Tải Chuyên đề Toán lớp 9: Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức - Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Phương pháp: Dự đoán trước dấu bằng (hay điểm rơi) của bài toán từ đó ddieeuf chỉnh hệ số để đảm bảo việc dấu bằng luôn xảy ra. Ví dụ 1: Cho các số x .[r]

TÀI LIỆU TOÁN THCS

CHUYÊN ĐỀ TINH GỌN BÀI TOÁN MAX

CHUYÊN ĐỀ TINH GỌN BÀI TOÁN MAX-MIN VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

A LÝ THUYẾT

1 Bất đẳng thức Cô-si:

* Bất đẳng thức Cơ-si cho hai số a b, khơng âm, ta có :

2

a b  ab

Dấu “=” xảy  a b

Chú ý: Với hai số a b, ta ln có: 2 2

a b  ab

Dấu “=” xảy  a b

* Bất đẳng thức Cô-si cho ba số a b c, , không âm, ta có :

3

a b c   abc

Dấu “=” xảy  a b c 

Chú ý: bất đẳng thức nằm ngồi chương trình SGK hành muốn áp dụng học sinh cần chứng minh trước sử dụng bổ đề

2 Một số bổ đề thường dùng khác:

Bổ đề Với số thực a b, ta ln có:

2

2 2 (a b)

) (a b) )

2

ab a b 

     

Dấu “=” xảy  a b

Bổ đề Với số thực a b c, , ta ln có:

2 2 (a b c) )

3

a b c   ab bc ca

      

Dấu “=” xảy  a b c 

Bổ đề Với số thực dương a b, ta ln có:

1

a b a b

Dấu “=” xảy  a b

Bổ đề Với số thực không âm a b, ta ln có: 2(a b)

Dấu “=” xảy  a b

Bổ đề Với số thực không âm a b c, , ta ln có: 3(a b c)

a b c   a b c   

Dấu “=” xảy  a b c 

Chú ý: với bất đẳng thức trên, ta cần nhớ vận dụng linh hoạt chiều xuôi chiều ngược

3 Giải phương trình chứa thức: PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số Cách 2: Đặt ẩn phụ

Cách 3: Đánh giá

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

I.BÀI TOÁN MIN-MAX

DẠNG I: Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô-si:

Phương pháp: Dự đoán trước dấu (hay điểm rơi) tốn từ ddieeuf chỉnh hệ số để đảm bảo việc dấu xảy

Ví dụ 1: Cho số x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:2

1

A x x

 

Hướng dẫn:

Ta có

1

4

x x

A x

x x

    

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ; x

x ta có

1

2

4

x x

x x

  

Dấu “=” xảy

2

4

4 x

x x

x

     

Với

3

2

5 A

 

Vậy giá trị nhỏ biểu thức A

2 x 2

Ví dụ 2: Cho số x y , Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

) x y xy

a A

y x x y

  



2

) x y xy

b B

y x x xy y

  

 

2

2 (x y) )

(x y) xy c C

xy 

 



2 (x y 1)

)

(x y 1) xy x y d D

xy x y

   

 

   

Hướng dẫn

a) Ta có:

2

2 2

x y xy x y xy

A

y x x y xy x y



    

 

Đặt

2 2 x y t

xy 

 

(BĐT Cô-si)

1

(t 2)

A t t

  

Dự đoán Amin đạt t  ta có 2

1

A nt t nt

t

   

Dấu “=” xảy

1

2 nt

t t 

   

  

Do ta có

3

4

t t

A

t

 

   

 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có :

1

2

4

t t

t t

  

Dấu « = » xảy

1

2(vi t 2)

t

t t

    

Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y+ z = Chứng minh:

) 3;

b) x2y y2z z2x3;

3 3

) 3;

c xy yz zx 

3

3 3

) 9;

d x y z 

3

3

) 18

e x y  y z  z x 

Hướng dẫn

a) Ta có

3

(3 1) 3

x

x   x

Tương tự

1

(3 1);

y  y (3 1);

2 z  z

Do x y z 3 Dấu “=” xảy

1

x y z

   

b) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

2

( ).1

2

x y

x y   

Tương tự

2

( ).1

2

y z

y z   

;

2

( ).1

2

z x

z x   

Vậy

3( )

2 2

2

x y z

x y y z z x     

Dấu “=” xảy

1

x  y z

c) Ta có

3

3

3 3

9

x y x y

xy    

Tương tự

3 3

; y x yx  

3 3

; z x zx   

Vậy

3 3 xy3 yz zx  3;

Dấu “=” xảy

1

x  y z

Ví dụ 4: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y+ z = Chứng minh:

) 3;

a x y z 

b) x2y y2z z2x 3 3;

3 3

) 3;

c xy yz zx

3 3

) 3;

d x y z 

3

3

)

e x y  y z  z x 

Dạng 2: Kĩ thuật khai thác giả thiết.

