6. Cấu trúc khoá luận
2.1.2. Bài toán tự giải
Bài 1: Một thanh chiều dài có thể quay tự do xung quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu của thanh. Một viên đạn khối lượng bay theo phương ngang với vận tốc tới xuyên vào đầu kia của thanh và mắc vào thanh. Tìm vận tốc góc của thanh ngay sau khi viên đạn đập vào thanh. Biết momen quán tính của thanh đối với trục quay bằng 5kg. . Đáp số:
( )
Bài 2: Một sợi dây vắt qua ròng rọc khối lượng của nó có thể bỏ qua. Một
người nắm vào dây tại điểm A còn đầu kia tại điểm B Treo vật nặng có cùng khối lượng với người (hình vẽ). Nếu người leo lên dây với vận tốc a đối với dây thì vật nặng sẽ chuyển động như thế nào?
Đáp số:
Bài 3: Một bàn quay có bán kính , momen quán tính đối với trục quay qua tâm sàn là . Khi bàn đang đứng yên, một người có khối lượng đứng ở mép bàn và ném viên đá có khối lượng với tốc độ theo phương tiếp tuyến với bàn. Ngay sau khi ném người có tốc độ góc là bao nhiêu?
Đáp số: ( )
2.2. Bài toán áp dụng định luật biến thiên momen xung lƣợng
Phƣơng pháp giải
Bước 1: Xác định hệ cần nghiên cứu và các ngoại lực tác dụng lên hệ. O
R
22
Bước 2: Tính momen ngoại lực tác dụng lên hệ đối với trục đã chọn. Bước 3: Tính momen xung lượng của hệ tại các thời điểm thích hợp. Bước 4: Viết biểu thức của định luật biến momen xung lượng và các phương trình theo giả thiết (nếu có).
Bước 5: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập. Bước 6: Biện luân kết quả (nếu có).
2.2.1. Bài toán áp dụng
Bài 1: Hai vật nặng A và B. Vật A có khối lượng , vật B có khối lượng treo vào một sợi dây mềm không giãn. Cuốn vào hai tang như hình vẽ. Hai tang này có bán kính và và đặt trên một trục chung. Vật nặng chuyển động dưới tác dụng của trọng lực. Hãy xác định gia tốc góc của tang quay. Bỏ qua khối lượng của chúng và của dây.
Bài giải: Xét hệ gồm 3 vật A, B và ròng rọc.
Các ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và phản lực tại điểm treo tang quay. Chọn điểm tính momen tại O, chiều quay hướng từ trong ra ngoài mặt giấy.
Ta có:
⃗⃗⃗ (vì giá của lực qua O) Vậy momen của ngoại lực của hệ:
⃗⃗⃗ [ ⃗⃗ ] [ ⃗⃗ ] Chiếu lên chiều quay ta được:
Áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng cho hệ ta có: ⃗ ⃗⃗⃗ (1) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
23
Vì bỏ qua khối lượng của tang quay (Jw=0) do đó ta có: , ⃗ - , ⃗ - giả sử ⃗ ⃗ có chiều như hình vẽ:
Thay vào (1) ta có:
(, ⃗ - , ⃗ -) ⃗⃗⃗ Chiếu lên chiều dương đã chọn ta được:
, ( )- ( ) ( ) Mà: *( ) + ( ) ( ) ( ) Suy ra: ( ) ( )
Nhận xét: Đây là bài toán áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng của hệ. Khi giải bài toán dạng như vậy cần tuân theo các bước giải bài toán này và chú ý chọn hệ sao cho việc giải được đơn giản nhất, ngắn gọn nhất.
Bài 2: Tang quay B có hai vòng bán kính R, r và trọng lượng . Vành trong của tang có quấn dây, treo vật nặng D trọng lượng , khi tang B đang chuyển động với vận tốc góc thì người ta tác dụng lực ⃗⃗ vuông góc với cần hãm để cho má hãm E xiết chặt vào vành ngoài của tang B. Cho biết hệ số ma sát giữa má hãm E và vành của tang B là f, bán kính quán tính của tang đối với trục quay là , các kích thước của cần hãm , . Bỏ qua
24
kích thước của má hãm, ma sát tại các ổ quay, trọng lượng của dây và của cần hãm.
a, Tìm quy luật chuyển động của tang B
b, Tìm thời gian từ lúc bắt đầu hãm cho tới khi tang dừng lại. c, Tính số vòng quay mà tang quay được trọng thời gian đó.
