Tensor đề các và ứng dụng trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ - NGUYỄN THỊ THANH TÂM TENSOR ĐỀ-CÁC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS Hà Thanh Hùng tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thƣờng xuyên động viên để hoàn thành khóa luận Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội thầy cô khoa Vật Lý quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập nghiên cứu khoa Tôi xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho trình nghiên cứu Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết, ngƣời bên cạnh động viên giúp đỡ hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp tự thân thực có hỗ trợ từ giáo viên hƣớng dẫn không chép công trình nghiên cứu ngƣời khác Các liệu thông tin thứ cấp sử dụng khóa luận có nguồn gốc đƣợc trích dẫn rõ ràng Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm lời cam đoan này! Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 1.1 Khái niệm Tensor 1.1.1 Một số ký hiệu 1.1.2 Sự chuyển sở trục tọa độ 1.2 Tensor Đề-các 1.2.1 Phép biến đổi tọa độ 1.2.2 Cách phân bậc tensor Đề-các 11 1.3 Đại số Tensor 14 1.3.1 Phép cộng phép trừ tensor 14 1.3.2 Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích phép cuộn 14 1.3.2.1 Phép nhân (tích ngoài) tensor 14 1.3.2.2 Phép cuộn tensor 15 1.3.2.3 Phép nhân (tích trong) tensor 16 1.3.3 Phép hoán vị số 16 1.3.4 Dấu hiệu ngược tensor 16 1.3.5 Gradien tensor 17 1.3.6 Định luật co số tensor 18 1.4 Tensor Levi-Civita Isotropic 19 1.4.1 Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) 19 1.4.2 Tensor Levi – Civita 21 1.4.2.1 Định nghĩa: 21 1.4.2.2 Tính chất: 22 1.4.2.3 Đồng thức 22 1.5 Giả tensor 23 1.5.1 Phép quay riêng phép quay riêng ngược 23 1.5.2: Giả tensor 25 1.6 Tensor kép 26 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 33 2.1 Ứng dụng tensor việc tính mômen động lƣợng 33 2.2 Ứng dụng tensor việc tính mômen quán tính 34 2.3 Ứng dụng tensor việc tính độ điện dẫn  mạng tinh thể 35 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tensor khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực nhƣ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi đặc biệt thuyết tương đối rộng Tensor lần đƣợc nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio RicciCurbastro, ngƣời tiếp tục công trình sơ khởi Bernhard Riemann Elwin Bruno Christoffel số nhà toán học khác, nhánh mà họ gọi phép tính vi phân tuyệt đối Để giải toán lý thuyết đàn hồi, ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động Việc thiết lập phƣơng trình dựa hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu tƣơng đối phức tạp Tensor có ứng dụng hữu ích lĩnh vực khác nhƣ học môi trường liên tục Đại số (exterior algebra) Hermann Grassmann phát triển từ kỷ XIX lý thuyết tensor mang nhiều đặc tính hình học thời gian đầu, đƣợc nhận với dạng vi phân, đƣợc thống chất với phép tính tensor Vật lý toán học luôn có mối quan hệ mật thiết với nhau, vật lý sử dụng công cụ toán học có sẵn đồng thời đặt yêu cầu toán học Để tìm hiểu rõ vai trò tensor Đề-các vật lý định chọn đề tài : Tensor Đề-các ứng dụng vật lý Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu : “Tensor Đề-các ứng dụng vật lý” sở tìm hiểu rõ Tensor Đề-các ứng dụng vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu tensor Đề-các - Phân loại