Đang tải... (xem toàn văn)
3. Hai đội công nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc. Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm [r]
(1)Chủ đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A) Tóm tắt lý thuyết
Bước 1: Lập phương trình hệ phương trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn
b) Biểu diễn đại lượng chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế
B) Các dạng toán
Dạng 1: Toán quan hệ số.
Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)
+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc100a 10b c ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN)
+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương tổng hai số x, y là: (x + y)2.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: 1 xy
Ví dụ 1: Một số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị phân số
2 phân số cho Tìm phân số đó?
Giải:
Gọi tử số phân số x (đk: x3)
Mẫu số phân số x + Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị
Tử số x +
Mẫu số x + + = x + Được phân số
2 ta có phương trình
x 1 x
2(x 1) x
x 2( Thoả mÃn điều kiện to¸n)
Vậy phân số ban đầu cho
Ví dụ 2: Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó?
Giải
Gọi chữ số hàng chục x ((0 < x9, xN) Chữ số hàng đơn vị y (0<y9, yN)
Vì tổng chữ số ta có x + y = (1) Số xy10xy
Số viết ngược lại yx10yx
(2)xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình x y x y 2x
9x 9y 63 x y x y
x
(thoả mÃn điều kiện) y
Vậy số phải tìm 18
Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương 85
Giải
Gọi số bé x (xN) Số tự nhiên kề sau x +
Vì tổng bình phương 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85
2 2
2
2
x x 2x 85 2x 2x 84 x x 42
b 4ac 4.1.( 42) 169 169 13
Phương trình có hai nghiệm
1
2
1 13
x 6(thoả mÃn điều kiện)
1 13
x 7(lo¹i)
2
Vậy hai số phải tìm
Bài tập:
Bài 1: Đem số nhân với trừ 50 Hỏi số bao nhiêu?
Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số biết
5 số thứ
6 số thứ hai
Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị hàng chụccho số giảm 45 đơn vị
Bài 4: Tìm hai số đơn vị tích chúng 150
Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số lập phương số tạo chữ số hàng vạn chữ số hàng nghìn số cho theo thứ tự
Đáp số:
Bài 1: Số 19;
Bài 2: Hai số 15 36 Bài 3: Số 61
Bài 4: Hai số 10 15 -10 -15; Bài 5: Số 32
Dạng 2: Tốn chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đường S; Vận tốc v; thời gian t thì: S = v.t; v s; t s
t v
Gọi vận tốc thực ca nô v1 vận tốc dịng nước v2 tì vận tốc ca nơ xi dịng
nước
v = v1 + v2 Vân tốc ca nơ ngược dịng v = v1 - v2
Ví dụ1: Xe máy thứ quảng đường từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km
(3)Giải:
Gọi vận tốc x thứ x (km/h), đk: x>3; Vận tốc xe tứ hai x - (km/h)
Trong 20 phút (=10
3 giờ) xe máy thứ 10
x(km)
Trong 40 phút (=11
3 giờ) xe máy thứ 11
(x 3)(km)
Đó quảng đường tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phương trình 10 11
x (x 3) x 33
3 3 (thoả mãn điều kiện toán)
Vậy vận tốc xe máy thứ 33 km/h Vận tốc xe máy thứ hai 30 km/h Quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình 110 km
Ví dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc ô tô xe máy ?