Bài giải:
a, Xét hệ vật D và tang B, hệ chịu tác dụng của trọng lực ⃗⃗ , phản lực ⃗⃗ , lực ma sát giữa tang B với má hãm E và ⃗⃗ .
Momen động lượng của hệ đối với trục quay O tại thời điểm bất kì:
( ) ( ) ( )
Xét cân bằng của cần hãm . Phương trình momen đối với :
( )
Áp dụng định luật biến thiên momen xung lượng của hệ đối với trục quay O của tang, ta có:
E ⃗⃗ A ⃗⃗ ⃗ B O R ⃗⃗
25
Thay (1) và (2) vào phương trình trên, ta được:
*( ) + Mặt khác: ( ) ( ) Vậy tang chuyển động chậm dần đều: ̇ Ta có: b, Thời gian hãm là:
c, Góc quay được của tang trong thời gian hãm:
Số vòng quay được của tang trong thời gian hãm là:
2.2.2. Bài toán tự giải
Bài 1: Một cơ hệ như hình vẽ. Ròng rọc là hình trụ đặc đồng nhất khối lượng
26
có khối lượng không đáng kể, không co giãn. Tính gia tốc của vật B và lực căng của sợi dây.
Đáp số: ( ) ( )
Bài 2: Một vật có khối lượng được nối với sợi dây cuốn vào trống O khối lượng , bán kính R gắn vào O thanh mảnh OA, dưới tác dụng của lực G vuông góc với thanh tại đầu A làm cho trống kéo vật lên. Xác định chuyển động của vật và sức căng T của dây treo. Coi trống là khối trụ đồng chất.
Đáp số:
( ( ) )
( ( ) )
Bài 3: Quả cầu rỗng bán kính . Nếu thả quả cầu rơi tự do từ độ cao
xuống nền nhà thì nó nảy tới độ cao . Để quả cầu bắt đầu trượt ở điểm va chạm thì ngay trước va chạm nó phải quay quanh trục nằm
A B G A O l s
27
ngang đi qua tâm của nó với vận tốc góc tối thiểu là bao nhiêu. Biết ngay trước va chạm quả cầu đập vuông góc với nền nhà với vận tốc ( ).
Biết hệ số ma sát trượt , momen quán tính của quả cầu đối với trục quay qua khối tâm là .
Đáp số: ( )
2.3. Bài toán áp dụng định lí biến thiên động năng
Phƣơng pháp giải
Bước 1: Xác định hệ cần nghiên cứu.
Bước 2: Xác định tất cả các lực tác dụng lên hệ, chỉ rõ nội lực, ngoại lực tác dụng lên hệ.
Bước 3: Tính công của ngoại lực tác dụng lên hệ.
Bước 4: Viết biểu thức định lí biến thiên động năng, các phương trình khác từ giả thiết (nếu có).
Bước 5: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập. Bước 6: Biện luận kết quả (nếu có).
2.3.1. Bài toán áp dụng
Bài 1: Một tấm ván có khối lượng M được treo vào một sợi dây dài. Nếu viên
đạn có khối lượng m bắn vào ván với vận tốc thì nó dừng lại đối với ván ở mặt sau tấm ván. Nếu bắn với vận tốc thì viên đạn xuyên qua tấm ván. Tính vận tốc v của ván sau khi đạn xuyên qua ván, giả thiết lực cản của ván đối với đạn không phụ thuộc vào vận tốc của đạn.
Bài giải: Xét cơ hệ gồm đạn và ván
Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và lực căng của sợi dây.
Vì dây rất dài coi chuyển động của hệ
m O x
28
trong khoảng thời gian tương tác như chuyển động theo phương ngang Ox. ⃗ ⃗
theo phương ngang ( )
Trường hợp đạn bán với vận tốc thì nó dừng lại sau ván. Gọi vận tốc của đạn và ván lúc sau là
Ta có:
( ) (1) Áp dụng định lí biến thiên động năng ta được:
( ) ( ) Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )
Trường hợp đạn bắn với vận tốc thì gọi v là vận tốc đạn sau khi xuyên qua ván và là vận tốc của ván nên ta có:
(4) Áp dụng định lí biến thiên động năng cho cơ hệ ta có:
( ) Thay (3), (4) vào (5) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra:
29
( √ ) ( )
Để đạn xuyên qua ván thì từ điều kiện đề bài ta sẽ chọn 1 trong 2 nghiệm của (6).
