Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƢƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2017 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƢƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: TS.Nguyễn Huy Thảo HÀ NỘI – 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS.Nguỹen Huy Thảo, thầy định hƣớng cho có tƣ khoa học đắn, tận tình bảo tạo nhiều thuận lợi cho suốt trình xây dựng hoàn thiện đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật lý trƣờng ĐHSPHN2 giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Cấn Thị Lan Hƣơng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng: Khoa luận đề tài “Chuỗi Fourier ứng dụng Vật lý” dƣới hƣớng dẫn TS.Nguyễn Huy Thảo có nội dung kết nghiên cứu hoàn toàn trung thực Mọi giúp đỡ việc thực khoá luận đƣợc cảm ơn, tài liệu tham khảo đƣợc sử dụng đƣợc ghi rõ khoá luận Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Cấn Thị Lan Hƣơng MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNGI: LÝ THUYẾT CHUỖI 1.1: Một số nội dung chuỗi 1.1.1: Các định nghĩa 1.1.2: Tính chất 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ 10 1.1.4: Chuỗi số dương 10 1.2: Chuỗi lượng giác 12 1.2.1: Định nghĩa 12 1.2.2: Định lý 13 1.3: Chuỗi Fourier 14 1.3.1: Định nghĩa 14 1.3.2: Định lý 15 1.3.3: Tính chất hệ số Fourier 16 1.3.4: Tính hội tụ Fourier 17 1.3.5: Dạng phức chuỗi Fourier 17 1.3.7: Khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier 19 CHUỖI II: ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 2.1: Ứng dụng Vật lý 28 2.1.1: Phương trình truyền nhiệt 28 2.1.2: Phương trình dao động dây 36 2.2: Ứng dụng huỗi Fourier số lĩnh vực khác 48 2.2.1: Tích chập biến đổi Fourier 48 2.2.2: Tuyến tính, tính bất biến 54 2.2.3: Xác định xung phản hồi hàm chuyển hệ thống 58 2.2.4: Ứng dụng tích chập- xử lý tín hiệu lọc 63 2.2.5: Ứng dụng tích chập- điều chỉnh biên độ ghép tần số 66 2.2.6: Ứng dụng chuỗi Fourier âm nhạc 69 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm đầu kỷ thứ 19, nhà toán học ngƣời Pháp Joseph Fourier nghiên cứu dẫn nhiệt kết hợp với việc nghiên cứu chuỗi lƣợng giác theo công trình trƣớc Euler, d’Alambert Bernoulli; ông phát điều đáng ý chuỗi lƣợng giác đƣa chuỗi đặc biệt mà mang tên ông gọi chuỗi Fourier Chuỗi Fourier đời tạo tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo bƣớc tiến cho lý thuyết khoa học ứng dụng thực tế Ngày nay, nghiên cứu chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng ngành khoa học nhƣ số học, xử lý tín hiệu, xác suất, hình học… đặc biệt vật lý với toán dao động truyền nhiệt Việc ứng dụng chuỗi Fourier giúp giải nhiều vấn đề mà trƣớc ta chƣa làm đƣợc giúp ngành khoa học phát triển Với mục đích tìm hiểu ứng dụng chuỗi Fourier để làm quen với nghiên cứu khoa học, chọn đề tài “chuỗi Fourier ứng dụng" để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trình bày số ứng dụng chuỗi Fourier Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trƣờng sƣ phạm Hà Nội II Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier, tính hội tụ, tính