Quá trình khuếch tán dạng affine và ứng dụng trong một số mô hình lãi suất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ NGỌC LINH QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH LÃI SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN NGUYỄN THỊ NGỌC LINH Q TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH LÃI SUẤT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGƠ HỒNG LONG Hà Nội – 2018 i LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS NGƠ HỒNG LONG, giảng viên khoa Toán, Đại học sư phạm Hà Nội trực tiếp giao đề tài hướng dẫn em tận tình, cho em kiến thức kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho em q trình thực hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Thị Ngọc Linh ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Học viên Nguyễn Thị Ngọc Linh iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Lý thuyết xác suất 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên 1.1.3 Kì vọng bnn có phân phối liên tục tuyệt đối 1.1.4 Phân phối chuẩn Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Lọc trình ngẫu nhiên tương thích 1.2.2 Thời điểm dừng Martingale 1.3.1 Định nghĩa martingale 1.3.2 Một số bất đẳng thức cho dãy martingale 1.4 Chuyển động Brown 10 1.5 Tích phân ngẫu nhiên Itơ 10 1.5.1 Tich phân ngẫu nhiên không gian M2 ([a, b]) 10 1.5.2 Tích phân ngẫu nhiên khơng gian L2 ([a, b]) 12 1.6 Công thức vi phân Itô 13 1.7 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 13 1.7.1 Định nghĩa 13 iv 1.7.2 Sự tồn nghiệm 15 Quá trình khuếch tán dạng affine 16 2.1 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck 16 2.2 Quá trình Cox-Ingersoll-Ross 18 2.2.1 Định nghĩa tồn 2.2.2 Đặc trưng hàm mật độ xác suất 22 2.2.3 18 Mối liên hệ trình Ornstein-Uhlenbeck Cox-IngersollRoss Processes 34 2.2.4 Điều kiện Feller 36 2.3 Định nghĩa đặc trưng trình khuếch tán dạng affine 39 2.4 Mơ q trình khuếch tán 43 2.4.1 Phương pháp xấp xỉ Euler-Maruyama 43 2.4.2 Mơ q trình CIR 45 Một số mơ hình lãi suất ngắn hạn 47 3.1 Tổng quan lãi suất ngắn hạn tài 47 3.2 Mơ hình Vasicek 52 3.3 Mơ hình Cox-Ingersoll-Ross 54 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi phân ngẫu nhiên sử dụng để mô tả đại lượng biến thiên ngẫu nhiên theo thời gian nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng tài chính, sinh vật, vật lý Các q trình khuếch tán dạng affine lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên quan tâm sử dụng nhiều thực tế phân phối thời điểm xác định hàm tương đối đơn giản tham số mô hình Các trình affine tiêu biểu trình Ornstein-Uhlenbeck trình Cox-Ingersoll-Ross Với mong muốn tìm hiểu sâu thêm sở lý thuyết trình dạng affine ứng dụng chúng tài chính, tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Q TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH LÃI SUẤT” cho luận văn thạc sĩ Tài liệu tham khảo luận văn sách chuyên khảo [2] Aurélien Alfonsi [3] Stefano Iacus Mục đích nghiên cứu • Xác định đặc trưng trình khuếch tán dạng affine chiều, phương pháp ước lượng tham số mơ máy tính • Ưng dụng q trình khuếch tán dạng affine việc mơ hình hoá lãi suất ngắn hạn ngân hàng Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu tính chất q trình khuếch tán dạng affine • Phương pháp ước lượng tham số mơ hình • Mơ hình lãi suất ngắn hạn trình Ornstein-Uhlenbeck CoxIngersoll-Ross • Mơ mơ hình máy tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Q trình khuếch tán dạng affine • Ứng dụng tài Đóng góp Luận văn đưa cách tiếp cận mang tính hệ thống để nghiên cứu tính chất q trình affine chiều Luận văn trình bày phương pháp mơ q trình affine máy tính Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lý thuyết • Nghiên cứu thực nghiệm mơ máy tính Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết xác suất 1.1.1 Không gian xác suất Giả sử Ω tập khác rỗng đó, ta kí hiệu 2Ω tập tất tập Ω bao gồm tập rỗng ∅ Ω Giả sử A tập 2Ω Định nghĩa 1.1 A gọi đại số ∅ ∈ A Ω ∈ A; Nếu A ∈ A Ac = Ω\A ∈ A; A đóng phép giao phép hợp hữu hạn: tức là, với A1 , , An ∈ A, ta có ∪ni=1 Ai ∩ni=1 Ai thuộc A F gọi σ-đại số đại số thỏa mãn điều kiện F đóng phép giao phép hợp đếm được: tức là, với dãy Ai , i = 1, 2, phần tử F, ta có ∪i Ai ∩i Ai thuộc F Dễ thấy σ-đại số đại số Ngược lại nói chung khơng Định nghĩa 1.2 Giả sử C ⊂ 2Ω , σ-đại số sinh C, kí hiệu σ(C) σ-đại số bé chứa C σ(C) ln tồn 2Ω σ-đại số giao họ σ-đại số σ-đại số Ví dụ 1.1.1 F = {∅, Ω}: σ-đại số tầm thường Nếu A tập Ω σ(A) = {∅, A, Ac , Ω} Nếu Ω = Rd σ-đại số sinh tất tập mở Ω gọi σ-đại số Borel, kí hiệu B(Rd ) Định nghĩa 1.3 Nếu F σ-đại số Ω (Ω, F) gọi không gian đo Định nghĩa 1.4 Giả sử (Ω, F) không gian đo Ánh xạ P : A → [0, 1] gọi độ đo xác suất P(Ω) = 1; Với dãy gồm đếm tập (Ai ) A đôi không giao (tức Am ∩ An = ∅) ta có ∞ ∞ Ai P i=1 = P(Ai ) i=1 Khi ta gọi (Ω, F, P) không gian xác suất, tập Ω không gian mẫu Mỗi phần tử ω ∈ Ω gọi biến cố sơ cấp Mỗi phần tử A ∈ A gọi biến cố giá trị P(A) gọi xác suất biến cố A Nếu hai biến cố A B thỏa mãn B ⊂ A B gọi thuận lợi cho A Hai biến cố A B gọi xụng khắc A ∩ B = ∅ gọi đối lập A = Ω\B Mệnh đề 1.1 Nếu P độ đo xác suất (Ω, F) P(∅) = 0; P hữu hạn cộng tính; P(Ac ) = − P(A) với A ∈ F; Nếu A, B ∈ F A ⊂ B P(A) P(B) ... sâu thêm sở lý thuyết trình dạng affine ứng dụng chúng tài chính, tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH LÃI SUẤT” cho luận văn thạc... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ NGỌC LINH QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN DẠNG AFFINE VÀ ỨNG DỤNG TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH LÃI SUẤT Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46... nghiên cứu • Xác định đặc trưng trình khuếch tán dạng affine chiều, phương pháp ước lượng tham số mơ máy tính • Ưng dụng trình khuếch tán dạng affine việc mơ hình hố lãi suất ngắn hạn ngân hàng 2