Giải bài toán cơ học bằng phương pháp năng lượng

6 Như vậy: ta có thể phát biểu nội dung định lý biến thiên động năng: “Độ biến thiên động năng của chất điểm trên một quãng đường đi bằng công của lực tác dụng lên chất điểm trên quãng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN MINH TRUNG

GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG

Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: ThS HOÀNG VĂN QUYẾT

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Hoàng Văn Quyết trong suốt thời gian thực hiện đề tài khoá luận tốt nghiệp này Đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô trong tổ vật lý đại cương, các thầy cô trong khoa vật lý đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khoá luận tốt nghiệp của mình

Tuy nhiên đây là bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu nên đề tài của tôi không thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp

ý của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài khoá luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày11 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Minh Trung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Những kết quả nghiên cứu trong khoá luận là hoàn toàn trung thực Đề tài này chưa được công bố trong bất cứ một công trình khoa học nào khác

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Minh Trung

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khoá luận 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.1 Momen quán tính của vật rắn 3

1.2 Định lí biến thiên động năng 5

1.2.1 Định lí biến thiên động năng của chất điểm, hệ chất điểm 5

1.2.2 Định lí biến thiên động năng của vật rắn 6

1.3 Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng 7

1.3.1 Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lượng momen động lượng của chất điểm 7

1.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen động lượng của hệ chất điểm 8

1.3.3 Định luật bảo toàn và biến thiên momen xung lượng của vật rắn 10

1.4 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng 11

1.4.1 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của chất điểm 11

1.4.2 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm 12

1.4.3 Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng của vật rắn 13

CHƯƠNG 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI .16

2.1 Bài toán áp dụng định luật bảo toàn momen xung lượng 16

2.1.1 Bài toán áp dụng 16

2.1.2 Bài toán tự giải 21

2.2 Bài toán áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng 21

2.2.1 Bài toán áp dụng 22

2.2.2 Bài toán tự giải 25

2.3 Bài toán áp dụng định lí biến thiên động năng 27

2.3.1 Bài toán áp dụng 27

2.3.2 Bài toán tự giải 35

2.4 Bài toán áp dụng định luật bảo toàn cơ năng 37

2.4.1 Bài toán áp dụng 38

2.4.2 Bài toán tự giải 45

2.5 Bài toán áp dụng định luật biến thiên cơ năng 47

2.5.1 Bài toán áp dụng 47

2.5.2 Bài toán tự giải 53

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

toán nào đó là rất cần thiết

Trong phần cơ học đã có nhiều tài liệu tham khảo viết về việc giải các bài toán động lực học, nhưng hầu hết các tài liệu đó đều vận dụng các định luật Niutơn (tức dùng phương pháp động lực học) để giải, cách này hay, tuy nhiên trong nhiều bài toán cụ thể thì phương pháp năng lượng tỏ ra hiệu quả hơn

Bài toán động lực học là bài toán về quan hệ giữa lực, khối lượng và gia tốc của chuyển động Trong bài toán động lực học ngoài sự có mặt của các đại lượng động học như: s, , vt , a và t còn có sự tham gia của các đại lượng động lực học như F và m Về nguyên tắc nếu ta biết cách liên hệ vận tốc, gia tốc và độ dịch chuyển của vật theo thời gian trong một chuyển động bất kì, thì giải các bài toán động lực học ta chỉ cần viết các định luật Niutơn, phương pháp này đơn giản với chuyển động biến đổi đều Còn trong các trường hợp khác, tức là lực tác dụng lên vật biến thiên thì việc dùng định luật II Niutơn để giải bài toán này trở nên khó khăn hơn đặc biệt là trong các chuyển động cong Trong trường hợp đó lý thuyết năng lượng giúp chúng ta giải bài toán một cách thuận tiện hơn

Ngoài ra với những bài toán động lực học trong đó có sự va chạm giữa các vật mà nếu dùng định luật bảo toàn động lượng vẫn chưa đủ để giải thì khi đó phương pháp năng lượng có vai trò quan trọng trong việc giải toán

Đặc điểm của phương pháp năng lượng là không cần xác định tường minh tất cả các lực tác dụng lên hệ mà chỉ cần quan tâm tới một số lực nhất