chất hệ số Fourier Hệ thống hóa số kiến thức chuỗi Fourier Nghiên cứu sâu chuỗi fourier Tìm hiểu nghiên cứu ứng dụng chuỗi Fourier Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier ứng dụng bật chuỗi Phương pháp nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu chủ yếu là: -Sƣu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức -Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hƣớng dẫn, qua tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cƣơng nghiên cứu, thực kế hoạch hoàn thành khóa luận Đóng góp đề tài Khóa luận trình bày đƣợc hệ thống kiến thức sở đến mở rộng chuỗi Fourier Cung cấp làm sáng tỏ ứng dụng chuỗi Fourier Cấu trúc Chương I: Trình bày số kiến thức chuỗi kiến thức quan trọng cần thiết chuỗi Fourier Chương II: Trình bày ứng dụng chuỗi Fourier giải toán vật lý vài ứng dụng lĩnh vực khác NOI DUNG CHƯỞNG I: LÝ THUÝE T CHUO I 1.1: Một số nội dung chuỗi 1.1.1: Các định nghĩa  Định nghĩa 1: Cho dãy số Biểu thức: (1.1) đƣợc gọi chuỗi số đƣợc kí hiệu ∑ chuỗi số .Các số số hạng  Định nghĩa 2: ∑ Ta gọi tổng riêng thứ ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S viết Trƣờng hợp ngƣợc lại, không tồn (1.1) đƣợc gọi chuỗi phân kì chuỗi số (1.1) Nếu ∑ chuỗi số  Định nghĩa 3: Ta gọi Nếu phần dƣ thứ chuỗi số Nếu chuỗi số hội tụ không dần tới giới hạn hữu hạn , chuỗi số phân kì 1.1.2: Tính chất  Tính chất 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ có tổng S chuỗi số ∑ hội tụ có tổng  Tính chất 2: số ∑ Nếu chuỗi số ∑ hội tụ có tổng tƣơng ứng I, J chuỗi số ∑ hôi tụ có tổng I+J  Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì chuỗi số không thay đổi ta bớt số hữu hạn số hạng 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ  Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số ∑ hội tụ số | dƣơng N cho: cho trƣớc, tìm đƣợc số nguyên |  Tính chất: Điều kiện cần để chuỗi ∑ hội tụ 1.1.4: Chuỗi số dương  Định nghĩa 1: Chuỗi số ∑ có số hạng với đƣợc gọi chuỗi số dƣơng Các dấu hiệu hội tụ  Định nghĩa 2: Chuỗi số dƣơng ∑ hội tụ dãy tổng riêng chuỗi bị chặn  Định lý 1: (Dấu hiệu so sánh 1) Cho hai chuỗi số dƣơng ∑ ∑ chuỗi số ∑ hội tụ chuỗi số ∑ chuỗi số ∑ phân kì Giả sử , hội tụ, chuỗi số ∑  Định lý 2: (Dấu hệu so sánh 2) Cho hai chuỗi số dƣơng ∑ ∑ Nếu tồn giới hạn hữu hạn hai chuỗi số đồng thời hội tụ hay phân kì 10 Khi phân kì Theo lý thuyết, việc tìm xung phản hồi hệ thống đơn giản Xung phản hồi theo định nghĩa,là kết hoạt động hệ thống từ xung lực Ta cần thay hàm cƣớng hệ phƣơng trình vi phân không bỏ điều kiện đầu sau giải Với ví dụ, xét mạch RC hình Ở thời điểm bất kỳ, tụ tích điện có điện áp hiệu dụng Hình 7: Một mạch RC mẫu Vì thế, ta lấy đầu vào nhƣ điện áp hiệu dụng đầu nhƣ điện áp đƣợc đo qua tụ điện, ta biểu thị cho hệ hộp đen S[⬚] Điện tích tụ điện đƣợc sinh đơn vị điện áp xung , nên ta có Hệ số không đổi điều kiện chung bắt buộc tuân theo giải biến đổi Laplace Trong ví dụ này, lấy biến đổi hai bên dẫn đến ) [ ( ] [ ] [ ] { Chuyển đổi điện tích thành điện áp trên tụ điện thấy rằng, định nghĩa, xung phản hồi mạch 59 { Với