Chuỗi fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số

26 2 CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 32 2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao.. 35 2.4 Ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một số chuỗi số...

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI – 2018

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI – 2018

Lời cảm ơn 2

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Chuỗi số 7

1.1.1 Một số khái niệm và ví dụ về chuỗi số và sự hội tụ của chuỗi số 7

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ 9

1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ 10

1.1.4 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương 11

1.1.5 Dấu hiệu so sánh 11

1.1.6 Dấu hiệu Cauchy 14

1.1.7 Dấu hiệu D’Alembert 14

1.1.8 Dấu hiệu tích phân 15

1.1.9 Chuỗi đan dấu 16

1.1.10 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ 17

1.1.11 Các tính chất của chuỗi hội tụ 18

1.2 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm 20

1.2.1 Khái niệm cơ bản 20

1.2.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm 20

1.2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số 21

1

1.2.4 Tính chất của tổng của chuỗi hàm hội tụ đều 25

1.2.5 Chuỗi lũy thừa 26

2 CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI SỐ 32 2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao 32

2.2 Chuỗi lượng giác 33

2.3 Chuỗi Fourier 34

2.3.1 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 35

2.3.2 Khai triển chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 35

2.4 Ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một số chuỗi số 37

Tài liệu tham khảo 42

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thànhluận văn này Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy côKhoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốtquá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Trong quá trình thực hiện, em đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp để bảnkhóa luận được hoàn thiện như hiện tại

Hà Nội, ngày 17 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Diệu

3

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp ngành Toán giải tích với đề tài "Chuỗi Fourier và ứngdụng trong việc tính tổng của một số chuỗi số" được hoàn thànhbởi nhận thức của bản thân.

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, em đã thừa kế nhữngkết quả và thành tựu của các nhà khoa học với sự chân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 17 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Vũ Thị Ngọc Diệu

4

1 Lí do chọn đề tài Chuỗi lượng giác được khảo cứu từ kết quả một

số nghiên cứu về vật lý đồng thời bởi các nhà toán học Gauss, Abel vàCauchy Các chuỗi khai triển theo các hàm sin và cosin cũng đã được xemxét bởi hai anh em nhà toán học Bernoulli từ những năm 1701 – 1702, vàthậm chí sớm hơn bởi Viète Ngoài ra, Euler, Larrange và một số nhà toánhọc khác cũng tham gia vào hướng nghiên cứu này

Năm 1807, Fourier đưa ra phương pháp biểu diễn hàm số liên tục quachuỗi lượng giác và sử dụng vào việc giải phương trình truyền nhiệt trongvật thể chất rắn Năm 1822, ông cho công bố công trình “Lý thuyết giảitích của nhiệt” và mở ra một thời kỳ mới về ứng dụng toán học trong cáckhoa học khác

Trên thực tế, Euler là người đã đưa ra công thức tính các hệ số trong khaitriển, còn Fourier thì phát biểu và có một số cố gắng trong chứng minhđịnh lý tổng quát Tuy nhiên, Fourier đã không đặt ra vấn đề hội tụ chochuỗi của mình, mà chính Cauchy đã nhìn ra vấn đề này và có đưa ra một

số kết quả Thêm nữa, Poisson cũng đã xem xét vấn đề này nhưng từ mộtkhía cạnh khác Kết quả của Poisson về sự hội tụ của chuỗi Fourier đượcCauchy chỉ ra là thiếu chặt chẽ Tuy nhiên, chính công trình của Cauchy

về vấn đề này cũng được Dirichlet chỉ ra là sai Vấn đề chỉ được giải quyếtmột cách cơ bản bằng công trình của Dirichlet, đăng trên tạp chí Crellevào năm 1829 Với công trình này, nhiều người xem ông là người sáng lập

ra Lý thuyết chuỗi Fourier Công trình nêu trên của Dirichlet sau đó đượcchỉnh sửa và hoàn thiện thêm bởi Riemann vào năm 1854

5

Đến nay, lý thuyết chuỗi số và chuỗi hàm và sự hội tụ của chúng đã đượccoi như hoàn chỉnh Tuy nhiên, nhiều chuỗi số dễ nhận biết được sự hội tụcủa chúng, nhưng việc tính tổng của các chuỗi đó là không hề đơn giản.

Để hoàn thành khóa luân tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích,

em chọn đề tài "Chuỗi Fourier và ứng dụng trong việc tính tổngcủa một số chuỗi số."

