Các phương trình tích phân và ứng dụng trong vật lí

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HOÀN CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & Vật lý toán HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS Hà Thanh Hùng tận tâm hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi động viên suốt trình thực khóa luận Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô khoa Vật Lý quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập nghiên cứu khoa Tôi xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho trình nghiên cứu Cuối cùng, cho gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè thân thiết, người bên cạnh động viên giúp đỡ hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp thân thực có hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn không chép công trình nghiên cứu người khác Các liệu thông tin thứ cấp sử dụng khóa luận có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan này! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hoàn BẢNG DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TỪ VIẾT TẮT NGHĨA CỦA TỪ VIẾT TẮT SH Schmidt - Hilbert SL Sturm - Liouville MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1 Phương trình tích phân 1.1.1 Định nghĩa phương trình tích phân 1.1.2 Các khái niệm 1.1.3 1.2 Xây dựng phương trình tích phân từ phương trình vi phân Các loại phương trình tích phân 1.3 Các nghiệm quen thuộc phương tình tích phân 10 1.3.1 Phương trình tích phân có nhân phân tách 10 1.3.2 Các phép biến đổi tích phân 12 1.3.3 Các phép biến đổi vi phân 16 1.4 Chuỗi Neumann 17 1.5 Lý thuyết Fredholm 19 1.6 Lý thuyết Schmidt–Hilbert 21 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ 24 2.1 Ứng dụng phương trình tích phân loại 24 2.2 Ứng dụng phương trình tích phân loại 24 2.2.1 Phương trình thuần nhất 24 2.2.2 Phương trình không thuần nhất 26 2.3 Lý thuyết fredholm 31 2.4 Lý thuyết Hilbert-Schmidt 32 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học phục vụ cho nó, mà đặc biệt trở thành công cụ hữu ích cho việc phát triển ngành khoa học khác, có vật lý học Tính chất vật lý học tính thực nghiệm Nhưng muốn trình bày định luật định lượng vật lý học cách xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán học Phương pháp toán học sử dụng từ lâu vật lý Những quy luật đơn giản vật lý học cổ điển giải gần trọn vẹn Nhưng quy luật vi mô, vĩ mô tác dụng nhiều trường khác lại hoàn toàn bất lực Cùng với điều phát triển mạnh mẽ toán học bề rộng bề sâu Dẫn tới đời ngành vật lý vật lý lý thuyết Người ta dùng phương pháp toán học để tìm quy luật Những quy luật tổng quát quy luật biết, đoán trước mối quan hệ tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát Nó tìm quy luật tổng quát nhất, phản ánh chất vật lý nhiều tượng xét cách tổng quát Những phương pháp toán học dùng vật lý học đại phong phú đa dạng Nó gồm khối lượng kiến thức lớn thuộc ngành như: hàm thực, hàm phức, phương trình vi phân, phép tính tích phân Các kiến thức toán cần thiết cho bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành nghiên cứu môn học khác học trường, mà công cụ toán hữu ích cho công tác họ sau trường Bước đầu khám phá sâu vào phương trình tích phân ứng dụng vật lý Đề tài: “Các phương trình tích phân ứng dụng vật lý ” số công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng vật lý Nó giúp giải toán vật lý cách đơn giản Vì