

      



    



c) Ta có 2

1

A x x  x x  2

1

x x x x

    2  

1

m m

    m22m 1 8m 16

2 6 17

m m

   m26m  9 8  2

3 8

m

    ; với m

Dấu “=” xảy m

Vậy giá trị nhỏ A là: MinA m 3

Câu 30: Cho phương trình: x22m1x4m (0 x ẩn số, m tham số)

a) Giải phương trình với m 

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Lời giải

a) Với m  phương trình trở thành: x24x  4 0  *

' 1.4

Vì ' 0  nên phương trình  * có nghiệp kép: 1 2 ' 2 b

x x

a

      

Vậy với m  , tập nghiệm phương trình  * S    2 b) Ta có

   

' m 1 4m

        2

1

m m

   m22m 1 4m m22m1m12

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    ' m12       m m Vậy m  phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 31: Cho phương trình x22x m 2  (1 0 m tham số)

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình theo m

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa: x1 3x2 Lời giải

a) Ta có   ' 12 1.m21 1 m21m2  , với m 2 0

Vì ' 0  , với mnên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Với m , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1

2

2

2

1

1

b

S x x

a

c m

P x x m

a

 

       

  

      



c) Ta có x1x2  (do trên) x1 3x2 nên ta có hệ phương trình sau:

 

1 2

1 2

1 1

2 2

2 2

3 3

2

*

2 1

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x

           

  

        

 

 



          

 

  

      

 



Thay  * vào biểu thức

1

x x  m  ta được:

 3 1 m2 1 m2    2 m 2

Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 32: Cho phương trình: x2m2x m   (1 0 m tham số)

a) Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Gọi x x hai nghiệm phương trình Tìm 1, 2 m để có 2

1 13

x x  x x

Lời giải

a) Ta có  m224.1.m1m24m 4 4m4 m2  , với m 8 0

Vì   , với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Với m , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét:

   

1

1

2

2

1 1

1 m b

S x x m

a

c m

P x x m

a

 

        

 



     



Theo đề bài, ta có:

2

1 13

x x  x x  2

1 2 13

x x x x x x

       2

1 13

x x x x

    

   

2 13

m m

         2  

2 13

m m

     

2 4 4 3 3 13 0

m m m

2 6 0

m m

     *

 

2

1 4.1 24 25 0; 25

          

Do   nên phương trình  * có hai nghiệm phân biệt:

1

1 5

2;

2.1 2.1

m    m    

Vậy m12; m2  giá trị cần tìm

Câu 33: Cho phương trình x2    với m tham số x ẩn số x m 2 0

a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm

b) Giả sử x x hai nghiệm phương trình Tìm m để 1, 2 3

1 2 10

x x x x   Lời giải

a) Ta có   12 4.1.m 2

4  m 4m 

Để phương trình có nghiệm 4 9

4

m m m

           

Vậy

4

m phương trình có nghiệm

b) Với m phương trình có hai nghiệm 94 x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1,

1

1

1 1

2 2

1 b

S x x

a

c m

P x x m

a

 

       

 

     



Ta có 3

1 2 10

x x x x    2

1 2 10

x x x x

   

 2

1 2 2 10

x x  x x x x 

     

   2  

1  m  10

       

1 2m 4 10

     

1 2m 10

     

2m

  

2m

  

5 m   

Vậy

2

m  phương trình có nghiệm

Câu 34: Cho phương trình x24x m   ( x ẩn) 3 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x x 1,

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa 1, 2 2 2 2 51

x x x x  Lời giải

a) Ta có  ' 221.m3   m4 m  

Để phương trình có nghiệm x x 1, 2         ' m m

1

1

4

3 3

1 b

S x x

a

c m

P x x m

a

         

 

     



Ta có 2 2

1 2 51

x x x x   2  2

1 2 2 51

x x x x x x

     

 2    2

4 m m 51

        16 2 m 6 m26m 9 51 0

2 4 32 0

m m

     *

 

2

' 32 32 36 0; ' 36

          

Do ∆’ > nên phương trình  * có nghiệm phân biệt:

1

2

m    (loại); ; 2

1

m     (nhận)

Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 35: Cho phương trình: x22m3x m 23m  ( x ẩn số, m tham số) 1 0

a) Tìm m để phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để A x x 1 2  đạt giá trị nhỏ 1 x2

Lời giải

a) Ta có  ' m321.m23m1m26m 9 m23m 81  m

Để phương trình ln có nghiệm với m ' 9 8

9

m m m 

          

Vậy phương trình ln ln có nghiệm với m

b) Theo câu a, với

9

m phương trình ln ln có nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét:

   

1

2

2

2

2

1

3 3 1

1 m b

S x x m

a

c m m

P x x m m

a

         

 

 

      



