Tensor đề các và ứng dụng trong vật lí (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ - NGUYỄN THỊ THANH TÂM TENSOR ĐỀ-CÁC VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết HÀ NỘI - 2017 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS Hà Thanh Hùng tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thường xun động viên để tơi hồn thành khóa luận Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội thầy cô khoa Vật Lý quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập nghiên cứu khoa Tôi xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho q trình nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết, người bên cạnh động viên giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp tự thân thực có hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn không chép cơng trình nghiên cứu người khác Các liệu thông tin thứ cấp sử dụng khóa luận có nguồn gốc trích dẫn rõ ràng Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm lời cam đoan này! Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Tâm MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 1.1 Khái niệm Tensor 1.1.1 Một số ký hiệu 1.1.2 Sự chuyển sở trục tọa độ 1.2 Tensor Đề-các 1.2.1 Phép biến đổi tọa độ 1.2.2 Cách phân bậc tensor Đề-các 11 1.3 Đại số Tensor 14 1.3.1 Phép cộng phép trừ tensor 14 1.3.2 Phép nhân tensor: Tích ngồi, tích phép cuộn 14 1.3.2.1 Phép nhân ngồi (tích ngồi) tensor 14 1.3.2.2 Phép cuộn tensor 15 1.3.2.3 Phép nhân (tích trong) tensor 16 1.3.3 Phép hoán vị số 16 1.3.4 Dấu hiệu ngược tensor 16 1.3.5 Gradien tensor 17 1.3.6 Định luật co số tensor 18 1.4 Tensor Levi-Civita Isotropic 19 1.4.1 Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) 19 1.4.2 Tensor Levi – Civita 21 1.4.2.1 Định nghĩa: 21 1.4.2.2 Tính chất: 22 1.4.2.3 Đồng thức 22 1.5 Giả tensor 23 1.5.1 Phép quay riêng phép quay riêng ngược 23 1.5.2: Giả tensor 25 1.6 Tensor kép 26 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 33 2.1 Ứng dụng tensor việc tính mơmen động lượng 33 2.2 Ứng dụng tensor việc tính mơmen qn tính 34 2.3 Ứng dụng tensor việc tính độ điện dẫn  mạng tinh thể 35 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tensor khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi đặc biệt thuyết tương đối rộng Tensor lần nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio RicciCurbastro, người tiếp tục cơng trình sơ khởi Bernhard Riemann Elwin Bruno Christoffel số nhà toán học khác, nhánh mà họ gọi phép tính vi phân tuyệt đối Để giải toán lý thuyết đàn hồi, người ta thường sử dụng hệ phương trình cân bằng, phương trình chuyển động Việc thiết lập phương trình dựa hệ tọa độ cong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu tương đối phức tạp Tensor có ứng dụng hữu ích lĩnh vực khác học môi trường liên tục Đại số (exterior algebra) Hermann Grassmann phát triển từ kỷ XIX lý thuyết tensor mang nhiều đặc tính hình học thời gian đầu, nhận với dạng vi phân, thống chất với phép tính tensor Vật lý tốn học ln ln có mối quan hệ mật thiết với nhau, vật lý sử dụng cơng cụ tốn học có sẵn đồng thời đặt yêu cầu toán học Để tìm hiểu rõ vai trò tensor Đề-các vật lý định chọn đề tài : Tensor Đề-các ứng dụng vật lý Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu : “Tensor Đề-các ứng dụng vật lý” sở tìm hiểu rõ Tensor Đề-các ứng dụng vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu tensor Đề-các - Phân loại tensor Đề-các - Trình bày phép tính tensor Đề-các - Ứng dụng tensor Đề-các vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Tensor - Phạm vi nghiên cứu: Tensor hệ tọa độ Đề-các Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách tham khảo tài liệu, - Phương pháp phân tích, tổng hợp, - Trao đổi ý kiến với giáo viên Bố cục khóa luận PHẦN I: MỞ ĐẦU PHẦN II: NỘI DUNG Chương : Cách phân loại ph p iến đ i tensor Đề-các 1.1: Khái niệm tensor - Một số kí hiệu - Sự chuyển đổi sở 1.2: Tensor Đề-các - Cách phân bậc tensor Đề-các 1.3: Đại số tensor 1.4: Tensor Isotropic Levi – Civita 1.5: Giả tensor 1.6: Tensor kép Chương 2: Ứng dụng vật lý Tensor 2.1: Ứng dụng tensor việc tính mơmen động lượng 2.2: Ứng dụng tensor việc tính mơmen qn tính thể 2.3: Ứng dụng tensor việc tính độ điện dẫn  mạng tinh PHẦN III KẾT LUẬN NỘI DUNG CHƯƠNG : CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 1.1 Khái niệm Tensor Tensor đối tượng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính đại lượng vectơ, vơ hướng, tensor với Những ví dụ liên hệ bao gồm tích vơ hướng, tích vector, ánh xạ tuyến tính Đại lượng vector vơ hướng theo định nghĩa tensor Có nhiều cách biểu diễn tensor, mảng giá trị số đa chiều Bậc (hay hạng) tensor số chiều mảng cần để biểu diễn nó, hay tương đương với số số cần để đánh dấu thành phần mảng Ví dụ, ánh xạ tuyến tính biểu diễn dạng ma trận chiều, mảng chiều, tensor bậc (hạng) Vector coi mảng chiều tensor bậc (hạng) Đại lượng vô hướng giá trị số tensor bậc (hạng) 1.1.1 Một số ký hiệu Ta kí hiệu đại lượng vật lý một tập kí tự (chữ La mã, chữ La tinh viết thường in hay kí hiệu tùy ý, tên đại lượng vật lý cần khảo sát, ví dụ a, A, Ab, , ) kèm theo số hỗn hợp Các số số tự nhiên, chữ (Hy lạp Latinh), ví dụ Ai , Ai j ,aik , ABiakjl Đại lượng vật lý Ai j A kí tự, tên đại lượng vật lý; j số trên; i số Sau người ta gọi đại lượng có kí hiệu đại lượng tensor Trong lý thuyết tổng quát tensor cần phân biệt số số Các tensor tọa độ Đề-các số khơng có phân biệt gì, người ta thường viết loại số, thường số số thường chữ Latinh Dưới nói đến tensor, ta hiểu tensor Đề-các khơng có thích đặc biệt Để sử dụng cách thống đại lượng vật lý, ta có quy ước sau đây: Quy ước 1: Nếu đại lượng (hoặc biểu thức đơn, ví dụ Aij ,aib j , ) với số chữ Latinh gặp lần số giá trị từ đến xuất tử số mẫu số số hạng biểu thức Ví dụ: - Đại lượng có 31  thành phần a ,a ,a - Đại lượng A có 32  thành phần là: ij a11,a12 ,a13 ,a21,a22 ,a23 ,a31,a32 ,a33 ai có 32  thành phần là: x j - Đại lượng a1 a1 a1 a2 a2 a2 a3 a3 a3 , , , , , , , , x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 - Đại lượng aijk có 33  27 thành phần m - Đại lượng aijk có 34  81 thành phần Chỉ số lặp lại lần đại lượng (hoặc biểu thức đơn) gọi số tự Quy ước 2: Chỉ số chữ (Latinh) gặp hai lần đại lượng biểu thức đơn lấy tổng từ đến Ví dụ: aii   aii  a11  a22  a33 i1 xi  a x i1 i i a1 x1  a2 x2  a3 x3 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC 2.1 Ứng dụng tensor việc tính mơmen động lượng Xét tập hợp hạt liên kết chặt chẽ với với vận tốc góc  , hạt thứ  có khối lượng m  đặt vị trí r  gốc tọa độ O Mômen động lượng J xung quanh O cho bởi:  J   r  p   Mà p   m  r   r      r   (  bất kỳ) Nên thành phần mômen động lượng J cho bởi: J i   m  ijk x j  x k      m  ijk x j  klml xm       m   il jm   im jl x j  xm l     m  r      il  ix  lx  l  il lI    (2.1) Ví dụ: Vận tốc điểm thuộc vật rắn quay quanh điểm v   x cố định , đây vector vận tốc góc Hãy tnh mơmen   const động lượng vật rắn điểm quay  Lời g iả i Mômen động lượng vật rắn điểm quay tính theo cơng thức: J  x   vdV ijkxi  v j dV V  V 33 Thay biểu thức vận tốc vq   lqjl xq đầu cho vào biểu thức nhận được: J  Ji  V  ijk xi  lqjl xq dV      il kq   iq kl xi xq dV V      l   xl xi   il xq xq dV  l    il xq xq  xl xi dV V V Biểu thức tích phân tensor mơmen qn tính Iil , Ji  Iill 2.2 Ứng dụng tensor việc tính mơmen quán tính Từ biểu thức (2.1) ta thấy Iil tensor đối xứng bậc hai Tensor phân bố gọi tensor quán tnh O hệ, phụ thuộc vào phân bố hệ không phụ thuộc vào hướng hay độ lớn  Cụ thể, ta xét vật rắn liên kết chặt chẽ, có khối lượng ( ) , lúc phép lấy tổng thay phép lấy tch phân theo khối lượng vật Trong hệ tọa độ Đề-các, tensor quán tnh hệ liên tục có dạng:   y  dV I I ij  z    xy dV   xz   dV Trong đó:  xy  dV    z  x dV 2   yz  dV   xz  dV  yz  dV  x 2     y  dV      x, y, phân bố khối lượng, z dV  dxdydz Các phần tử đường chéo tensor gọi mômen qn tnh phần tử ngồi đường chéo khơng có dấu trừ gọi tch quán tính Ví dụ: Chứng minh động hệ quay cho bởi: Chứng minh Ta có động năng: ∑ ( ) ∑ Ngoài ra, ∑ ( ∑ [ ) ( ) ] , ta viết động hệ tọa độ quay là: Nhận xét: Ví dụ cho thấy động hệ quay vô hướng thu hai lần rút gọn  với tensor qn tính Nó cho thấy mơmen quán tnh hệ theo chiều cho vector đơn vịn là: Iil nj nl Khi I   I jl  tensor đối xứng bậc hai, liên kết với ba hướng vng góc với nhau, ba trục có tính chất sau: - Tính chất 1: Với trục liên kết với mơmen qn tnh  ,   1, 2,3 - Tính chất 2: Khi hệ quay quanh trục, vận tốc góc mơmen động lượng song song cho bởi: J  I   ,  vector đặc trưng I có giá trị riêng  - Tính chất 3: Coi trục trục tọa độ, tensor quán tính phần tử đường chéo 1, 2 , 3 2.3 Ứng dụng tensor việc tính độ điện dẫn  mạng tinh thể Ta xét ví dụ vật lý biểu diễn tensor bậc độ cảm từ khả dẫn điện Trong trường hợp thứ ta có: M i  ij H j (2.2) Và trường hợp thứ hai, ta có: ji   ij E j (2.3) Trong đó: M mômen từ đơn vị thể tch j mật độ dòng điện (dòng điện đơn vị diện tích) Trong hai trường hợp, ta có phía bên trái vector thu hẹp tập hợp số lượng bên phải với vector khác Do số lượng phải hình thành thành phần tensor bậc hai Trong môi trường đẳng hướng, M  H j  E môi trường dị hướng độ cảm từ độ dẫn điện tnh thể khác theo trục tinh thể khác nhau, làm cho ij  ij tensor bậc hai, chúng thường đối xứng Ví dụ 1: Độ điện dẫn  tinh thể với thành phần cho bởi: 1   ij    0  1   1 (2.4) Hãy cho thấy hướng dọc theo tnh thể khơng có dòng điện dọc theo hai hướng vng góc có dòng điện khơng Chứng minh Mật độ dòng điện tinh thể tính bằng: với  ij cho (2.4) ji   ijE j Khi  ij  ma trận đối xứng, có vector đặc trưng vng góc với tensor dẫn đường chéo với phần tử đường chéo 1, 2 , 3 giá trị riêng  ij  Giá trị riêng  ij  cho bởi:   I  Như vậy, ta phải có: 1  2 3 1 0 1  Từ ta tm được: 1     1    1    1 Để đơn giản hơn, cho   0,1, cho trục nó, tensor dẫn có thành phần '  ij cho bởi: 4 0   '    0 ij    0 0  ' ' ' Khi ji   ij E j , ta thấy trục khơng có dòng điện dọc theo hai hướng vng góc dòng điện khơng Ví dụ 2: Một tnh thể có độ điện dẫn  với thành phần cho bởi: 1     ij    0 0  Chứng minh dọc theo ba hướng vuông góc tnh thể có dòng điện khơng Chứng minh Mật độ dòng điện tinh thể tính bằng: ji   ij E j Ma trận  ij  có vector đặc trưng vng góc với tensor dẫn đường chéo với phần tử đường chéo 1, 2 , 3 giá trị riêng   ij    Giá trị riêng  ij  cho bởi:   I  Với I ma trận đơn vị cấp Như ta phải có: 1 2 1 0  Từ ta tm được: 1         31   1  3, 2 1, 3  1 Giải phương trình ta tm nghiệm: Như vậy, tensor dẫn có thành phần ij cho bởi: ' 3 0   'ij       0 1  ' ' ' Khi ji   ij E j , ta thấy trục dọc theo ba hướng vng góc tinh thể có dòng điện khơng Chúng ta mở rộng khái niệm tensor bậc hai thông qua mối liên hệ hai tensor bậc hai với tensor bậc bốn ta xét lý thuyết đàn hồi điểm P mô tả tensor bậc hai đối xứng eij gọi tensor biến dạng cho bởi:  ui u j  eij     x j xi  đây, u vector dịch chuyển mô tả thay đổi phần tử thể tích nhỏ có vị trí khơng liên kết với gốc x Tương tự, mơ tả ứng suất hệ P tensor đối xứng bậc hai tensor ứng suất pij Số lượng pij x j -thành phần vector ứng suất qua mặt phẳng ngang P trực giao theo hướng xi Một khái quát định luật Húc có liên quan đến tensor ứng suất biến dạng bởi: pij  cijkl ekl (2.5) đó: cijkl tensor Đề-các bậc bốn Ví dụ 3: Giả sử có tensor bậc bốn: cijkl  ij kl  ik jl  il (2.6) jk Tìm dạng (2.5) cho mơi trường đẳng hướng có mơđun E hệ số Poisson Bà i m Đối với mơi trường đẳng hướng, ta phải có tensor đẳng hướng ta giả thiết dạng tensor bậc bốn: cijkl  ij kl   ik jl il jk Thay vào (2.5) ta được: pij   ijekk  eij  e ji Nhưng eij đối xứng ta viết    2 thì: pij  ekkij  2eij cijkl Trong đó:   số Lame Nếu eij  i  j trục tensor ứng suất biến dạng trùng Xét ứng suất đơn giản theo hướng x1 , tức p11  S , tất pij  , ta có ekk (tổng k )  Trong phép cộng eij   i  j  có phương trình: S    2 e11,    2 e 22 ,    2 e33 S    3    Cộng vào cho: Môđun E định nghĩa S  Ee11 với: E   3      (2.7) Ngoài hệ số Poisson định nghĩa là: e   (hoặc 33 ) e11 e 22 Do đó:      e11    Ee11    e 2  e   2 3  2  11   11      2    Giải (2.7) (2.8) tìm   , cuối ta có: E E pij  e kk ij  e 1  1 1    2  (2.8) ij KẾT LUẬN Đề tài khơng có ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ý nghĩa mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết tensor Đề-các là: cách phân bậc tensor Đề-các, đại số tensor, loại tensor Qua đó, có ứng dụng tensor vào vật lý để xác định mơmen động lượng, mơmen qn tính độ điện dẫn mạng tinh thể Tuy nhiên thời gian khơng có hạn trình độ tơi hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đóng góp ý kiến thầy, bạn sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematcs for students of physics 1, Cambridge University Press 1988 [2] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematcs for students of physics 2, Cambridge University Press 1988 [3] K.F Riley, M.P Hobson and S.J Bence, Mathematcal methods for physics and engineering, Cambridge University Press 2006 [4] Cơ học môi trường liên tục, Học viện Kỹ thuật Quân PGS-TS Phan Nguyên Di, NXB Quân đội Nhân dân Hà Nội 2001 44 ... vai trò tensor Đề -các vật lý định chọn đề tài : Tensor Đề -các ứng dụng vật lý Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu : Tensor Đề -các ứng dụng vật lý” sở tìm hiểu rõ Tensor Đề -các ứng dụng vật lý... tensor Đề -các - Phân loại tensor Đề -các - Trình bày phép tính tensor Đề -các - Ứng dụng tensor Đề -các vật lý Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Tensor - Phạm vi nghiên cứu: Tensor. .. đ i tensor Đề -các 1.1: Khái niệm tensor - Một số kí hiệu - Sự chuyển đổi sở 1.2: Tensor Đề -các - Cách phân bậc tensor Đề -các 1.3: Đại số tensor 1.4: Tensor Isotropic Levi – Civita 1.5: Giả tensor