Ví dụ 1: Cho số x, y thỏa mãn

3

2

x  y  y  x

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

) 2 10;

i A x  xy y  y

2 7 7

)

3

x y

ii B

y x

 

 

 

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

4

x y

C

x y

 

 

Hướng dẫn

Điều kiện x2;y2 Trục thức mẫu ta có

2 2

( )( ) ( ) ( )

2 2

x y

x y x xy y x y x xy y

x y x y

 



            

       

0

x y x y

    

Vì

2

1

( ) 0, x, y

2 x xy y

x  y      

a) i)Ta có  

2

2 2 10 1 9 9, 2.

A x  x  x    x

Vậy Amin =  x y 1

ii)

2

2( 7) 16

2

3

x

B x

x x

  

       

    Dấu “=” xảy  

2

3 16 1

x x y

      

Vậy Bmin =  x y 1

b)

2

x C

x

 

Xét

2

1

2

x x

C x x



  

Nếu

1

0

2

x C

C

     

Nếu

1

2

2

x C

C

        

Vậy Cmax =

1

2  x y  C2; =

1

 x y 2;

  

Ví dụ 2: Cho số x, y thỏa mãn

3

2

x  y  y  x

a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

) 2018;

i A x  xy y  x

2 5 5

)

2

x y

ii B

y x

 

 

Ví dụ 3: Cho số thực x > 0, y > thỏa mãn xy 4 y

a) Tìm giá trị nhỏ

2 2 x y A xy  

b) Tìm giá trị lớn biểu thức:

i 2

; xy B

x y 

 ii  2

xy C x y  

Dạng 3: Kĩ thuật “ Cô – si ngược dấu”.

Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương (như thêm bớt tách ghép

…) để đưa toán từ “trạng thái ngược dấu” “trạng thái xuôi dấu” Ví dụ 1: Cho số a, b, c > thỏa mãn a b c   Chứng minh:3

3 3

2 2 2

) ;

2

a b c

a

a b b c c a  2

3

) ;

1 1

a b c

b

b  c  a 

  

2 2

1 1

) ;

1 1

c

a  b  c   2

1 1

) 3;

1 1

a b c

d

b c a

  

  

  

3 3

3

)

2

a b c

e

b ab c bc a ca 

Hướng dẫn

a) Ta có

3

2 2 2

a ab b

a a

a b   a b   Tương tự

2 2;

b c

b b c  

3

2 2

c a

c c a  

Do

3 3

2 2 2

( )

;

2

a b c a b c

a b b c c a

 

   

   Dấu “=” xảy  a b c  1

b) Ta có

2

2 ;

1

a ab ab

a a

b   b  

  Tương tự 1 2 ;

b bc

b

c  

 2

c ca

c

a  



Do 2

3

1 1 2

a b c ab bc ca

a b c

b c a

 

      

   Vì

 2

3

a b c ab bc ca     

Dấu “=” xảy  a b c  1

c) Ta có

2

2

1

1

1

a a

a    a    Tương tự 2

1

1 ;

1 2

b c

b    c   

VT

3

3

2

a b c 

  

Dấu “=” xảy  a b c  1

d) Ta có

 

2

2

1

1 ( 1)

1

1

a b

a a b

Tương tự 2 2

1 ( 1) ( 1)

1 ; ;

1 1

b b c c c a

b c

c c a a

   

     

   

VT

3

2

a b c ab bc ca   

   

Vì

 2

3

a b c ab bc ca     

Dấu “=” xảy  a b c  1

e) Ta có

1 1

;

a b

b ab b a b  b a

Tương tự 3

1 1

;

2

b c

c bc  c b a ca  a c

1 1 1

2 2

VT

a b c a b c

     

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si

1 1

4 a  a

1

2 a

a  

Do

1 1 1 3

(2 )