Ta có A x x 1 2  1 x2 x x1 2 x1 x2 x x1 2x1x2

 

2 3 1 2 3

m m m

     m23m 1 2m6 m2 m 7 27

4

m m

 

   

 

2

1 27 27

2 4

m

 

    

  , với m (vì

2

1 m

   

 

  , với m )

Dấu “=” xảy m

Vậy giá trị nhỏ A là: 27

4

MinA

2 m

Câu 36: Cho phương trình bậc có ẩnx : x22mx2m 1 0  

1

a) Chứng tỏ phương trình  1 ln có nghiệm x x với giá trị 1, 2 m

b) Đặt  2

1 2

2

A x x  x x , tìm m cho A27 Lời giải a) Ta có   '  m 21 2 m1m22m1  2

1

m

Do ' 0  (với m) nên phương trình  1 ln có nghiệm x x với giá trị m 1, 2 b) Theo câu a, với m phương trình  1 ln có nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1

1

2 2

1

2

2

1

b m

S x x m

a

c m

P x x m

a 

     



 

     



Ta có  2

1 2

2

A x x  x x  2

1 2

2 x x 2x x  5x x

    

 2

1 2

2 x x 4x x 5x x

     2

1 2

2 x x 9x x

  

 2  

2 2m 2m

   8m218m9

Do A = 27 nên thỏa:

2

8m 18m 9 27

2

8m 18m 18

   

2

4m 9m

     *

Ta có    9 24.4 9  81 144 225 0;     225 15

Do   nên phương trình  * có hai nghiệm phân biệt:

9 15 15

3;

2.4 2.4

m    m    

Vậy 1 3; 2

4

m  m  giá trị cần tìm

Câu 37: Cho phương trình x2m3x m   ( x ẩn) 5 0

a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x x hai nghiệm phương trình Tìm m để 1, 2 2

1 4 11

x  x x  x 

Lời giải

a) Ta có    

2

3 4.1

m m

       m324.m 5 m26m 9 4m20

m210m29 m210m254 m52  ; với m

Vì   (với m ) nên phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a, ta có với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x x thỏa hệ 1, 2 thức Viet:

 

1

1

3

3

5

5

m b

S x x m

a

c m

P x x m

a

 



       



 

     

 Ta có

2

1 4 11

x  x x  x  2  

1 11

x x x x

       2  

1 2 11

x x x x x x

      

 2    

3 11

m m m

        m26m 9 2m10 4 m12 11 0 

2 12 20 0

m m

     *

Ta có   '  6 21.20 36 20 16 0;     ' 16 4

Do ∆’ > nên phương trình (6) có nghiệm phân biệt: 1 10; 2

1

m    m   

Vậy m110; m2 giá trị cần tìm

Câu 38: Cho phương trình: x2mx2m  ( x ẩn số) 4 0

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tính tổng tích hai nghiệm theo m

c) Gọi x x hai nghiệm phương trình Định m để 1, 2 2

Lời giải

a) Ta có:  m24.1 2 m4m28m16 m42  ; với m 0

Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m

b) Với m, phương trình cho có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

1

1 2

b

S x x m

a c

P x x m

a        



    



Ta có 2

1

x x   2

1 2

x x x x

      2  

2

m m

     

2 4 8 0

m m

     m24m 3 0  *

Vì a b c       nên phương trình  4  * có hai nghiệm:

3

1;

1 c

m m

a

   

Vậy m11;m2 giá trị cần tìm

Câu 39: Cho phương trình x22x4m  (1 0 x ẩn số)

a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa 1, 2 2

1 2 2 12

x x  x  x 

Lời giải

a) Ta có   '  1 21 4 m1 1 4m1 2 4m

Để phương trình có nghiệm ' 4

2

m m m

           

Vậy

2

m phương trình có nghiệm

b) Theo câu a, với

2 m

    phương trình có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1,

1

1

2

4 4 1

1 b

S x x

a

c m

P x x m

a

         

 

     



Ta có 2

1 2 2 12

x x  x  x   2  

1 2 2 12

x x x x x x

      

 

2

2 4m 2.2 12

       4 8m  2 12 0  8m 2

4

m 

  (thỏa)

Vậy

4

m  giá trị cần tìm

Câu 40: Cho phương trình bậc hai: x2– 2mx4 – 0m  (x ẩn)

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Gọi x x hai nghiệm phương trình Tìm 1, 2 m để

1 2

x  mx  m 

Lời giải

a) Ta có   '  m 21 4 m4m24m4m22  0, m Do ' 0, m   nên phương trình ln có nghiệm với m

b) Theo câu a) ' 0    nên phương trình ln có hai nghiệm m x x thỏa hệ thức Vi-1,

1

1

2

4 4 4

1

b m

S x x m

a

c m

P x x m

a 

     



 

     