2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất vàứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một số chuỗi số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về chuỗi Fourier

- Nghiên cứu về ứng dụng của chuỗi Fourier trong việc tính tổng của một

số chuỗi số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Chuỗi Fourier và ứng dụng

- Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm và tính tổng của một số chuỗi số hội tụ

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận và tài liệu tham khảo

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

6 Cấu trúc Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luậntốt nghiệp gồm hai chương

- Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2 Chuỗi Fourier và ứng dụng trong việc tính tổng của một sốchuỗi số

được gọi là một chuỗi số Trong chuỗi số trên người ta gọi

+ Phần tử an được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số

+ Tổng hữa hạn được xác định và kí hiệu dưới dạng

(ii) Trường hợp q = 1 Ở đây, ta thấy rằng

lim

n→∞sn = lim

n→∞n = +∞

Như vậy, chuỗi phân kỳ

(iii) Trường hợp q = −1 Dãy tổng riêng có hai dãy con được xác địnhnhư sau

sn =

(

0 khi n = 2k

1 khi n = 2k + 1 .

Bởi vì hai dãy con có các giới hạn khác nhau, nên dãy tổng riêng {sn}

không có giới hạn Do đó, với |q| = 1 thì chuỗi đã cho cũng phân kỳ Quaviệc xét như vậy, ta có kết luận cuối cùng là chuỗi trên chỉ hội tụ trongtrường hợp |q| < 1

Ta có

sn = 1

1.2 +

12.3 +

13.4 + +

1n(n + 1)

=



1 − 12

n→∞sn = 1 Vậy chuỗi đã cho là hội tụ và có tổng bằng 1

1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ

Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khivới mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và vớimọi số nguyên dương p ta có

|an+1+ an+2 + + an+p| < ε (1.3)Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn} hội tụ.Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, với mọi ε > 0 tồn tại sốnguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N và mọi số nguyên dương p ta có

Thật vậy, theo (1.3) thì với mọi n ≥ N chọn p = 0 ta nhận được ngay

n2n + 1 =

1

2.b) Ta xét chuỗi

> 12n +

12n + +

12n

= n2n =

Hệ quả 2 Chuỗi (1.1) và chuỗi nhận được từ chuỗi này bằng cách thêmvào hay bỏ bớt đi một số hữu hạn các số hạng cùng hội tụ hoặc cùng phânkì

1.1.3 Tính chất về các phép toán của chuỗi hội tụ

Vậy có điều cần chứng minh.

1.1.4 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương

Khi đó, theo giả thiết ta có sn ≤ Ctn; với mọi n ≥ 1.

Như vậy, nếu dãy {tn bị chặn thì dãy {sn} cũng bị chặn vả nếu dãy {sn}

không bị chặn thì dãy {tn} cũng không bị chặn

Từ đó suy ra kết luận của định lý

Định lý 1.1.5 (Dấu hiệu so sánh thứ hai) Giả sử lim

bn = k và 0 ≤ k < +∞nên tồn tại số nguyên

dương n0 để với mọi n ≥ n0 ta có

(ii) Trường hợp 0 < k ≤ +∞ và chuỗi

1(n − 1)n

nên theo định lý 1.1.5, chuỗi

1.1.6 Dấu hiệu Cauchy

Định lý 1.1.6 (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương

(i) Nếu c < 1 thì chuỗi đã cho là hội tụ

(ii) Nếu c > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ

Chứng minh (i)Nếu c < 1 thì tồn tại số pđể c < p < 1 Vì lim

n

√

an > 1 ⇔ an > 1; với mọi n ≥ n0

Như vậy, chuỗi phân kỳ theo hệ quả 1 của định lý 1.1.1

1.1.7 Dấu hiệu D’Alembert

Định lý 1.1.7 ( Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuỗi dương

(ii) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho là phân kỳ

Chứng minh Nếu d < 1 thì tồn tại p để d < p < 1 Vì lim

n→∞

an+1

an

= d nêntồn tại số nguyên dương n0 để mọi n ≥ n0 và

an+1

an < p ⇔ an+1 < pan.

Vậy không có lim

n→∞an = 0 nên chuỗi phân kỳ

1.1.8 Dấu hiệu tích phân

Định lý 1.1.8 (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

∞

P

n=1

an

Giả sử f (x) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1; +∞) sao cho

f (n) = an; với mọi n = 1, 2, Khi đó, ta có các khẳng định sau

(i) Nếu tồn tại lim

cùng dấu được gọi là chuỗi đan dấu.

Định lý 1.1.9 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an} là đơn điệu giảm vàgiới hạn của dãy lim

Chứng minh Gọi {sn} là dãy tổng riêng của chuỗi Bởi vì

Vậy chuỗi Leibniz là hội tụ

1.1.10 Chuỗi hội tụ tuyệt đối và chuỗi bán hội tụ

chuỗi được gọi là bán hội tụ.