xung phản hồi cho sẵn, ta tìm đƣợc hàm chuyển hệ thống phép biến đổi Fourier Ta tìm biến đổi Fourier hàm, việc thay đơn giản biến biến đổi Laplace số hạng Fourier , Θ𝐻 𝑓 |𝐻 𝑓 | h(t) 𝜋/ -1/RC 1/RC f -𝜋/ f RC f -1/RC 2RC 1/RC Hình 8: Một ví dụ xung phản hồi hàm chuyển Ta xác định hàm chuyển biến đổi Fourier phƣơng trình vi phân Công thức ( ) Bởi tính tuyến tính biến đổi, ta chia cho C để có biến đổi điện áp đầu Công thức giống với ta tìm Cuối nghịch đảo biến đổi Fourier hàm chuyển tạo xung phản hồi, 60 Theo lý thuyết, cách tiếp cận làm cho hệ trở thành xung trực tiếp, đơn giản dễ dàng áp dụng cho hệ thống đƣợc mô tả phƣơng trình vi phân hệ số không đổi thông thƣờng Tuy nhiên, biến hệ thực thành xung ý tƣởng hay Xung thực không dễ tạo thành- thực tức thời, cần thời gian vô ngắn cho xung thực gần Hơn nữa, thời gian ngắn, xung thực cần có biên độ lớn Nhƣng, biên độ lớn, chí thời gian ngắn dễ hƣ hại hệ thống thực- đặc biệt đƣợc liên kết với thiết bị điện tử nhạy cảm Vì thế, nhiều phƣơng pháp kiểm tra hƣ hại nhƣ xung tải dễ áp dụng cho hệ thống thực Một hàm cƣỡng đơn giản để tạo hƣ hại đƣờng hình sin đơn giản, ví dụ, mạch AC Để tìm hiểu, ta lựa chọn hàm cƣỡng có số mũ phức tạp với tần số cố định Trong thuật ngữ mô hình hộp đen tính chất xung phản hồi, điều tạo dạng đầu ra/ đầu vào nhƣ sau S[⬚] Nếu ta thay biến ∫ ∫ vào tích phân đầu ra, ta có ∫ ∫ Theo định nghĩa, biến đổi Fourier mô hình hộp đen đánh giá tần số Do đó, dạng S[⬚] Ta trực tiếp đo hàm chuyển hệ thống phép đo phản hồi hệ thống với chu kỳ hàm cƣỡng Hơn thế, ta thu đƣợc hàm chuyển phƣơng pháp này, sau ta tìm thấy xung phản hồi theo toán học cách dùng phép biến đổi nghịch đảo, hoàn toàn tránh việc phải tải hệ thống với xung Với hệ thống đƣợc mô tả phƣơng trình vi phân hệ số không đổi thông thƣờng, ta thực cách tiếp cận toán học Ta đơn giản đổi chỗ hàm cƣỡng phƣơng trình vi phân với số mũ phức tạp, sau giải hệ số không xác định cho trạng thái ổn định Ví dụ, với mạch biểu diễn hình 7, với tín hiệu đầu vào phƣơng trình vi phân trở thành 61 Bởi hệ số chƣa xác định, trạng thái ổn định cụ thể phƣơng trình Vì phản hồi qua tụ điện Ta xác định lại xung phản hồi hệ( chƣa biết) đơn giản tính toán biến đổi Fourier nghịch đảo Một vấn đề thực tiễn gặp phải, hàm có giá trị phức tạp thực phép toán học, sử dụng đƣợc thực tế Ta sử dụng làm tín hiệu đầu vào thực tế? Câu trả lời đơn giản- ta sử dụng lƣợng giác thấy ∫ Ta kiểm chứng từ phƣơng trình ( ) ∫ ∫ [ ] [ ] Do mà phần thực phần ảo , tƣơng ứng đƣợc tìm thấy trực tiếp, với tín hiệu vào thực, phép đo biên độ đầu hai thời điểm khác Kết cung cấp phƣơng pháp cho tính toán xung phản hồi hàm chuyển hệ thống đƣợc đƣa Hàm chuyển sở để phân tích hoạt động hệ thống, phân tích trƣớc hệ tuyến tính, hệ biến đổi bất biến cho thấy định lý tích chập thể đầu hệ thống nhƣ sản phẩm biến đổi đầu vào với hàm chuyển Ví dụ, xét hàm chuyển (hình 8) Dễ thấy 62 | | | | / Và hệ thống trở thành phần tần số thấp đầu vào tƣơng đối không bị ảnh hƣởng, nhƣng suy giảm nghiêm trọng tần số lớn Trong thực tế, ( ) sau ( ) Nói