Phương pháp: Dự đoán trước dấu bằng (hay điểm rơi) của bài toán từ đó ddieeuf chỉnh hệ số để đảm bảo việc dấu bằng luôn xảy ra. Ví dụ 1: Cho các số x .[r]
(1)TÀI LIỆU TOÁN THCS
CHUYÊN ĐỀ TINH GỌN BÀI TOÁN MAX
(2)CHUYÊN ĐỀ TINH GỌN BÀI TOÁN MAX-MIN VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
A LÝ THUYẾT
1 Bất đẳng thức Cô-si:
* Bất đẳng thức Cơ-si cho hai số a b, khơng âm, ta có :
2
a b ab
Dấu “=” xảy a b
Chú ý: Với hai số a b, ta ln có: 2 2
a b ab
Dấu “=” xảy a b
* Bất đẳng thức Cô-si cho ba số a b c, , không âm, ta có :
3
a b c abc
Dấu “=” xảy a b c
Chú ý: bất đẳng thức nằm ngồi chương trình SGK hành muốn áp dụng học sinh cần chứng minh trước sử dụng bổ đề
2 Một số bổ đề thường dùng khác:
Bổ đề Với số thực a b, ta ln có:
2
2 2 (a b)
) (a b) )
2
ab a b
Dấu “=” xảy a b
Bổ đề Với số thực a b c, , ta ln có:
2 2 (a b c) )
3
a b c ab bc ca
Dấu “=” xảy a b c
Bổ đề Với số thực dương a b, ta ln có:
1
a b a b
Dấu “=” xảy a b
Bổ đề Với số thực không âm a b, ta ln có: 2(a b)
(3)Dấu “=” xảy a b
Bổ đề Với số thực không âm a b c, , ta ln có: 3(a b c)
a b c a b c
Dấu “=” xảy a b c
Chú ý: với bất đẳng thức trên, ta cần nhớ vận dụng linh hoạt chiều xuôi chiều ngược
3 Giải phương trình chứa thức: PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số Cách 2: Đặt ẩn phụ
Cách 3: Đánh giá
B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
I.BÀI TOÁN MIN-MAX
DẠNG I: Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô-si:
Phương pháp: Dự đoán trước dấu (hay điểm rơi) tốn từ ddieeuf chỉnh hệ số để đảm bảo việc dấu xảy
Ví dụ 1: Cho số x Tìm giá trị nhỏ biểu thức:2
1
A x x
Hướng dẫn:
Ta có
1
4
x x
A x
x x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ; x
x ta có
1
2
4
x x
x x
Dấu “=” xảy
2
4
4 x
x x
x
Với
3
2
(4)5 A
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A
2 x 2
Ví dụ 2: Cho số x y , Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
) x y xy
a A
y x x y
2
) x y xy
b B
y x x xy y
2
2 (x y) )
(x y) xy c C
xy
2 (x y 1)
)
(x y 1) xy x y d D
xy x y
Hướng dẫn
a) Ta có:
2
2 2
x y xy x y xy
A
y x x y xy x y
Đặt
2 2 x y t
xy
(BĐT Cô-si)
1
(t 2)
A t t
Dự đoán Amin đạt t ta có 2
1
A nt t nt
t
Dấu “=” xảy
1
2 nt
t t
Do ta có
3
4
t t
A
t
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có :
1
2
4
t t
t t
Dấu « = » xảy
1
2(vi t 2)
t
t t
Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y+ z = Chứng minh:
) 3;
(5)b) x2y y2z z2x3;
3 3
) 3;
c xy yz zx
3
3 3
) 9;
d x y z
3
3
) 18
e x y y z z x
Hướng dẫn
a) Ta có
3
(3 1) 3
x
x x
Tương tự
1
(3 1);
y y (3 1);
2 z z
Do x y z 3 Dấu “=” xảy
1
x y z
b) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2
( ).1
2
x y
x y
Tương tự
2
( ).1
2
y z
y z
;
2
( ).1
2
z x
z x
Vậy
3( )
2 2
2
x y z
x y y z z x
Dấu “=” xảy
1
x y z
c) Ta có
3
3
3 3
9
x y x y
xy
Tương tự
3 3
; y x yx
3 3
; z x zx
Vậy
3 3 xy3 yz zx 3;
Dấu “=” xảy
1
x y z
Ví dụ 4: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y+ z = Chứng minh:
) 3;
a x y z
b) x2y y2z z2x 3 3;
3 3
) 3;
c xy yz zx
3 3
) 3;
d x y z
3
3
)
e x y y z z x
Dạng 2: Kĩ thuật khai thác giả thiết.