Gọi F là lực mà đạn tác dụng lên ván theo định luật III Niutơn ta có: ả ủ á
Vì không phụ thuộc vào vận tốc của đạn. Theo phương ngang lực tác dụng lên tấm ván chỉ có lực F.
Do đó áp dụng định lí biến thiên động năng cho ván theo phương ngang trong khoảng thời gian tương tác.
suy ra:
( )
Từ (7) ta thấy lớn khi t lớn thì ván chuyển động càng nhanh mà thời gian t cũng chính là thời gian đạn chuyển động trong ván.
Vậy khi nên từ (6) suy ra:
Theo bài ra luôn có , vì vậy nghiệm của bài toán: ( √ ) Nghiệm:
( √ ) ( ) Vậy vận tốc của ván sau khi đạn xuyên qua ván là:
30
Bài 2: Một người dùng búa máy có khối lượng để đóng một cái cọc có khối lượng vào đất. Mỗi lần đóng cọc lún sâu khoảng .
a, Hãy xác định lực cản của đất, biết búa rơi từ độ cao xuống đầu cọc và lực cản của không khí vào búa khi nó rơi là ( ) coi va chạm giữa cọc và búa là tuyệt đối không đàn hồi (va chạm mềm).
b, Tính năng lượng của búa bị tiêu hao trong va chạm để làm nóng và biến dạng búa cọc.
c, Phần năng lượng để thắng lực cản của đất là bao nhiêu? Bài giải:
a, Trong quá trình rơi búa chịu tác dụng của lực cản không khí và trọng lực. Gọi v là vận tốc của búa trong quá trình rơi.
Áp dụng định lí biến thiên động năng cho búa ở vị trí ban đầu và vị trí ngay trước khi búa chạm cọc.
Ta có:
( ) (1)
Khi búa va chạm mềm vào cọc. Ta áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ta có:
( ) Trong đó: là vận tốc của hệ sau va chạm
√ ( )
( )
Khi cọc lún một đoạn h. Trong quá trình này hệ búa, cọc chịu tác dụng của trọng lực, lực cản của đất.
31
Áp dụng định lí biến thiên động năng cho hệ búa, cọc ở hai vị trí ngay sau va chạm và vị trí khi cọc lún được một đoạn h.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) Thay (2) vào (3) ta được:
( ) ( (
) ( )) Thay số vào ta được:
b, Phần năng lượng của búa bị tiêu hao trong va chạm để làm nóng cọc và biến dạng búa, cọc là:
( )
( ) {
} Thay số vào ta được:
c, Phần năng lượng để thắng lực cản của đất là:
Bài 3: Một tấm nặng có khối lượng m, được đặt nằm ngang trên hai con lăn là
một khối trụ tròn xoay đồng chất có bán kính r và khối lượng . Tác dụng vào tấm một lực ⃗ nằm ngang có độ lớn không đổi. Hệ số ma sát giữa con lăn với mặt nền là K. Các con lăn lăn không trượt trên nền và tấm nặng không trượt đối với các con lăn. Tìm gia tốc của tấm và tìm ma sát trượt tổng cộng do mặt nền tác dụng lên các con lăn. Bỏ qua ma sát lăn giữa tấm và các con lăn?
⃗ v
32 Bài giải:
Hệ tấm nặng chuyển động tịnh tiến, các con lăn chuyển động song phẳng. Các lực tác dụng lên hệ sinh công gồm có lực ⃗ , các ngẫu lực ma sát lăn do nền tác dụng lên, chúng có momen lần lượt là:
Động năng của hệ gồm động năng của tấm nặng và động năng của hai con lăn:
( )
Vì không có hiện tượng trượt giữa con lăn và nền và tấm nên:
Trong đó: v là vận tốc của tấm nặng, và là vận tốc dài và vận tốc góc của các con lăn, là momen quán tính của con lăn.
Vậy động năng của hệ là:
Tổng công suất của lực ⃗ và của các ngẫu lực ma sát lăn: ∑ ( ) ( )
( ) [ ( )] Áp dụng định lí động năng:
33 Suy ra: [ ( )] ( ) ( )
Phương trình chuyển động của khối tâm cho hệ:
⃗ ⃗ ⃗ ∑ ⃗ ∑ ⃗⃗ ∑ ⃗⃗ Chiếu phương trình trên lên phương nằm ngang, ta có:
∑ Với ta tìm được:
∑ ( ) Với a được tính ở trên.
Bài 4: Cơ hệ như hình vẽ. Vật A có khối lượng m. Ròng rọc B, con lăn C là
những hình trụ đặc đồng nhất khối lượng M, bán kính R. Trên ròng rọc B có momen cản tác dụng. Hệ số ma sát lăn giữa con lăn C và mặt phẳng nghiêng là f. Sợi dây không giãn khối lượng không đáng kể. Lúc đầu cơ hệ đứng yên sau đó bắt đầu chuyển động xuống dưới. Tìm vận tốc vật A khi nó đi được quãng đường h. Con lăn C chuyển động song phẳng.
Bài giải: A B C ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
34
Xét cơ hệ gồm vật m, con lăn C, ròng rọc B.
Trong các lực tác dụng lên vật thì lực ma sát nghỉ không sinh công vì điểm đặt luôn thay đổi, phản lực ⃗⃗ vuông góc với phương chuyển động nên không sinh công. Tổng công của các cặp lực ⃗⃗ và ⃗⃗ , ⃗⃗ và ⃗⃗ gây ra bằng không.
Khi A đi được quãng đường h thì khối tâm con lăn C cũng đi được quãng đường h (do dây không giãn). Con lăn và ròng rọc cùng quay được một góc
Lực ma sát lăn sinh công âm:
Momen cản tác dụng lên ròng rọc sinh công âm:
Khi đó vật A đạt vận tốc v, ròng rọc quay với vận tốc góc , con lăn lăn không trượt với vận tốc góc , khối tâm con lăn chuyển động tịnh tiến với vận tốc v.
Động năng của cơ hệ là:
Với: ( ) Áp dụng định lí động năng ta có:
35 ( ) [ ( ) ] Hay: √ [ ( ) ]
2.3.2. Bài toán tự giải
Bài 1: Một tấm ván có khối lượng M được đặt trên một mặt bàn nằm ngang,
một vật có khối lượng m trượt trên tấm ván. Hệ số ma sát giữa tấm ván và vật và tấm ván vào bàn lần lượt là và . Một lực ⃗ có phương nằm ngang tác dụng.
a, Lên vật m. b, Lên vật M.
1, Tìm gia tốc chuyển động của vật m và tấm vấn trong mỗi trường hợp.
2, Điều kiện để vật m trượt trên tấm ván M trong trường hợp a và để M luồn dưới m trong trường hợp b.
Đáp số: 1, a: ( ) b: ( ) ( ) M m ⃗
36 2
- Điều kiện để m trượt đối với tấm ván:
( )
+ Nếu chỉ thoả mãn và ( ) thì vật m trượt trên tấm ván M, còn tấm ván đứng yên so với bàn.
+ Nếu và ( ) thì m và M chuyển động cùng gia tốc. ( )
+ Nếu ( ) thì cả hai vật đứng yên. - Điều kiện để M luồn dưới m là:
Hay: ( )( )
Bài 2: Một chiếc xe tắt máy thả lăn không vận tốc đầu từ A xuống dốc AC và
chạy tới D thì dừng lại. Từ D xe mở máy và chạy ngược lại theo đường DCA và dừng lại khi lên tới điểm A (hình vẽ). Tính công của lực kéo của động cơ xe. Biết và khối lượng xe .
Đáp số: Công của lực kéo của động cơ là: 100 kJ.
Bài 3: Cơ hệ như hình vẽ. Vật A có khối lượng buộc vào dây không giãn, nhẹ vắt qua ròng rọc cố định O khối lượng quấn vào con lăn hình trụ B khối lượng . Ròng rọc và con lăn là những hình trụ đồng chất và có cùng bán kính. Bỏ qua ma sát lăn, ròng rọc quay và con lăn lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng. Tính gia tốc chuyển động của vật A.
B A C X D
37 Đáp số:
. /
Bài 4: Vật A có khối lượng đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn, gắn bản lề tại O với thanh đồng chất OB có khối lượng và chiều dài l. Hệ bắt đầu chuyển động từ trạng thái tĩnh, khi đó thanh OB nằm ngang, bỏ qua ma sát bản lề O. Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng.
Đáp án:
√
( )( )
2.4. Bài toán áp dụng định luật bảo toàn cơ năng
Phƣơng pháp giải
Bước 1: Xác định hệ cần nghiên cứu và các lực tác dụng lên từng vật trong hệ (nói rõ lực thế, lực không thế).
Bước 2: Chứng tỏ công của các lực không phải lực thế bằng không.