cách khác, hệ thống làm giảm tần số cao cần thiết để sản xuất tín hiệu không liên tục, đƣa tín hiệu vào không liên tục, đầu trở thành liên tục, với đạo hàm không liên tục Vì thế, ta chờ đợi hệ thống biến đổi tín hiệu đầu vào Một biểu diễn đầu hệ thống tƣơng ứng (hình 9) Hình 9: Ví dụ đầu đầu vào mạch RC 2.2.4: Ứng dụng tích chập- xử lý tín hiệu lọc Nhƣ ta thấy, tầm quan trọng biến đổi Fourier, tích chập, hàm chuyển ,vv… nhƣ công cụ để phân tích hệ thống vật lý Một ứng dụng quan trọng mà chúng đƣợc sử dụng gọi xử lý tín hiệu Trong xử lý tín hiệu ta bắt đầu giả định số tín hiệu mang thông tin ban đầu đƣợc truyền vào môi trƣờng vật lý (ví dụ ăngten truyền tín hiệu vô tuyến vào bầu không khí đầu dò phát tín hiệu sóng siêu âm vào nƣớc) Môi trƣờng thƣờng đƣợc gọi kênh, sau qua môi trƣờng tín hiệu đƣợc nhận lại vị trí (vị trí thƣờng nơi khác với nơi truyền tải) Tuy nhiên, hiệu ứng vật lý gặp phải qua kênh, có mặt nhiều tín hiệu kênh thời điểm, tín hiệu nhận đƣợc nói chung số bị méo bị ảnh hƣởng khác tín hiệu truyền ban đầu Ta biểu diễn trình theo sơ đồ nhƣ sau 63 C[⬚] Tín hiệu truyền kênh tín hiệu nhận Bộ xử lý tín hiệu sau đƣợc thiết kế số mạch,vv…, mà vƣợt qua đƣợc thông qua mạch đó,sẽ hoàn thiện hiệu ứng đƣợc đƣa kênh, kết đƣợc đầu tƣơng đối gần với tín hiệu ban đầu S[⬚] Tín hiệu nhận xử lý đầu Mô hình đơn giản giả thuyết nhƣ xảy kênh tuyến tính bất biến, kênh có hàm chuyển riêng đƣợc biểu , biến đổi tín hiệu thu đƣợc Nhƣng theo lý thuyết, điều đúng, tất ta cần làm thiết kế hệ thống xử lý để hàm chuyển hệ thống nghịch đảo kênh Nhƣng ta thƣờng đạt đƣợc điều thực tế Trong nhiều trƣờng hợp ta chí xác định hoàn toàn tất hiệu ứng kênh- làm cho khó để loại bỏ chúng Tuy nhiên, ta đảo ngƣợc ảnh hƣởng hiệu ứng hỏng hóc kênh phục hồi phiên có hiệu hoàn toàn sử dụng đƣợc tín hiệu truyền Loại xử lý tín hiệu lọc Nhƣ tên nó, lọc cho phép số tín hiệu qua ngăn cản tín hiệu lại Bộ lọc đơn giản đƣợc thiết kế cho phép số tần số định qua chặn (hoặc làm suy giảm) tần số lại Bộ lọc nhƣ gồm ba loại chung:  Bộ lọc tần số thấp: cho phép tần số thấp qua nhƣng chặn tần số cao  Bộ lọc tần số cao: cho phép tần số cao qua nhƣng chặn tín hiệu tần số thấp  Bộ lọc băng thông: chặn tín hiệu tần số cao tín hiệu tần số thấp nhƣng cho tín hiệu phạm vi trung bình qua 64 𝑓 -𝑓 𝑓 -𝑓 𝑓 𝑓 -𝑓 𝑓 -𝑓 𝑓 𝑓 Hình 10: Hàm chuyển vủa lọc lý tƣởng Hình 10 biểu thị hàm chuyển cho trƣờng hợp lý tƣởng loại, ta gọi trƣờng hợp lý tƣởng không số chúng đạt đƣợc thực tế Ví dụ, hàm chuyển lọc tần số thấp lý tƣởng { Điều có nghĩa xung phản hồi cho lọc Hệ thống RC hình dễ dàng xây dựng, chi phí thấp theo hình cho tần số thấp qua chặn tần số cao, miễn ta chọn R C phù hợp Bộ lọc tần số cao lọc băng thông thực đƣợc cách đơn giản kết hợp điện trở, tụ điện cuộn cảm có giá trị thích hợp đo giá trị điện áp đầu thiết bị thích hợp Hàm chuyển tất đƣợc biểu diễn hình 12 Các lọc tƣơng tự đƣợc sử dụng phổ biến hầu hết thiết bị gia đình 65 Hình 11: Bộ lọc thực với xung phản hồi hàm chuyển 2.2.5: Ứng dụng tích chập- điều chỉnh biên độ ghép tần số Nhƣ ta nói đến, đặc