Giải
Gọi vận tốc ô tô x (km/h), đk: x > Gọi vận tốc xe máylà y(km/h), đk: y > Thời gian xe máy để gặp ô tô 80
y (giờ)
Quảng đường ô tô 100 km nên thời gian tơ 100 y (giờ) ta có phương trình 100 80
x y (1)
Quảng đường xe máy 60 km nên thời gian xe máy 60 y (giờ) Quảng đường ô tô lag 120 km nên thời gian ô tơ 120
y (giờ) Vì tơ trước xe máy 54 phút =
10nên ta có phương trình 120 60
(2) x y 10
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
100 80 100 80
0
x y x y
120 60 40 20
x y 10 x y 10
Vậy vận tốc ô tô 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h
Ví dụ 3: Một tơ quảng đường dai 520 km Khi 240 km ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đường cịn lại T ính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian hết quảng đường
100 80 60 12
x y x 10 x 50
(thoả mÃn điều kiện) 100 80
160 80 12 y 40
0 x y x y 10
(4)Giải:
Gọi vận tốc ban đầu ô tô x (km/h), đk: x>0 Vận tốc lúc sau ô tô x+10 (km/h)
Thời gian ô tô hết quảng đường đầu 240 x (giờ) Thời gian ô tô hết quảng đường đầu 280
x 10 (giờ)
Vì thời gian tơ hết quảng đường nên ta có phương trình
2
240 280
8 x 55x 300 x x 10
2
b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 4225 65
Phương trình có hai nghiệm x155 65 60(TMDK);x2 55 65 5(loai)
2
Vậy vận tốc ban đầu ô tô 60 km/h
Bài tập:
1 Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A hướng với ô tô thứ với vận tốc 40 km/h Hỏi sau tơ gặp nhau, điểm gặp cách A km?
2 Một ca nơ xi dịng 50 km ngược dịng 30 km Biết thời gian xi dịng lâu thời gian ngược dịng 30 phút vận tốc xi dòng lớn vận tốc ngược dòng km/h
Tính vận tốc lúc xi dịng?
3 Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10 km/h ô tô thứ đến B trước ô tô thứ hai 30 phút Tính vânl tốc tơ
4 Một thuyền dịng sơng dài 50 km Tổng thời gian xi dịng ngược dịng 10 phút Tính vận tốc thực thuyền biết bè thả phải 10 xi hết dịng sơng
5 Một người xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe?
6 Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trơi tự từ A đến B Ca nơ đến B quay lại A ngay, thời gian xi dịng ngược dịng hết 15 Trên đường ca nơ ngược A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dòng nước?
Đáp án: 1. (giê)3
8 20 km/h
3 Vận tốc ô tô thứ 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai 50 km/h 25 km/h
5
6 Vận tốc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nước km/h
Dạng 3: Tốn làm chung cơng việc
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm
(5)- Xem tồn cơng việc
Ví dụ 1:
Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu?
Giải:
Ta có 25%=
Gọi thời gian người thứ hồn thành công việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc y(y > 0; giờ) Trong người thứ làm
x công việc Trong người thứ hai làm
y công việc
Hai người làm xong 16 Vậy hai người làm
16cơng việc Ta có phương trình: 1 (1)
xy 16
Người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25%=
4 cơng việc Ta có phương trình
xy 4(2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
1 1 3 1
x y 16 x y 16 x y 16
3 6
x y x y y 16
x 24
(thoả mÃn điều kiện) y 48
Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc 48
Ví dụ 2:
Hai thợ đào mương sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong công việc?
Giải :
Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ) Mỗi đội làm c«ng viƯc
x
Mỗi đội làm c«ng viƯc x 2
Vì hai đội sau 55 phút =211 35
12 12(giờ) xong Trong hai đội làm 12
35 cơng việc
Theo ta có phương trình 1 12
(6)2
12x 46x 70 6x 23x 35
Ta có
2
1
( 23) 4.6.( 35) 529 840 1369 1369 37
23 37 23 37
Vậy ph ơng trình có hai nghiƯm x 5(thoa m·n); x 2(lo¹i)
12 12
Vậy đội thứ hồn thành cơng việc Đội hai hồn thành cơng việc
Chú ý:
+ Nếu có hai đối tượng làm công việc biết thời gian đại lượng hơn, đại lượng ta nên chọn ẩn đưa phương trình bậc hai
+ Nếu thời gian hai đại lượng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải
Ví dụ 3:
Hai người thợ sơn cửa cho ngơi nhà ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong công việc?