chọn đề tài muốn sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu phương trình tích phân dùng vật lý nói chung vật lý lý thuyết nói riêng Mục đích nghiên cứu - Nâng cao kiến thức toán học sử dụng chúng cách linh hoạt vật lý - Hiểu rõ chất phép tính tích phân - Nhận dạng số ứng dụng phép tính tích phân vật lý - Ứng dụng phép tính tích phân để giải số toán vật lý - Từ toán ứng dụng khái quát lên thành kinh nghiệm nhận biết sử dụng phép tính tích phân để giải số toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: phương trình tích phân - Phạm vi nghiên cứu: đề tài ta chủ yếu nghiên cứu phương trình tích phân ứng dụng vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu phương trình tích phân - Phân loại đưa phương pháp giải dạng phương trình tích phân - Ứng dụng phương trình tích phân vật lý Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức tích phân phép biến đổi tích phân, phép biến đổi vi phân để nghiên cứu ứng dụng vào vật lý Cấu trúc khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung khóa luận bao gồm: PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Các loại phương trình tích phân Chương Ứng dụng Vật lý PHẦN III: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1 Phương trình tích phân 1.1.1 Định nghĩa phương trình tích phân Khi nghiên cứu hệ vật lý, thường phải xác định tính chất đại lượng để thể quy luật vận động hệ Mỗi tính chất đại lượng thường biểu thị hàm y theo các biến độc lập x Như hàm y(x) hàm cần tìm hệ vật lý Do điều kiện liên kết hệ vật lý hàm cần tìm y(x) thường xuất dấu tích phân, phương trình chứa hàm cần tìm gọi phương trình tích phân Trong chương này, nghiên số phương pháp giải phương trình vi phân Cần phải nhấn mạnh tất phương trình tích phân giải cách rõ ràng phương pháp giải tích Hầu hết phương trình tích phân dạng phức tạp phải cần giải phương pháp tính số để tìm nghiệm gần Các phương pháp nêu sử dụng cho trường hợp đơn giản, nhiên áp dụng để định hướng cho việc giải phương trình phức tạp Các phương pháp đưa bao gồm: i) Làm để đưa phương trình vi phân thành phương trình tích phân nghiên cứu cách giải dạng chung phương trình tích phân tuyến tính ii) Tìm nghiệm dạng chuỗi vô hạn phương trình tích phân với nhân có tính Hermite xác định từ đặc tính đối xứng hệ vật lý 1.1.2 Các khái niệm - Phương trình tích phân tuyến tính riêng với nhân Hermitian Thay vào đó, lý thuyết SH có liên quan đến tính chất chung nghiệm cho phương trình Trong lý thuyết SH áp dụng, nhiên giải pháp phương trình tích phân không đồng với nhân Hermitian theo trị riêng hàm riêng phương trình tương ứng biết đến Ta xét phương trình không đồng y  f   Ky, (1.6.3) K = K † theo ta biết trị riêng λi tiêu chuẩn hóa hàm riêng yi toán tương ứng Hàm f có không diễn đạt theo quan điểm hàm riêng yi, trường hợp này, ta ghi nghiệm chưa biết y y= f   yi , hệ số mở rộng xác định i Thay vào (1.6.3), ta đạt f   yi  f    i yi i i   Kf , (1.6.4) ta dùng yi  i Kyi Nhân vế (1.6.4) với yj, ta tìm  y j yi    i i i y j yi   y j Kf (1.6.5) Từ hàm riêng trực chuẩn K toán tử Hermitian,ta có y j  f   y j f   j y j f y j yi   ij Do hệ số aj tính cách lấy aj   j y j f    j  yj f j   , (1.6.6) Và nghiệm y  f   yi  f   i i yi f i   yi 22 (1.6.7) Một cách ngẫu nhiên chứng tỏ, dạng phép biểu diễn cho phương pháp giải nhân yi ( x) yi ( z ) R ( x, z ;  )   i   i (1.6.8) Nếu f biểu thị chồng chất tuyến tính