tính đáng ý biến đổi Fourier gần biến đổi biến đổi nghịch đảo có ý nghĩa hầu nhƣ thuộc tính miền thời gian có hình ảnh phản chiếu gần miền tần số Một ví dụ điều mà ta đề cập trƣớc ngƣợc với định lý tích chập, điều ta nói lại [ ] Ta xem xét ứng dụng phổ biến kết Các chƣơng trình phát sóng radio ban đầu sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh biên độ (các đài phát bị hạn chế sử dụng dải tần số nhỏ phạm vi tần số thấp, điều chỉnh đƣợc sử dụng cho hầu nhƣ tất trạm, tần số gọi tần số AM) Trong điều chỉnh biên độ, tín hiệu thông tin thực tế, ví dụ: chƣơng trình trò chuyện âm nhạc, tạo tín hiệu gốc mà ta biểu diễn Ta thƣờng đề cập tới dải tần số mà có chứa tần số gốc, thực biến đổi Fourier nhƣ băng thông tín hiệu, ta biểu thị B.( AM radio, băng thông thƣờng đƣợc giới hạn tần số thấp phạm vi tƣơng đối hẹp( tần số thấp 5KHz) Điều chỉnh biên độ bao gồm việc nhân lên điện tử tín hiệu gốc tần số lớn hình sinđƣợc gọi tín hiệu vận chuyển, ta biểu thị để tạo tín hiệu phát sóng, ta biểu thị hình 12) Trong miền thời gian, kết tín hiệu phát sóng nhìn thấy đƣợc dao động nhanh giới hạn xác định tín hiệu gốc thay đổi từ từ 66 Thuật ngữ điều chỉnh biên độ phù hợp để mô tả trình tần số tín hiệu vận chuyển đƣợc sửa đổi theo tần số tín hiệu gốc Hình 12: Điều chỉnh biên độ- miển thời gian Trong biến đổi [ ] [ [ ∫ ∫ ] [ ] ] [ ] ∫ Sự chuyển đổi tính chất hai hàm delta đơn giản hoá hai tích phân cuối thấy biến đổi tín hiệu phát sóng đơn giản 67 Hình 13: Điều chỉnh biên độ- miền tần số Hình 13 giúp giải thích biến đổi khác điều chỉnh biên độ Do tính đối xứng , cần truyền tín hiệu bên Ta cần lọc dải qua trƣớc truyền đi, nhƣ hình 14, phần lọc chọn dải bên (chú ý hình 14 ta vẽ tần số dƣơng tính tƣơng đối phổ tần số âm hình ảnh phản chiếu) Phƣơng pháp truyền thƣờng đƣợc gọi điều chỉnh dải đơn Điều chỉnh dải đơn đƣợc ý điều chỉnh truyền tải thông tin tƣơng tự nhƣ tín hiệu dải đôi nhƣng nửa phổ tín hiệu Tuy nhiên, thực tế, chi phí mạch bổ xung liên quan đến điều chỉnh dải đơn thƣờng xuyên dẫn đến chi phí cao dùng thay hoàn toàn cho điều chỉnh dải đôi, chí dù điều chỉnh sử dụng tần số có sẵn hiệu Điều chỉnh biên độ có tính quan trọng bổ sung Hình 14: Điều chỉnh tín hiệu đơn- miền thời gian Cụ thể, giả sử có hai tín hiệu mang thông tin khác nhau, có băng thông B, đƣợc biểu thị tƣơng ứng , ta muốn truyền chúng đồng thời Ta điều chỉnh biên độ hai tín hiệu, nhƣng tần số tín hiệu vận chuyển khác ( kí hiệu tƣơng ứng ), để tạo tín hiệu đầu điều chỉnh Sau ta thêm tín hiệu điều 68 chỉnh để tạo tín hiệu đầu Nếu ta giả thiết để đƣợc chọn cho nhỏ , thời gian miền tần số đặc trƣng trình phải đƣợc thể nhƣ hình 15 Hai tín hiệu đầu hoàn toàn khác biệt, không chồng chéo khu vực phổ tần số Vì thế, ta muốn phục hồi tín hiệu, ta cần lọc băng thông nhận đƣợc tín hiệu để loại bỏ phần không mong muốn hình 16, phƣơng pháp đƣợc gọi tần số phân chia phận- sử dụng phát sóng Có nhiều kênh truyền thông, ngƣời nghe chọn kênh mà họ muốn nghe cách đơn giản sử dụng thu máy thu họ Hình 16: Ghép kênh tần số Hình 15: Ghép kênh tần số