Do x nghiệm phương trình nên thỏa: 1

1 4

x  mx  m 

2

1 4

x mx m

     *

Ta có

1 2

x  mx  m 

1

2mx 4m 2mx 8m

       (do  * )

 2

2m x x 12m

    

2m.2m 12m

    (do hệ thức Vi-ét)

 

2

2

4m 12m

2m

2m 2m

3 m

2

   

  

  

 

 

Vậy m

2

 giá trị cần tìm

Câu 41: Cho phương trình: x22m4x m   6 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Tính theo m biểu thức

1

1

A

x x

  tìm m để A

Lời giải a) Ta có:   '  m42m6

 2

' m m

    

2

' m 8m 16 m

     

2

' m 9m 22

   

2

9

' 0,

2

m m

 

      

 

Do ' 0, m   nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình ln có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

   

1

1

2 4

b

x x m m m

a c

x x m

a 

          

 

   



Có:  

1 2

2 12

1

6

m

x x m

A

x x x x m m

  

 

    

 

   

2 6 4

2

6 6

m m

m m m m

  

    

   

Để A

Lập bảng:

m -4 -2 -1

m 10

Vậy m2; 4;5;7;8;10 A

Câu 42: Cho phương trình: x22m2x2m 0  1 với x ẩn số

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt x x 1, 2

b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức 2 1

x   x x Lời giải

a) Ta có:   '  m22  2m  2

2

m m

   m24m 4 2m

m22m4m12   3 0, m

Do ' 0, m   nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình ln có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1,

   

1

1

2 2 2

b

S x x m m m

a c

P x x m

a 

           

 

    



Ta có:

2 1

x  x x x2 x1 2m2x12m2m   4 x1 x1 2m2x12m

 

1

4 2x 2m x

     1

2

x

m m

  

 

Thay 1

1 x

m 

 vào  1 ,ta được:  

2

2

2 2

1 m m m m

      

     

   

        

2

2 2

4 2

4

0

1 1

m m m m

m m m

  

   

  

   2

4 m 3m 2m 2m m

        

2

4 4m 12m 2m 4m 2m

       

3

2m 8m 14m 12

    

3 4 7 6 0

m m m

    

m 2m2 2m 3 0

    

2 m

 

Vậy m 2 giá trị cần tìm

Câu 43: Cho phương trình: x22x2m2 0  1 với x ẩn số

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b) Tìm giá trị m để hai nghiệm phương trình thỏa hệ thức 2

1

x  x Lời giải

a) Ta có:   '  1 2  2m2 1 2m2  0, m

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình ln có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

   

1

2

2

b

S x x

a c

P x x m

a 

        



    



Có: 2

1

1

2

2

x x

x x

x x

 

  

  

TH1:

1

1

1

2

4

2 3

2

3 x

x x

x x x

   

 

   

  



thay vào  3 Ta được: 2

3 3   m (vô lý)

TH2:

1 2

2

2

x x x

x x x

  

 



     

  thay vào  3 Ta được:  

2

4 2  2m m     m

Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 44: Cho phương trình: x23m2x2m2   m 3 0  1 ,(với x ẩn số)

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Gọi x x nghiệm 1,  1 Tìm m để x13x2

Lời giải a) Ta có:    3m224 2 m2 m 3

 

3m228m24m12

9m212m 4 8m24m12

m28m16m42  0, m

Do    nên phương trình ln có nghiệm với m 0, m

b) Theo câu a,     nên phương trình ln có hai nghiệm m x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1,

 

 

1

2

3

3

b

S x x m m

a c

P x x m m

a 

         

 

     



Ta có hệ phương trình sau:

1

1

1

2

9

3 4

3

4 m x

x x

x x m m

x

    

 

     

  



, thay vào  3 , ta được: 2 3

4

m  m  m  m

9m 6 3 m 2 16 2 m2 m 3

     

2

27m 36m 12 32m 16m 48

     

2

5m 20m 60

   

2 4 12 0

m m

   

2,

m m

   

Vậy m 2,m giá trị cần tìm

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m để phương trình có nghiệm x x thỏa mãn 1, 2    2

1 1 2

x  x  x x x x 

Lời giải a) Ta có:  ' m22  m2 m22m2   0, m

Do ' 0, m   nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Theo câu a, ' 0, m   nên phương trình ln có hai nghiệm x x thỏa hệ thức Vi-ét: 1, 2

 

 

1

2

2

b

S x x m m

a c

P x x m

a 

        

 

    



Ta có:

   2

1 1 2

x  x  x x x x 

   

1 2 1 2

x x x x x x x x

      

 

2 4 2 1 4 2 2

m m m m

        

2 2 5 4 2 2

m m m m m

       

3

2m 5m 2m

    

   

2 2 5 2 5 0

m m m

    

2m 5m2 1 0

   

5 m

 

