TRƯỜNG ĐẠI HOC CAN THO Ee KHOA SU PHAM ‘ BO MON SU PHAM VAT LY welled MOT SO HAM DAC BIET VA UNG DUNG TRONG VAT LY Luận văn tốt nghiệp Ngành: Sư phạm Vật lý
Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện
Th.S Trần Minh Quý Đỗ Minh Xuân
Trang 2= \ 0°
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Trần Minh Quý đã hướng dẫn tận tình giúp tôi hoàn thành
tốt luận văn đúng thời hạn
Chân thành cảm ơn cô Nguyễn Thị Thúy Hằng và cô
Trịnh Thị Ngọc Gia đã đóng góp ý kiến để đề tài của tơi được
hồn chỉnh
Đồng thời cũng rất biết ơn thầy cô trong bộ môn Sư
Phạm Vật lý và thư viện khoa Sư Phạm đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong lúc thực hiện dé tai naỵ
Mặc dù có nhiều cô gắng nhưng bài luận văn của tôi van
không tránh khỏi những sai sót, mong được sự chỉ dẫn thêm
của thầy cô và sự góp ý của các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn
Kính chúc thầy cô và các bạn sức khỏe và thành đạt
Cần Thơ, ngày 4 thang 5 nim 2011 Sinh viên
Đỗ Minh Xuân
Trang 3MỞ ĐẦU
WC WR
Ị Ly do chon dé tai
Vật lý là một ngành khoa học nghiên cứu các quy luật vận động của thiên nhiên Những thành tựu của vật lý được ứng dụng trong đời sống kỹ thuật và sản xuất Nhất là trong thời đại ngày nay, thời đại của nền khoa học tiên tiến, hiện đại và đang trên đà phát triển thì những thành tựu của vật lý ngày càng phát huy vai trò của mình hơn Đồng thời đó cũng là điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu, tìm tòi những tri thức mới cho khoa học Vật lý Việc nghiên cứu khoa học nói chung và vật lý nói riêng luôn được thực hiện cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm Lý thuyết không những tiên đoán được các hiện tượng khoa học mà còn là cơ sở để giải thích các kết quả thực nghiệm
và từ đó rút ra các thông số cần thiết cho khoa học, kỹ thuật Chính vì vậy, việc nghiên
cứu Vật lý lý thuyết luôn giữ vai trò quan trọng Trong đó mơn Tốn cho Vật lý là môn cơ sở, là chìa khóa mở cánh cửa vào lĩnh vực Vật lý lý thuyết
Một trong những kiến thức quan trọng của Toán cho vật lý là các hàm đặc biệt, gồm các hàm như: hàm Bessel, đa thức Legendre, hàm cầu, hàm siêu bội, hàm
Mawtheụ Bằng các phương pháp giải khác nhau như phương pháp tách bién Fourier, phương pháp chuỗi lũy thừa, bằng các hệ thức truy toán và hàm sinh mà ta có thể biểu diễn các hàm đặc biệt từ dạng này sang dạng khác
Các hàm đặc biệt thường được sử dụng để giải các bài toán về sự rung động, sự truyền nhiệt, sự dẫn điện, bài toán Dirichlet trong quả cầụ
Chính vì vậy tôi quyết định chọn đề tài: “ Äộr số hàm đặc biệt và ứng dụng
trong vat lf” dé có cơ hội tìm hiểu kỹ hơn về những đặc điểm, tính chất của các loại hàm và ứng dụng của chúng trong vật lý
IH Mục đích của đề tài
- _ Tìm hiểu cách thiết lập các phương trình Bessel, Legendre, hàm cầụ
- Tim hiểu tính chất của các hàm trên
- _ Nghiên cứu một số ứng dụng của chúng trong Vật lý
HỊ Các phương pháp thực hiện đề tài
Trang 4Tìm hiểu các tài liệu, để tài có liên quan
Lập đề cương chỉ tiết thông qua giáo viên hướng dẫn
Viết nội dung, tiếp thu ý kiến và chỉnh sửa
Viết tóm tắt đề tài
Trang 5MỤC LỤC WC BR
CHUONG Ị HAM BESSEL 0.0 essecssssesssssssseessseesssessneessscesnecesscesncesscesuecsseeesneesuneessecesess 1 1.1 Phuong trinh Bessel
1.1.1 Thiết lập phương trinh Bessel
1.1.2 Phuong trình Bessel có tham sỐ -2- 2 ©£+2+++E£EE£2EE£EEEtEESEEtrEerrkerree 3 cu: na 4 1.2.1Ham Bessel loai I
1.2.2 Ham Bessel loai II
1.3 Một vài tính chất của hàm Bessel 1.3.1 Các tính chất truy hồi của hàm Bessel
1.3.2 Tính chất trực giao cua ham Bessel
1.3.3 Ham Bessel hang ban nguyén
1.4 Mot vai tng dung
1.4.1 Sự rung của mảng fTÒỊ - ¿tk kh HH TH TT nh HH Hà rệt 17
1.4.2 Truyền nhiệt trong thanh hình trụ dài vơ hạn - ¿- «55c *+£+vcsersx 24
CHƯƠNG IỊ HÀM LEGENDRE
2.1 Đa thức Legendre
2.1.1 Thiết lập phương trình Legendrẹ - 2-2 52 £++£E+£+EE+£EE+EEt2EErzrxrrxerrk 27 2.1.2 Nghiệm của phương trình Legenidrẹ - -¿- ¿2c 6+ +t£+E£vEe+exsexseesresxes 29 2.1.3 Đa thức Legendre liên đới
2.2 Một vài tính chất của đa thức Legendrẹ
2.2.1 Tính trực giao của đa thức Leg€nndiẹ óc tt SE rieriee 33
2.2.2 Hàm sinh của P,(x) .c: 25: 21222222 22122111111111111111111121111111 1ẹ 36
ĐÃ-Ô\L gì ŒỶ 37
2.3.1 Bài toán Dirichlet trong quả CẦỤ 0c c1 H21 1211211211211 1 1 1 tre 37 2.3.2 Phương trinh Schrodinger cho nguyén tir Hydro và cac ion déng dang Hydro 38
9:00/9)1€0)08-7.9 09100057 44
3.1 Thiết lập phương trình hàm cầUụ - ¿- 2 + ©2££+E£EEt2EE£EEESEE2EE21227122Excrrrrrk 44
3.2 Tính chất trực giao của hàm cầụ 2 + ©2k++E£EEt2EEEEEE2E121121171.21x 2 xe 46 3.3 Ứng dụng - c2 k 2E92112E12112111211211T11 T1 T11 111 11110221111 1errre 48
3.3.1 Cho hình cầu bán kính a đặt vào tâm hình cầu một hệ toạ độ cầu z,Ø,ø , xét
Trang 6NOI DUNG
CHUONG Ị HAM BESSEL
1.1 Phương trình Bessel
1.1.1 Thiết lập phương trình Bessel
Xét dao động của một màng tròn Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán kính q trên mặt phẳng x, y có tâm ở gốc toạ độ Nếu ta dùng toạ độ cực thì phương trình đường tròn biên của màng là r = g
Trang 8Dat x=v.r > R(r) = a=) =y v Ta có: pg dR dv _ dv dx _ ấn dr dr dxdr dx wath Ăt) fade ay ar dr\’ ax) (đ jár de Do đó ta nhận được phương trình vi phân sau đối với hàm y(%)
Chia hai về cho v? ta được:
đ?ầy + ldy +lI- —ly=0 k? 1.6
dx’? xảy x? 7 (1.6)
Phương trình (1.6) được gọi là phương trình Bessel No 1a một phương trình vi
phân thông thường hạng hai có hệ số thay đổị Nghiệm của nó được gọi là ham Bessel Vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các
miễn hình trụ, vì vậy nó còn có tên gọi là HÀM TRỤ
1.1.2 Phương trình Bessel có tham số
Trang 9GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân
Vậy nếu hàm y(x) là nghiệm của phương trình (1.6) thì hàm y=y(%) là nghiệm của phương trình:
xìy +xy +|Áx? -k?Ìy =0
Và phương trình (1.9) được gọi là phương trình Bessel có tham số Â 1.2 Hàm Bessel
1.2.1 Hàm Bessel loại I
Ta tìm nghiệm riêng của phương trình Bessel
xy txy + (22x? "` =0
Ta sẽ tìm nghiệm dưới dạng chuỗi luỹ thừa
y=x°5 ayx" (a, #0) m=0 Để tìm các hệ số của chuỗi ta lấy đạo hàm ._ đl ax _ 1 y= % = p.x? mm +x®S)a„mx” ' x m=0 m=l % = — m+p-1 m+p-1 =p > a,,X + > a„m.X m=0 m=l
yes + = < ( )X ân + Sau ma )
= Yolp - 1)a„ x22 + 2p Sa, manh? + Y aymÍm _ y2
m=0 m=1 m=2
Thay (1.10), (1.11), (1.12) vao (1.9) ta duge:
Trang 10p°—k? =0 (1.14) (p+I—k?=0 (1.15) [(p-+m)*-#]a, -4, =0 (1.16) Từ (1.14) ta có p =+k * Chọn ø =£ thì từ (1.15), (1.16) ta được a, =0 4, 4, (m=2,3, ) An = 7 CN (p+m]°—k?— m(2k+m) Sa,,=0 (m=0,1,2 ) Vay voi a *m=2>4,=- 0 „ T3” 22(g +1) *m=a4 _- % - đọ S2?” 2E +4) 21(K+Ij(K+2)2! * =6 = 8 = _— 8g me OS 6l2y+6)— 32%(E+1)|&+2)|k+3) Tổng quát a= (- 1)" ay om 2?" (k + Ik + 2) (k + m)m! „ 1
Chon ap co dang a, = Tes 1)
Trong đó F(&) là hàm Gama xác định đối với mọi gia tri k co dang T(k) = ferx ax 0 Khi chọn a¿ có giá trị như trên, hệ số đz„ có thé viết dưới dang: a, == om mk + (ke + 2) (k +m) (k +1) — (1.17) T(+1)=&TŒ) Nếu sử dụng tính chất hàm Gama Tk +I =k!
Ta có thể viết (# + 1)(& + 2) (k + m)F(Œ +1) =Tữn +&+1)
Do đó biểu thức (1.17) được viết
Trang 11
GVHD: Th.S Trén Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân (=1)" Thay giá trị của hệ SỐ đz„ Và đz„.; vào chuỗi ta nhận được nghiệm riêng của (1.9) 2m+k VX) = J, (x) = Yeo" 22m+E * m0 mT( +m+]) G) (1.18) Hay J.) = UCN)" mT(Œ+m+1) m=0
Nghiệm này được gọi là ham Bessel loai 1 hang k
Néu thay & = 0 ta được ham Bessel loai | hang 0
Jey = Yo" mIT{m +1) m=0
Trang 12* Chon p =-k ta có thé tìm nghiệm riêng thứ 2 của phương trình Bessel
Vì phương trình Bessel chỉ chứa #ˆ nên nó không thay đổi khi & = -& Do đó trong biểu thức (1.18) thay & = - k ta nhận được nghiệm thứ 2 của phương trình Bessel là:
(3)
J,0)=Y(-p"—2
Nhân xét:
* Nếu k không phải là một số nguyên thì các nghiệm riêng J„(x) và J;(x) là độc lập tuyến tính và khi x->0 thì J,(x) >0 nhu x*, còn J,(x)->œ như xX Trong trường hợp này nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là:
V(x) = CJ, (x) + CJ_, (x)
* Nếu k là một số nguyên dương ø thì ham J;(x) va J;(x) 1a phụ thuộc tuyến
tính Thật vậy, khi & = øò thì với m = 0, 1, 2, n-1 đại lượng (m-k+7) nhận các giá trị nguyên âm hay bằng 0 Đối với các giá trị này T(w—&+1)=œ Điều này được ro =O ~~ suy ra từ công thức: r k+l T(-k)= TC#+D ; ) Lx Như vậy, ø hạng tử đầu tién khai trién J,(x) = 0 Do đó 2m-n x 4) mT (m—n-+l) (1.19) J()= ED" m=n Dat m=n+l va thay vao biéu thire (1.19) ta được: (:)" = (-1"(-p! — 22 = 1" J DCW CN Te reprgan OT Hay 7 ,(x) =(—D“J,œ)
Vậy nếu k là số nguyên dương ø thì nghiệm I,(x) và J.,(x) là phụ thuộc tuyến tính
1.2.2 Ham Bessel loại II
Do khi k là số nguyên đương thì J¿(x) và Jz() là phụ thuộc tuyến tính Vì vậy
ta xây dựng một nghiệm tổng quát của phương trình:
Trang 13
GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân
xy +xy +|Ảx' ~k?)y =0 (1.20) được dùng cho mọi giá trị k
Nghiệm đó có thế được dùng như sau:
Y (x) =
@) sin(m)
Vì Y¿) là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm riêng của phương trình (1.20) nên Y,(x) cũng là nghiệm của phương trình nàỵ
Tuy nhiên khi & = „ thì Y;x) có dạng ộ
Do vậy, ta định nghĩa:
Y,(x) = lim, (x) = lim J,09.cosdz)— J.,(x)
kon kon sin(kZ)
Quy tac L’Hospital cho ta ô ro) anak Deo) J.409) kon arbindz) cos(kZ 20) —7,(x)sin(kZ) — ma (x) =lim (1.21) kon 7z cos(kZ) 1) 0 ô = jim) SJ) C9 a0)
Trang 14Ÿ; (x)
D6 thi ham Bessel loai II
1.3 Một vài tinh chat cia ham Bessel
Trang 15GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân 2 2m+2k d 2S yn ay! ) 22" mIP(m +k +1) 2m+2k-1 x = 1” “Ee ) 2?m2k- 1 m'T(m+k) 2m+k-1 \) = Yen" 2 m0 mlứn +) Vậy: 9, @Ì=x'2,,œ) — (đpem) Mặt khác ta lại có:
Trang 16Công thức (1.24) đã được chứng minh Ta lại có: x12, G6)|=—*'2,@œ)+x 0) Do đó thay vào (1.24) ta được: £ I) pal =H) Mặc khác nếu lấy (1.23) trừ (1.25) ta được: J, ¡()+J,()= J,(x) Nếu lấy (1.23) cộng (1.25) ta được: Ja) Fp) = 22, (x)
1.3.2 Tính chất trực giao của hàm Bessel
Giả sử ,H;,;, „ là các nghiệm dương của phương trình J¿(x) = 0 Trong đó tụ < Hy < < H„ < Ta sẽ chứng minh L x x 0# 7) foro yew aie Flu G= Trong đó L là hằng số dương Tức là ta sẽ chứng minh hàm uỆø ?] ¡ = 1,2,3 lập thành một họ trực
giao trên đoạn [0,Z] Hay nói cách khác, cac ham J, C *) lập thành một họ trực giao
Trang 17GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân 2 2 v4 P.40 sms Ìu(m)=0 x dx? dx of POO) ps Eby n 0 (1.28) dx dx x Phương trình (1.28) lay 2 gia trị khác nhau của p ta sẽ có hai phương trình tương ứng là: 2 ff AO) pis Vr nao (1.29) dx dx x 2 SỈ g9 lásir-E buuag=0 (130) dx dx “ x
Bay gid ta lay phuong trinh (1.29) nhan vi J;(p2x) và phương trình (1.30) nhân với
Jp 1x) rồi trừ hai về phương trình cho nhau, ta thu được: d d d 2 2 oto), (ø,x)~ HN SÁU (na) +Íp? ~ p?Ì£7,(px)2,(p,x)=0 © [p2 ~ p?]šJ,(px)J, (px) = = ais ha) eb, (px)~ Sơ —~ bs („9 dx d| di(p, dJ (D2
= ara (+) Xa: (ma)
Trang 18Do = *, trong do y,,u, 1a hai nghiém duong khac nhau của phương trình J„(x) = 0 Do đó ta có thể suy ra: ® VỚớIiZj Thay p, = va p; -4 vào (1.31) ta được: L (p? — p¿ |ÏxJ,u, Di (H, Dax 0 =|MJ,(„,)J;(w,)— H,J,(0,)2(0,)| =0 L Ạ x x Nên ta có J (H, pit (H, pe =0 ® Vớii=j
Giả sử p =+ với là nghiệm dương của phương trình jJ;(x) = 0
Trong phương trình (1.31) thay p; =p cho p; -> p và xem p; là biến số ta có L (p? - p°)[xJ,(p)2,(p.x)áv 0 = Lp, (p;L)J,(pL)~ p;J,(pL)J, (p,U)| i IpJ,(p,L)J,(pL © [,(07,(px)w = ung 0 2
Khi p, > p vé phải có đạng bất định 5 Áp dụng quy tắc LHopital ta có:
Trang 19GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân - im # P0202, (pÉ) PP 2p 2 Lr =e (ph) £ 1ˆ „2 Vậy: [xJ10lw= =2: (pL) 0 L a, X — 2 2 Hay Jovi (2= =7, 09 (1.32) Theo tính chất truy hồi của hàm Bessel, ta có: k “hạ Nếu thay x=„ ta được “J,(w)—J,„ (0) = (09) x = J(u) = Jy (UW) Do đó, công thức (1.32) có thể được viết: 2 1 } k Hr 24 u số 27m u Như vậy ta đã chứng minh được công thức trực giao 0Œ # 7) L xJ, la Thị» lâm =i112„ 2 J XS Trong đó 0,0; là hai nghiệm dương khác nhau của phương trình J¿(x) = 0 1.3.3 Hàm Bessel hạng bán nguyên
Xét phương trình x”y +xý se -[*+ ib =0 Đây là phương trình Bessel
Trang 20Nghiệm này có thể được biểu diễn bởi một hàm sơ cấp có dạng
Trang 221 1 7 ,@=-x ?“|x 37 ,@)| vớik= 1,2, 3 hes dx es 1.4 Một vai ứng dụng 1.4.1 Sự rung của màng tròn
Xét đao động của màng tròn bán kính q với biên tròn được gắn chặt, điều kiện ban đầu có dạng: ø -0= /0,Ø0);0,|,- = Fứ,ø) Phương trình đao động của màng tròn trong tọa độ cực là Ou_ gy eu lou, 1 eu) (1.35) ot ore roar r 0g Với 0<r<„
Điều kiện biên ¿(a,ø,:) = 0
Điều kiện ban đầu có dạng | y= ƒ(,@);„,(r,ø.0)= F0)
Bài toán có hai điều kiện:
- Ham u(q,9,¢) can phải là hàm tuần hồn củà voi chu ky 27
- Ham u(q,9,¢) phải hữu hạn tại mọi điểm của màng, nhất là tại r = 0 Bằng phương pháp tách biến Fourier, ta đặt: z(q.ø,/) = Tứ)VŒ,ø)
Trang 23GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân T(t) = C, cos(Aat) + C, (Aat) Phương trình đối với V có dang: aV(r.9) 1.9) , 1 V0.9) ôr? r or re ar V(,ø)=0 Thoả điều kiện: 4|7(0,ø)|< œ Vự,ø)= V(r,+2z) +2V(r,9) =0 (1.39) Đặt 7(r,ø) = R(Œ)®(ø) sau đó thay vào (1.39) ta được: R’(}(0) +2 R (LO) + RIO (0) + R)@(ứ) = 0 â|r?R'0)đ(ứ)+rR ()đ(ứ)+22r2R()đ(ứ)] = Rữ)®ˆ(ø) Chia hai về phương trình cho R(r)®(~) ta duge: |r ROY), RO “er | _®'(0) › Rự) Rr) _ ®(0) Với k là hằng số Suy ra các phương trình vi phân và các điều kiện tương ứng sau ® (ø)+kˆ®(ø) =0 tap co vn) vay Và Vu tee ~K?)R(r) =0 (1.42) R(r) <0, R(q) =0 (1.43) Phương trình (1.40) có nghiệm tổng quát: ®(ø) = A, cos(kp) + B, sin(kø)
Điều kiện tuần hoàn (1.41) đòi hỏi k phải nguyên & = 0, 1, 2, Phương trình (1.42) có thê viết dưới dang
aR Rt) + ee) ) ar)? 2 ]R@9 =0 aR(r 2 y2
Đây là phương trình Bessel tham SỐ Â hang k Nghiệm tổng quát của phương trình này là
R,(r) =D, J, (Ar) + E,Y,(Ar) Vi ham Y,(Ar) > © khi r > 0 nén chon E; = 0
Theo điều kiện (1.43) ta có:
Trang 24
R(q) = D,J,(24) =0 ¬J,lAg)=0 Gọi „? là các không điểm cia ham Bessel (n = 1, 2, 3, .), ta cd J(u) =0 Do đó ta có phương trình trị riêng: J,(A4)=J,(uJ°) (4)
Suy ra trị riêng là: „ = tr
Trang 27GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân © u(r,@.t) = ŠŠ „| k=0 n=l wi wl x sine + Wey bạn at+ | (1.49) q q
Các hệ sô M,„,w,„,v„„ được xác định bởi các hệ số 44,„, 8,„,C,„và D,„ kn? Dao động của màng tròn là tập hợp vô hạn các dao động có tần số: _ HỆ [TH q oO (k) Oy, = Hạ a Trong đó: 7¡ là lực căng ø là mật độ khối lượng bề mặt
Khi k=0, n=1 ta có âm cơ bản với tần số thấp nhất
Từ (1.49) ta có nhận xét: trong trường hợp dao động của màng tròn, sóng đứng
của các tần số khác nhau có các đường nút (tức là tập hợp các điểm đứng yên), đường
nút đơn giản được xác định bởi phương trình: u (k) J,| { q =0 (1.50) 1.50 sin(kp+y,,) =0 (1.5) Phương trình (1.50) xác Wo định ø-7 vòng tron bao # _ quanh tắm màng có bán kính Phương trình (1.51) xác định k đường kính của màng: — Vụ _7# _ Vụ (I+l)x_w„ KP KT KT Ra A= (= 0, 1, 2, .)
Sau đây ta xét trường hợp dao động của mang đối xứng tròn:
Xét dao động của màng hình tròn đối xứng tròn (chắng hạn như mặt trống), bán
Trang 28ot tna Seat LSE or’ ror r @p (1.52)
Điều kiện biên: «{R,t)=0, t>0 Điều kiện ban đầu: u(r,0) = f(r) ` ¬ gữ) Nghiệm riêng của bài toán có dạng: Wat (k) Aụ, “sa +B, snl Bn ) cos(kø} q q My (4) (4) * q + lẹ co Pn “ +Dz, snl Pn “la q q Vì màng là đối xứng tròn nên độ dịch chuyên u không phụ thuộc vào Ø : = z(r,?) Hu(r,@,t = + (1.53) Do đó trong (1.53) ta phải có: kọ =0 > k=0,Vø Vậy trong trường hợp đối xứng tròn, nghiệm riêng của bài toán có dạng: (0) (0) (0) u„(r,£)=| A, cos Hy at +B, sin Hy at Jy Hn, R R R Rung động của màng tròn ứng với „được gọi là thức chuẩn thứ n Nó có tần số là (0) ¬ (0) (0) Hn ‘Tan số âm cơ bản là øy = “” ante | 27R R R{ơø Dạng của thức chuẩn được quyết định bởi các đường nút
- Với n = 1: không có đường nút, rung động này mọi điểm cùng dịch chuyên lên
Trang 29GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân
phần trong đường nút dịch chuyên lên và phần ngoài dịch chuyển xuống hoặc ngược lạị
- Tổng quát hàm riêng có øñ-1 đường nút Vậy trong trường hợp đối xứng tròn, nghiệm tổng của phương trình (1.52) sẽ có dạng chồng chập các sóng đứng: (0) (0) (0) u(r,t) = 4 cof A +B, “tê lu Gs ; “ (o) Theo điều kiện ban đầu: z(z,0) = ` Aut n=l ; =f) , , - (0) Do đó Aa là hệ sô khai triên của chuỗi Fourler - Bessel của hàm /{z) theo uf R ; ul) R rl# n=1,2,3, 2 R nén taco: 4, == R?7ˆ[uI" J 701) 9 TỤ ` : E5 nha n0) Tương tự với điều kiện ban đầu: ø;(z,0)= >_ B, ol pT =e) n=l S A = 2 fr (r)J, we dr
wee Ras? (ul') 3 CR
1.4.2 Truyền nhiệt trong thanh hình trụ dài vơ hạn
Xét bài tốn truyền nhiệt trong một thanh hình trụ dài vô hạn co ban kính rọ (0<z<z,0<@<2z) nếu nhiệt độ ban đầu có dạng uÌ_„= ƒữ,@) va bề mặt hình trụ
luôn duy trì nhiệt độ bằng 0
Phương trình truyền nhiệt có dạng: ø; — z”Aw =0 (1.54)
Trong toạ độ cực: A=l2[(,2),1 €
Trang 30Ngoài ra bài toán còn có hai điều kiện đòi hỏi: u(r,@,f) <œ u(r, + 2z,t) = u(r,ø,!) Ta giải phương trình (1.54) bằng phương pháp tách biến Fourirer bằng cách đặt ulr,g,t) = R(r)6()T(] Thay vào phương trình (1.54) ta được: ee eens Tự] _ Rr) 4 oe) a’T(t) r R(r) r 6(ø) Ta có hai phương trình vi phân sau: T')+Ảả7(:)=0 (1.56) A") af go, UR) 0lø) ụ r Rl) “ x, 9 (0) _ — 2 Dat Ae) =-k (1.58) Nghiệm tổng quát của phương trình trên là: 6(ø) =A cos(kọ) +B sin(kø) Do tính chất tuần hoàn 0(œ + 2z) = 0(œ) nên k phải là một số nguyên dương hoặc bằng 0 Tức là k = 0, 1, 2
Thay (1.58) vào (1.57) ta được:
ries Rt A[rR ‘(r) hae _
r Rr)
-© rˆR"(r )+rR{z (r)+ (427? - ke )r(r
Day la ham Bessel tham số A hang k
Nghiệm tổng quát của né 1a: R(r) = CJ, (Ar) + CY, (Ar)
Vi Y,(Ar) > © khi r > 0 nén ta chon C;=/, C)=0 = R(r)= J, (ar)
Goi uw") 1a cdc khong điểm của hàm Bessel tham số 2 hạng k Dựa vào điều kiện ban đầu ta có phương trình trị riêng:
Trang 31
GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân Ry (ry) = J, (ry) = Jy(ul!) = 0 (k) Ken =f % Ung voi mdi gia tri A,, ta có một ham riéng: R,,(r) = [at 4 2 u a ° Nghiệm tổng quát của (1.56) có đạng: 7,„(¿) = exp (=) t %
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.55) có dang: u(r,@,) “Sea 4 cos(kø) + B,, slo “ji Tọ Ta tìm các hệ sô An, Bụy dựa vào điêu kiện ban dau: 4 = Š Š 0| #Ể z]4„eelie)< 8, snløl k=0 n=l uÌ_„ = /(r,0) (1.59)
Nhân hai về (1.59) với cos(/p) rồi lấy tich phan theog từ 0 —› 2z :
II [oa “lA, cos(kp) + B,, sin(kg)} cos(/ø)d@ = fn r,p)cos(Ip)dp 0£ Nt 0 Dựa vảo tính trực giao của ham cos 0(k #7) feo kp Jeos(Zo)dg = = 2n(k =1=0) m(k =140) Suy ra TH 2z = | /Wr,ø)cos|lø)dø =F(r) Voi e, = pt =0) ăk #0)
Trong biểu thức trên ta thấy (A,,¢,) 1a hé sd
Khai triển của chuỗi Fourier - Bessel theo hàm F(r) đo đó:
Trang 33
GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân CHƯƠNG IỊ HÀM LEGENDRE 2.1 Da thức Legendre 2.1.1 Thiết lập phương trình Legendre Xét phương trình Laplaxo: Au =0 Ou Ou Oru —†?+—.+—=0 ox? aỷ az? x=rsinOcos@ Trong toạ độ cầu ta có: 4 y = rsin Øsinø z=rcos0
Phương trình Laplaxo trong toạ độ cầu có dạng:
ah * ao 2h90 | sang sọc =0 or or) sin 00 90} sin’ 0 dg" (2.1) Ta dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của (2.1)
Một nghiệm bắt kỳ của phương trình này =zÍ(z,0,p) phải là một hàm tuần hoàn ø có chu kỳ 2z u=u(r,0,9 + 22) = u(r,6,@) Phân tích nghiệm thành chuỗi Fourier ta có: u= 28(59)+ S|a,[n)so[np]+ B,(r,0)sin(ng)] Thay vao phuong trinh (2.1) ta duge: œ 2
He „228, + 1 c sin 0 280 +, ofp 2m, + 1 & sin 9% — ” _q@ | \cos(ng)
2| or or sinØ 9Ø 00 | Ôr or sin@ 00 99 sinˆ0 2fặaB,) 1 ô@( Ø6) m + ye (+ ar } sin0 60 [si 2] sin? 0 p, |inine —|rˆ—"l+ — 0—=—|- n=l =0 Từ đó ta thấy các hệ số œ„ 8, cũng thoả phương trình: hạ " (2.2)
or or) sind 00 909} sin @
Với V =V(r,0) (khi n= 0 ta có phuong trinh déi voia,) Tìm nghiệm phương trình (2.2) bằng phương pháp tách biến:
Trang 34
V = R(r)O() (2.3)
Khi đó phương trình (2.2) sẽ có dạng:
of [Pea f {sino te " RO=0
dr dr) sin0 d0 do) sin?@
Chia hai về cho RQ ta được: 1 “( ,dR) 1 1 d ( ,dO n> ——|r—|*+———_—_|sin0<|-———= Rđr dr} Qsin@ d@ d0} sinˆ0 ch 1 1 “(si 22) n <=——|r—|=———_ l|sin0—= |+ Rdr dr} Qsin@ dé d0} sin?0 Vì về trái chỉ phụ thuộc r, con về phải chỉ phụ thuộc Ø nên dẫn đến hai phương trình: Tan H =A Rar dr (2.4) 2 dil d/iigdQ\ y Q sind do d0} sin?0 (2.5) Trong đó 2 là hằng số
Bây giờ ta đưa vào biến số độc lập với x=cosØ Vì 0<Ø<z nên
~1<x<I;y =0(6) nên y là một hàm nào đó của x Ta viết lại (2.5) dưới dang: cos6 đÓ đ?Q + +|Â- n =0 2.6 sin0 0 d@? sin’ 6 e 26) Mà ta có: 2Ó - 2 - Ø đ na d0 d0 dvd0 dx »\d°y dy n => (l-x° )—+-2x— +] A- „=0 2.7 ( Ve T% 1-x? 7 27) Khi ø = 0 thì phương trình có dạng: »\d°y dy 1-x° -2x=+Ay =0 2.8 (Lx?) 20 + ay (2.8)
Đây được gọi là phương trình Legendrẹ 2.1.2 Nghiệm của phương trình Legendre
Ta tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi luỹ thừa
y= Da" (2.9)
Trang 35
GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân Ta có: 2x = 2x5_kŒ,x"" k=l = 2° kC, x" k=l = 2C,x+ 20 kC, x" k=2 = 2C, + 6C,x+ Yelk =1)C,x*? - Pk -1C,x* k=2 k=2 (1-x?) ae =2C, + 6Cyx + [(k+ 2Y(k +1 Cỵ — Mk HNC, Jo! [Xx k=2 Ây= ad cx! =AC, + AC x+ ad cy! k=0 k=2
Thay các biểu thức trên vào phương trình (2.8) ta được:
2C; +6Œ;x+ Š( +2\(k+1)C,.; — k(k+1)C,|x* -[sez + 25 kC yx! +AC, FAC X + ax C,x" k=2 k=2 k=2 =0 =2, +ÂŒ +[6C; +(Ä—2)C,Ìx+ Yl +2)(+1)C,.; —[#{k+1)— Ä|C,}x' =0 k=2 Từ đó ta tìm được các phương trình cho hệ số: +4 =9 6C; +(A—2)C, =0 (2.10) |¿+2zI++òc, ~|#(&+1)— AC, =0(k >2) Do đó €, =—ChẠ;c, =6=Ãc - 23= 2 12 43 Kk+1)-A Se Te 2K) 2.11 => Char (k+2)(k +1) k ( ) Đẳng thức này chứng tỏ rằng nếu  = m(z+1) trong đó m là số nguyên dương thì C„.; =0 m+2
Từ hệ thức (2.11) ta suy ra C,,,, =C m+6 — * =0 Vậy với m chin thì các hệ số với chi s6 chin bat dau tir C,,,, déu bằng 0 Còn nếu m là số lẻ thì các hệ số với chỉ số m+2
Trang 36
bat dau tir C,,,, déu bang 0 Do dé néu m chin ta đặt C;=0 thì từ (2.11) các hệ số với chỉ số lẻ đều bằng 0 Vậy nghiệm (2.9) của phương trình (2.8) có dạng:
y=Œ,+CŒ,x”+C,x!+ +C„x”
m(m +1)
Trong đó Cọ là tuỳ ý, C; =— C,, còn các hệ số sau tính theo công thức (2.10) Trong trường hợp m lẻ ta đặt Cạ=0, từ đắng thức (2.10) ta suy ra C;=0 Khi đó từ (2.11) các hệ số có chỉ số chẵn đều bằng 0 và nghiệm (2.9) trở thành: y=CŒx+Cx?+C¿x!+ +C„ ¡x” m(m +1) Trong do C, la tuy y, C, =- 6 2 C,, còn các hệ số sau tính theo công thức (2.11)
Vậy khi  = m(mm +1) phương trinh Legendre (2.8) có nghiệm là đa thức bậc m
(m =0,1,2, ) Các đa thức này hoặc chỉ chứa các số hạng bậc chẵn nếu m chẵn hoặc
chỉ chứa số hạng bậc lẻ nếu m lẻ Ta sẽ chọn các hệ số Cạ hoặc C; sao cho các đa thức ấy có giá trị bằng 1 khi x=l Các đa thức được xác định như vậy gọi là đa thức
Legendre, ký hiệu P„(x) Thành thử đa thức Legendre P„(x) là một đa thức bậc m thoả
mãn phương trình (2.8) với = m(m +1) va tién dén 1 khi x=1 Nghia la P,,(x) = 1
Trang 37GVHD: Th.S Tran Minh Quý SVTH: Đỗ Minh Xuân
Theo công thức này ta có vài đa thức đầu tiên: RÍx)=1 P(x)=x 1 P,(x) = 2 (3x? = 1) P(x)= 2x -3#) P,(x) = 5x" ~30x? +3]
Ta biết rằng phương trình (2.8) không có nghiệm hữu hạn trên đoạn|—1J] nếu
ÂA#m(m+1) Còn nếu Ä=z(m+1) thì những nghiệm hữu hạn trên đoạn|-l1| là CP,(x), trong đó C là hằng số Từ đó ta vẽ được đồ thị của P„,P,,P,,P,, P,,P, là: / z =n.5|- —— H Đa) - P0) Pox} -1
2.1.3 Đa thức Legendre liên đới