yi, nghĩa f  i bi yi , bi  yi f nghiệm viết ngắn gọn y i bi  i1 (1.6.9) yi Từ (1.6.7) phương trình không đồng (1.6.3) điều kiện có nghiệm   i , nghĩa λ không trị riêng phương trình tương ứng Tuy nhiên, λ làm trị riêng λj thì, nói chung, hệ số aj trở nên kỳ dị nghiệm không tồn (hữu hạn) Quay (1.6.6), ta ý dù λ = λj nghiệm không kỳ dị đến phương trình tích phân có thể, hàm f trực giao để hàm riêng phù hợp với trị riêng λj, nghĩa b y j f   yj ( x)dx  a 23 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ 2.1 Ứng dụng phương trình tích phân loại Bài 1: Giải phương trình tích phân Volterra loại s s   es t (t )dt  (1) b So sánh phương trình (1) với phương trình f (x)    K (x,z) y(z)dz  a Ta có f (x)  s, K (x,z)  e s t Ta chuyển phương trình (1) phương trình tích phân Volterra loại Ta có phương trình tích phân Volterra loại s  (s)  1   es t (t )dt (2) s Nghiệm phương trình (2)  (s)  1   dt  1  s Vậy nghiệm phương trình (1)  ( s)  1  s 2.2 Ứng dụng phương trình tích phân loại 2.2.1 Phương trình thuần nhất Bài 1: Giải phương trình tích phân f (s)   K (s, t ) (t )dt (1)  s (1  t ), s  t , Trong đó: K ( s, t )    (1  s )t , s  t Lời giải: Phương trình (1) có nhân đối xứng, Với điều kiện biên biến đổi lại là: d2y   y  0, y(0)  y(1)  0, ds 24 (2) Tương đương với phương trình  (s)    K (s, t ) (t )dt (3) Bài toán (2) có giá trị riêng 1   , 2  22  , , n  n 2 , (4) Và hàm riêng trực chuẩn tương ứng 1 ( s)  sin  s,2 ( s)  sin 2 s, ,n ( s)  sinn  s, (5) Do K(s,t) có giá trị riêng (4) hàm riêng trực chuẩn (5) Ta có ak   f (t )sin k tdt Phương trình (1) có nghiệm chuỗi    k 4ak2 hội tụ Lúc đó, nghiệm (1) k 1  ( s)  lim  n  n  k 4ak2 sin n s k 1 Bài 2: Tìm trị riêng hàm riêng tương ứng phương trình Fredholm  y( x)    sin( x  z ) y( z )dz (1) Lời giải: Nhân phương trình tích phân viết dạng tách sau: K ( x, z )  sin( x  z )  sin x cos z  cos x sin z, Nên, so sánh với (1.3.1) ta có 1( x)  sinx,2 ( x)  cos x,1( z)  cos z  ( z )  sin z Do đó, từ (1.3.4), nghiệm (1) có dạng : y( x)   (c1 sinx  c2 cos x), số c1 c2 tính cách 25   c1    cos z (c1 sin z  c2 cos z )dz    c2    sin z (c1 sin z  c2 cos z )dz  c2 , (2) c1 (3) Kết hợp hai phương trình tìm thấy c1  ( 2)2 c1, giả thiết c1  0,     , điều cho hai trị riêng phương trình tích phân (1) Bằng giá trị riêng trở lại (2) (3), nhận thấy hàm riêng phù hợp với trị riêng 1   , 2  2  cho y1( x)  A(sinx  cos x) y2 ( x)  B(sinx-cos x) (4) Trong A B số tùy ý 2.2.2 Phương trình không thuần nhất Bài 1: Giải phương trình tích phân Fredholm y( x)  x   ( xz  x z ) y( z )dz (1) Lời giải: Ta có K ( x, z )  xz  x z nhân suy biến với 1 (x)  x,2 ( x)  x  ( z )  z , ( z )  z 1 0 Đặt 1   z y( z )dz    zy( z )dz Khi phương trình (1) trở thành y (x)  x  1x   x (2) Ta có: 1 1 1 a11    ( z )1 ( z )dz  , a12    ( z )2 ( z )dz  , a21    ( z )1 ( z )dz  , 0 1 1 1 a22    ( z )2 ( z )dz  , b1    1( z ) f ( z )dz  , b2    (z) f ( z )dz  0 4 Phương trình (2) dẫn đến hệ phương trình tuyến tính 26 1 3  1     2  1   Nghiệm hệ phương trình 1  61 80 ,2  119 119 Do nghiệm phương trình (1) y ( x)  61 80 180 80 x x x x x 119 119 119 119 Bài : Giải phương trình tích phân y(x)  f ( x)    (1  3xz) y( z)dz (1) Lời giải: Ta có K(x,z)=1 - 3xz nhân suy biến với 1( x)  1,2 ( x)  3x 1( z)  1, ( z)  z 1 a11    ( z )1 ( z )dz  1, a12    ( z )2 ( z )dz   , 0 1 Ta có a21    ( z )1 ( z )dz  , a22    ( z )2 ( z )dz  1, 0 1 1 0 0 b1    (z) f (z)dz   f ( z )dz, b2    ( z ) f ( z )dz    3zf ( z )dz 1 0 Đặt    y(z)dz    zy( z )dz Khi hệ phương trình tuyến tính tương ứng với phương trình (1)  (1   )     b1,      (1   )  b 2  (2) 27   (4   ) Ta có D( )    1  1  Nếu   2 D( )  Khi hệ phương trình có nghiệm 1  4(1   )b1  6b2 4(1   )b2  2b1    2  2 Khi phương trình (1) có nghiệm y ( x)  4(1   )b1  6b2 4(1   )b2  2b1   f ( x)  2  2 Khi     2 , xét phương trình liên hợp (1)  ( x)    (1  3xz) ( z)dz (3) Hệ phương trình tuyến tính tương ứng với phương trình (3)  (1   )1        (1   )   (4) Với   hệ (4) trở thành 1  2 Khi phương trình (3) có nghiệm  ( x)  c(1  x) Do y( x)  f ( x)  2 (1  3xz) y( z)dz có nghiệm 28 phương trình 0 (1  x) f ( x)dx  Bài 3: Giải phương trình tích phân   (s)     sin(s t ) (t)dt (1) Lời giải: Ta thiết lập dãy nhân lặp Kn(s,t) sau  K1(s, t)  K (s, t)  sin(s t ),K (s, t)   K (s, x) K ( x, t )dx   cos( s  t ), 2  1  1  K3 (s, t)   K ( s, x) K ( x, t )dx     sin( s  t ), K ( s, t )     cos( s  t ), 2  2   1  K5 ( s, t )     sin( s  t ), K  2  Điều kiện  K  trở thành  ( s)            sin ( s  t )dsdt  00   nghiệm phương trình (1)   1  sin( s  t )dt    cos( s  t )dt       sin( s  t )dt  0 2  1   2[1  (  )   (  )   ]cos s 2 2 4 8 cos s  4 2 sin s +  [1  (  )   (  )     2   2 Bài 4: Giải phương trình tích phân tuyến tính Volterra loại s  (s)   s    (s  t ) (t )dt Lời giải : Dãy nhân lặp xác định sau : K1 ( s, t )  s  t , K ( s, t )   s t (s t )3 K ( s, x) K (x, t)dx  3! s K3 ( s, t )   K ( s, x) K (x, t)dx  t (s t )5 , 3! Tiếp tục vậy, ta nhận dạng nghiệm phương trình 29 s s3 s s5  ( s)   s   (  )   (  )  2! 3! 4! 5! Nếu   nghiệm phương trình  ( s)  e s Bài 5: Giải phương trình tích phân  x2   y ( x)  exp       exp(ixz ) y ( z )dz,    (1) Trong λ số thực Cho thấy nghiệm trừ λ có hai giá trị riêng Có nghiệm tồn cho hai giá trị λ? Lời giải: Theo lập luận đưa trên, lời giải cho (1) tính cách lấy (1.3.11) với f ( x)  exp( x 2) Tuy nhiên để viết rõ nghiệm, ta phải tính toán biến đổi Fourier f(x) Sử dụng phương trình   2  f ( )  exp   , tìm f ( k )  exp( k 2) , từ lưu ý f(x) có tính 2   chất đặc biệt dạng hàm giống y hệt biến đổi Fourier Do đó, lời giải cho (1) tính cách lấy y ( x)   2 1  (2 )1   2  (2 )3   exp   x      (2 )     (2) Vì λ bị giới hạn nên phương pháp giải cho (1) trừ   1 2 , mà điểm (2) trở nên vô hạn Để tìm nghiệm tồn cho hai giá trị λ ta phải quay phương trình (1.3.9) (1.3.10) Đầu tiên xét trường hợp   1 (1.3.10), ta có 30 2 Đưa giá trị vào (1.3.9) y ( x)  f ( x)  y(x), (3) y ( x)  f ( x)  y( x) (4) Thay (4) vào (3) ta có y ( x)  f ( x)  f ( x)  y ( x) Nhưng thay đổi x → -x thay lại cho y (-x), điều cho y ( x)  f ( x)  f ( x)  f ( x)  f ( x)  y ( x) Do đó, để nghiệm tồn tại, đòi hỏi hàm f(x) tuân theo f ( x)  f ( x)  f ( x)  f ( x)  điều thoả mãn f ( x)   f ( x) nghĩa dạng hàm f(x) dấu trừ Biến đổi Fourier Ta lặp lại phân tích trường hợp   1 2 tương tự, ta thấy thời gian này, ta yêu cầu f ( x)  f ( x) Trong trường hợp f ( x)  exp( x 2) , theo đó, ta đề cập đến f ( x)  f ( x) Do đó, (1) vô nghiệm   1   1 2 có nhiều nghiệm 2 2.3 Lý thuyết fredholm Sử dụng lý thuyết Fredholm để giải phương trình tích phân y( x)  x    xzy( z )dz (1.4.6) Lời giải: Dùng (1.4.3) (1.5.1), nghiệm (1.4.6) viết dạng 1 D ( x, z ;  ) 0 y ( x)  x    R ( x, z;  ) zdz  x    d ( ) zdz Để tìm dạng hạt nhân R(x, z; λ), bắt đầu cách thiết lập D0(x, z) = K(x, z) = xz d0 = Và dùng quan hệ phép truy toán (1.5.5) (1.5.6) để có 31 (1) 1 d1   D0 ( x, x)dx   x 2dx  , 0  z13  xz xz D1 ( x, z )    xz1 zdz1   xz    0 3 3 Ứng dụng quan hệ phép truy toán lần ta nhận thấy dn = Dn (x, z) = cho n > Do đó, từ (1.5.2) (1.5.3), tử số mẫu số giải thức tính cách lấy  D( x, z;  )  xz d ( )   Thế biểu thức vào (1), nhận thấy giải pháp cho (1.4.6) tính cách lấy xz y ( x)  x    dz 01  1  x z3  x 3x  x    x   3      0 2.4 Lý thuyết Hilbert-Schmidt Bài 1: Giải phương trình tích phân  (s)  (s  1)2   (st  s 2t ) (t )dt 1 (1) Lời giải: Nhân K( s, t )  st  s 2t có giá trị riêng 1  , 2  hàm trực chuẩn 2 tương ứng 1 ( s )  6s 10 s , ( s )  2 6t 10t Ta có: a1   (t  2t  1) dt  , a2   (t  2t  1) dt  1 1 15 32 Do   không giá trị riêng K(s,t) nên nghiệm phương trình (1)  (s)  25 s  s  Bài 2: Dùng lý thuyết Schmidt-Hilbert để giải phương trình tích phân  y( x)  sin( x   )    sin( x  z) y( z)dz (1) Lời giải: Rõ ràng nhân K(x, z) = sin (x + z) thực đối xứng x z Hermitian Để giải phương trình không đồng dùng lý thuyết SH, nhiên trước tiên phải tìm trị riêng hàm riêng phương trình tương ứng Thực vậy, xét nghiệm phương trình tương ứng  y( x)    sin( x  z) y( z )dz , ta nhận thấy có hai trị riêng λ1 = 2/π λ2 = - 2/π, với hàm riêng cho y1( x)  A(sinx  cos x) y2 ( x)  B(sinx-cos x) Tiêu chuẩn hóa hàm riêng: y1 ( x)   (sin x+cosx) y2 ( x)   (sin x-cosx) (2) Và dễ dàng chứng tỏ để tuân theo điều kiện trực giao (1.6.2) Dùng (1.6.7), nghiệm phương trình không đồng (1) có dạng y( x)  a1 y1( x)  a2 y2 ( x), (3) hệ số a1 a2 tính cách lấy (1.6.6) với f (x) = sin(x + α) Do đó, dùng (2),  a1    0 a2     0   (sin z  cos z )sin( z   )dz   (cos   sin  ),   (sin z  cos z )sin( z   )dz   (cos   sin  )   33 Dùng biểu thức thay cho a1 a2 vào (3) rút gọn, ta nhận thấy nghiệm (1) tính cách lấy y ( x)  1  ( 2)2 sin( x   )  ( 2)cos(x   ) KẾT LUẬN Trên toàn nội dung đề tài “Các phương trình tích phân ứng dụng Vật lý” sở tổng hợp, phân tích tài liệu tham khảo, khóa luận đạt số kết sau Thứ nhất, khóa luận hệ thống loại phương trình tích phân, đưa phương pháp giải dạng phương trình tích phân Thứ hai, khóa luận xây dựng số ứng dụng đơn giản phương trình tích phân Vật lý Qua khóa luận học tập phương pháp nghiên cứu tài liệu, phương pháp làm việc nhóm Những kiến thức, kinh nghiệm đạt trình nghiên cứu quý báu thân Tuy nhiên, lực, kiến thức hạn chế phần thực khóa luận nên tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện 34 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 1, Cambridge University Press 1988 Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 2, Cambridge University Press 1988 K.F Riley, M.P Hobson and S.J Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press 2006 36 ... 2: ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÍ 24 2.1 Ứng dụng phương trình tích phân loại 24 2.2 Ứng dụng phương trình tích phân loại 24 2.2.1 Phương trình thuần nhất 24 2.2.2 Phương trình. .. Giới thiệu phương trình tích phân - Phân loại đưa phương pháp giải dạng phương trình tích phân - Ứng dụng phương trình tích phân vật lý Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức tích phân phép... phá sâu vào phương trình tích phân ứng dụng vật lý Đề tài: Các phương trình tích phân ứng dụng vật lý ” số công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọng vật lý Nó giúp giải toán vật lý cách đơn giản