Vậy

2

m giá trị cần tìm

Câu 46: Cho phương trình: x22m1x m 2  3 0  1 ( với x ẩn số)

a) Tìm điều kiện để  1 có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x x thỏa mãn 1, 2

      2

1 2 1

2x 1 x  1 2x 1 x  1 x x  14 Lời giải a) Ta có:  '  m12m23

  m12m23m22m 1 m232m Để  1 có nghiệm ' 2  m     m

b) Theo câu a) ' 0     nên phương trình ln có hai nghiệm m x x thỏa hệ thức Vi-1, 2 ét:

 

 

1

2

2 2

3

b

S x x m m

a c

P x x m

a 

         

 

    

 Ta có:

      2

1 2 1

2x 1 x  1 2x 1 x  1 x x 14

 2

1 2 2 1 2

2x x 2x x 2x x 2x x x x 2x x 14

           

   2

1 2 2

4x x x x x x 2x x 14

 2  

1 2 16

x x x x x x

      

 2  2   

2m m 2m 16

       

2

4m 8m 6m 18 2m 16

        

2

2m 6m 36

   

2 3 18 0

m m

   

3,

m m

   

Vậy m giá trị cần tìm

Câu 47: Tìm m để phương trình x2mx  ( m tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3

1

3x x  Lời giải

Ta có:  m212

Để pt có nghiệm phân biệt    m2 m 2

Kết hợp với hệ thức Viét ta có :

1

1

1

(1)

3 (2)

3 (3)

x x m

x x

x x

 



  



 



Giải hệ    1 , ta 1

m

x   ; 2

2 m

x  

Thay 1

2 m

x   , 2

2 m

x   vào  3 ta :

6 3

2

m m

    6m3m612 m 4

Vậy m giá trị cần tìm

Câu 48: Cho phương trình x25m1x6m22m 0  1 (m tham số)

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Gọi x x nghiệm phương trình Tìm m để 1, 2 2

1

x x 

Lời giải a) Ta có:    5m124 6 m22m

  25 m210m 1 24m28m

2

m 2m1  2

1 0,

m m

   

Vì    nên phương trình (1) ln có nghiệm với m 0, m

b) Gọi x x hai nghiệm phương trình 1, 2

Ta có: 1 1

2

m m

x      m ;  

5 1

2

m m

x      m

Theo đề bài: 2

1

x x     2

3m 2m

    9m26m 1 4m2 1 0

2

13m 6m

   m0;

13 m

Vậy m ;

13

Câu 49: Cho phương trình: x22(m1)x m   3 0  1

a) Chứng minh phương trình  1 ln ln có nghiệm phân biệt

b) Gọi x x nghiệm phương trình 1, 2  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

P x  x

c) Tìm hệ thức x 1 x không phụ thuộc vào 2 m Lời giải a) Ta có:   '  (m1) 2 m 3

2

' m 2m m

     

2

' m 3m

   

2

2 3

'

2 2

m m

     

       

   

 

 

2

3

' 0,

2

m m

 

      

 

Do ' 0, m   nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x x hai nghiệm phương trình 1,  1

Áp dụng định lý Vi-ét:

   

 

1

1

2

3 b

S x x m

a c

P x x m

a 

     

 

    

 Theo đề ta có:

2 2

P x  x

 2 

1 2 2

P x x  x x  x x

 2

1 2

P x x  x x

 2  

4

P m  m

2

4

P m  m  m

2

4 10 10

P m  m

 2 5

2 2.2 10

2 2

P m  m       

   

 

 

2

5 15 15

2 ,

2 2

P m    m

 

Dấu " " xảy 5

2

m m

Vậy  2

15

Min x x 

4 m

c) Từ  3  m x x1 2

Thay m x x 2 vào  2 , ta được: x1x2 2x x1 2 3 1  x1 x2 2x x1 

Câu 50: Cho phương trình bậc hai (ẩn x , tham số m ): x2– 2mx 2 m  1 0  1

Với giá trị m phương trình  1 có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x13x2 Lời giải

Ta có:   '   m 2 2m 1

2

' m 2m

   

 2

' m 0, m

    

Với m phương trình  1 có hai nghiệm x x 1, 2

Áp dụng Định lý Vi-ét:

   

1

1

2

2 b

S x x m

a c

P x x m

a       



    



Giải hệ:

1

2

3

x x m

x x

 



   

2

1

4

3

x m

x x

 

   

  

2

1

2

2 m x

m x     

  

Thay  4 vào  3 , ta được:

2

3

2

4 m

m

  3m28m 4 0 *

 2

' 3.4

   

'  

'   

Nên phương trình  * có nghiệm phân biệt: 1 2; 2

m  m 

Vậy 1 2; 2

3

m  m  giá trị cần tìm

Câu 51: Cho phương trình: x2– 5x m  0  1 ( m tham số)

a) Giải phương trình m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn:1, 2 x1x2 