4 4 4 4

2

a a

a a  a a  a     

Suy

15 3

( )

4

VT   a b c  

Dấu “=” xảy  a b c  1 Ví dụ 2: Cho số dương a, b, c có thỏa mãn a.b.c = Chứng minh:

1 1

1 1

a b c

a b c

b c a

  

    

  

Hướng dẫn

Ta có

1 ( 1)

1

1

a a b

a

b b

 

  

 

Ta đưa toán chứng minh

( 1) ( 1) ( 1)

3

1 1

a b b c b a

b c a

  

  

  

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số hạng VT với abc = Ta điều cần chứng minh

Dấu “=” xảy  a b c  1

II.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC

Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số

Phương pháp:

- Thêm bớt hạng tử

- Phép nhân liên hợp …

Từ phép biển đổi đại số ta giải phương trình đơn giản mà ta biết cách giải

Ví dụ 1: Giải phương trình  

2 2 1 3 6 2

3 9

x  x  x  x  x  x  x

Hướng dẫn

Điều kiện:

1

3 VP  x

    

  

  

  

2

2

2

2

2

2

1 1

1

3 3

2 1

3

3

1

3

3

1

3

3

x x x x x

x x x x

x x x

x x x

x

 

         

 

     

 

      

 

    

 

Vậy

1

S     

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 1 6 x3x214x 0 (*) Hướng dẫn

Điều kiện:

6 x   

     

   

2

* 14

3

5

3

x x x x

x x

x x

         

 

       

   

 

Với

6 x   

 

3

3

3x x x

 

   

 

   

 

Vậy S  5

Ví dụ 3: Giải phương trình

2 2 17 5 1 4 x  x  x  (**)

 **  x1216 5 x1 4

Sử dụng bất đẳng thức

2

a b a b nên

x1216 5 x1 x 4   x1

Do 4  x1 x1 0  x1

Vậy S  1

Dạng 2: Đặt ẩn phụ.

Phương pháp: Đặt ẩn, hai ba biểu thức phức tạp ẩn (gọi ẩn phụ) giải phương trình thu sau tìm nghiệm

Loại 1: Sử dụng ẩn phụ

Ví dụ : Giải phương trình  

4 1 3 1 3 x x   x   x

Hướng dẫn

Với x  khơng phải nghiệm phương trình trên.0 Với x  ta chia hai vế phương trình cho 0 x ta

2

1

1 3

x x

x x

 

     

  Đặt

1 t x

x   

(Cơ-si)

Phương trình trở thành

 

2

2

1 3

9 14 t

t t t

t t  

      

  

 (thỏa mãn).

Với t 2

1

2

x x

x

    

Vậy S  1

Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ

Đặt

2

4

2

x x a

x x b

   

 

   

 Điều kiện: a0,b0..

Phương trình trở thành:    

2 1 0

a b a   b  a b a b   

2

2

2

4 4

1 4 5 1 2 1 1

1

4 1 vo ânghieäm

x x x x

a b

a b x x x x

x

x x x x

     

 

   

       

 

   



      



Vậy

1

S   

 .

Loại 3: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa hệ phương trình đối xứng

Ví dụ: Giải phương trình x3 1 23 x1 Hướng dẫn

Phương trình  x32x2x 1 23 x1 Đặt t3 2x1

Ta     

3 2 2 2 2 0

x  x t  t x t x xt t  x t 

x t x xt t2 2 0

     

Vì

2 2

2 2 2 0.

2

t t

x xt t  x    

 

Nên

  

2

1

1 1 5

1

2

1 x

x

x t x x x x

x x

x     

   

         

   

 

  

 

Vậy

1 5

1; ;

2

S      

 

 

Loại 4: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa phương trình bậc hai ẩn

Ví dụ: Giải phương trình  

2

Phương trình  

2

2x  1 x5 2x  1 3x 6

Đặt  

2

2 1 t x  t

Phương trình trở thành:  

2 5 3 6 0.

t  x t x 

x 5 3 x 6 x 12 x

 

          

Do

2 t

t x   

  

Với t 3 x2

Với t  x x 2

Vậy S   2; 2 7 Dạng 3: Đánh giá.

Phương pháp: Phương trình ( )f x g x( )nếu ln có

( ) ( )

( ) ( )

f x m f x m g x m g x m

 

 



 

 

 

Ví dụ: Giải phương trình

a) 3x26x 7 5x210x14 4 2x x

b) 2

9

1 x x

x   

Hướng dẫn

a) Phương trình      

2 2

3 x x x

        

Ta có:

5

5

VT

VT VP VP

 

  

  

Dấu “ ” xảy  x  1 x1

Vậy

21 41

2

S   

 

 .

b) Điều kiện: x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 0       2 2 2 2

ax by  a b x y

Dấu “ ” xảy

a b x y

 

 

2

2

2

2

1

1

x

x x x

x

x x

 

    

  

      

   

          

     

Dấu “ ” xảy

2 1

7

1 x

x x

   



Vậy

1

S   

 .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ví dụ 1: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 x 1x2 x Hướng dẫn

Điều kiện: 0 x

Với ,a b 0 ta có:  

2

a b  a ab b a b  

a b a b

    Dấu “ ” xảy khix  0

Vậy giá trị nhỏ P 2 x  0

Ví dụ 2: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018)

Cho số , ,a b c thỏa mãn a1,b1,c ab bc ca   Tìm giá trị nhỏ giá

trị lớn biểu thức P a 2b2c2 Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

   

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

9

a b a b ab

b c b c bc

c a c a ca

a b c ab bc ca P

  

  

  

     

 

Vậy

2

2

2

9

9 a b

b c

MinP a b c

c a ab bc ca   

 

      

 

   

Ta có a1,b1,c nên1

           

 

1 1 0

1 1

1

1

a b ab a b

b c bc b c ab bc ca a b c

ca c a

c a                                        

 2

3

36

ab bc ca

a b c    a b c

       

a b c  3

 

 

2 2

2 2

2 36

36 18

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca P

                Vậy            

2 2

1

1,

1

18 1,

1 1, 4

18

a b

a b c

b c

MaxP b c a

c a c a b

a b c

                                   

Vậy MinP  9  a b c  

           

2 2

1

1,

1

18 1,

1 1, 4

18

a b

a b c

b c

MaxP b c a

c a c a b

a b c

                                   

Ví dụ 3: Cho x y, số thực dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức

2 1

1

P x y

x y         Hướng dẫn Ta có:

2 2

1 1 15

1 2

16 16

P x y x y xy xy

x y xy xy xy xy

                      15

2 4xy

 

(Áp dụng Cô si)

 2

1 15

2

2 x y

 



(Vì  

4xy x y

) 15

2

2

 

17 

Vậy

1

17

2 MinP  x y 

Ví dụ 4: Cho số dương x y z, , thỏa mãn x2y3z20 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức

3

A x y z

x y z

     

Hướng dẫn

Ta có:

3 3 1

2 2 4

A x y z x y z x y z

x y z x y z

 

               

 

Áp dụng Cô si ta có:

3

)

4

1

)

2

1

)

4 x

x

y y

z z

  

  

  

Và  

1

2 4x2y4z4 x y z 5

Suy A 13

Vậy MinA13 x2, y3, z

Ví dụ: Cho số dương a b c, , thỏa mãn a2b2c2 abc Tìm giá trị lớn biểu

thức 2

a b c

A

a bc b ac c ab

  

   .

Hướng dẫn

Ta có: 2

a b c

A

a bc b ac c ab

  

1 1

1 1

2 2

1

1 1 1

1 1

bc ac ab

a b c

a b c

bc ac ab

b c a c a b

a b c

  

  

  



 

    

 

 



 

 

 

 

Mà

1

a b c

bc ac ab   nên

2 2

a b c   

1 P 

Dấu “ ” xảy  a b c  3

Vậy

1

3

MaxP  a b c  

Ví dụ 5: Cho số dương a b, thỏa mãn a b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

A

a b

 

Hướng dẫn

Ta có:      

2 2 4

4 a b

A a b ab a b a b ab A

ab a b a b



            

 

Mà

4

2

2 a b

a b

   

 Dấu “ ” xảy

 2

2 2

a b

a b a b

  



    

  



Vậy MinP 2 a b 

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 1

A x  x x x y   y

Hướng dẫn

Điều kiện: y 0

Ta có:

   

2 2

2

2 1 3 2

4 4 3

y y y y

A x  x x      x     y   

 

Dấu “ ” xảy

1 x

y 

    

   

Vậy

2 MinA 

Ví dụ 6: Cho a b c, , độ dài cạnh tam giác Chứng minh:

 

2 2 2

ab bc ca a   b c  ab bc ca 

Hướng dẫn

Ta có:          

2 2 2 2 2

0 2

a b  b c  c a   a b c  ab bc ca 

2 2 (1)

a b c ab bc ca

     

Vì , ,a b clà độ dài cạnh tam giác nên ta có:  

2 .

a a b c  a ab ac

Tương tự

2

;

b ab bc c ac bc .

Suy ra:  

2 2 2 (2)

a b c  ab bc ca 

Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 7: Giải phương trình:  

3 10 x  1 x 2

Hướng dẫn

Điều kiện: x 1 (1) Đặt a x b x2 x1, a0;b0 (2) 2 2

a b x

    Khi phương trình cho trở thành:

 2    

10.ab3 a b  a 3b 3a b 0

 Nếu a3b từ (2) x 1 x2 x1phương trình vơ nghiệm

 Nếu b3a từ

1

2

2

5 33

(2) 1 10

5 33 x

x x x x x

x    

          

  

 thỏa

mãn (1)

Vậy phương trình có hai nghiệm là:

2

5 33 33 x

x    



  

Ví dụ 8: Cho số a b c , , 0;1 Chứng minh rằng: a b 2c3 ab bc ca  1 Hướng dẫn

Vì  

2

, 0;1 ,

b c  b b c c

Do a b 2c3 ab bc ca a b c ab bc ca        (1)

Mặt khác      

2 1 1 1 1 (2)

a b c  ab bc ca   a b c  abc

Vì a b c , , 0;1 nên      

2 1 1 1 1 0; 0

a b c  ab bc ca   a b c  abc   abc

Do từ (2) a b 2c3 ab bc ca  1 (3)

Từ (1) (3) 

2

1 a b c  ab bc ca  

Ví dụ: Chứng minh rằng:    

1 3

a b

a a b b b a



   

với a b, số dương

Ví dụ 9: Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c  6 Tìm giá trị nhỏ

biểu thức

3 3 3 2 2 2

a b b c c a

M

a b b c c a

     

   .

Hướng dẫn:

Ta có:

 2  2

3 3 2

2 2 2 2 2 2 2

a a b ab b a b ba

a b a b ab ba

a b

a b a b a b a b a b a b a b

   



       

      

Áp dụng Cô si

2 3

2 2 2 2 2 2 2

ab ba b a a b a b a b

a b a b

a b a b a b

  

         

  

Tương tự

 

3 3

2 2

2

;

2 2

a b c b c b c c a c a

M

b c c a

 

   

    

 

Dấu “ ” xảy  a b c  2 Vậy MinM  6 a b c  2

Ví dụ 10: Với a b c, , số thực thỏa mãn a2b2c2 3 Tìm giá trị lớn biểu thứcA a b c ab bc ca     

Cách 1: Ta có:

2

2 2 2

2

2

2

2

a b ab

b c bc a b c ab bc ca

c a ca

  



        

 

 



Mặt khác a b c   12121 a2b2c2  3 3

Vậy A    Dấu “ ” xảy 3

2 2 3 1

1 1 a b c

a b c a b c

a b c 

   

         

   

Vậy MaxA 6 a b c  1

Cách 2: Ta có:    

2

2 2 3 2 3

a b c   a b c   ab bc ca  

Đặt

2 3

,

2 t t a b c t     ab bc ca   

     

2

2 2

3 1

1 2,

2 2

t

A t  t t t t t

                

Vậy MaxA 6 a b c  1

Ví dụ 11: Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c  3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcA 3a 1 3b 1 3c1

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si :  

1 3

3

2 2

a a

a  a     

Tương tự

3 5

3 ,

4

b c

b   c  

Do

 

3 15

6

a b c

A    

Dấu “ ” xảy  a b c   Vậy MaxA 6 a b c  1

Do a b c   nên a  1

Ta có        

2

3b 1 3c1 3b3c 2 3b1 3c1 3 3 a  4 13 3 a

do ,b c 0

Khi    

2

3 13 14 13

A a   a  A   a  a

Ta chứng minh 3a1 13 3   a40 với 1  a 14 10 2 10

A A

     

Dấu “ ” xảy  a3,b c 

Vậy MinA 2 10 a3,b c 0