6. Cấu trúc khoá luận
2.4. Bài toán áp dụng định luật bảo toàn cơ năng
Phƣơng pháp giải
Bước 1: Xác định hệ cần nghiên cứu và các lực tác dụng lên từng vật trong hệ (nói rõ lực thế, lực không thế).
Bước 2: Chứng tỏ công của các lực không phải lực thế bằng không. + Chọn gốc tính thế năng sao cho việc giải bài toán là đơn giản nhất. + Tính cơ năng của cơ hệ tại những thời điểm thích hợp.
O B A B A O l
38
Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn cơ năng và các phương trình khác từ giả thiết (nếu có).
Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập. Bước 5: Biện luận kết quả (nếu có).
2.4.1. Bài toán áp dụng
Bài 1: Cho hai quả tạ giống nhau A và B được nối với nhau bằng một sợi dây
không giãn chiều dài l, khối lượng không đáng kể. Lúc đầu quả tạ B ở độ cao . Chiều cao bàn là l, thả cho nó rơi và kéo quả tạ A trượt trên mặt bàn hoàn toàn nhẵn (hình vẽ). Sau khi va chạm vào sàn quả tạ B đứng yên còn tạ A bay ra xa bàn. Hỏi độ cao nào dây lại căng?
Bài giải: Xét hệ gồm hai quả tạ A và B.
Lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực, phản lực và lực căng của sợi dây.
Ta có: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Do ⃗⃗ và ⃗⃗ vuông góc với phương dịch chuyển của vật A, ⃗⃗ là công kéo còn ⃗⃗ là công cản. Mà trọng lực ⃗⃗ là lực thế tác dụng lên hệ. Do vậy, cơ năng của hệ được bảo toàn.
Chọn gốc thế năng tại O, hệ trục Oxy như hình vẽ. Xét hệ tại vị trí ban đầu và vị trí B chạm sàn ta có:
l A B A l B ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ y x O h
39
√ √
Trong đó: v là vận tốc của vật A lúc đến mép bàn và cũng là vận tốc của vật B trước khi chạm sàn.
Giả sử v đủ lớn để tạ A chuyển động tròn quanh tâm O trong lúc tạ B chạm sàn. Khi đó trọng lực và lực căng cuả sợi dây tác dụng lên tạ A sẽ đóng vai trò là lực hướng tâm.
Theo định luật II Niutơn:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Theo phương hướng tâm ta có:
( ) thay:
√ vào (1) ta được:
Vậy điều giả sử trên không đúng. Thực ra dây bị trùng và tạ A chuyển động tự do giống như vật chuyển động ném ngang cho tới khi thì quả tạ A chuyển động tròn quanh B.
Phương trình chuyển động của tạ A: {
Giả sử tại M ( ) thì dây căng khi đó:
40 ( ) ( ) √ { √
Nhận xét: Trong bài này ta chưa biết khi tạ A vừa rời mép bàn dây trùng hay căng nên từ việc giả sử dây căng ta sẽ chứng minh được khi A rời bàn thì dây trùng hay và dây căng khi thoả mãn điều kiện (theo định lí pitago).
Bài 2: Một lò xo có độ cứng , độ dài tự nhiên , một đầu cố định, đầu kia được mắc vào một vật C khối lượng có thể trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Vật C được cố định bởi vật D có khối lượng bằng một sợi dây không giãn qua một ròng rọc, sợi dây và ròng rọc đều có khối lượng không đáng kể. Giữ vật D sao cho lò xo có độ dài rồi thả nhẹ nhàng. Bỏ qua ma sát và gia tốc trọng trường .
a, Chứng minh hệ dao động điều hoà. b, Viết phương trình dao động.
Bài giải: a, Xét hệ vật (M+m)
Chọn gốc thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng.
Tại li độ x
Thế năng đàn hồi của hệ:
⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
41 Động năng của hệ là:
( ) ( ) ̇
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ vật:
( ) ̇
Đạo hàm hai vế theo thời gian của biến x, ta có: ( ) ̇ ̈ ̇ ( ) ̈ (Trong đó: ̈ ̇ , ̇ ) Đặt: √
Nghiệm phương trình trên có dạng: ( ) (1)
Vậy vật dao động điều hoà (điều phải chứng minh) b, Viết phương trình dao động điều hoà Chọn gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động Phương trình vận tốc: ̇ ( ) (2) Ta có: ( ) ( ) Khi ta có: Ta lại có:
42 √ √ ( ) Từ (1) và (2) ta có: { { ( ) Vậy phương trình dao động điều hoà là:
. / ( )
Bài 3: Một xilanh đặc, đồng chất, bán kính R, đang lăn không trượt với vận
tốc ⃗ thì gặp một cái dốc có góc nghiêng so với phương ngang (hình vẽ). Hỏi tốc độ v phải có giá trị như thế nào để khi nó lăn qua đầu dốc thì không bị nảy lên?
Bài giải: Tác dụng lên xilanh có trọng lực ⃗⃗ , phản lực của mặt cầu, giá của ⃗⃗ là bán kính nối tâm quả cầu với mặt cầu, lực ma sát nghỉ
⃗ . Khi mà xilanh chuyển động qua ranh giới K, tâm
của xilanh vạch ra một cung tròn quanh điểm tiếp xúc K, đồng thời tốc độ của khối tâm O tăng từ v đến .
Phương trình định luật II Niutơn:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ Chiếu lên phương bán kính ta có:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ K O O ⃗
43
( ) Muốn xilanh không nảy lên thì
Suy ra:
(1) Mặt khác, theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có:
( )
Thay:
và thay:
vào phương trình (2), ta được:
( ) ( ) Thay (3) vào (1), ta được:
√ ( )
Bài 4: Từ mức cao nhất của một mặt phẳng nghiêng, một hình trụ đặc và một
quả cầu đặc có cùng khối lượng và bán kính, đồng thời bắt đầu lăn không trượt xuống dưới. Tìm tỷ số vận tốc của hai vật tại một mức ngang nào đó.
Bài giải:
44
Gọi là vận tốc của quả cầu sau khi lăn xuống được độ cao h.
Khi quả cầu, hình trụ lăn không trượt xuống dưới, thì điểm đặt của lực ma sát tĩnh nằm trên trục quay tức thời, mà tại đó vận tốc tại các điểm bằng không và không ảnh hưởng tới cơ năng toàn phần của vật.
Vai trò của lực ma sát ở đây là đảm bảo cho vật lăn không trượt và đảm bảo cho độ giảm thế năng hoàn toàn chuyển thành độ tăng động năng tịnh tiến và động năng quay của vật.
Các lực tác dụng lên hình trụ, quả cầu là: ⃗⃗ (lực thế), ⃗⃗ (theo phương pháp tuyến) và lực ma sát tĩnh ⃗ . Ta có ⃗ , ⃗⃗ không sinh công.
Suy ra cơ năng của hệ được bảo toàn.
Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hình trụ và quả cầu. Với quả cầu ta có:
( ) Với hình trụ ta có: ( ) Trong đó: Thay vào (1) và (2), ta được:
à √
45
2.4.2. Bài toán tự giải
Bài 1: Ba vật A, B, C được treo vào một sợi dây dài vắt qua hai ròng rọc cố
định ở cùng một độ cao, . Thả cho hệ thống chuyển động, khi vật C có khối lượng gấp đôi A và B rơi được 0,5m thì vận tốc của nó bằng bao nhiêu? Bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc. Lấy ( ).
Đáp số: ( )
Bài 2: Vật A có khối lượng trượt trên mặt sàn nằm ngang với vận
tốc ( ) rồi trượt lên một nêm B có khối lượng như (hình vẽ). Chiều cao của đỉnh nêm là H. Ban đầu nêm đứng yên và có thể trượt trên mặt sàn. Bỏ qua ma sát và mất mát động năng khi va chạm.
1, Mô tả chuyển động của hệ “A+B” và tìm vận tốc cuối cùng của A và B trong hai trường hợp:
a, . b, .
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của để khi thì vật trượt qua được nêm cao . Lấy ( ).
Đáp số: 1 a, { ( ) ⃗ H O C A B
46 b, { ( ) ( ) 2, ( )
Bài 3: Một hình trụ đặc đồng chất, khối lượng M, bán kính R được gắn vào
một lò xo có độ cứng K và khối lượng không đáng kể, hình trụ có thể lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Tính chu kì dao động của hình trụ? Đáp số:
√
Bài 4: Cơ hệ gồm một con lăn bán kính R, khối lượng m đặt trên bàn nằm ngang và vật có khối lượng m nối với nhau bằng sợi dây vòng qua một ròng rọc cố định gần ở mép bàn. Cơ hệ chuyển động từ nghỉ. Biết con lăn lăn không trượt và bỏ ma sát lăn của nó trên mặt bàn. Khối lượng ròng rọc và dây không đáng kể, dây không giãn. Xác định gia tốc a của trục con lăn và lực căng sợi dây.
Đáp số:
̇
( )
Bài 5: Một quả cầu đặc đồng chất bán kính r lăn trên mặt trong của một mặt
cầu có bán kính R. Giả sử chuyển động của quả cầu là dao động điều hoà. Xác định chu kì của nó.
Đáp án:
√ ( )
47