Lời giải

a) Với m phương trình  1 trở thành x2– 5x  6 0  *

25 – 4.6

    Suy phương trình có hai nghiệm: x13; x2 

Để phương trình cho có nghiệm x x 1, 2 25 m

   

Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :

     

1

1

1

5 3

x x

x x m

x x

  

  

   

Giải hệ    1 , :  

1

1 2

1

2

1

5

3

1 x

x x x

x x x

x

 

 

  

 

   

 

 

  

Từ  2  4 suy ra: m Thử lại thoả mãn Vậy m giá trị cần tìm

Câu 52: Cho phương trình ẩn x : x2– 2mx  4 0  1

a) Giải phương trình cho m

b) Tìm giá trị m để phương trình  1 có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2

  2 2

1 2

x   x  

Lời giải

a) Với m = phương trình  1 trở thành: x2– 6x  4 0  2

Giải  2 ta hai nghiệm: x1 3 5,x2 3 b) Ta có:  ' m2 4

Phương trình  1 có nghiệm  '

-2 m m

 

    

  *

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1

1

2

4 b

S x x m

a c P x x

a       



   



Ta có :x11 2 x212 2 2

1 1 2 2

x x x x

       2  

1 2

x x x x

    

 2  

1 2 2

x x x x x x

       2

2m 2.4 2.2m

    4m24m  8 0

2 2 0

m m

   

2

1 m m

 

   



Đối chiếu với điều kiện  * ta thấy có nghiệm m2   thỏa mãn Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 53: Cho phương trình ẩn x : x2– 2mx  1 0  1

a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x và1 x 2 b) Tìm giá trị m để: 2

1 –

x x x x 

Lời giải a) Ta có:  ' m2   1 0, m

b) Theo định lí Vi-ét:

1

S

b

x x m

a c

P x x

a       



    



Ta có: 2

1 –

x x x x   2

1

x x x x

     2  

2m

   

2

4m

   m 

Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 54: Cho phương trình ẩn x : x2–x   1 m 0  1

a) Giải phương trình cho với m

b) Tìm giá trị m để phương trình  1 có hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2

   

1 2–

x x x x  x x

Lời giải

a) Với m phương trình  1 trở thành x2–x  1 0  2

Ta có :    1 24.1.1   , nên phương trình  2 vơ nghiệm b) Ta có:    1 – 12  m 3 – 4m

Để phương trình có nghiệm 4

3

m m 

         *

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1

1

1

P=

b

S x x

a c

x x m

a       



   



Thay vào đẳng thức: x x x x1 2 1 2– 2 3 x1x2 ta được: 1m1m–23.1

1 m m –1

   m2 1 3m2 4m  2

Đối chiếu với điều kiện  * suy có m  thỏa mãn Vậy m  giá trị cần tìm

Câu 55: Cho phương trình x4(m24 )m x27m  Định 1 0 m để phương trình có nghiệm phân

biệt tổng bình phương tất nghiệm 10 Lời giải Đặt X x X2 0

Phương trình trở thành X4(m24 )m X27m  (1) 1 0

Phương trình có nghiệm phân biệt  (1) có nghiệm phân biệt dương

0 S P    

 

  

2

2

( ) 4(7 1)

4

7

m m m

m m

m

    



  

  



(I)

Với điều kiện (I), (1) có nghiệm phân biệt dương X , 1 X 2  Phương trình cho có nghiệm

1,2

x   X ;

2 2 2 2( 2) 2( )

x x x x X X m m

       

Vậy ta có 2( 4 ) 10 4 5 0

5 m

m m m m

m  

       

   Với m , (I) thỏa mãn

Với m  , (I) không thỏa mãn Vậy m giá trị cần tìm

Câu 56: Cho phương trình 2x22m1x m   Khơng giải phương trình, tìm m để phương 1 0

trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x thỏa mãn 2 3x14x211 Lời giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x 2  0  2  

2m 4.2 m

    

2

4m 4m 8m

      4m212m 9 02m32  0

Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x , x với  

3

m

Theo định lí Vi-et, ta có:  

1

1 2

1

13

2

7

1 7

*

2 26

3 11 3.13 4. 7 11

7 26

m

m x

x x

m m

x x x

m

x x m m

m 

 

    

 



  

   

  

 

   

   

  

 

Giải phương trình  * ta được: m   2 m 4,125 So với điều kiện  1 , ta được: m   2 m 4,125

Câu 57: Cho phương trình: x22m1x m 2 3 0  1 (m tham số)

a) Tìm m để phương trình  1 có nghiệm

b) Tìm m để phương trình  1 có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Lời giải

a) Tìm m để phương trình  1 có nghiệm Phương trình  1 có nghiệm  

   2 

2 m m

       4m28m 4 4m212 0   m 2

Vậy với m phương trình  1 ln có nghiệm

b) Tìm m để phương trình  1 có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Với m phương trình  1 có nghiệm