Giải:
Gọi thời gian để người thứ hồn thành cơng việc x (x>2; ngày) Gọi thời gian để người thứ hai hồn thành cơng việc y (x>2; ngày) Trong ngày người thứ làm
x công việc Trong ngày người thứ hai làm
y công việc
Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm
2 công việc Từ ta có pt
x + y =
1 (1)
Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày xong cơng việc ta có pt:
4 1 xy (2)
Từ (1) (2) ta có hệ pt
1 1 1
x y x y x
(thoả mÃn đk)
4 y
1
x y x
Vậy người thứ làm xong cơng việc ngày Người thứ hai làm xong cơng việc ngày
Bài tâp:
1 Hai người thợ làm cơng việc xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 1/3 cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc?
2 Để hồn thành công việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?
(7)4 Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vòi nước chảy vào dung lượng nước chảy Người ta mở cho hai vịi chảy vào bình sau khố vịi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ
Tính xem vịi thứ chảy lít nước
Kết quả:
1) Người thứ làm 54 Người thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15 3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày
4) Mỗi vòi thứ chảy 75 lít
Dạng 4: Tốn có nội dung hình học:
Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác S 1x.y
2
( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng)
- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc vng)
- Số đường chéo đa giác n(n 3)
(n số đỉnh)
Ví dụ 1: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng
mỗi kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2. Giải:
Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0)
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1)
Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2)
Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = 0
Ta có
( 13) 4.40
Phương trình có hai nghiệm
13 13
X 8; X
2
Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm)
Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vng m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác?
Giải:
Gọi cạnh góc vng thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m)
Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình
x2 + (x + 1)2 = 52 2
2x 2x 24 x x 12
2
1
1 4.( 12) 49
Ph ơng trình co hai nghiÖm phan biÖt
1 7
x (thoả mÃn); x 4(loại)
2
Vậy kích thước cạnh góc vng tam giác vuông m m
Bài tâp :
(8)Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi
Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh? Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết
rằng tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi? Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đừng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường
4 diện tích hình thang
Đáp số:
Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2
Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2
Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh
Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường m
Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng
Những kiến thức cần nhớ: + x% = x
100
+ Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A
x a a
100
x x x
Số dân năm sau lµ (a+a ) (a+a )
100 100 100
Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58
Gọi lãi suất cho vay x (%),đk: x > Tiền lãi suất sau năm 2000000 x 20000
100 (đồng)
Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng)
Riờng tiền lói năm thứ hai (2000000 20000 ).x x 20000x 200x2(đồng)
100
Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng)
200x2 + 40000x +2000000 (đồng)
Theo ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x – 2100 =
Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn)
Vậy lãi suất cho vay 10 % năm
Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ
Giải
(9)Số sản phẩm vượt mức tổ I x 18
100 (sản phẩm) Số sản phẩm vượt mức tổ II (600 x) 21
100
(sản phẩm)
Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt
x x
18 21(600 ) 120
100 100
x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm)
Bài tập:
Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm
Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm?
Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu?
Kết quả:
Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%
Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm
Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm
Dạng 6: Các dạng toán khác
Những kiến thức cần nhớ :
- V m (V thể tich dung dich; m khối l ợng; D khối l ợng riêng) D
- Khối lượng nồng độ dung dịch = Khèi l ỵng chÊt tan Khèi l ỵng dung m«i (m tỉng)
Ví dụ : (Bài trang 59 SGK)
Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x > Nồng độ muối dung dịch 40
40%
x
Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là: 40
240%
x
Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình
2
40 40 10
280 70400
40 240 100 x x
x x
Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk toán)
Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước
Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng
riêng chất lỏng
Giải
(10)Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3).
Thể tích chất lỏng thứ
(cm ) x
Thể tích chất lỏng thứ hai 60 2(cm )3 x ,
Thể tích hỗn hợp 60 2(cm )3 xx ,
Theo ta có pt 14 14 12 12
0 x , x ,
xx , , Giải pt ta kết
x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk)
Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3)
Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3). Bài tập:
Bài 1: Một phịng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế
Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 số sách giá thứ
5 số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu
ngăn?
Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng số trứng anh tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng tơi số trứmg anh bán 62
3 đồng
thơi” Hỏi người có trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: Có 60 dãy ghế
Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m