Hình 16: Phục hồi tín hiệu ghép kênh tần số 2.2.6: Ứng dụng chuỗi Fourier âm nhạc Chuỗi Fourier đƣợc sử dụng việc phân tích tổng hợp âm âm nhạc Chúng ta nghe đƣợc âm màng nhĩ rung động thay đổi áp suất không khí Nếu dây đàn guitar đƣợc gảy dây cung đƣợc kéo qua dây 69 đàn violon chuỗi phím đàn piano đƣợc đánh, dây đàn rung động Sự rung động đƣợc khuếch đại truyền vào không khí Kết áp suất không khí thay đổi truyền đến màng nhĩ đƣợc chuyển đổi thành xung điện sau đƣợc xử lý não Làm phân biệt đƣợc âm hai loại nhạc cụ khác nhau? Đồ thị sau cho thấy dao động Cho sáo violon chơi cung D (294 rung động/ giây) nhƣ hàm thời gian Các biểu đồ dạng sóng ta thấy rung động áp suất khí hai trƣờng hợp khác Cụ thể violon có dạng sóng phức tạp sáo Hình 18: Dạng sóng: Sáo violon Ta hiểu sâu khác hai dạng sóng thể chúng dƣới dạng tổng chuỗi Fourier ( ) ( ) ( ) ( ) Viết nhƣ tức ta thể âm nhƣ tổng âm đơn giản Sự khác biệt âm hai nhạc cụ giá trị tƣơng đối hệ số Fourier dạng sóng tƣơng ứng Hệ số chuỗi Fourier ( đƣợc gọi hoạ âm thứ ) ( ) Biên độ hoạ âm thứ n 70 √ bình phƣơng đƣợc gọi âm lƣợng hoạ âm thứ (chú ý, với chuỗi Fourier chứa hàm sin biên độ Đồ thị dãy { } đƣợc gọi phổ âm lƣợng giai điệu | | lƣợng cho biết độ lớn Hình 18: Phổ âm lƣợng Hình 18 cho thấy phổ âm lƣợng cho dạng sóng sáo violon Ta thấy rằng, sáo có xu hƣớng giảm nhanh n tăng violon, giai điệu cao lại mạnh Điều chứng minh cho dạng sóng tƣơng đối đơn giản sáo thực tế âm sáo nghe so với âm violon Ngoài phân tích âm nhạc cụ truyền thống, chuỗi Fourier giúp tổng hợp âm thanh, nghĩa kết hợp nhiều âm đơn giản thành âm phức tạp thông qua việc tăng hoạ âm gán hệ số Fourier lớn 71 KET LUẦN Khoá luận”Chuỗi Fourier ứng dụng vật lý” hoàn thành mục tiêu đề Khoá luận khái quát nội dung chuỗi, chuỗi lƣợng giác chuỗi Fourier Khoá luận trình bày chi tiết chuỗi Fourier ứng dụng chuỗi Fourier giải số toán vật lý Khoá luận giới thiệu số ứng dụng chuỗi Fourier lĩnh vực khác điển hình xử lí tín hiệu lĩnh vực truyền thông lĩnh vực âm nhạc Tuy nhiên, điều kiện, thời gian kinh nghiệm nhiều hạn chế nên khoá luận không thiếu thiếu sót Tôi mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để khoá luận đƣợc hoàn thiện 72 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Dƣơng Minh Hiển Tố (2007) Luận văn thạc sĩ “Chuỗi Fourier hai toán vật lý” Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012), Toán cao cấp tập II, NXB Giáo Dục Việt Nam Tiếng Anh Athur L.Schoenstadt (2005),” An Introduction To Fourier Analysis” 73 ... rộng chuỗi Fourier Cung cấp làm sáng tỏ ứng dụng chuỗi Fourier Cấu trúc Chương I: Trình bày số kiến thức chuỗi kiến thức quan trọng cần thiết chuỗi Fourier Chương II: Trình bày ứng dụng chuỗi Fourier. .. gọi chuỗi Fourier Chuỗi Fourier đời tạo tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo bƣớc tiến cho lý thuyết khoa học ứng dụng thực tế Ngày nay, nghiên cứu chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng. ..TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƢƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng