Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lí (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƯƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI - 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƯƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: TS.Nguyễn Huy Thảo HÀ NỘI – 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS.Nguỹen Huy Thảo, thầy định hướng cho tơi có tư khoa học đắn, tận tình bảo tạo nhiều thuận lợi cho tơi suốt q trình xây dựng hồn thiện đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật lý trường ĐHSPHN2 giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian hồn thành khố luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Cấn Thị Lan Hương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng: Khoa luận đề tài “Chuỗi Fourier ứng dụng Vật lý” hướng dẫn TS.Nguyễn Huy Thảo có nội dung kết nghiên cứu hoàn toàn trung thực Mọi giúp đỡ việc thực khoá luận cảm ơn, tài liệu tham khảo sử dụng ghi rõ khoá luận Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Cấn Thị Lan Hương MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNGI: LÝ THUYẾT CHUỖI 1.1: Một số nội dung chuỗi 1.1.1: Các định nghĩa 1.1.2: Tính chất 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ 10 1.1.4: Chuỗi số dương 10 1.2: Chuỗi lượng giác 12 1.2.1: Định nghĩa 12 1.2.2: Định lý 13 1.3: Chuỗi Fourier 14 1.3.1: Định nghĩa 14 1.3.2: Định lý 15 1.3.3: Tính chất hệ số Fourier 16 1.3.4: Tính hội tụ Fourier 17 1.3.5: Dạng phức chuỗi Fourier 17 1.3.7: Khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier 19 CHUỖI II: ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 2.1: Ứng dụng Vật lý 28 2.1.1: Phương trình truyền nhiệt 28 2.1.2: Phương trình dao động dây 36 2.2: Ứng dụng huỗi Fourier số lĩnh vực khác 48 2.2.1: Tích chập biến đổi Fourier 48 2.2.2: Tuyến tnh, tính bất biến 54 2.2.3: Xác định xung phản hồi hàm chuyển hệ thống 58 2.2.4: Ứng dụng tch chập- xử lý tn hiệu lọc 63 2.2.5: Ứng dụng tch chập- điều chỉnh biên độ ghép tần số 66 2.2.6: Ứng dụng chuỗi Fourier âm nhạc 69 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm đầu kỷ thứ 19, nhà toán học người Pháp Joseph Fourier nghiên cứu dẫn nhiệt kết hợp với việc nghiên cứu chuỗi lượng giác theo cơng trình trước Euler, d’Alambert Bernoulli; ông phát điều đáng ý chuỗi lượng giác đưa chuỗi đặc biệt mà mang tên ông gọi chuỗi Fourier Chuỗi Fourier đời tạo tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo bước tiến cho lý thuyết khoa học ứng dụng thực tế Ngày nay, nghiên cứu chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng ngành khoa học số học, xử lý tín hiệu, xác suất, hình học… đặc biệt vật lý với toán dao động truyền nhiệt Việc ứng dụng chuỗi Fourier giúp giải nhiều vấn đề mà trước ta chưa làm giúp ngành khoa học phát triển Với mục đích tìm hiểu ứng dụng chuỗi Fourier để làm quen với nghiên cứu khoa học, chọn đề tài “chuỗi Fourier ứng dụng" để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Trình bày số ứng dụng chuỗi Fourier Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trường sư phạm Hà Nội II Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier, tính hội tụ, tính chất hệ số Fourier Hệ thống hóa số kiến thức chuỗi Fourier Nghiên cứu sâu chuỗi fourier Tìm hiểu nghiên cứu ứng dụng chuỗi Fourier Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier ứng dụng bật chuỗi Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là: -Sưu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức -Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực kế hoạch hồn thành khóa luận Đóng góp đề tài Khóa luận trình bày hệ thống kiến thức sở đến mở rộng chuỗi Fourier Cung cấp làm sáng tỏ ứng dụng chuỗi Fourier Cấu trúc Chương I: Trình bày số kiến thức chuỗi kiến thức quan trọng cần thiết chuỗi Fourier Chương II: Trình bày ứng dụng chuỗi Fourier giải toán vật lý vài ứng dụng lĩnh vực khác NOI DUNG CHƯỞNG I: LÝ THUÝET CHUOI 1.1: Một số nội dung chuỗi 1.1.1: Các định nghĩa  Định nghĩa 1: Cho dãy số Biểu thức: (1.1) gọi chuỗi số kí hiệu ∑ hạng chuỗi số .Các số số  Định nghĩa 2: ∑ Ta gọi (1.1) Nếu tổng riêng thứ ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S viết Trường hợp ngược lại, không tồn (1.1) gọi chuỗi phân kì chuỗi số ∑ chuỗi số  Định nghĩa 3: Ta gọi Nếu phần dư thứ chuỗi số Nếu chuỗi số hội tụ khơng dần tới giới hạn hữu hạn , chuỗi số phân kì 1.1.2: Tính chất  Tính chất 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ có tổng S chuỗi số ∑ số hội tụ có tổng  Tính chất 2: ∑ Nếu chuỗi số ∑ hội tụ có tổng tương ứng I, J chuỗi số ∑ tụ có tổng I+J  Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì chuỗi số khơng thay đổi ta bớt số hữu hạn số hạng 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ  Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi số ∑ hội tụ số | dương N cho: cho trước, tìm số ngun |  Tính chất: Điều kiện cần để chuỗi ∑ hội tụ 1.1.4: Chuỗi số dương  Định nghĩa 1: Chuỗi số ∑ có số hạng với gọi chuỗi số dương Các dấu hiệu hội tụ  Định nghĩa 2: Chuỗi số dương ∑ hội tụ dãy tổng riêng chuỗi bị chặn  Định lý 1: (Dấu hiệu so sánh 1) Cho hai chuỗi số dương ∑ ∑ chuỗi số ∑ hội tụ chuỗi số ∑ chuỗi số ∑ phân kì Giả sử , hội tụ, chuỗi số ∑ Khi phân kì  Định lý 2: (Dấu hệu so sánh 2) Cho hai chuỗi số dương ∑ ∑ Nếu tồn giới hạn hữu hạn hai chuỗi số đồng thời hội tụ hay phân kì 10 | | / | | Và hệ thống trở thành phần tần số thấp đầu vào tương đối không bị ảnh hưởng, suy giảm nghiêm trọng tần số lớn Trong thực tế, ( ) sau ( ) Nói cách khác, hệ thống làm giảm tần số cao cần thiết để sản xuất tín hiệu khơng liên tục, đưa tín hiệu vào khơng liên tục, đầu trở thành liên tục, với đạo hàm khơng liên tục Vì thế, ta chờ đợi hệ thống biến đổi tn hiệu đầu vào Một biểu diễn đầu hệ thống tương ứng (hình 9) Hình 9: Ví dụ đầu đầu vào mạch RC 2.2.4: Ứng dụng tch chập- xử lý tín hiệu lọc Như ta thấy, tầm quan trọng biến đổi Fourier, tch chập, hàm chuyển ,vv… công cụ để phân tch hệ thống vật lý Một ứng dụng quan trọng mà chúng sử dụng gọi xử lý tn hiệu Trong xử lý tn hiệu ta bắt đầu giả định số tn hiệu mang thông tn ban đầu truyền vào môi trường vật lý (ví dụ ăngten truyền tín hiệu vơ tuyến vào bầu khơng khí đầu dò phát tín hiệu sóng siêu âm vào nước) Môi trường thường gọi kênh, sau qua môi trường tn hiệu nhận lại vị trí (vị trí thường nơi khác với nơi truyền tải) Tuy nhiên, hiệu ứng vật lý gặp phải qua kênh, có mặt nhiều tn hiệu kênh thời điểm, tín hiệu nhận nói chung số bị méo bị ảnh hưởng khác tn hiệu truyền ban đầu Ta biểu diễn trình theo sơ đồ sau C[⬚] Tín hiệu truyền kênh tín hiệu nhận Bộ xử lý tn hiệu sau thiết kế số mạch,vv…, mà vượt qua thơng qua mạch đó,sẽ hồn thiện hiệu ứng đưa kênh, kết đầu tương đối gần với tn hiệu ban đầu S[⬚] Tín hiệu nhận xử lý đầu Mơ hình đơn giản giả thuyết xảy kênh tuyến tnh bất biến, kênh có hàm chuyển riêng biểu , biến đổi tn hiệu thu Nhưng theo lý thuyết, điều đúng, tất ta cần làm thiết kế hệ thống xử lý để hàm chuyển hệ thống nghịch đảo kênh Nhưng ta thường đạt điều thực tế Trong nhiều trường hợp ta chí khơng thể xác định hoàn toàn tất hiệu ứng kênh- làm cho khó để loại bỏ chúng Tuy nhiên, ta đảo ngược ảnh hưởng hiệu ứng hỏng hóc kênh phục hồi phiên có hiệu hồn tồn sử dụng tn hiệu truyền Loại xử lý tín hiệu lọc Như tên nó, lọc cho phép số tn hiệu qua ngăn cản tn hiệu lại Bộ lọc đơn giản thiết kế cho phép số tần số định qua chặn (hoặc làm suy giảm) tần số lại Bộ lọc gồm ba loại chung:  Bộ lọc tần số thấp: cho phép tần số thấp qua chặn tần số cao  Bộ lọc tần số cao: cho phép tần số cao qua chặn tn hiệu tần số thấp  Bộ lọc băng thông: chặn tn hiệu tần số cao tn hiệu tần số thấp cho tn hiệu phạm vi trung bình qua -� � � -� � � -� � -� � � Hình 10: Hàm chuyển vủa lọc lý tưởng Hình 10 biểu thị hàm chuyển cho trường hợp lý tưởng loại, ta gọi trường hợp lý tưởng khơng số chúng đạt thực tế Ví dụ, hàm chuyển lọc tần số thấp lý tưởng { Điều có nghĩa xung phản hồi cho lọc Hệ thống RC hình dễ dàng xây dựng, chi phí thấp theo hình cho tần số thấp qua chặn tần số cao, miễn ta chọn R C phù hợp Bộ lọc tần số cao lọc băng thơng thực cách đơn giản kết hợp điện trở, tụ điện cuộn cảm có giá trị thích hợp đo giá trị điện áp đầu thiết bị thích hợp Hàm chuyển tất biểu diễn hình 12 Các lọc tương tự sử dụng phổ biến hầu hết thiết bị gia đình Hình 11: Bộ lọc thực với xung phản hồi hàm chuyển 2.2.5: Ứng dụng tích chập- điều chỉnh biên độ ghép tần số Như ta nói đến, đặc tính đáng ý biến đổi Fourier gần biến đổi biến đổi nghịch đảo có ý nghĩa thuộc tnh miền thời gian có hình ảnh phản chiếu gần miền tần số Một ví dụ điều mà ta đề cập trước ngược với định lý tch chập, điều ta nói lại [ ] Ta xem xét ứng dụng phổ biến kết Các chương trình phát sóng radio ban đầu sử dụng phương pháp điều chỉnh biên độ (các đài phát đầu tên bị hạn chế sử dụng dải tần số nhỏ phạm vi tần số thấp, điều chỉnh sử dụng cho tất trạm, tần số gọi tần số AM) Trong điều chỉnh biên độ, tn hiệu thông tn thực tế, ví dụ: chương trình trò chuyện âm nhạc, tạo tn hiệu gốc mà ta biểu diễn Ta thường đề cập tới dải tần số mà có chứa tần số gốc, thực biến đổi Fourier băng thông tn hiệu, ta biểu thị B.( AM radio, băng thông thường giới hạn tần số thấp phạm vi tương đối hẹp( tần số thấp 5KHz) Điều chỉnh biên độ bao gồm việc nhân lên điện tử tín hiệu gốc tần số lớn hình sin- gọi tn hiệu vận chuyển, ta biểu thị để tạo tín hiệu phát sóng, ta biểu thị hình 12) Trong miền thời gian, kết tn hiệu phát sóng nhìn thấy dao động nhanh giới hạn xác định tn hiệu gốc thay đổi từ từ Thuật ngữ điều chỉnh biên độ phù hợp để mơ tả q trình tần số tn hiệu vận chuyển sửa đổi theo tần số tn hiệu gốc Hình 12: Điều chỉnh biên độ- miển thời gian Trong biến đổi [ ] [ ][ ∫ ] ] [ ∫ [ ] ∫ Sự chuyển đổi tnh chất hai hàm delta đơn giản hoá hai tch phân cuối thấy biến đổi tn hiệu phát sóng đơn giản Hình 13: Điều chỉnh biên độ- miền tần số Hình 13 giúp giải thích biến đổi khác điều chỉnh biên độ Do tnh đối xứng , cần truyền tn hiệu bên Ta cần lọc dải qua trước truyền đi, hình 14, phần lọc chọn dải bên (chú ý hình 14 ta vẽ tần số dương tnh tương đối phổ tần số âm hình ảnh phản chiếu) Phương pháp truyền thường gọi điều chỉnh dải đơn Điều chỉnh dải đơn ý điều chỉnh truyền tải thông tn tương tự tn hiệu dải đôi nửa phổ tn hiệu Tuy nhiên, thực tế, chi phí mạch bổ xung liên quan đến điều chỉnh dải đơn thường xuyên dẫn đến chi phí cao khơng thể dùng thay hồn tồn cho điều chỉnh dải đơi, chí dù điều chỉnh sử dụng tần số có sẵn hiệu Điều chỉnh biên độ có tnh quan trọng bổ sung Hình 14: Điều chỉnh tín hiệu đơn- miền thời gian Cụ thể, giả sử có hai tín hiệu mang thơng tn khác nhau, có băng thông B, biểu thị tương ứng , ta muốn truyền chúng đồng thời Ta điều chỉnh biên độ hai tn hiệu, tần số tín hiệu vận chuyển khác ( kí hiệu tương ứng ), để tạo tín hiệu đầu điều chỉnh Sau ta thêm tn hiệu điều chỉnh để tạo tn hiệu đầu Nếu ta giả thiết để chọn cho nhỏ , thời gian miền tần số đặc trưng trình phải thể hình 15 Hai tn hiệu đầu hồn tồn khác biệt, khơng chồng chéo khu vực phổ tần số Vì thế, ta muốn phục hồi tn hiệu, ta cần lọc băng thông nhận tn hiệu để loại bỏ phần khơng mong muốn hình 16, phương pháp gọi tần số phân chia phận- sử dụng phát sóng Có nhiều kênh truyền thơng, người nghe chọn kênh mà họ muốn nghe cách đơn giản sử dụng thu máy thu họ Hình 16: Ghép kênh tần số Hình 15: Ghép kênh tần số Hình 16: Phục hồi tín hiệu ghép kênh tần số 2.2.6: Ứng dụng chuỗi Fourier âm nhạc Chuỗi Fourier sử dụng việc phân tch tổng hợp âm âm nhạc Chúng ta nghe âm màng nhĩ rung động thay đổi áp suất khơng khí Nếu dây đàn guitar gảy dây cung kéo qua dây đàn violon chuỗi phím đàn piano đánh, dây đàn rung động Sự rung động khuếch đại truyền vào khơng khí Kết áp suất khơng khí thay đổi truyền đến màng nhĩ chuyển đổi thành xung điện sau xử lý não Làm phân biệt âm hai loại nhạc cụ khác nhau? Đồ thị sau cho thấy dao động Cho sáo violon chơi cung D (294 rung động/ giây) hàm thời gian Các biểu đồ dạng sóng ta thấy rung động áp suất khí hai trường hợp khác Cụ thể violon có dạng sóng phức tạp sáo Hình 18: Dạng sóng: Sáo violon Ta hiểu sâu khác hai dạng sóng thể chúng dạng tổng chuỗi Fourier ( ) ( ) ( ) ( ) Viết tức ta thể âm tổng âm đơn giản Sự khác biệt âm hai nhạc cụ giá trị tương đối hệ số Fourier dạng sóng tương ứng Hệ số chuỗi Fourier ( gọi hoạ âm thứ ) ( ) Biên độ hoạ âm thứ n √ bình phương đơi gọi âm lượng hoạ âm thứ (chú ý, với chuỗi Fourier chứa hàm sin biên độ Đồ thị dãy { } gọi phổ âm lượng giai điệu | | lượng cho biết độ lớn Hình 18: Phổ âm lượng Hình 18 cho thấy phổ âm lượng cho dạng sóng sáo violon Ta thấy rằng, sáo có xu hướng giảm nhanh n tăng violon, giai điệu cao lại mạnh Điều chứng minh cho dạng sóng tương đối đơn giản sáo thực tế âm sáo nghe so với âm violon Ngồi phân tích âm nhạc cụ truyền thống, chuỗi Fourier giúp tổng hợp âm thanh, nghĩa kết hợp nhiều âm đơn giản thành âm phức tạp thông qua việc tăng hoạ âm gán hệ số Fourier lớn KET LUẦN Khoá luận”Chuỗi Fourier ứng dụng vật lý” hoàn thành mục têu đề Khoá luận khái quát nội dung chuỗi, chuỗi lượng giác chuỗi Fourier Khoá luận trình bày chi tiết chuỗi Fourier ứng dụng chuỗi Fourier giải số toán vật lý Khoá luận giới thiệu số ứng dụng chuỗi Fourier lĩnh vực khác điển hình xử lí tn hiệu lĩnh vực truyền thông lĩnh vực âm nhạc Tuy nhiên, điều kiện, thời gian kinh nghiệm nhiều hạn chế nên khố luận khơng thiếu thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để khố luận tơi hồn thiện Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Dương Minh Hiển Tố (2007) Luận văn thạc sĩ “Chuỗi Fourier hai tốn vật lý” Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2012), Toán cao cấp tập II, NXB Giáo Dục Việt Nam Tiếng Anh Athur L.Schoenstadt (2005),” An Introduction To Fourier Analysis” ... rộng chuỗi Fourier Cung cấp làm sáng tỏ ứng dụng chuỗi Fourier Cấu trúc Chương I: Trình bày số kiến thức chuỗi kiến thức quan trọng cần thiết chuỗi Fourier Chương II: Trình bày ứng dụng chuỗi Fourier. .. gọi chuỗi Fourier Chuỗi Fourier đời tạo tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo bước tiến cho lý thuyết khoa học ứng dụng thực tế Ngày nay, nghiên cứu chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng. ..TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ CẤN THỊ LAN HƯƠNG CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng