6. Cấu trúc khoá luận
2.3. Bài toán áp dụng định lí biến thiên động năng
Phƣơng pháp giải
Bước 1: Xác định hệ cần nghiên cứu.
Bước 2: Xác định tất cả các lực tác dụng lên hệ, chỉ rõ nội lực, ngoại lực tác dụng lên hệ.
Bước 3: Tính công của ngoại lực tác dụng lên hệ.
Bước 4: Viết biểu thức định lí biến thiên động năng, các phương trình khác từ giả thiết (nếu có).
Bước 5: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập. Bước 6: Biện luận kết quả (nếu có).
2.3.1. Bài toán áp dụng
Bài 1: Một tấm ván có khối lượng M được treo vào một sợi dây dài. Nếu viên
đạn có khối lượng m bắn vào ván với vận tốc thì nó dừng lại đối với ván ở mặt sau tấm ván. Nếu bắn với vận tốc thì viên đạn xuyên qua tấm ván. Tính vận tốc v của ván sau khi đạn xuyên qua ván, giả thiết lực cản của ván đối với đạn không phụ thuộc vào vận tốc của đạn.
Bài giải: Xét cơ hệ gồm đạn và ván
Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và lực căng của sợi dây.
Vì dây rất dài coi chuyển động của hệ
m O x
28
trong khoảng thời gian tương tác như chuyển động theo phương ngang Ox. ⃗ ⃗
theo phương ngang ( )
Trường hợp đạn bán với vận tốc thì nó dừng lại sau ván. Gọi vận tốc của đạn và ván lúc sau là
Ta có:
( ) (1) Áp dụng định lí biến thiên động năng ta được:
( ) ( ) Từ (1) và (2) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )
Trường hợp đạn bắn với vận tốc thì gọi v là vận tốc đạn sau khi xuyên qua ván và là vận tốc của ván nên ta có:
(4) Áp dụng định lí biến thiên động năng cho cơ hệ ta có:
( ) Thay (3), (4) vào (5) ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra:
29
( √ ) ( )
Để đạn xuyên qua ván thì từ điều kiện đề bài ta sẽ chọn 1 trong 2 nghiệm của (6).
Gọi F là lực mà đạn tác dụng lên ván theo định luật III Niutơn ta có: ả ủ á
Vì không phụ thuộc vào vận tốc của đạn. Theo phương ngang lực tác dụng lên tấm ván chỉ có lực F.
Do đó áp dụng định lí biến thiên động năng cho ván theo phương ngang trong khoảng thời gian tương tác.
suy ra:
( )
Từ (7) ta thấy lớn khi t lớn thì ván chuyển động càng nhanh mà thời gian t cũng chính là thời gian đạn chuyển động trong ván.
Vậy khi nên từ (6) suy ra:
Theo bài ra luôn có , vì vậy nghiệm của bài toán: ( √ ) Nghiệm:
( √ ) ( ) Vậy vận tốc của ván sau khi đạn xuyên qua ván là:
30
Bài 2: Một người dùng búa máy có khối lượng để đóng một cái cọc có khối lượng vào đất. Mỗi lần đóng cọc lún sâu khoảng .
a, Hãy xác định lực cản của đất, biết búa rơi từ độ cao xuống đầu cọc và lực cản của không khí vào búa khi nó rơi là ( ) coi va chạm giữa cọc và búa là tuyệt đối không đàn hồi (va chạm mềm).
b, Tính năng lượng của búa bị tiêu hao trong va chạm để làm nóng và biến dạng búa cọc.
c, Phần năng lượng để thắng lực cản của đất là bao nhiêu? Bài giải:
a, Trong quá trình rơi búa chịu tác dụng của lực cản không khí và trọng lực. Gọi v là vận tốc của búa trong quá trình rơi.
Áp dụng định lí biến thiên động năng cho búa ở vị trí ban đầu và vị trí ngay trước khi búa chạm cọc.
Ta có:
( ) (1)
Khi búa va chạm mềm vào cọc. Ta áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ta có:
( ) Trong đó: là vận tốc của hệ sau va chạm
√ ( )
( )
Khi cọc lún một đoạn h. Trong quá trình này hệ búa, cọc chịu tác dụng của trọng lực, lực cản của đất.
31
Áp dụng định lí biến thiên động năng cho hệ búa, cọc ở hai vị trí ngay sau va chạm và vị trí khi cọc lún được một đoạn h.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) Thay (2) vào (3) ta được:
( ) ( (
) ( )) Thay số vào ta được:
b, Phần năng lượng của búa bị tiêu hao trong va chạm để làm nóng cọc và biến dạng búa, cọc là:
( )
( ) {
} Thay số vào ta được:
c, Phần năng lượng để thắng lực cản của đất là:
Bài 3: Một tấm nặng có khối lượng m, được đặt nằm ngang trên hai con lăn là
một khối trụ tròn xoay đồng chất có bán kính r và khối lượng . Tác dụng vào tấm một lực ⃗ nằm ngang có độ lớn không đổi. Hệ số ma sát giữa con lăn với mặt nền là K. Các con lăn lăn không trượt trên nền và tấm nặng không trượt đối với các con lăn. Tìm gia tốc của tấm và tìm ma sát trượt tổng cộng do mặt nền tác dụng lên các con lăn. Bỏ qua ma sát lăn giữa tấm và các con lăn?
⃗ v
32 Bài giải:
Hệ tấm nặng chuyển động tịnh tiến, các con lăn chuyển động song phẳng. Các lực tác dụng lên hệ sinh công gồm có lực ⃗ , các ngẫu lực ma sát lăn do nền tác dụng lên, chúng có momen lần lượt là:
Động năng của hệ gồm động năng của tấm nặng và động năng của hai con lăn:
( )
Vì không có hiện tượng trượt giữa con lăn và nền và tấm nên:
Trong đó: v là vận tốc của tấm nặng, và là vận tốc dài và vận tốc góc của các con lăn, là momen quán tính của con lăn.
Vậy động năng của hệ là:
Tổng công suất của lực ⃗ và của các ngẫu lực ma sát lăn: ∑ ( ) ( )
( ) [ ( )] Áp dụng định lí động năng:
33 Suy ra: [ ( )] ( ) ( )
Phương trình chuyển động của khối tâm cho hệ:
⃗ ⃗ ⃗ ∑ ⃗ ∑ ⃗⃗ ∑ ⃗⃗ Chiếu phương trình trên lên phương nằm ngang, ta có:
∑ Với ta tìm được:
∑ ( ) Với a được tính ở trên.
Bài 4: Cơ hệ như hình vẽ. Vật A có khối lượng m. Ròng rọc B, con lăn C là
những hình trụ đặc đồng nhất khối lượng M, bán kính R. Trên ròng rọc B có momen cản tác dụng. Hệ số ma sát lăn giữa con lăn C và mặt phẳng nghiêng là f. Sợi dây không giãn khối lượng không đáng kể. Lúc đầu cơ hệ đứng yên sau đó bắt đầu chuyển động xuống dưới. Tìm vận tốc vật A khi nó đi được quãng đường h. Con lăn C chuyển động song phẳng.
Bài giải: A B C ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
34
Xét cơ hệ gồm vật m, con lăn C, ròng rọc B.
Trong các lực tác dụng lên vật thì lực ma sát nghỉ không sinh công vì điểm đặt luôn thay đổi, phản lực ⃗⃗ vuông góc với phương chuyển động nên không sinh công. Tổng công của các cặp lực ⃗⃗ và ⃗⃗ , ⃗⃗ và ⃗⃗ gây ra bằng không.
Khi A đi được quãng đường h thì khối tâm con lăn C cũng đi được quãng đường h (do dây không giãn). Con lăn và ròng rọc cùng quay được một góc
Lực ma sát lăn sinh công âm:
Momen cản tác dụng lên ròng rọc sinh công âm:
Khi đó vật A đạt vận tốc v, ròng rọc quay với vận tốc góc , con lăn lăn không trượt với vận tốc góc , khối tâm con lăn chuyển động tịnh tiến với vận tốc v.
Động năng của cơ hệ là:
Với: ( ) Áp dụng định lí động năng ta có:
35 ( ) [ ( ) ] Hay: √ [ ( ) ]
2.3.2. Bài toán tự giải
Bài 1: Một tấm ván có khối lượng M được đặt trên một mặt bàn nằm ngang,
một vật có khối lượng m trượt trên tấm ván. Hệ số ma sát giữa tấm ván và vật và tấm ván vào bàn lần lượt là và . Một lực ⃗ có phương nằm ngang tác dụng.
a, Lên vật m. b, Lên vật M.
1, Tìm gia tốc chuyển động của vật m và tấm vấn trong mỗi trường hợp.
2, Điều kiện để vật m trượt trên tấm ván M trong trường hợp a và để M luồn dưới m trong trường hợp b.
Đáp số: 1, a: ( ) b: ( ) ( ) M m ⃗
36 2
- Điều kiện để m trượt đối với tấm ván:
( )
+ Nếu chỉ thoả mãn và ( ) thì vật m trượt trên tấm ván M, còn tấm ván đứng yên so với bàn.
+ Nếu và ( ) thì m và M chuyển động cùng gia tốc. ( )
+ Nếu ( ) thì cả hai vật đứng yên. - Điều kiện để M luồn dưới m là:
Hay: ( )( )
Bài 2: Một chiếc xe tắt máy thả lăn không vận tốc đầu từ A xuống dốc AC và
chạy tới D thì dừng lại. Từ D xe mở máy và chạy ngược lại theo đường DCA và dừng lại khi lên tới điểm A (hình vẽ). Tính công của lực kéo của động cơ xe. Biết và khối lượng xe .
Đáp số: Công của lực kéo của động cơ là: 100 kJ.
Bài 3: Cơ hệ như hình vẽ. Vật A có khối lượng buộc vào dây không giãn, nhẹ vắt qua ròng rọc cố định O khối lượng quấn vào con lăn hình trụ B khối lượng . Ròng rọc và con lăn là những hình trụ đồng chất và có cùng bán kính. Bỏ qua ma sát lăn, ròng rọc quay và con lăn lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng. Tính gia tốc chuyển động của vật A.
B A C X D
37 Đáp số:
. /
Bài 4: Vật A có khối lượng đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn, gắn bản lề tại O với thanh đồng chất OB có khối lượng và chiều dài l. Hệ bắt đầu chuyển động từ trạng thái tĩnh, khi đó thanh OB nằm ngang, bỏ qua ma sát bản lề O. Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng.
Đáp án:
√
( )( )