Gọi a nghiệm nghiệm 3a Theo Vi-et, ta có: 22 1

.3

a a m

a a m

   

  



Giải hệ phương trình trên, ta được: m  3 thỏa mãn điều kiện

Vậy m  3 6phương trình  1 có hai nghiệm cho nghiệm ba lân nghiệm

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m

b) Gọi x , 1 x hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu

thức:

 

1 2

1 2

2

2

x x P

x x x x

 

  

Lời giải

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m Phương trình ln có nghiệm với m  

 

2 4 1 0

m m

     2

2

m

  

Vậy phương trình ln có nghiệm với m

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức:

 

1 2

1 2

2

2

x x P

x x x x

 

  

Theo Vi-et, ta có: 2

x x m

x x m

 



  



Khi đó: 22

2 m P

m  



Tìm điều kiện để P có nghiệm theo ẩn

Suy 1

2 P

  

Vậy giá trị lớn m , giá trị nhỏ 1

 m 

Câu 59: Cho phương trình 2 2 4 1 0  1

2 x mx2 3m  m 

a) Giải phương trình  1 với m 

b) Tìm m để phương trình  1 có nghiệm thỏa mãn 1 2

1

1

x x

x x  

Lời giải a) Giải phương trình  1 với m 

Thế m  vào phương trình  1 ta x22x  9 0

Giải phương trình ta được:

1 10

1 10

x x

    

  



b) Tìm m để phương trình  1 có nghiệm thỏa mãn 1 2

1

1

x x

x x  

Để phương trình có nghiệm  0 8m 2  * m

 

Để phương trình có nghiệm khác thì: 2 4 1 0

2 3m  m 

Hay  

2

4 ** m

m

   

 

  



Theo đề bài, ta có: 1 2

1

1

x x

x x   x1x2x x1 2  1

1

1

0

x x

x x

 



   

2

2

8

m

m m

 

    



0

4 19

4 19

m m m

  

   

    

Kết hợp với điều kiện  *  ** , ta m    0 m 19

Câu 60: Xác định giá trị tham số m để phương trình: x2m5x m   6 0

Có hai nghiệm x , 1 x thỏa mãn hai điều kiện sau: 2 a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị

b) 2x13x213

Lời giải Để phương trình có hai nghiệm x , 1 x 2  

 2  

5

m m

     m214m  1 0    m 7 3   m 7 3  *

a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị

Giả sử x1 , theo Vi-et, ta có: x2

2

1

1

1

x x

x x m

x x m

  

    

   



Giải hệ ta được: m    thỏa mãn m 14  *

b) Theo giả thiết ta có:

1

1

1

2 13

5

x x

x x m

x x m

 



    

   



Giải hệ ta được: m   thỏa mãn m  *

Câu 61: Cho phương trình:x22m1x m  3 0  1

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt

b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình  1 mà khơng phụ thuộc vào

m

c) Tìm giá trị nhỏ 2

1

P x  (với x x , x nghiệm phương trình  1 )

Lời giải

a) Để phương trình  1 ln có hai nghiệm phân biệt thì:   

  2 

1

m m

     m23m  4 0

2

3

0

2

m

 

    

  với m

Vậy phương trình  1 ln có hai nghiệm với m

b) Theo Vi-ét:  

1

2

x x m

x x m

  



  



1

1

2

2

x x m

x x m

  



   



d) Suy x1 x2 2x x1 2 hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình  1 mà không phụ thuộc vào m

 2  2

2 2

1 2

5

2 2 10 10 4

2

P x x  x x  x x  m  m  m  m  m   

Vậy Pmin  m

Câu 62: Cho ph-ơng trình:x22m 1 m2 m 6 0  *

a) Tìm m để phương trình  * có hai nghiệm

b) Tìm m để phương trình  * có hai nghiệm x , x thỏa mãn 3 50

x x 

Lời giải

a) Để phương trình  * có hai nghiệm thì:  0  2  2 

2m m m

      25 0

Vậy phương trình  * ln có hai nghiệm phân biệt với m Để phương trình  * có hai nghiệm âm thì:

1

0 x x

x x

 

   

2 6 0

2

m m

m

   

   



3

1

m m

m

    



   

    m

Vậy với m  phương trình  * ln có hai nghiệm âm b) Với  25 suy x1 m 2;x2   m

Theo giả thiết, ta có: 3 50

x x    3 3

2 50

m m

      5 3 m23m7 50

2 1 0

m m

   

2

1

2

1

2 m

m

  

  

  

  

Câu 63: Bài Cho phương trình có ẩn x : x2mx m   ( m tham số ) 1 0

1 Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm x , x với m

2 Đặt 2

1

A x x  x x a) Chứng minh A m 28m 8

b) Tìm m cho A

c) Tính giá trị nhỏ A giá trị m tương ứng d) Tìm m cho x13x2

Lời giải

1 Để phương trình có hai nghiệm x , 1 x  0  

2 4 1 0

m m

     2

2

m

  

Vậy với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

2 2

1

A x x  x x

a) 2

1

A x x  x x  2

1

x x  x x m28m 1 m28m 8

b) Với A m28m  8 8 m   8 m 0

c) A m 28m 8 m42   8 8

d) Theo Vi-et, ta có:

1

1

1

1

x x m

x x m

x x

 



  

   

1

2

4 m

m   



 

Câu 64: Bài 10 Cho phương trình bậc có ẩn x: x22mx2m  1 0

1 Chứng tỏ phương trình có nghiệm x , 1 x với m 2

2 Đặt  2

1 2

2

A x x  x x

a) Chứng minh A8m218m 9

b) Tìm m cho A27

c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ d) Tìm m cho x13x2

Lời giải Chứng tỏ phương trình có nghiệm x , 1 x với 2 m

Để phương trình có nghiệm  0 4m24 2 m 1 0  2

2m

  

Vậy phương trình ln có nghiệm x , 1 x với m 2

2  2

1 2

2

A x x  x x  2

1 2

2

A  x x x x  x x

       2

1 2

2

A x x x x

   

Theo Vi-et, ta có: 2

2

2

x x m

x x m

 



  



a) A2 2 m 29 2 m 1 8m218m (đpcm) 9

b) Theo giả thiết, ta có: A27 8m218m 9 274m29m  9 0

3 m

m    

  



c) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất:

2

2 9

8 18 2

8

2

A m  m  m    

 

Vậy min

8

A  

8 m 

d) Tìm m cho x13x2

Theo Vi-et, ta có:

1

1

1

2

2

3

x x m

x x m

x x

 



  

   

1

2

2 m

m    

 



Câu 65: Bài 11 Cho phương trình bậc hai ẩn x (m tham số ): x22m1x2m 5 0  1

1 Giải biện luận số nghiệm x , 1 x của2  m theo tham số m Tìm m cho x , 1 x thỏa mãn: 2

a)

2

2

x x

x  x 

b) x1 x2 2x x1 2 c) 2x13x2 

d) Tìm m cho  2

1 2

1 Giải biện luận số nghiệm x , 1 x  1 theo tham số m

 2 2

1

m m m



      

- Nếu   m2  4 0     2 m 2

Phương trình  1 vơ nghiệm

- Nếu   m2  4 0

2 m m

 

   



Phương trình  1 có nghiệm x  - Nếu   m2  4 0     2 m 2

Phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt Tìm m cho x , x thỏa mãn

- Theo Vi-et, ta có:  

1

2

2

x x m

x x m

   



   



- Điều kiện nghiệm khác  *

2 m

 

a)

2

2

x x

x  x 

2

1 2

x x x x

    2

1

x x x x

     2

4 m 8m 20

     m 

b) x1 x2 2x x1 26  2m 1 4m10 6   m

c) Theo giả thiết, ta có:

 

1

1

1

2

2

2

x x m

x x m

x x

   



   



   



1

13 2

6

m m

   

d) Tìm m cho  2

1 2

12 10x x  x x đạt giá trị lớn

Ta có:  2

1 2

12 10x x  x x  2

1 2

12 8x x x x

       2

12 2m m

     

2

4m 24m 32

     2

4 m 23 92

      

Đẳng thức đạt giá trị lớn 92 m

Câu 66: Bài 12 Cho phương trình: x22m1x m 2  (3 0 mlà tham số )

a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để 2

1 4,

x x  với x , x hai nghiệm phương trình

Lời giải a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt      2m4   m

b) Theo Vi-et, ta có:

 

1 2

2 2

2

3

x x m

x x m

x x

  



  



   

1

m m

   

Câu 67: Bài 13 Cho phương trình: x2mx m   (1) ( 1 0 m tham số )

a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với m

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x , 1 x thỏa mãn hệ thức

2

1 2

a)  m24m 4 m22 với m 0

b) 2

1 2

x x x x  x x x1 2 1x22 m1m m2   m m    m

Câu 68: Bài 14 Cho phương trình: x22mx2m  3 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Tính tổng tích hai nghiệm phương trình theo m

c) Tìm m để x1 x2 2x x1 2  (3 x , 1 x nghiệm phương trình ) 2 Lời giải

a)   m22m 3 m12  2 0

Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m b) Theo Vi-et, ta có:

1

2

2

x x m

x x m

 



  



c) x1x22x x1 2 32m3 m  

Câu 69: Bài 15 Cho phương trình: x22m2x2m  ( x ẩn số ) 5 0

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x , x với m

b) Tìm m để 2

1 2

A x x x  đạt giá trị lớn x Lời giải a)   m2 2 2m5  m32

Vậy với m phương trình ln có nghiệm x , 1 x 2

b)    

2

2

2

1 2 2

9 3

2 2

2 4

A x x x x  x x  x x  m  m   m    

 

 

 

Vậy max

4

A  

4 m

Câu 70: Bài 16 Cho phương trình: x22m1x m  ( m tham số ) 0

a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Tìm m để

1 2

A x  x mx x x đạt giá trị nhỏ Lời giải

a)  2m124m4m28m 4 4m12  0

Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Theo Vi-et, ta có: x1x22m x x1 2  m

Khi đó: 4 3

2

A m   Vậy

3

A  m

Câu 71: Bài 17 Cho phương trình: x22m3x m 2   (m 1 0 x ẩn )

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Cho 2

1

B x x  x x tìm m để B đạt giá trị lớn Lời giải

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  0 m  

b) Bx1x227x x1

2 32 7 1

B m  m   m

2

5 49 49

3

6 36 12

B  m   

 

 

 

Vậy max

49 12

B 

6 m 

Câu 72: Bài 18 Cho phương trình: x22m1x m 24m  3 0

a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị nhỏ A x x 22x1x2 giá trị m tương ứng

Lời giải a)   m12m24m  3 2m 2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt      m b) Theo Vi-et, ta có: x1x2 2m 1 x x1 2m24m

Khi đó: A m 24m 3 4m1 A m2   1 1

Vậy Amin   m

Câu 73: Bài 19 Cho phương trình: 2x22m1x m   1 0

a) Chứng minh phương trình có nghiệm x , x

b) Viết tổng tích hai nghiệm theo m

c) Tìm m để nghiệm x , 1 x phương trình thỏa mãn: 2

2

4x 4x 9

x x

    

Lời giải a)  2m124.2.m 1  2

2m

  

Vậy phương trình ln có nghiệm x , 1 x 2

b) Theo Vi-et, ta có: 1 2

2 m

x x    1 2

2 m

x x   \

c) Điều kiện để x 1 x khác m

Theo giả thiết, ta có:

2

4

9

x x

x x

       2 

1 2

4 x x x x x x

     

 2

2 1

2 m

m  m

      8m24m0m   thỏa điều kiện 0 m 2 m 1

Câu 74: Cho phương trình x22mx2m  1 0

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x , 1 x với m

b) Đặt  2

1 2

2

A x x  x x Tìm m cho A = 27 Lời giải

a)

2

2 2 0

2

m m m 



        

Vậy phương trình ln có hai nghiệm với m

b)  2  2

1 2 2

2 18

A x x  x x  x x  x x  m  m

Theo giả thiết, có: A27 8m218m 9 278m218m18 0 3

4

m m

    

Câu 75: Bài 21 Cho phương trình x22mx m  2 0  1 (x ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Định m để hai nghiệm x , 1 x phương trình (1) thỏa mãn: 2

      2

1 2 1

1x 2x  1 x 2x x x  Lời giải

a)

2

2 2 0

2

m m m 



        

 

Vậy phương trình  1 ln có hai nghiệm với giá trị m b) Theo Vi-et, ta có: x1x22m x x1   m

Theo giả thiết, ta có:      2

1 2 1

1x 2x  1 x 2x x x 

  2 

1 2

x x x x

      4m22m 2 0 1

2

m m

    

Câu 76: Bài 22 Cho phương trình: x2mx m  2 0  1 ( x ẩn số)

a) Chứng minh phương trình 1 ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Định m để hai nghiệm x , 1 x 2  1 thỏa mãn:

2

1

1

2. 4

1

x x

x x

  

 

Lời giải a)  m24.(m2)m24m 8 m22  4 0

Vậy phương trình  1 ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Theo Vi-et, ta có: x1x2 m x x1 2  m

Theo giả thiết: 12 22

1

2

1

x x

x x

  

       

2

1 2

2 x x x x x x

     

 2

2m m 4m

     m 

Câu 77: Cho phương trình 2mx 1 x2 0  1 ( x lầ ẩn số)

a) Chứng minh phương trình  1 ln có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Gọi x , 1 x hai nghiệm phương trình 2  1 Tính giá trị biểu thức:

    2

1 2 2 2

A x  x  x  x   x x

Lời giải Phương trình  1 x22mx  2 0

a)   m2  Vậy phương trình 2 0  1 ln có hai nghiệm phân biệt với m

b) Theo Vi-et, ta có: x1x22m x x1 2  

Theo giả thiết, ta có:     2

1 2 2 2

 2    

1 2 16

A x x x x x x x x x x

       

2

4 16 16 32

A m m m

       A 4m232m28