Mối quan hệ giữa tính chất hội tụ tuyệt đối và hội tụ của chuỗi được khẳngđịnh như sau

Định lý 1.1.10 Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ

Chứng minh Trước hết, ta có đánh giá

n hội tụ theo dấu hiệu Leibniz Tuy nhiên,

ta đã biết chuỗi trị tuyệt đối của nó

n2 hội tụ tuyệt đối

1.1.11 Các tính chất của chuỗi hội tụ

Chứng minh Gọi tk là tổng riêng thứ k của chuỗi (∗) và sn là tổng riêngthứ n của chuỗi

Vậy ta có điều phải chứng minh

Tính chất 1.1.2 (Tính chất giao hoán) Nếu chuỗi số

∞

P

n=1

an hội tụ tuyệtđối và có tổng là s thì chuỗi

1.2 Chuỗi hàm và sự hội tụ của chuỗi hàm

1.2.1 Khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1 Cho dãy hàm{un(x)} cùng xác định trên tập X ⊂ R

+ Hàm un(x) gọi là số hạng thứ n của chuỗi

+ Tổng của n hàm đầu tiên của chuỗi sn(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x)

được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm

1.2.2 Sự hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm

Điểm x ∈ X gọi là điểm hội tụ hay phân kì của chuỗi (1.6) nếu dãy tổngriêng {sn(x)} của nó hội tụ hay phân kỳ tại điểm này

Nếu X0 là tập hợp các điểm hội tụ của dãy {sn(x)} thì ta cũng gọi X0 làmiền hội tụ của chuỗi (1.6)

và gọi u(x) là tổng của chuỗi hàm trên X0

Sự hội tụ trên được gọi là hội tụ điểm của chuỗi hàm Theo ngôn ngữCauchy, ta có thể phát biểu như sau

Chuỗi hàm (1.6) được gọi là hội tụ trên tập hợp X và có tổng là u(x)

nếu với mọi số ε > 0 và với mỗi x ∈ X tồn tại một số nguyên dương

n0 = n0(ε, x) sao cho

|sn(x) − u(x)| < ε; với mọi n ≥ n0

Khi tìm được chỉ số nguyên dươngn0 chỉ phụ thuộc vào sốε > 0mà khôngphụ thuộc vào giá trị của x ta nói chuỗi hàm hội tụ đều Chính xác hơn

ta có

Định nghĩa 1.2.2 Chuỗi hàm (1.6) được gọi là hội tụ đều trên tập hợp

X và có tổng là hàm u(x) nếu với mọi số ε > 0 tồn tại một số nguyêndương n0 = n0(ε) sao cho

|sn(x) − u(x)| < ε; với mọi n ≥ n0 và với mọi x ∈ X

1.2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ đều của chuỗi hàm số

Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm số

∞

P

n=1

un(x) hội tụ đềutrên tập hợp X khi và chỉ khi với mọi số ε > 0 tồn tại số nguyên dương

n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có

|sn+p(x) − sn(x)| < ε; với mọi x ∈ X

Chứng minh Thật vậy, chuỗi hàm hội tụ đều khi và chỉ khi dãy các tổngriêng {sn(x)} hội tụ đều Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy hàm hội tụđều, điều này xảy ra khi và chỉ khi với mọi số ε > 0 cho trước tồn tại sốnguyên dương n0 sao cho khi n ≥ n0 và mọi số nguyên dương p ta có

Chứng minh Với mọi x ∈ X theo dấu hiệu so sánh ta có các chuỗi số

=

Định lý 1.2.3 (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm{an(x)}và {bn(x)}

cùng xác định trên tập X Giả thiết

(i) Dãy tổng riêng sn(x) của chuỗi hàm

∞

P

n=1

an(x) bị chặn đều trên X cónghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho

|sn(x)| =

= lim

n→∞

an+1

an

an+1xn+1

anxn

... data-page="28">

1.2.5 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2.3 Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng

(i) Chuỗi lũy thừa hội tụ điểm x = x0

(ii) Nếu đặt y = x − x0 ta đưa chuỗi lũy... 30

Chứng minh Xét chuỗi lũy thừa (1.8) Theo dấu hiệu Cauchy dùng chochuỗi số dương

Nếu ρ = chuỗi hội tụ tuyệt x hay R = +∞

Nếu ρ = +∞... miền hội tụ chuỗi lũy thừa −1 < x ≤ 1.

= 1

n + → nên bán kính hội tụ chuỗi R = +∞,

tức chuỗi hội tụ điểm

Khai triển thành chuỗi lũy thừa số hàm sơ cấp