2

định, chẳng hạn như áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng ta chỉ cần xác định các ngoại lực tác dụng lên hệ hay áp dụng định lý biến thiên động năng ta chỉ cần xác định các lực tác dụng lên hệ thực hiện công… Do vậy, phương pháp này thể hiện ưu điểm rõ rệt so với phương pháp động lực học

Trong quá trình tìm hiểu tôi thấy phương pháp năng lượng có ưu điểm hơn so với các phương pháp khác Chính vì vậy tôi đi nghiên cứu để tìm hiểu

sâu hơn nữa về đề tài “Giải bài toán cơ học bằng phương pháp năng lượng”

2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng được hệ thống bài tập và đưa ra phương pháp giải bài tập cơ bằng phương pháp năng lượng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại các kiến thức về các định luật bảo toàn và biến thiên để áp dụng giải bài toán

Phân loại và đưa ra phương pháp giải các bài toán cơ học bằng phương pháp năng lượng

Minh hoạ các phương pháp bằng các bài toán cụ thể

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các bài toán cơ học

Các phương pháp năng lượng trong cơ học

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và tra cứu tài liệu

Phân loại và giải bài toán

6 Cấu trúc khoá luận

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương 2 Phân loại bài tập và phương pháp giải

3

PHẦN NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Momen quán tính của vật rắn

Momen quán tính của vật đối với một trục là:

“Momen quán tính I của một vật đối với một trục song song với trục đi qua khối tâm bằng tổng momen quán tính của vật đối với trục đi qua khối tâm đó và tích của khối lượng và bình phương khoảng cách giữa hai trục đó”

Momen quán tính của một số vật rắn:

+ Đĩa tròn đồng nhất khối lượng m, bán kính R

∫ Phân đĩa thành các vành khăn có bán kính x

và rộng dx

Diện tích vành khăn là:

Gọi dm là khối lượng phân tử vành khăn thì momen quán tính dI của nó là:

x

dx

∫

+ Hình trụ đặc khối lượng m, bán kính R, quay quanh trục giữa

∫ ∫ Với:

∫ ( )

5

∫ ∫ ∫

∫( )

1.2 Định lí biến thiên động năng

1.2.1 Định lí biến thiên động năng của chất điểm, hệ chất điểm

Một chất điểm đang chuyển động trên một quỹ đạo bất kì Dưới tác dụng của lực ⃗ khi nó ở vị trí 1 trên quỹ đạo, vận tốc của nó là ⃗ và tới vị trí

2 vận tốc là ⃗ Theo định luật Niuton thứ II, ta viết được:

Nhân hai vế với ds

: ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ / (2)

Vì vế thứ nhất có thứ nguyên của năng lượng, nên lượng

ở vế thứ hai cũng có thứ nguyên của năng lượng

Lấy tích phân cả hai vế của (2) theo quãng đường đi từ vị trí 1 đến vị trí 2:

( ) ∫ ⃗ ∫ . / (3) Lượng

ở vế thứ hai của (3) được gọi là động năng của chất điểm Động năng cũng là số đo của chuyển động, nó đặc trưng cho dự trữ năng lượng của một vật đang chuyển động Vậy vế thứ hai của (4) là độ biến thiên động năng của chất điểm trên quãng đường đi từ vị trí 1 đến vị trí 2

6

Như vậy: ta có thể phát biểu nội dung định lý biến thiên động năng:

“Độ biến thiên động năng của chất điểm trên một quãng đường đi bằng công của lực tác dụng lên chất điểm trên quãng đường đó”

1.2.2 Định lí biến thiên động năng của vật rắn

Đối với chất điểm k thì độ biến thiên động năng bằng tổng công nguyên

tố của ngoại lực và nội lực tác dụng lên chất điểm

( ) Vật rắn có thể coi như một hệ chất điểm mà khoảng cách giữa các chất điểm không thay đổi theo thời gian nên lấy tổng theo tất cả chất điểm của vật rắn ta có:

1.3 Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lƣợng

1.3.1 Định luật bảo toàn và biến thiên momen động lƣợng momen động lƣợng của chất điểm

Để đặc trưng cho chuyển động quay của chất điểm, người ta dùng định nghĩa momen của chất điểm đối với điểm O là vectơ xác định bằng hệ thức:

 ⃗  ⃗ (4)

Trong đó là bán kính của vectơ của chất diểm đối với điểm O Thứ nguyên của momen động lượng là , - Đơn vị của momen động lượng là ( ⁄ ) Lấy đạo hàm hai vế của (4) đối với thời gian, ta được:

(  ⃗ ) (

 ⃗ ) ( 

⃗ ) ( )

O

8

⃗⃗⃗ ( ) Khi ⃗⃗⃗ thì

, và Có thể có hai trường hợp: ⃗ , tức là không có lực tác dụng lên chất điểm; hoặc và cùng giá tức là là một lực xuyên tâm, giá của luôn luôn đi qua điểm O Vậy “Khi lực tác lên

chất điểm có momen lực bằng 0 đối với một điểm nào đó, thì momen động lượng của chất điểm đối với điểm đó là không đổi” Đó là định luật bảo toàn momen động lượng của chất điểm

Khi ⃗⃗⃗ , thì ta viết được (6) thành:

⃗⃗⃗ ( ) Vectơ ⃗⃗⃗ được gọi là xung lượng của momen lực trong khoảng thời gian , nó đặc trưng cho tác dụng của momen lực trong khoảng thời gian đó

Vậy: “Độ biến thiên momen động lượng của chất điểm đối với một điểm nào

đó trong khoảng thời gian nào đó bằng xung lượng của momen lực đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó” Đó là định luật biến thiên momen của

chất điểm

1.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen động lượng của hệ chất điểm

Xét hệ gồm n chất điểm, có khối lượng , ,… Đối với điểm O, bán kính vectơ của các chất điểm , ,… Đối với chất điểm thứ i, ta viết được:

⃗⃗⃗ ( ) Trong đó là momen đối với điểm O của tất cả các lực tác dụng lên chất điểm thứ i, bao gồm nội lực và ngoại lực Lấy tổng từng vế của (8) theo tất cả các chất điểm của cơ hệ, ta được:

9

∑

∑ ⃗⃗⃗

( )

Vế phải (9) là tổng momen của các nội lực và ngoại lực tác dụng lên cơ

hệ Ta tính tổng các momen các nội lực Xét hai chất điểm bất kì 1, 2, lực tương tác giữa chúng là ⃗ và ⃗ ⃗ như hình vẽ:

Ta có:

⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ ) Hay:

| ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗ ⃗ Tổng momen các lực tương tác giữa cặp chất điểm thứ 1 và 2 là một cặp vectơ triệt tiêu nhau Đối với mỗi cặp chất điểm trong hệ, ta cũng có kết quả như vậy Do đó tổng momen các nội lực bằng 0, và vế phải của (9) là tổng momen của các ngoại lực

Vế trái của (9) được viết thành:

∑

∑

⃗ Trong đó ⃗ là momen động lượng của cơ hệ đối với điểm O, ta viết lại được (9) thành:

⃗ ⃗⃗⃗ ( ) ( ) Khi ( ) thì ⃗⃗ và ⃗ Vậy: “Khi momen các ngoại lực

tác dụng lên cơ hệ bằng 0 đối với một điểm nào đó, thì momen động lượng của

O

h

Vậy: “Độ biến thiên momen động lượng của cơ hệ đối với một điểm nào đó

trong khoảng thời gian nào đó bằng xung lượng của tổng momen các ngoại lực đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó” Đó là định luật biến thiên momen động lượng của cơ hệ

1.3.3 Định luật bảo toàn và biến thiên momen xung lƣợng của vật rắn

Momen xung lượng của chất điểm thứ i đối với trục quay Oz là:

( ⃗⃗ ) Suy ra:

⃗ Đây là biểu thức của định luật biến thiên momen xung lượng của vật rắn

“Khi momen ngoại lực tác dụng lên một vật đối với một trục nào đó bằng

không thì momen xung lượng của vật đối với trục đó được bảo toàn”

1.4 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng

1.4.1 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của chất điểm

Như ta đã biết một chất điểm chuyển động từ vị trí 1 đến vị trí 2 trong một trường thế, độ biến thiên động năng của nó bằng công của lực tác dụng Công này bao gồm công ( ) của các lực thế và công ( ) của các lực khác không phải lực thế Ta viết được:

( ) ( ) (12) Công của lực thế bằng độ giảm thế năng, nên:

( ) ( ) ( ) (13) Cộng từng vế của (5) và (6) ta được:

( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( )) (14)

( ) (14.a) Trong đó: và gọi là cơ năng của vật ở vị trí 1 và 2

Như vậy: “Độ biến thiên cơ năng của chất điểm bằng công của các lực

khác, không phải lực thế, tác dụng lên nó” Nếu chất điểm chỉ chịu tác dụng

của lực thế hoặc chịu tác dụng của cả các lực không phải lực thế, nhưng công của các lực không phải lực thế bằng không tức là: ( ) thì ta có:

Đó là định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm: “Khi lực tác dụng lên

chất điểm chỉ là lực thế hoặc chịu tác dụng của các lực không phải lực thế

12

nhưng tổng công của các lực không phải lực thế bằng không, cơ năng của chất điểm là một đại lượng không đổi”

1.4.2 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm

Xét hệ gồm n chất điểm có khối lượng , … Và giả sử chất điểm thứ i chịu tác dụng của lực thế ⃗ ( ) , các lực khác là ⃗ ( )

Theo định luật Niuton thứ II, ta có:

⃗⃗

⃗ ( ) ⃗ ( ) Nếu hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế thì ta có:

)

Vế thứ hai là công của lực thế trên độ dịch chuyển ⃗ , nó bằng độ giảm thế năng:

⃗ ( ) ⃗

Do đó, đối với chất điểm thứ i, ta viết được:

(16) Lấy tổng theo tất cả các chất điểm trong cơ hệ:

hệ, ta có:

(17.a)

Đó là định luật bảo toàn cơ năng của cơ hệ: “Khi một cơ hệ chỉ chịu

tác dụng của những lực thế, cơ năng của hệ là một đại lượng không đổi”

Nếu cơ hệ còn chịu tác dụng của những lực khác không phải lực thế ⃗ ( ) Thì ta có:

⃗ ⃗ ( ) ⃗ ( ) Cũng lập luận như trên ta rút ra:

( ) ( ) (18)

Ở đây ( ) là công của các lực khác, không phải lực thế tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian dt, và ( ) là độ biến thiên cơ năng của cơ hệ trong khoảng thời gian đó Đó là định luật biến thiên cơ năng của cơ hệ:

“Độ biến thiên cơ năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng công

của các lực khác không phải lực thế tác dụng lên cơ hệ trong thời gian đó”

1.4.3 Định luật bảo toàn và biến thiên cơ năng của vật rắn

Định luật bảo toàn cơ năng là trường hợp riêng của định luật bảo toàn năng lượng

Trước hết ta xét một chất điểm chuyển động trong trường thế, độ biến thiên động năng của chất điểm bằng tổng công của lực thế và lực không thế tác dụng lên nó

Vậy độ biến thiên cơ năng của chất điểm bằng công của lực không thế tác dụng lên nó

Vật rắn coi như tập hợp các chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi theo thời gian nên lấy tổng theo tất cả các chất điểm của vật rắn ta có:

∑ ∑ ∑

Hay:

Trong đó:

+ ∑ : Cơ năng của vật rắn ở thời điểm ban đầu

+ ∑ : Cơ năng của vật rắn tại thời điểm sau

+ ∑ : Công của lực không thế tác dụng lên vật

Đó là biểu thức của định luật biến thiên cơ năng của vật rắn “Độ biến

thiên cơ năng của vật rắn bằng công của lực không thế tác dụng lên vật”

Nếu vật rắn chỉ chịu tác dụng của lực thế, có nghĩa thì:

Hay:

15

Đây là biểu thức của định luật bảo toàn cơ năng của vật rắn “Khi vật

rắn chỉ chịu tác dụng của lực thế thì cơ năng của nó được bảo toàn”

Lưu ý: , trong đó bao gồm cả động năng của chuyển động tịnh tiến của khối tâm và động năng của chuyển động quay quanh khối tâm

16

CHƯƠNG 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

2.1 Bài toán áp dụng định luật bảo toàn momen xung lượng

Phương pháp giải

Bước 1: Chỉ ra hệ cần nghiên cứu và các ngoại lực tác dụng lên hệ Bước 2:

+ Chọn điểm tính momen và chiều quay dương

+ Chỉ ra momen ngoại lực đối với hệ đang xét có giá trị bằng không + Tính momen xung lượng của hệ tại các thời điểm thích hợp

Bước 3: Viết biểu thức định luật bảo toàn momen xung lượng và các phương trình theo giả thiết (nếu có)

Bước 4: Giải hệ phương trình vừa thiết lập

Bước 5: Biện luận kết quả (nếu có)

2.1.1 Bài toán áp dụng

Bài 1: Một người đứng ở ghế Giucốpski sao phương của trọng lực tác dụng

lên người trùng với trục quay của ghế Hai tay người đó dang ra cằm hai quả

tạ, mỗi quả có khối lượng 2kg Khoảng cách giữa hai quả tạ là 1,6m Cho hệ người và ghế quay với vận tốc góc không đổi 0,5 vòng/s

Hỏi vận tốc góc của ghế và người nếu người đó co tay lại để khoảng cách giữa hai quả tạ là 0,6m Cho biết momen quán tính của người và ghế (không kể tạ) là 2,5 kg/

17

Momen động lượng của hệ khi người dang tay bằng momen động lượng khi người co tay lại:

(1) Trong đó: là momen quán tính của hệ khi người dang tay bằng:

/ /

( )

Vậy khi người co tay, hệ quay nhanh hơn

Bài 2: Một đĩa tròn đồng chất, trọng lượng là Q, bán kính R quay được quanh

một trục thẳng đứng AB đi qua tâm đĩa và vuông góc với đĩa Trên vành có một chất điểm M có trọng lượng P Đĩa quay quanh trục với vận tốc góc Tại một thời điểm nào đó chất điểm chuyển động theo vành đĩa với vận tốc tương đối so với đĩa là u Tìm vận tốc góc đĩa lúc đó

18

Khảo sát cơ hệ gồm đĩa và chất điểm M Đĩa có thể quay quanh trục cố định z thẳng đứng, còn chất điểm M chuyển động trên mặt đĩa theo đường tròn tâm O, bán kính OM (chuyển động tương đối) với vận tốc u và cùng quay với đĩa quanh trục z (chuyển động theo)

Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực ⃗⃗ và ⃗⃗ và các phản lực tại các ổ trục A và B

Vì hệ ngoại lực gồm các lực song song và cắt trục z ta có:

⃗ ⃗⃗⃗

( ) (1) Trong đó:

+ ( ) là momen động lượng của hệ theo trục z ở thời điểm ban đầu

+ là momen động lượng của hệ theo trục z ở thời điểm bất kì

Giả sử ở thời điểm ban đầu chất điểm nằm yên trên đĩa và cùng quay quanh trục z theo chiều dương với vận tốc góc

Momen động lượng của hệ lúc đó là:

( ) ( ) ( ) Trong đó:

19

Suy ra ta có momen động lượng của hệ theo trục z ở thời điểm bất kì là:

Trong đó:

+

Là momen của đĩa theo trục z ở thời điểm bất kì + ( ) Là momen của chất điểm theo trục z ở thời điểm bất kì

( )

Thay (2) và (3) vào (1) ta được:

( )

Bài 3: Một bánh đà có dạng hình trụ đồng chất có khối lượng M bán kính R

quay quanh trục cố định nằm ngang Một sợi dây cuốn quanh bánh đà đầu kia của sợi dây buộc vật nặng có khối lượng m Quả nặng được nâng lên rồi buông cho rơi xuống (hình vẽ) Sau khi rơi được độ cao h quả nặng bắt đầu làm căng dây và làm quay bánh đà Tính vận tốc góc của bánh đà tại thời điểm này?

Bài giải:

Khi nâng vật lên rồi thả cho nó rơi Trước khi dây

căng vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực là lực thế Do đó

cơ năng của vật được bảo toàn

Chọn gốc tính thế năng tại thời điểm mà vật làm

cho dây căng

Ta có:

Trong đó: là vận tốc của vật ngay trước lúc dây căng

20

 √ ( ) Lúc dây căng lực căng ⃗⃗ làm quay bánh đà

Xét hệ gồm vật và bánh đà ngoại lực tác dụng lên vật gồm trọng lực và phản lực tại điểm treo ròng rọc

Chọn O làm điểm tính momen ta có:

[ ⃗⃗ ⃗⃗ ]

 (với chiều quay hướng ra ngoài mặt giấy)

Những do tương tác giữa vật và bánh đà xảy ra rất ngắn

 ⃗ ⃗⃗⃗  ⃗ ⃗ ( )

Ta có:

⃗ , ⃗ - ⃗ , ⃗ - ⃗⃗

21

2.1.2 Bài toán tự giải

Bài 1: Một thanh chiều dài có thể quay tự do xung quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu của thanh Một viên đạn khối lượng bay theo phương ngang với vận tốc tới xuyên vào đầu kia của thanh và mắc vào thanh Tìm vận tốc góc của thanh ngay sau khi viên đạn đập vào thanh Biết momen quán tính của thanh đối với trục quay bằng 5kg Đáp số:

( )

Bài 2: Một sợi dây vắt qua ròng rọc khối lượng của nó có thể bỏ qua Một

người nắm vào dây tại điểm A còn đầu kia tại điểm B

Treo vật nặng có cùng khối lượng với người (hình vẽ)

Nếu người leo lên dây với vận tốc a đối với dây thì

vật nặng sẽ chuyển động như thế nào?

Đáp số:

Bài 3: Một bàn quay có bán kính , momen quán tính đối với trục quay qua tâm sàn là Khi bàn đang đứng yên, một người có khối lượng đứng ở mép bàn và ném viên đá có khối lượng với tốc độ theo phương tiếp tuyến với bàn Ngay sau khi ném người có tốc độ góc là bao nhiêu?

22

Bước 2: Tính momen ngoại lực tác dụng lên hệ đối với trục đã chọn Bước 3: Tính momen xung lượng của hệ tại các thời điểm thích hợp Bước 4: Viết biểu thức của định luật biến momen xung lượng và các phương trình theo giả thiết (nếu có)

Bước 5: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập

Bước 6: Biện luân kết quả (nếu có)

2.2.1 Bài toán áp dụng

Bài 1: Hai vật nặng A và B Vật A có khối lượng , vật B có khối lượng treo vào một sợi dây mềm không giãn Cuốn vào hai tang như hình vẽ Hai tang này có bán kính và và đặt trên một trục chung Vật nặng chuyển động dưới tác dụng của trọng lực Hãy xác định gia tốc góc của tang quay Bỏ qua khối lượng của chúng và của dây

Bài giải:

Xét hệ gồm 3 vật A, B và ròng rọc

Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và phản lực tại điểm treo tang quay Chọn điểm tính momen tại O, chiều quay hướng từ trong ra ngoài mặt giấy

Ta có:

(vì giá của lực qua O) Vậy momen của ngoại lực của hệ:

⃗⃗⃗ [ ⃗⃗ ] [ ⃗⃗ ] Chiếu lên chiều quay ta được:

23

Vì bỏ qua khối lượng của tang quay (Jw=0) do đó ta có:

, ⃗ - , ⃗ - giả sử ⃗ ⃗ có chiều như hình vẽ:

Nhận xét: Đây là bài toán áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng của hệ Khi giải bài toán dạng như vậy cần tuân theo các bước giải bài toán này và chú ý chọn hệ sao cho việc giải được đơn giản nhất, ngắn gọn nhất

Bài 2: Tang quay B có hai vòng bán kính R, r và trọng lượng Vành trong của tang có quấn dây, treo vật nặng D trọng lượng , khi tang B đang chuyển động với vận tốc góc thì người ta tác dụng lực ⃗⃗ vuông góc với cần hãm

để cho má hãm E xiết chặt vào vành ngoài của tang B Cho biết hệ số ma sát giữa má hãm E và vành của tang B là f, bán kính quán tính của tang đối với trục quay là , các kích thước của cần hãm , Bỏ qua

24

kích thước của má hãm, ma sát tại các ổ quay, trọng lượng của dây và của cần hãm

a, Tìm quy luật chuyển động của tang B

b, Tìm thời gian từ lúc bắt đầu hãm cho tới khi tang dừng lại

c, Tính số vòng quay mà tang quay được trọng thời gian đó

Bài giải:

a, Xét hệ vật D và tang B, hệ chịu tác dụng của trọng lực ⃗⃗ , phản lực ⃗⃗ , lực

ma sát giữa tang B với má hãm E và ⃗⃗

Momen động lượng của hệ đối với trục quay O tại thời điểm bất kì:

25

Thay (1) và (2) vào phương trình trên, ta được:

( ) Vậy tang chuyển động chậm dần đều: ̇

Ta có:

b, Thời gian hãm là:

c, Góc quay được của tang trong thời gian hãm:

Số vòng quay được của tang trong thời gian hãm là:

2.2.2 Bài toán tự giải

Bài 1: Một cơ hệ như hình vẽ Ròng rọc là hình trụ đặc đồng nhất khối lượng

m, bán kính R Vật B có khối lượng m treo vào trục của ròng rọc, các sợi dây