Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lí

Trong những năm đầu của thế kỷ thứ 19, nhà toán học người Pháp Joseph Fourier trong nghiên cứu về sự dẫn nhiệt kết hợp với việc nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó c

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS.Nguyễn Huy Thảo

HÀ NỘI – 2017

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.Nguỹen Huy Thảo, thầy đã định hướng cho tôi có những tư duy khoa học đúng đắn, tận tình chỉ bảo và tạo rất nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình xây dựng và hoàn thiện đề tài này Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trường ĐHSPHN2 đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong thời gian hoàn thành khoá luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên

Cấn Thị Lan Hương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng:

Khoa luận đề tài “Chuỗi Fourier và ứng dụng trong Vật lý” dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Huy Thảo có các nội dung và kết quả nghiên cứu hoàn toàn trung thực Mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện khoá luận đã được cảm ơn, các tài liệu tham khảo được sử dụng đều được ghi rõ trong khoá luận

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017 Sinh viên

Cấn Thị Lan Hương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG

CHƯƠNGI: LÝ THUYẾT CHUỖI

1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi 9

1.1.1: Các định nghĩa 9

1.1.2: Tính chất 9

1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ 10

1.1.4: Chuỗi số dương 10

1.2: Chuỗi lượng giác 12

1.2.1: Định nghĩa 12

1.2.2: Định lý 13

1.3: Chuỗi Fourier 14

1.3.1: Định nghĩa 14

1.3.2: Định lý 15

1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier 16

1.3.4: Tính hội tụ Fourier 17

1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier 17

1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier 19

CHUỖI II: ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 2.1: Ứng dụng trong Vật lý 28

2.1.1: Phương trình truyền nhiệt 28

2.1.2: Phương trình dao động của dây 36

2.2: Ứng dụng của huỗi Fourier trong một số lĩnh vực khác 48

2.2.1: Tích chập và biến đổi Fourier 48

2.2.2: Tuyến tính, tính bất biến 54

2.2.3: Xác định xung phản hồi và hàm chuyển của một hệ thống 58

2.2.4: Ứng dụng của tích chập- xử lý tín hiệu và bộ lọc 63

2.2.5: Ứng dụng của tích chập- điều chỉnh biên độ và ghép tần số 66

2.2.6: Ứng dụng của chuỗi Fourier trong âm nhạc 69 KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦ U

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm đầu của thế kỷ thứ 19, nhà toán học người Pháp Joseph Fourier trong nghiên cứu về sự dẫn nhiệt kết hợp với việc nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó của Euler, d’Alambert và Bernoulli; ông đã phát hiện ra điều đáng chú ý của chuỗi lượng giác và đưa

ra chuỗi đặc biệt mà hiện nay mang tên ông gọi là chuỗi Fourier Chuỗi Fourier ra đời tạo nền tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo ra bước tiến mới cho cả lý thuyết khoa học và ứng dụng thực tế

Ngày nay, những nghiên cứu về chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học như số học, xử lý tín hiệu, xác suất, hình học…

và đặc biệt trong vật lý với các bài toán về sự dao động và sự truyền nhiệt Việc ứng dụng chuỗi Fourier giúp giải quyết nhiều vấn đề mà trước đây ta chưa làm được và giúp các ngành khoa học phát triển hơn

Với mục đích tìm hiểu về ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng để làm quen với nghiên cứu khoa học, chúng tôi đã chọn đề tài “chuỗi Fourier và ứng dụng" để làm khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier

Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học

Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trường sư phạm Hà Nội II

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ, tính chất của các hệ số Fourier

Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier Nghiên cứu sâu hơn và chuỗi fourier

Tìm hiểu và nghiên cứu của các ứng dụng của chuỗi Fourier

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về chuỗi Fourier và các ứng dụng nổi bật của chuỗi

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là:

-Sưu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức

-Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận

6 Đóng góp của đề tài

Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức cơ sở đến mở rộng của chuỗi Fourier Cung cấp và làm sáng tỏ các ứng dụng của chuỗi Fourier