tensor Đề-các - Trình bày phép tính tensor Đề-các - Ứng dụng tensor Đề-các vật lý Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Tensor - Phạm vi nghiên cứu: Tensor hệ tọa độ Đề-các Phƣơng pháp nghiên cứu - Đọc sách tham khảo tài liệu, - Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp, - Trao đổi ý kiến với giáo viên Bố cục khóa luận PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chƣơng : Cách phân loại ph p iến đ i tensor Đề-các 1.1: Khái niệm tensor - Một số kí hiệu - Sự chuyển đổi sở 1.2: Tensor Đề-các - Cách phân bậc tensor Đề-các 1.3: Đại số tensor 1.4: Tensor Isotropic Levi – Civita 1.5: Giả tensor 1.6: Tensor kép Chƣơng 2: Ứng dụng vật lý Tensor 2.1: Ứng dụng tensor việc tính mômen động lƣợng 2.2: Ứng dụng tensor việc tính mômen quán tính 2.3: Ứng dụng tensor việc tính độ điện dẫn  mạng tinh thể PHẦN III KẾT LUẬN NỘI DUNG CHƢƠNG : CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 1.1 Khái niệm Tensor Tensor đối tƣợng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính đại lƣợng vectơ, vô hƣớng, tensor với Những ví dụ liên hệ bao gồm tích vô hƣớng, tích vector, ánh xạ tuyến tính Đại lƣợng vector vô hƣớng theo định nghĩa tensor Có nhiều cách biểu diễn tensor, nhƣ mảng giá trị số đa chiều Bậc (hay hạng) tensor số chiều mảng cần để biểu diễn nó, hay tƣơng đƣơng với số số cần để đánh dấu thành phần mảng Ví dụ, ánh xạ tuyến tính biểu diễn dƣới dạng ma trận chiều, mảng chiều, tensor bậc (hạng) Vector coi mảng chiều tensor bậc (hạng) Đại lƣợng vô hƣớng giá trị số tensor bậc (hạng) 1.1.1 Một số ký hiệu Ta kí hiệu đại lƣợng vật lý một tập kí tự (chữ La mã, chữ La tinh viết thƣờng in hay kí hiệu tùy ý, tên đại lƣợng vật lý cần khảo sát, ví dụ a, A, Ab, , ) kèm theo số dƣới hỗn hợp Các số số jl Đại lƣợng tự nhiên, chữ (Hy lạp Latinh), ví dụ Ai , Ai j , aik , ABiak vật lý Ai j A kí tự, tên đại lƣợng vật lý; j số trên; i số dƣới Sau ngƣời ta gọi đại lƣợng có kí hiệu nhƣ đại lƣợng tensor Trong lý thuyết tổng quát tensor cần phân biệt số số dƣới Các tensor tọa độ Đề-các số dƣới phân biệt gì, ngƣời ta thƣờng viết loại số, thƣờng số dƣới số thƣờng chữ Latinh Dƣới nói đến tensor, ta hiểu tensor Đề-các thích đặc biệt Để sử dụng cách thống đại lƣợng vật lý, ta có quy ƣớc sau đây: Quy ƣớc 1: Nếu đại lƣợng (hoặc biểu thức đơn, ví dụ Aij , aib j , ) với số chữ Latinh gặp lần số giá trị từ đến xuất tử số mẫu số số hạng biểu thức Ví dụ: - Đại lƣợng có 31  thành phần a1, a2 , a3 - Đại lƣợng Aij có 32  thành phần là: a11, a12 , a13 , a21, a22 , a23 , a31, a32 , a33 - Đại lƣợng ai có 32  thành phần là: x j a1 a1 a1 a2 a2 a2 a3 a3 a3 , , , , , , , , x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 - Đại lƣợng aijk có 33  27 thành phần - Đại lƣợng aijmk có 34  81 thành phần Chỉ số lặp lại lần đại lƣợng (hoặc biểu thức đơn) gọi số tự Quy ƣớc 2: Chỉ số chữ (Latinh) gặp hai lần đại lƣợng biểu thức đơn đƣợc lấy tổng từ đến 3 Ví dụ: aii   aii  a11  a22  a33 i 1 xi   xi a1 x1  a2 x2  a3 x3 i 1 Bây mở rộng nghiên cứu phép biến đổi đƣợc mô tả ma trận trực giao A nhƣng với A  1 đƣợc gọi phép quay riêng ngược Phép quay đƣợc coi phép nghịch đảo trục tọa độ qua gốc, đƣợc biểu diễn phƣơng trình: xi'   xi kết hợp với phép quay riêng Ví dụ rõ ràng phép biến đổi với A  1 ma trận tƣơng ứng với nó, trƣờng hợp này: Aij  ij Bất kì vector vật lý thực v coi đối tƣợng hình học (tức mũi tên không gian), không phụ thuộc vào hệ tọa độ nào, có hƣớng độ lớn không thay đổi hệ tọa độ khác Vì vậy, thành phần v biến đổi nhƣ: - vi'  Aijv j dƣới phép quay riêng - vi'   Aijv j dƣới phép quay riêng ngƣợc Trong trƣờng hợp này, vi không hoàn toàn thành phần tensor Đề-các bậc nhƣng thay vào thành phần giả tensor Đề-các bậc hay giả vector 24 1.5.2: Giả tensor Hình Hình biểu diễn vector v giả vector p dƣới phản xạ qua gốc trục tọa độ x1, x2 , x3 qua trục tọa độ x1' , x2' , x3' Điều quan trọng giả vector đối tƣợng hình học theo nghĩa thông thƣờng, đặc biệt không nên đƣợc gọi vector vật lý thực hƣớng bị đảo ngƣợc trục tọa độ Vì mà giả vector p đƣợc biểu diễn nét đứt để vector vật lý thực Tƣơng ứng với vector giả vector, đối tƣợng bậc đƣợc chia thành vô hƣớng giả vô hƣớng Có thể mở rộng khái niệm vô hƣớng giả vô hƣớng, vector giả vector để đối tƣợng có số Đối với số, đối tƣợng biến đổi nhƣ: Tij'  Aik A jl Akl dƣới phép quay (riêng riêng ngƣợc) đƣợc gọi tensor Đề-các bậc Nếu: Tij'  Aik A jl Akl dƣới phép quay riêng, Tij'   Aik A jl Akl dƣới phép quay riêng ngƣợc, 25 Tij thành phần giả tensor Đề-các bậc Nhìn chung, thành phần giả tensor Đề-các thay đổi tùy ý khi: ' Tij k  A Aij A jm A kn Alm n với A định thức ma trận biến đổi Ví dụ từ (1.22), ta có: A  ijk  Ail A jm Akn lmn Nhƣng A  1, ta viết:  ijk  A Ail A jm Akn lmn Từ ví dụ trên, ta thấy rằng,  ijk nhƣ tensor dƣới phép quay riêng, nhƣ tìm hiểu đƣợc coi giả tensor Đề-các bậc Ví dụ: Nếu b j ck thành phần vector số lƣợng   ijk b j ck tạo nên thành phần giả vector? Chứng minh: Trong hệ tọa độ ta có: ai'   ij' k b'j ck'  A Ail A jm Akn lmn Ajpbp Akq cq  A Ail lmn mp nq bp cq  A Ail lmnbmcn  A Ail al Vậy số lƣợng tạo thành phần giả vector 1.6 Tensor k p Xét giả tensor  ijk liên kết với phản đối xứng tensor bậc hai Aij (3 chiều), giả vector pi đƣợc cho bởi: 26 pi   ijk Ajk (1.25) Nếu gọi tensor phản đối xứng A ma trận:  A   Aij     A12  A  31 A12  A23  A31  A23   thành phần giả vector kép  p1, p2 , p3    A23 , A31, A12  Ví dụ: Từ (1.25), chứng minh rằng: Aij   ijk pk Chứng minh: Nhân vế (1.25) với  ijk , ta đƣợc:  ijk pi   ijk  klm Alm Sử dụng đồng thức (1.23) ta đƣợc:  ijk pk     il jm   im jl Alm      Aij  A ji  Aij  Aij  Aij Bằng phép mở rộng đơn giản, kết hợp giả vô hƣớng s với tensor bậc Aijk phản đối xứng: s  ijk Aijk 3! (1.26) Aijk phản đối xứng hoàn toàn số dƣới bội số  ijk 27 Thực thế: Aijk  s. ijk , chứng minh cách thay biểu thức vào (1.26) sử dụng (1.24) 28 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 2.1 Ứng dụng tensor việc tính mômen động lƣợng Xét tập hợp hạt liên kết chặt chẽ với với vận tốc góc  , hạt thứ  có khối lƣợng m  đƣợc đặt vị trí r  gốc tọa độ O Mômen động lƣợng J xung quanh O đƣợc cho bởi:  J   r  p    Mà p   m  r   r      r  (  bất kỳ) Nên thành phần mômen động lƣợng J đƣợc cho bởi: J i   m  ijk x j  x k      m  ijk x j  klml xm       m   il jm  im jl x j  xm l      m   r   il  xi  xl    l  I ill    (2.1) Ví dụ: Vận tốc điểm thuộc vật rắn quay quanh điểm cố định v    x ,  vector vận tốc góc Hãy tính mômen động lƣợng vật rắn điểm quay   const  Lời giải Mômen động lƣợng vật rắn điểm quay đƣợc tính theo công thức: J   x   vdV    ijk xi  v j dV V V 33 Thay biểu thức vận tốc vq   lqjl xq nhƣ đầu cho vào biểu thức nhận đƣợc:   J  J i    ijk xi  lqjl xq dV      il kq   iq kl xi xq dV V V      l   xl xi   il xq xq dV  l    il xq xq  xl xi dV V V Biểu thức tích phân tensor mômen quán tính Iil , Ji  Iill 2.2 Ứng dụng tensor việc tính mômen quán tính Từ biểu thức (2.1) ta thấy Iil tensor đối xứng bậc hai Tensor phân bố đƣợc gọi tensor quán tính O hệ, phụ thuộc vào phân bố hệ không phụ thuộc vào hƣớng hay độ lớn  Cụ thể, ta xét vật rắn đƣợc liên kết chặt chẽ, có khối lƣợng ( ) , lúc phép lấy tổng đƣợc thay phép lấy tích phân theo khối lƣợng vật Trong hệ tọa độ Đề-các, tensor quán tính hệ liên tục có dạng:     y  z  dV  I   I ij      xy  dV    xz  dV   Trong đó:   xy  dV z   x  dV   yz  dV     yz  dV   2 x  y  dV     xz  dV       x, y, z  phân bố khối lƣợng, dV  dxdydz Các phần tử đƣờng chéo tensor đƣợc gọi mômen quán tính phần tử đƣờng chéo dấu trừ đƣợc gọi tích quán tính Ví dụ: Chứng minh động hệ quay đƣợc cho bởi: Chứng minh Ta có động năng: 34 ∑ ( ̇ ̇ ) ∑ Ngoài ra, ∑ ( ∑ [ ) ( ) ] , ta viết động hệ tọa độ quay là: Nhận xét: Ví dụ cho thấy động hệ quay vô hƣớng thu đƣợc hai lần rút gọn  với tensor quán tính Nó cho thấy mômen quán tính hệ theo chiều đƣợc cho vector đơn vị n  là: Iil n j nl Khi I  I jl  tensor đối xứng bậc hai, liên kết với ba hƣớng vuông góc với nhau, ba trục có tính chất sau: - Tính chất 1: Với trục liên kết với mômen quán tính  ,   1,2,3 - Tính chất 2: Khi hệ quay quanh trục, vận tốc góc mômen động lƣợng song song đƣợc cho bởi: J  I   ,  vector đặc trƣng I có giá trị riêng  - Tính chất 3: Coi trục nhƣ trục tọa độ, tensor quán tính phần tử đƣờng chéo 1, 2 , 3 2.3 Ứng dụng tensor việc tính độ điện dẫn  mạng tinh thể Ta xét ví dụ vật lý đƣợc biểu diễn tensor bậc độ cảm từ khả dẫn điện Trong trƣờng hợp thứ ta có: 35 M i  ij H j (2.2) Và trƣờng hợp thứ hai, ta có: ji   ijE j (2.3) Trong đó: M mômen từ đơn vị thể tích j mật độ dòng điện (dòng điện đơn vị diện tích) Trong hai trƣờng hợp, ta có phía bên trái vector thu hẹp tập hợp số lƣợng bên phải với vector khác Do số lƣợng phải hình thành thành phần tensor bậc hai Trong môi trƣờng đẳng hƣớng, M  H j  E nhƣng môi trƣờng dị hƣớng nhƣ độ cảm từ độ dẫn điện tinh thể khác theo trục tinh thể khác nhau, làm cho ij  ij tensor bậc hai, chúng thƣờng đối xứng Ví dụ 1: Độ điện dẫn  tinh thể với thành phần đƣợc cho bởi:    ij      0  1  1  (2.4) Hãy cho thấy hƣớng dọc theo tinh thể dòng điện dọc theo hai hƣớng vuông góc có dòng điện không Chứng minh Mật độ dòng điện tinh thể đƣợc tính bằng: ji   ijE j với  ij đƣợc cho (2.4) Khi  ij  ma trận đối xứng, có vector đặc trƣng vuông góc với tensor dẫn đƣờng chéo với phần tử đƣờng chéo 1, 2 , 3 giá trị riêng  ij  36 Giá trị riêng  ij  đƣợc cho bởi:   I  Nhƣ vậy, ta phải có: 1  2 3 0 1  Từ ta tìm đƣợc: 1    3   1     1  1     Để đơn giản hơn, cho   0,1,4 cho trục nó, tensor dẫn có thành phần  ij' đƣợc cho bởi:   '  ij   0    0 0   Khi ji'   ij' E 'j , ta thấy trục dòng điện dọc theo hai hƣớng vuông góc dòng điện không Ví dụ 2: Một tinh thể có độ điện dẫn  với thành phần đƣợc cho bởi: 1   ij   0  1  1  Chứng minh dọc theo ba hƣớng vuông góc tinh thể có dòng điện không Chứng minh Mật độ dòng điện tinh thể đƣợc tính bằng: ji   ijE j 37 Ma trận  ij  có vector đặc trƣng vuông góc với tensor dẫn đƣờng chéo với phần tử đƣờng chéo 1, 2 , 3 giá trị riêng  ij  Giá trị riêng  ij  đƣợc cho bởi:   I  Với I ma trận đơn vị cấp Nhƣ ta phải có: 1  0 2 1 0  Từ ta tìm đƣợc: 1          31     Giải phƣơng trình ta tìm đƣợc nghiệm: 1  3, 2  1, 3  1 Nhƣ vậy, tensor dẫn có thành phần  ij' đƣợc cho bởi: 3 0   ij'          0 1   Khi ji'   ij' E 'j , ta thấy trục dọc theo ba hƣớng vuông góc tinh thể có dòng điện không Chúng ta mở rộng khái niệm tensor bậc hai thông qua mối liên hệ hai tensor bậc hai với tensor bậc bốn ta xét lý thuyết đàn hồi điểm P đƣợc mô tả tensor bậc hai đối xứng eij gọi tensor biến dạng đƣợc cho bởi:  u u  eij   i  j   x j xi  38 đây, u vector dịch chuyển mô tả thay đổi phần tử thể tích nhỏ có vị trí không liên kết với gốc x Tƣơng tự, mô tả ứng suất hệ P tensor đối xứng bậc hai tensor ứng suất pij Số lƣợng pij x j -thành phần vector ứng suất qua mặt phẳng ngang P trực giao theo hƣớng xi Một khái quát định luật Húc có liên quan đến tensor ứng suất biến dạng bởi: pij  cijkl ekl (2.5) đó: cijkl tensor Đề-các bậc bốn Ví dụ 3: Giả sử có tensor bậc bốn: cijkl  ij kl   ik jl  il jk (2.6) Tìm dạng (2.5) cho môi trƣờng đẳng hƣớng có môđun E hệ số Poisson Bài làm Đối với môi trƣờng đẳng hƣớng, ta phải có tensor đẳng hƣớng cijkl ta giả thiết dạng tensor bậc bốn: cijkl  ij kl   ik jl  il jk Thay vào (2.5) ta đƣợc: pij  ijekk  eij  e ji Nhƣng eij đối xứng ta viết     2 thì: pij  ekkij  2eij Trong đó:   số Lame Nếu eij  i  j trục tensor ứng suất biến dạng trùng 39 Xét ứng suất đơn giản theo hƣớng x1 , tức p11  S , nhƣng tất pij  , ta có ekk (tổng k )  Trong phép cộng eij   i  j  có phƣơng trình: S    2 e11,    2 e 22 ,    2 e33 S    3  2  Cộng vào cho: Môđun E đƣợc định nghĩa S  Ee11 với: E   3  2   (2.7) Ngoài hệ số Poisson đƣợc định nghĩa là:  e22 e (hoặc 33 ) e11 e11 Do đó:         Ee11         e11  2  e11   2  3  2        Giải (2.7) (2.8) tìm   , cuối ta có: pij  E 1   1  2  40 ekk ij  E e 1    ij (2.8) KẾT LUẬN Đề tài ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ý nghĩa mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết tensor Đề-các là: cách phân bậc tensor Đề-các, đại số tensor, loại tensor Qua đó, có ứng dụng tensor vào vật lý để xác định mômen động lƣợng, mômen quán tính độ điện dẫn mạng tinh thể Tuy nhiên thời gian hạn trình độ hạn chế nên đề tài tránh khỏi thiếu sót Tôi mong đƣợc đóng góp ý kiến thầy, cô bạn sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 1, Cambridge University Press 1988 [2] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for students of physics 2, Cambridge University Press 1988 [3] K.F Riley, M.P Hobson and S.J Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press 2006 [4] Cơ học môi trƣờng liên tục, Học viện Kỹ thuật Quân PGS-TS Phan Nguyên Di, NXB Quân đội Nhân dân Hà Nội 2001 44 ... vai trò tensor Đề -các vật lý định chọn đề tài : Tensor Đề -các ứng dụng vật lý Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu : Tensor Đề -các ứng dụng vật lý” sở tìm hiểu rõ Tensor Đề -các ứng dụng vật lý... tensor Đề -các - Phân loại tensor Đề -các - Trình bày phép tính tensor Đề -các - Ứng dụng tensor Đề -các vật lý Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Tensor - Phạm vi nghiên cứu: Tensor. .. đ i tensor Đề -các 1.1: Khái niệm tensor - Một số kí hiệu - Sự chuyển đổi sở 1.2: Tensor Đề -các - Cách phân bậc tensor Đề -các 1.3: Đại số tensor 1.4: Tensor Isotropic Levi – Civita 1.5: Giả tensor