(6)Ví dụ 1: Cho số x, y thỏa mãn
3
2
x y y x
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
) 2 10;
i A x xy y y
2 7 7
)
3
x y
ii B
y x
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2
4
x y
C
x y
Hướng dẫn
Điều kiện x2;y2 Trục thức mẫu ta có
2 2
( )( ) ( ) ( )
2 2
x y
x y x xy y x y x xy y
x y x y
0
x y x y
Vì
2
1
( ) 0, x, y
2 x xy y
x y
a) i)Ta có
2
2 2 10 1 9 9, 2.
A x x x x
Vậy Amin = x y 1
ii)
2
2( 7) 16
2
3
x
B x
x x
Dấu “=” xảy
2
3 16 1
x x y
Vậy Bmin = x y 1
b)
2
x C
x
Xét
2
1
2
x x
C x x
Nếu
1
0
2
x C
C
Nếu
1
2
2
x C
C
Vậy Cmax =
1
2 x y C2; =
1
x y 2;
Ví dụ 2: Cho số x, y thỏa mãn
3
2
x y y x
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
) 2018;
i A x xy y x
2 5 5
)
2
x y
ii B
y x
(7)Ví dụ 3: Cho số thực x > 0, y > thỏa mãn xy 4 y
a) Tìm giá trị nhỏ
2 2 x y A xy
b) Tìm giá trị lớn biểu thức:
i 2
; xy B
x y
ii 2
xy C x y
Dạng 3: Kĩ thuật “ Cô – si ngược dấu”.
Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương (như thêm bớt tách ghép
…) để đưa toán từ “trạng thái ngược dấu” “trạng thái xuôi dấu” Ví dụ 1: Cho số a, b, c > thỏa mãn a b c Chứng minh:3
3 3
2 2 2
) ;
2
a b c
a
a b b c c a 2
3
) ;
1 1
a b c
b
b c a
2 2
1 1
) ;
1 1
c
a b c 2
1 1
) 3;
1 1
a b c
d
b c a
3 3
3
)
2
a b c
e
b ab c bc a ca
Hướng dẫn
a) Ta có
3
2 2 2
a ab b
a a
a b a b Tương tự
2 2;
b c
b b c
3
2 2
c a
c c a
Do
3 3
2 2 2
( )
;
2
a b c a b c
a b b c c a
Dấu “=” xảy a b c 1
b) Ta có
2
2 ;
1
a ab ab
a a
b b
Tương tự 1 2 ;
b bc
b
c
2
c ca
c
a
Do 2
3
1 1 2
a b c ab bc ca
a b c
b c a
Vì
2
3
a b c ab bc ca
Dấu “=” xảy a b c 1
c) Ta có
2
2
1
1
1
a a
a a Tương tự 2
1
1 ;
1 2
b c
b c
VT
3
3
2
a b c
Dấu “=” xảy a b c 1
d) Ta có
2
2
1
1 ( 1)
1
1
a b
a a b
(8)Tương tự 2 2
1 ( 1) ( 1)
1 ; ;
1 1
b b c c c a
b c
c c a a
VT
3
2
a b c ab bc ca
Vì
2
3
a b c ab bc ca
Dấu “=” xảy a b c 1
e) Ta có
1 1
;
a b
b ab b a b b a
Tương tự 3
1 1
;
2
b c
c bc c b a ca a c
1 1 1
2 2
VT
a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si
1 1
4 a a
1
2 a
a
Do
1 1 1 3
(2 )
4 4 4 4
2
a a
a a a a a
Suy
15 3
( )
4
VT a b c
Dấu “=” xảy a b c 1 Ví dụ 2: Cho số dương a, b, c có thỏa mãn a.b.c = Chứng minh:
1 1
1 1
a b c
a b c
b c a
Hướng dẫn
Ta có
1 ( 1)
1
1
a a b
a
b b
Ta đưa toán chứng minh
( 1) ( 1) ( 1)
3
1 1
a b b c b a
b c a
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số hạng VT với abc = Ta điều cần chứng minh
Dấu “=” xảy a b c 1
II.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC
Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số
Phương pháp:
- Thêm bớt hạng tử
(9)- Phép nhân liên hợp …
Từ phép biển đổi đại số ta giải phương trình đơn giản mà ta biết cách giải
Ví dụ 1: Giải phương trình
2 2 1 3 6 2
3 9
x x x x x x x
Hướng dẫn
Điều kiện:
1
3 VP x
2
2
2
2
2
2
1 1
1
3 3
2 1
3
3
1
3
3
1
3
3
x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x
Vậy
1
S
Ví dụ 2: Giải phương trình 3x 1 6 x3x214x 0 (*) Hướng dẫn
Điều kiện:
6 x
2
* 14
3
5
3
x x x x
x x
x x
Với
6 x
3
3
3x x x
Vậy S 5
Ví dụ 3: Giải phương trình
2 2 17 5 1 4 x x x (**)
(10) ** x1216 5 x1 4
Sử dụng bất đẳng thức
2
a b a b nên
x1216 5 x1 x 4 x1
Do 4 x1 x1 0 x1
Vậy S 1
Dạng 2: Đặt ẩn phụ.
Phương pháp: Đặt ẩn, hai ba biểu thức phức tạp ẩn (gọi ẩn phụ) giải phương trình thu sau tìm nghiệm
Loại 1: Sử dụng ẩn phụ
Ví dụ : Giải phương trình
4 1 3 1 3 x x x x
Hướng dẫn
Với x khơng phải nghiệm phương trình trên.0 Với x ta chia hai vế phương trình cho 0 x ta
2
1
1 3
x x
x x
Đặt
1 t x
x
(Cơ-si)
Phương trình trở thành
2
2
1 3
9 14 t
t t t
t t
(thỏa mãn).
Với t 2
1
2
x x
x
Vậy S 1
Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ
(11)Đặt
2
4
2
x x a
x x b
Điều kiện: a0,b0..
Phương trình trở thành:
2 1 0
a b a b a b a b
2
2
2
4 4
1 4 5 1 2 1 1
1
4 1 vo ânghieäm
x x x x
a b
a b x x x x
x
x x x x
Vậy
1
S
.
Loại 3: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa hệ phương trình đối xứng
Ví dụ: Giải phương trình x3 1 23 x1 Hướng dẫn
Phương trình x32x2x 1 23 x1 Đặt t3 2x1
Ta
3 2 2 2 2 0
x x t t x t x xt t x t
x t x xt t2 2 0
Vì
2 2
2 2 2 0.
2
t t
x xt t x
Nên
2
1
1 1 5
1
2
1 x
x
x t x x x x
x x
x
Vậy
1 5
1; ;
2
S
Loại 4: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa phương trình bậc hai ẩn
Ví dụ: Giải phương trình
2
(12)Phương trình
2
2x 1 x5 2x 1 3x 6
Đặt
2
2 1 t x t
Phương trình trở thành:
2 5 3 6 0.
t x t x
x 5 3 x 6 x 12 x
Do
2 t
t x
Với t 3 x2
Với t x x 2
Vậy S 2; 2 7 Dạng 3: Đánh giá.
Phương pháp: Phương trình ( )f x g x( )nếu ln có
( ) ( )
( ) ( )
f x m f x m g x m g x m
Ví dụ: Giải phương trình
a) 3x26x 7 5x210x14 4 2x x
b) 2
9
1 x x
x
Hướng dẫn
a) Phương trình
2 2
3 x x x
Ta có:
5
5
VT
VT VP VP
Dấu “ ” xảy x 1 x1
Vậy
21 41
2
S
.
b) Điều kiện: x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 0 2 2 2 2
ax by a b x y
Dấu “ ” xảy
a b x y
(13)
2
2
2
2
1
1
x
x x x
x
x x
Dấu “ ” xảy
2 1
7
1 x
x x
Vậy
1
S
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ví dụ 1: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 x 1x2 x Hướng dẫn
Điều kiện: 0 x
Với ,a b 0 ta có:
2
a b a ab b a b
a b a b
Dấu “ ” xảy khix 0
Vậy giá trị nhỏ P 2 x 0
Ví dụ 2: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018)
Cho số , ,a b c thỏa mãn a1,b1,c ab bc ca Tìm giá trị nhỏ giá
trị lớn biểu thức P a 2b2c2 Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
9
a b a b ab
b c b c bc
c a c a ca
a b c ab bc ca P
Vậy
2
2
2
9
9 a b
b c
MinP a b c
c a ab bc ca
(14)Ta có a1,b1,c nên1
1 1 0
1 1
1
1
a b ab a b
b c bc b c ab bc ca a b c
ca c a
c a
2
3
36
ab bc ca
a b c a b c
a b c 3
2 2
2 2
2 36
36 18
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca P
Vậy
2 2
1
1,
1
18 1,
1 1, 4
18
a b
a b c
b c
MaxP b c a
c a c a b
a b c
Vậy MinP 9 a b c
2 2
1
1,
1
18 1,
1 1, 4
18
a b
a b c
b c
MaxP b c a
c a c a b
a b c
Ví dụ 3: Cho x y, số thực dương thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu
thức
2 1
1
P x y
x y Hướng dẫn Ta có:
2 2
1 1 15
1 2
16 16
P x y x y xy xy
x y xy xy xy xy
15
2 4xy
(Áp dụng Cô si)
2
1 15
2
2 x y
(Vì
4xy x y
) 15
2
2
(15)17
Vậy
1
17
2 MinP x y
Ví dụ 4: Cho số dương x y z, , thỏa mãn x2y3z20 Tìm giá trị nhỏ biểu
thức
3
A x y z
x y z
Hướng dẫn
Ta có:
3 3 1
2 2 4
A x y z x y z x y z
x y z x y z
Áp dụng Cô si ta có:
3
)
4
1
)
2
1
)
4 x
x
y y
z z
Và
1
2 4x2y4z4 x y z 5
Suy A 13
Vậy MinA13 x2, y3, z
Ví dụ: Cho số dương a b c, , thỏa mãn a2b2c2 abc Tìm giá trị lớn biểu
thức 2
a b c
A
a bc b ac c ab
.
Hướng dẫn
Ta có: 2
a b c
A
a bc b ac c ab
(16)1 1
1 1
2 2
1
1 1 1
1 1
bc ac ab
a b c
a b c
bc ac ab
b c a c a b
a b c
Mà
1
a b c
bc ac ab nên
2 2
a b c
1 P
Dấu “ ” xảy a b c 3
Vậy
1
3
MaxP a b c
Ví dụ 5: Cho số dương a b, thỏa mãn a b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1
A
a b
Hướng dẫn
Ta có:
2 2 4
4 a b
A a b ab a b a b ab A
ab a b a b
Mà
4
2
2 a b
a b
Dấu “ ” xảy
2
2 2
a b
a b a b
Vậy MinP 2 a b
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 1
A x x x x y y
Hướng dẫn
Điều kiện: y 0
Ta có:
2 2
2
2 1 3 2
4 4 3
y y y y
A x x x x y
(17)Dấu “ ” xảy
1 x
y
Vậy
2 MinA
Ví dụ 6: Cho a b c, , độ dài cạnh tam giác Chứng minh:
2 2 2
ab bc ca a b c ab bc ca
Hướng dẫn
Ta có:
2 2 2 2 2
0 2
a b b c c a a b c ab bc ca
2 2 (1)
a b c ab bc ca
Vì , ,a b clà độ dài cạnh tam giác nên ta có:
2 .
a a b c a ab ac
Tương tự
2
;
b ab bc c ac bc .
Suy ra:
2 2 2 (2)
a b c ab bc ca
Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 7: Giải phương trình:
3 10 x 1 x 2
Hướng dẫn
Điều kiện: x 1 (1) Đặt a x b x2 x1, a0;b0 (2) 2 2
a b x
Khi phương trình cho trở thành:
2
10.ab3 a b a 3b 3a b 0
Nếu a3b từ (2) x 1 x2 x1phương trình vơ nghiệm
Nếu b3a từ
1
2
2
5 33
(2) 1 10
5 33 x
x x x x x
x
thỏa
mãn (1)
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
2
5 33 33 x
x
(18)Ví dụ 8: Cho số a b c , , 0;1 Chứng minh rằng: a b 2c3 ab bc ca 1 Hướng dẫn
Vì
2
, 0;1 ,
b c b b c c
Do a b 2c3 ab bc ca a b c ab bc ca (1)
Mặt khác
2 1 1 1 1 (2)
a b c ab bc ca a b c abc
Vì a b c , , 0;1 nên
2 1 1 1 1 0; 0
a b c ab bc ca a b c abc abc
Do từ (2) a b 2c3 ab bc ca 1 (3)
Từ (1) (3)
2
1 a b c ab bc ca
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1 3
a b
a a b b b a
với a b, số dương
Ví dụ 9: Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c 6 Tìm giá trị nhỏ
biểu thức
3 3 3 2 2 2
a b b c c a
M
a b b c c a
.
Hướng dẫn:
Ta có:
2 2
3 3 2
2 2 2 2 2 2 2
a a b ab b a b ba
a b a b ab ba
a b
a b a b a b a b a b a b a b
Áp dụng Cô si
2 3
2 2 2 2 2 2 2
ab ba b a a b a b a b
a b a b
a b a b a b
Tương tự
3 3
2 2
2
;
2 2
a b c b c b c c a c a
M
b c c a
Dấu “ ” xảy a b c 2 Vậy MinM 6 a b c 2
Ví dụ 10: Với a b c, , số thực thỏa mãn a2b2c2 3 Tìm giá trị lớn biểu thứcA a b c ab bc ca
(19)Cách 1: Ta có:
2
2 2 2
2
2
2
2
a b ab
b c bc a b c ab bc ca
c a ca
Mặt khác a b c 12121 a2b2c2 3 3
Vậy A Dấu “ ” xảy 3
2 2 3 1
1 1 a b c
a b c a b c
a b c
Vậy MaxA 6 a b c 1
Cách 2: Ta có:
2
2 2 3 2 3
a b c a b c ab bc ca
Đặt
2 3
,
2 t t a b c t ab bc ca
2
2 2
3 1
1 2,
2 2
t
A t t t t t t
Vậy MaxA 6 a b c 1
Ví dụ 11: Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcA 3a 1 3b 1 3c1
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
1 3
3
2 2
a a
a a
Tương tự
3 5
3 ,
4
b c
b c
Do
3 15
6
a b c
A
Dấu “ ” xảy a b c Vậy MaxA 6 a b c 1
(20)Do a b c nên a 1
Ta có
2
3b 1 3c1 3b3c 2 3b1 3c1 3 3 a 4 13 3 a
do ,b c 0
Khi
2
3 13 14 13
A a a A a a
Ta chứng minh 3a1 13 3 a40 với 1 a 14 10 2 10
A A
Dấu “ ” xảy a3,b c
Vậy MinA 2 10 a3,b c 0