7 Cấu trúc

Chương I: Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi và các kiến thức quan

trọng cần thiết về chuỗi Fourier

Chương II: Trình bày về ứng dụng của chuỗi Fourier trong giải bài toán vật lý và

một vài ứng dụng trong các lĩnh vực khác

NO I DUNG

CHƯỞNG I: LÝ THUÝE T CHUO I

1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi

ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết ∑

Trường hợp ngược lại, nếu không tồn tại hoặc thì chuỗi số (1.1) được gọi là chuỗi phân kì

Nếu các chuỗi số ∑ ∑ hội tụ và có tổng tương ứng là I, J thì chuỗi số

∑ cũng hôi tụ và có tổng I+J

 Tính chất 3:

Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên

1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ

 Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy)

Chuỗi số ∑ hội tụ khi và chỉ khi mỗi số cho trước, tìm được số nguyên dương N sao cho: | |

 Tính chất:

Điều kiện cần để chuỗi ∑ hội tụ là

1.1.4: Chuỗi số dương

 Định nghĩa 1:

Chuỗi số ∑ có các số hạng với mọi được gọi là chuỗi số dương

Các dấu hiệu hội tụ

 Định lý 2: (Dấu hệu so sánh 2)

Cho hai chuỗi số dương ∑ và ∑ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hay phân kì

 Định lý 3: (Dấu hiệu tích phân Cauchy)

Giả sử là một hàm số liên tục trên khoảng [ [ và giảm với đủ lớn Đặt

khi đó chuỗi số ∑ hội tụ nếu và chỉ nếu

Nếu chuỗi số đan dấu ∑

thoả mãn các điều kiện sau:

(ii) Nếu thì chuỗi phân kì

(iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi

 Định lý 3: (Dấu hiệu Cauchy)

Giả sử chuỗi số ∑ √| | Khi đó

(i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu thì chuỗi phân kì

(iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi

 Định lý 4:

Giả sử ∑ là một chuỗi số với √| | Khi đó

(i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu thì chuỗi phân kì

(iii) Nếu thì chƣa thể nói gì về tính chất của chuỗi số

| | thì chuỗi số đã cho phân kì

1.2: Chuỗi lượng giác

1.2.1: Định nghĩa

 Định nghĩa 1: Chuỗi lƣợng giác là chuỗi hàm có dạng

∑ (1.2)

Trong đó { } { } là hai dãy số thực

Số hạng tổng quát là một hàm số tuần hoàn chu kỳ liên tục và khả vi mọi cấp

hội tụ tại mọi điểm và hội tụ đều trên mỗi đoạn

[ ], Do đó tổng chuỗi là một hàm số liên tục trên

Nếu chuỗi số ∑ ∑ đều hội tụ tuyệt đối thì tổng của chuỗi lƣợng giác: ∑ (1.5)

liên tục trên R và tổng của chuỗi lƣợng giác

có giới hạn phải hữu hạn tại điểm và giới hạn trái tại điểm Nói cách khác, là liên tục từng khúc trên đoạn [ ] nếu chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn

gọi là chuỗi Fouriercủa hàm số đƣợc gọi là các hệ số Fourier của Các công thức tính đƣợc gọi là công thức Euler

Vì là một hàm số tuần hoàn chu kỳ nên nhờ một phép biến đổi biến số, dễ dàng chứng minh đƣợc: ∫

∑

Hội tụ đều trên đoạn [ ] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là Khi đó ta có:

Cho là hàm số với bình phương khả tích trên đoạn [ ]

Nếu là tổng Fourier bậc của thì:

∫ [ ]

∫ [ ]

trong đó minium ở vế phải lấy theo mọi đa thức lượng giác có bậc không quá Nếu là các hệ số Fourier của thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây:

∑ ∫

để biểu thị rằng hàm có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải

 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier

Cho hàm tuần hoàn với chu kì , bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì Khi

đó chuỗi Fourier của hàm hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng tại mọi điểm mà hàm liên tục Tại những điểm mà hàm không liên tục, tổng chuỗi Fourier hội tụ về giá trị [ ]

trong đó:

1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier

Sử dụng công thức biểu diễn hàm lƣợng giác thông qua số phức:

Công thức này đƣợc gọi là dạng phức của chuỗi Fourier

 Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì

Với khả tích trên đoạn [ ] Đối với hàm này ta lập đƣợc chuỗi Fourier

∑

trong đó

Ta có cách viết

∑

Dạng phức của chuỗi Fourier của hàm

1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier

 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số

Cho chuỗi lƣợng giác:

∑

là chuỗi Fourier của trên đoạn [ ] Nếu chuỗi (1.12) hội tụ và hội tụ đến tổng chính là thì ta nói rằng khai triển thành Fourier trên đoạn [ ] Đồng thời viết

∑

 Khai triển Fourier tổng quát

Khai triển một hàm tuần hoàn trong khoảng[ ]

Hàm được gọi hàm liên tục từng khúc trong [ ] nếu [ ] có thể chia thành một

số hữu hạn các khoảng con [ ]

sao cho hàm liên tục trên mỗi khoảng mở và tồn tại các giá trị hữu hạn của các giới hạn một phía:

tại các đầu khoảng con

Nói cách khác, khi đó trong mỗi khoảng con hàm có thể thác triển liên tục được lên các đầu của khoảng thành hàm liên tục trong mỗi khoảng con đóng [ ]

đó Nếu các đầu khoảng đó là các điểm gián đoạn của hàm thì chúng chỉ có thể là các điểm gián đoạn loại một Ta không quan tâm tới giá trị của hàm tại chính các đầu khoảng con Chúng có thể xác định với giá trị tuỳ ý hoặc không xác định, và điều

đó không ảnh hưởng gì đến các giá trị của các hệ số Fourier của

 Định nghĩa:

Hàm được gọi là hàm khả vi từng khúc trên đoạn [ ] nếu là hàm liên tục từng khúc trong [ ] và trong mỗi khoảng con mở hàm khả vi, đồng thời tồn tại các giá trị giới hạn hữu hạn:

Nói cách khác, hàm sau khi đã thác triển liên tục trong khoảng lên hai đầu khoảng thì hàm đã thác triển này là hàm khả vi trong khoảng đóng [ ]

Ta có định lý khai triển sau:

 Định lý Dirichlet

Giả sử hàm là hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong [ ]

Khi đó, chuỗi Fourier của hàm hội tụ trong toàn khoảng [ ] và tổng bằng

với mọi [ ]

về chính giá trị của hàm ấy Còn tại những điểm gián đoạn của hàm thì hội tụ về giá trị trung bình cộng của các giá trị giới hạn bên phải và bên trái của hàm

Chú ý: Nếu là hàm lẻ, nghĩa là thì chuỗi Fourier của hàm chứa những từ gồm toàn các hàm , vì khi đó là một hàm lẻ và mọi hệ số đều bằng 0

∫

Khai triển một hàm không tuần hoàn trong [ ]

Xét hàm không tuần hoàn và giả thiết rằng trong khoảng [ ] hàm khả vi từng khúc

Ta thành lập một cách hình thức chuỗi

trong đó các hệ số đƣợc tính theo công thức Euler

∫

∫

Chuỗi (1.13) vẫn đƣợc gọi là chuỗi Fourier của hàm

Để xét xem chuỗi có hội tụ về hay không, ta xây dựng hàm sao cho trong khoảng [ ] trùng với hàm

[ Còn ngoài khoảng trên thì lặp lại một cách tuần hoàn với chu kì Vậy chuỗi (1.13) cũng là chuỗi Fourier của hàm

Theo kết quả đã xét ở trên, thì tại mọi chuỗi (1.13) hội tụ về Do chỉ khi [ ] nên ta có

Giả sử là hàm khả vi từng khúc [ ] Nếu [ ] [ ] thì theo định lý khai triển hàm khai triển được thành chuỗi Fourier và chuỗi đó là duy nhất vì các hệ số của hàm hoàn toàn được xác định bởi công thức Euler

Ta xét hai trường hợp [ ] [ ]

a, Trường hợp [ ] thực sự nằm trong [ ]

Trường hợp này là trường hợp [ ] [ ] Xét hàm tuần hoàn với chu kỳ , khả vi từng khúc trong [ ] sao cho trong [ ] thì trùng với hàm còn trong [ ] thì hoàn toàn tuỳ ý

Ta khai triển thành chuỗi Fourier thì chuỗi này có tổng là:

Trong [ ] vì nên ta có:

Vì ngoài [ ] (x) có thể chọn tuỳ ý, mỗi cách chọn cho ta một chuỗi Fourier (1.14) khác nhau, nên ta có vô số chuỗi như vậy Vậy nếu hàm khả vi từng khúc trong [ ] sao cho [ ] [ ] thì có vô số chuỗi Fourier dạng:

hội tụ về

[ ] Trong đó, các hệ số được tính bởi công thức:

∫

∫

Ở đây, là một hàm bất kì, khả vi từng khúc trong [ ] và trùng với trong [ ]

hội tụ trong toàn khoảng [ ] tới thì bài toán vô nghiệm

Khai triển chẵn, lẻ của một hàm

Giả sử là hàm khả vi từng khúc trong đoạn [ ] Theo mục ở trên, ta có thể khai triển ra toàn khoảng [ ] thành hàm và có vô số cách khai triển nhƣ vậy Trong đó, có hai cách khai triển đặc biệt đƣợc gọi là khai triển chẵn và khai triển lẻ

- Khai triển chẵn là khai triển sao cho hàm thu đƣợc là hàm chẵn

Khi đó trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng cosin, tức là:

- Khai triển lẻ là cách khai triển sao cho hàm thu đƣợc là một hàm lẻ

Khi đó, trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng sin, tức là:

Dạng khai triển Fourier trong [ ]

Giả sử khả vi từng khúc trong [ ] ta khai triển một cách tuần hoàn hàm với chu kì ra ngoài khoảng [ ]

Hàm khả vi từng khúc trong [ ] nên có thể khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier trong [ ]

∑

Khi đó, ta có khai triển của trong [ ]

hoặc khai triển lẻ hàm trong dưới dạng:

∑ ∫

CHƯỞNG II: Ư NG DU NG CU Ầ CHUO I FOURIER

2.1: Ứng dụng trong Vật lý

2.1.1: Phương trình truyền nhiệt

Ta xét một vật rắn G và gọi là nhiệt độ của vật tại điểm G ở thời điểm t Nếu tại những điểm khác nhau của vật G có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽ truyền

từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp

Giả sử là một mảnh mặt bất kì khá bé trong vật G Khi đó, theo định luật về sự truyền nhiệt, nhiệt lượng truyền qua mảnh ,trong khoảng thời gian tỷ lệ với

, với là pháp tuyến của theo chiều truyền nhiệt( tức là chiều giảm của nhiệt độ)

Trong đó là hệ số truyền nhiệt trong

Giả sử vật đang xét là đẳng hướng, tức là tại mọi điểm nhiệt truyền theo hướng nào cũng như nhau, thì hệ số chỉ phụ thuộc mà không phụ thuộc vào hướng của pháp tuyến với

Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian Khi đó từ (2.1) suy ra

[ ]

Do đó nhiệt lƣợng cần thiết để trong toàn bộ thể tích V có sự thay đổi nhiệt độ từ đến là

∫ ∬

Với ⃗ là pháp tuyến ngoài với mặt S

Gọi F(x,y,z) là mật độ nguồn nhiệt trong thể tích V tại điểm (x,y,z) ở thời điểm t, tức là nhiệt lƣợng sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích, thì

Theo công thức Gauss-Ostrogradsky ta có

( )]

( ) Phương trình (2.10) được gọi là phương trình truyền nhiệt trong vật thể đẳng hướng, không đồng chất Nếu vật thể đẳng hướng và đồng chất thì C, đều là những hằng số

. /

Ta xét hai trường hợp riêng:

1) Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,y,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một bản phẳng đẳng hướng, đồng chất rất mỏng đặt trên mặt phẳng Oxy, thì nhiệt độ u(x,y,z,t) tại điểm (x,y) ở thời điểm t thoả mãn phương trình

. / 2) Nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x,t, chẳng hạn, nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một thanh đồng chất, đẳng hướng, rất mỏng đặt dọc theo trục Ox, thì nhiệt độ u(x,t) tại điểm

x của thanh tại điểm t thoả mãn phương trình

Trong hai trường hợp trên, ta phải giả thiết không có sự trao đổi nhiệt giữa bản phẳng hay thanh với môi trường xung quanh

Cho vật thể tích V với mặt S bao xung quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên biên S như sau:

1) Điều kiện Dirichlet (hay bài toán biên loại I) đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà tại đó phương trình nhiệt giải được Loại điều kiện biên bày có dạng:

| trong đó là nhiệt độ đã được xác định

2) Điều kiện biên Neumann (hay bài toán biên loại 2) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được Loại điều kiện biên này có dạng:

| trong đó f2 là dòng nhiệt đã được xác định

3) Điều kiện biên Robin (hay bài toán biên loại 3) đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệt độ trao đổi với môi trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền,

mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được Loại điều kiện biên này có dạng

| | trong đó h>0 là hằng số, f3 là dòng nhiệt đã được xác định

Chú ý rằng, dòng nhiệt trao đổi với môi trường xung quanh phụ thuộc vào cả nhiệt

độ của môi trường

4) Điều kiện hỗn hợp là kết quả của các điều kiện loại 1và loại 2

 Phương trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn

Xét bài toán

Đây là điều kiện Dirichlet xác định nhiệt độ tại các đầu mút của thanh và là nhiệt độ phân bố lúc ban đầu, f là hàm liên tục, khả vi từng khúc và f(0) = f = 0

Theo phương pháp tách biến Fourier, ta tìm nghiệm của phương trình (2.18) dưới dạng

Thay (2.21) vào (2.18) ta được

Chia hai vế cho ta được

Vế trái (2.22) chỉ phụ thuộc t, vế phải chỉ phụ thuộc x, nghĩa là cho dù các biến số thay đổi, nhưng tỉ số luôn bằng nhau Đẳng thức chỉ có thể thoả mãn nếu bằng một hằng số, do

đó tồn tại hằng số thực thoả mãn

Từ đó ta có hai phương trình vi phân sau:

Các điều kiện biên (2.19) cho ta

}

Vậy để xác định X(x) ta đi tới bài toán về giá trị riêng

√

Từ (2.29), do ( nếu C2 = 0 thì suy ra

√ √ √

Do đó bài toán chỉ có nghiệm không tầm thường khi giá trị riêng

( ) Với mỗi trị riêng có một hàm riêng tương ứng được viết ở dạng

Ứng với trị riêng nghiệm của phương trình (2.23) theo biến t là

( ) (2.33) với An là các hằng số tuỳ ý

Vậy các hàm

( )

là các nghiệm riêng của phương trình (2.18), thoả mãn các điều kiện biên (2.19)

Ta lập chuỗi

liên tục từng khúc với mọi t>0 thoả mãn f(0,t)=f( ,t)=0

Ta tìm nghiệm của bài toán (2.37), (2.38), (2.39) dưới dạng:

∑

Như vậy điều kiện biên (2.39) được thoả mãn Xét f(x,t) như hàm của x và phân tích hàm

đó thành chuỗi Fourier theo sin trên

∑

với

∫ Thay (2.40) vào (2.37) ta đƣợc :

2.1.2: Phương trình dao động của dây

 Phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây có chiều cố định ở hai đầu mút Khi ở trạng thái tĩnh, dây có dạng đường thẳng Ta chọn đường thẳng này làm trục Ox và xem các đầu dây trùng với các điểm x=0 và x= Mỗi điểm của sợi dây có thể biểu thị bằng hoành độ x Ta mô tả quá trình dao động của dây theo vị trí của mỗi điểm đã cho của sợi dây tại các thời điểm khác nhau, bằng cách đưa véctơ dịch chuyển của sợi dây tại vị trí x và tại thời điểm t có dạng

⃗

Để đơn giản, ta giả sử quá trình dao động của sợi dây chỉ nằm trong mặt phẳng (u,x) và vectơ dịch chuyển ⃗ vuông góc với trục Ox tại thời điểm bất kì Như vậy, việc mô tả quá trình dao động chỉ cần một hàm u(x;t) đặc trưng cho độ dịch chuyển vuông góc với sợi dây

x

Hình 1: Dao động của dây

Xét sợi dây như sợi chỉ đàn hồi dễ uốn

- Sức căng dây t tại mỗi điểm không phụ thuộc thời gian Thật vậy, độ lớn của sức căng xuất hiện trong dây do đàn hồi có thể được tính theo định luật Hooke Xét dao đông nhỏ của dây và bỏ qua bình phương của u so với 1 ( Khi sử