CHUYÊN ĐỀ : CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH 1) Giải hệ phửơng trình phửơng pháp thế, phửơng pháp cộng a) Quy tắc thế: Quy tắc dùng để biến đổi hệ phửơng trình thành hệ phửơng trình tửơng đửơng + Bước 1: Từ phửơng trình hệ cho ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phửơng trình thứ hai để đửợc phửơng trình (chỉ ẩn) + Bước 2: Dùng phửơng trình để thay cho phửơng trình thứ hai hệ (phửơng trình thứ thửờng đợc thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có đửợc bửớc 1) b) Quy tắc cộng đại số: Quy tắ ccộng đại số dùng để hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương + Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phửơng trình hệ hệ phửơng trình cho để đửợc phửơng trình + Bửớc 2: Dùng phửơng trình thay cho hái phửơng trình hệ (và giữ nguyên phửơng trình kia) Lửu ý: Khi hệ số ẩn đối (hoặc nhau) ta cộng (hoặc trừ) hai vế hệ Khi hệ số ẩn không không đối ta chọn nhân với số thích hợp để đửa hệ số ẩn đối (hoặc nhau) A Các hệ phương trình bản: Loại 1: Giải hệ phửơng trình phửơng pháp cộng, phửơng pháp Bài a) ìï 2x + 3y = - ï í ïï 3x - 2y = - î ì x - 6y = 17 ïï d) íï 5x + y = 23 ïî Bài b) e) ìï x + y - = ïï í3 ïï 5x - y = 11 îï a) ìï x = y ïï í2 ïï x + y - 10 = ïî Bài 3: a) d) ìï x - y = ïï í ïï x + y = ïî ìï x - y = ïï í ïï x + y = ïî ìï 4x + 3y = ï í ïï 2x + y = î ìï 7x + 4y = 74 ï í ïï 3x + 2y = 32 î ïìï a + b = - ï b) íï ïï 4a - 5b - 10 = ïî ìï 9x + 8y = c) ïíï 2x - y = ïî f) ìï x - 3y = ï í ïï - 2x + 6y = - 12 î c) ìï ( - 1)x - y = ï b) ïíï ïïî x + ( + 1)y = e) c) ìï (x - (1 + 3)y = ïï í ïï (1 3)x + y = ïî ìï x - 3y = ïï í ïï 2x + y = - ïî f) ìï 5x + y = 2 ïï í ïï x - y = ïî Bài 4: a) ìï 6(x + y ) = + 2x - 3y ï í ïï 5(y - x ) = + 3x + 2y ïî b) ïìï (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3) í ïï (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1) ïî c) ìï (x - 2)(y + 1) = xy ï í ïï (x + 8)(y - 2) = xy ïî Loại 2: Giải hệ phửơng trình phửơng pháp đặt ẩn phụ Dạng thứ nhất: chuyên đề giải hệ phương trình NH: 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ : a) ìï ïï ïï í ïï ïï ïî 1 =1 x y + =5 x y b) ìï ïï + =2 ïï x - y + f) íï 29 ïï + = ïïî x - y + 20 ìï 1 ïï + =2 ïï x - y- í ïï =1 ïï x- ïî y - j) n) ìï ïï ïï í ïï ïï ïî g) ïìï 7x + 13y = - 39 ïí ïï 5x - 11y = 33 k) ïî + =3 x y 10 =1 x y ìï ïï ïï í ïï ïï ïî c) ìï ïï + ïï x í ïï 10 ïï ïî x =1 x y + 12 + =3 x y + 12 ïìï 2x + 3y = 36 ïí ïï 3x + 7y = 37 ïî ìï x + y = ï í ïï x y = 4, î o) l) 1 ìï ïï = y ï d) ïíï ïï =1 ïïî y ìï ïï + ïïí 2x + h) ï ïï ïïî 2x + 1 1 + = x y 24 = x y =- y- 13 = y- ìï 3x + y = ïï í ïï x - 3y = ïî ìï x + - y + = ïï í ïï x + + y + = ïî m) p) ìï ïï ïï í ïï ïï ïî e) ìï 1 ïï + =2 ïï x - y- í ïï =1 ïï y- ïî x - i) y =5 ïìï x í ïï x + y = 18 î x - + x - = y + 3 =2 y + Dạng thứ hai: a) ìï 2x y ïï + =2 ïï x + y + í ïï x 3y + =- ïï x + y + ïî d) x ìï x =1 ïï y + 12 ïy í x x ïï ïï y + 12 - y = ïî g) xy ìï x + y ïï + = x + y ïï xy í xy 10 ïï x - y + = ïï xy x y ïî b) ìï ïï + =- ïï 2x - 3y 3x + y í ïï = 21 ïï 2x - 3y ïî 3x + y e) ìï ïï =- ïï 2x - y x + y í ïï 1 =0 ïï x + y ïî 2x - y h) ìï 2x 3y ïï + =1 ïï y - x - í ïï 2y 5x =2 ïï x y - ïî c) ìï ïï ïï x í ïï ïï ïî x - = y+ x + y- + =4 y+ x + y- f) ìï ïï ïï x + í ïï ïï ïî x + 5 = y- 2x - y + 3 + = y- 2x - y + i) ìï ïï + =3 ïï x - 2y x + 2y í ïï + =- ïï x y x + 2y ïî Loại 3: Hệ hai phương trình hai ẩn, vế phải vế trái phân tích đửợc thành nhân tử ì (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = ì x + y + xy + = ïï b) íï ïï a) íï x + y - x - y = 22 ïïî ïïî xy + y + 3y + = ìï (x + y + 2)(2x + 2y - 1) = ï d) íï 2 ïïî 3x + 32y + = ìï (x - 1)2 - (y + 1)2 = ï f) íï x + 3y - = ïïî ìï (x - y )2 - (x - y ) = ï b) ïíï 2 ïïî 2(x + y ) = 5xy ì (2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = ïï c) íï x - 3y = ïïî ìï (x + y )2 - 3(x + y ) + = ï e) íï x - y - = ïïî ìï (x + y )2 - 4(x + y ) = 12 ï g) ïíï ïïî (x - y ) - 2(x - y ) = B Các hệ phương trình nâng cao Loại 4: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y Định nghĩa: Biểu thức f(x; y) gọi phương trình đẳng cấp bậc chuyên đề giải hệ phương trình NH: 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ : CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH f(mx; my) = m f(x; y) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: ïìï f (x , y ) = a í ïï g(x , y ) = b ïî Trong đó: f(x; y) g(x; y) phương trình đẳng cấp bậc 2; với a b số Cách giải: Xét x = thay vào hệ kiểm tra Với x ≠ ta đặt y = xt thay vào hệ ta có: {f(x,xt)=a g(x,xt)=b ⇔{x2f(1,t)=a ; x2g(1,t)=b Sau đó, chia vế phương trình với ta được: f(1,t)=abg(1,t)(∗) Giải phương trình (*) ta tìm t Thế t vào hệ ta tìm (x; y) ïìï x - 4xy + y = a) ïíï ïïî y - 3xy = ìï 3x + y = ï d) ïíï 2 ïïî x - 3y = ìï x + 4xy - 2y = ï g) ïíï 2 ïïî 2x - xy + 3y = ïìï x + y = 25 - 2xy j) íï ïïî y (x + y ) = 10 b) ïìï x - xy + y = 21 ïí ïï y - 2xy + = ïî e) ïìï 2x + 3y = 36 ïí ïï 3x + 7y = 37 ïî ìï x + 3xy = 54 ï h) ïíï ïïî xy + 4y = 115 k) ïìï (x + y )(x + y ) = ïí ïï (x - y )(x - y ) = ïî ïìï 3x + 5xy - 4y c) ïíï 2 ïïî 5x - 9xy - 3y ìï x + 2xy + 3y ï f) ïíï 2 ïïî 2x + 2xy + y ìï 2x - y = ï i) ïíï ïïî xy + x = l) = 38 = 15 =9 =2 ïìï (x + y )(x - y ) = 45 ïí ïï (x - y )(x + y ) = 85 ïî Loại 5: Hệ phương trình đối xứng loại 1 Dạng tồng quát hệ đối xứng loại I: Định nghĩa: Hệ đối xứng loại I hệ chứa ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho hệ phương trình không thay đổi ìï f(x,y)= ï í ïï g(x,y)= , ïî ìï f(x,y)= f(y,x) ï í ïï g(x,y)= g(y,x) ïî Phương pháp giải tổng quát: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy (với S2 ³ 4P) Khi đó, ta đưa hệ hệ chứa S,P iii) Bước 3: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thỏa mãn S2 ³ 4P iiii) Bước 4: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình: X2 – SX + P = ( định lý Viét đảo ) Chú ý: chuyên đề giải hệ phương trình NH: 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ : CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH i) Cần nhớ: x2+y2=S2−2P x3+y3=S3−3SP … ii) Đôi ta phải đặt ẩn phụ: { u=u(x) v=v(x) { S=u+v P=uv iii) Có hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau ta đặt ẩn phụ Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại I có nghiệm: Phương pháp giải tổng quát: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện S,P S2 ⩾4P (*) iii) Bước 3: Thay x,y S,P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S,P theo m, từ điều kiện (*) tìm m (với m tham số) a) ìï x + y + xy = ï í ïï x + y + xy = 13 ïî ïìï xy = x + y + 17 d) í ïï x + y = 65 ïî ïìï xy = 10 g) íï 2 ïïî x + y = 29 ìï x + y + xy = - ï ị) í ïï x y + y 2x = - ïî ìï xy (x + 2)(y + 2) = ï m) íï 2 ïïî x + y + 2(x + y ) = ìï x + y + xy = ï o) ïíï 3 ïïî x + y = x + y b) ìï x + xy + y = ï í ïï x + y = ïî ïìï x + y + x + y = c) ïíï 2 ïïî x + y + xy = e) ìï x + + y - xy = - 17 ï í ïï xy - 12 = î ïìï x + y = f) íï x + y = 34 ïïî h) ìï xy = 15 ï í ïï x + y = 34 ïî ìï x + xy + y = ï i) íï x + xy + y = ïïî ïìï x + y - x - y = 102 k) íï xy + x + y = 69 ïïî n) ìï 3(x + y ) = xy ï l) íï 2 ïïî x + y = 160 ïìï x + y + 2x (y - 3) + 2y (x - 3) + = í ïï 2(x + y ) - xy + = ïî ìï x + y = 52 ïï t) ïíï 1 ïï + = 12 ïî x y ïìï x (x + 1) + y (y + 1) + xy = 17 p) íï ïïî (x + 1)(y + 1) = ïìï xy + x + y = 11 ïìï xy + x + y = ï ï r) íï 6 s) íï x y 10 ïï x + y + xy = 11 ïï y + x = ïî ïî ìï ìï ïï x + ïï y + =- =- ïï x+y ïï 2x - y u) íï x v) íï x ïï ïï =- =6 ïïî x + y ïïî 2x - y ìï x + y = ï x) ïíï 2 ïïî x + y = ìï x + y = ï y) íï 3 ïïî x + y = 133 ìï x + y + xy = ï q) íï 2 ïïî x + y + xy = ì x y + y x = 30 ïï z) íï x x + y y = 35 ï ïî Loại 6: Hệ phương trình đối xứng loại Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại II hệ chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình hệ chuyên đề giải hệ phương trình NH: 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ : CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH *Chú ý: Nếu (x0;y0) nghiệm hệ thì(y0;x0) nghiệm hệ Các dạng hệ phương trình đối xứng loại II: Dạng 1: ìï f(x,y)= ï í ïï f(y,x)= ïî (đổi vị trí x y cho phương trình trở thành phương trình kia) Phương pháp giải chung: Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ Dạng 2: ìï f(x,y)= ï í ïï g(x,y)= ïî (trong có phương trình đối xứng loại I) Cách giải: Đưa phương trình đối xứng dạng tích, giải y theo x vào phương trình lại ìï 2x = y - 4y + ï a) ïíï ïïî 2y = x - 4x + ïìï 2x - 3xy = y - 3x - d) ïíï 2 ïïî 2y - 3xy = x - 3y - ìï y ï b) ïíï ïïî x ïìï x e) ïíï ïïî y = 2x + = 2y + ìï x - 2y = 7x ï c) ïíï 2 ïïî y - 2x = 7y ïìï x - 2y = f) ïíï ïïî y - 2x = = 2- y = 2- x ìï x = 5x + y ïìï 2x - 3x + = y ï g) ïí h) ïí ïï y = 5y + x ïï 2y - 3y + = x ïî ïî ïìï x = 13x - 6y ïìï y = x - 4x + 3x ï j) í k) ïí ïï y = 13y - 6x ïï x = y - 4y + 3y ïî ïî Loại 7: Hệ phương trình bậc ba phương trình ba ẩn ïìï x = 2y - x i) ïí ïï y = 2x - y ïî ìï x + y + z = ïï ï a) ïíï x + 2y + 4z = ïï ïïî x + 3y + 9z = 27 ìï x + y + z = 12 ïï ï b) ïíï 2x - 3y + z = 12 ïï ïïî x + y - 2z = ìï x + 2y + 3z = ïï ï c) ïíï 3x + y + 2z = ïï ïïî 2x + 3y + z = - ìï x + y + 2z = ïï ï d) ïíï 2x - 3y + 3z = ïï ïïî x - 3y + 4z = ìï 2x - y + 3z = ïï ï e) ïíï 3x - 2y + 2z = ïï ïïî 5x - 4y = ìï 2x + y + 3z = ïï ï f) ïíï - x + 4y - 6z = ïï ïïî 5x - y + 3z = - chuyên đề giải hệ phương trình ïìï x - 2y = l) ïí ïï y - 2x = ïî NH: 2014-2015 CHUYÊN ĐỀ : ìï x = y = z ï - g) ïí ïï 4x + 3y - 2z = 24 ïî ïìï x - = y + = z ï j) í ïï 4x - y - z = ïïî ìï x + y = ïï ï k) í y + z = ïï ïï x + z = ïî ìï ïï + ïï x ïï n) ïí + ïï y ïï ïï + ïîï x =1 y =2 z =5 z ìï x + 3y + z = - ïï ï q) ïí x - y + 2z = ïï ïï z = 3x ïî CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHUƠNG TRÌNH ìï x = y = z ìï 4x + 3y - 2z = - ïï ï h) í i) ïí x y z ïï 2x - y + 4z = 30 ïï = = ïî ïî - 10 - ìï x + y = 16 ïï ï l) ïí y + z = 28 ïï ïï x + z = 22 ïî ìï 2x ïï =y ïï + x ïï ïï 2y =z o) í ïï + y ïï ïï 2z =x ïï ïî + z ìï x = + z ïï ï r) ïí y = + 3z ïï ïï - 3x - 2y + z = - ïî chuyên đề giải hệ phương trình ìï x + y = 25 ïï ï m) ïí y + z = 30 ïï ïï x + z = 29 ïî ìï 3xy = 2(x + y ) ïï ï p) ïí 5yz = 6(y + z ) ïï ïï 4xz = 3(z + x ) ïî NH: 2014-2015 ... 6: Hệ phương trình đối xứng loại Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại II hệ chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho phương trình trở thành phương trình hệ chuyên đề giải hệ phương. .. x y cho phương trình trở thành phương trình kia) Phương pháp giải chung: Trừ vế với vế hai phương trình biến đổi dạng phương trình tích số Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy... Các hệ phương trình nâng cao Loại 4: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x, y; vế phải không chứa x, y Định nghĩa: Biểu thức f(x; y) gọi phương trình đẳng cấp bậc chuyên đề giải hệ phương trình