Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật keple và ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh

Ba định luật Kepler và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của Aristotle và Ptolemy đã được chấp thuận từ rất lâu, và ủng hộ cho mô hình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRẦN NHẬT LỆ

SỬ DỤNG BÀI TOÁN HAI VẬT ĐỂ TÌM LẠI BA ĐỊNH LUẬT KEPLE VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC PHÁT HIỆN VẬT THỂ VÀ NGHIÊN CỨU CHUYỂN

ĐỘNG CỦA CÁC VỆ TINH Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRẦN NHẬT LỆ

SỬ DỤNG BÀI TOÁN HAI VẬT ĐỂ TÌM LẠI BA ĐỊNH LUẬT KEPLE VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC PHÁT HIỆN VẬT THỂ VÀ NGHIÊN CỨU CHUYỂN

ĐỘNG CỦA CÁC VỆ TINH Chuyên ngành: Vật lý đại cương

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN HỮU TÌNH

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện đề tài này em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học Đây cũng là kết quả phấn đấu trong suốt bố năm học tập và rèn luyện dưới giảng đường đại học của em và công sức giảng dạy của biết bao thấy

cô trong suốt thời gian qua Để có được kết quả và những thành công đó em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS Nguyễn Hữu Tình người đã khuyến khích, chỉ bảo và giúp đỡ em hoàn thành công trình nghiên cứu này Qua đây, em xin đựơc gửi lời cảm ơn sâu sắc đến bạn bè, gia đình, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các thầy cô trong khoa Vật Lý nói riêng Xin kính chúc các thầy cô luôn mạnh khoẻ, thành công trong sự nghiệp và hạnh phúc trong cuộc sống

Chắc chắn rằng khóa luận này còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của Hội Đồng khoa học Em xin chân thành cảm ơn!

Xuân Hòa, tháng 5 năm 2018

Tác giả

Trần Nhật Lệ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng của TS Nguyễn Hữu Tình, khóa luận tốt

nghiệp “Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật Keple và ứng dụng trong

việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh” là công trình

nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác

giả, không trùng với bất kì luận văn nào khác

Xuân hòa, tháng 05 năm 2018

Tác giả

Trần Nhật Lệ

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1.Lí do chọn đề tài 1

2.Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1: MẶT TRỜI TRONG VŨ TRỤ 3

1.1 Tổng quan về hệ mặt trời (Solar system) 3

1.1.1 Vị trí của hệ Mặt Trời trong dải Ngân Hà (Milky Way) 3

1.1.2 Sơ lược về hệ Mặt Trời 3

1.2 Đặc điểm chuyển động nhìn thấy của các thiên thể 5

1.3 Các mô hình cổ điển về vũ trụ và hệ mặt trời 5

1.3.1 Mô hình địa tâm 5

1.3.2 Mô hình nhật tâm 8

1.4 Các định luật Keple 13

1.5 Xây dựng biểu thức toán học của định luật vạn vật hấp dẫn 14

1.6 Định luật vạn vật hấp dẫn – xác định khối lượng trái đất 17

1.6.1 Định luật vạn vật hấp dẫn 17

1.6.2 Xác định khối lượng Trái Đất 18

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN HAI VẬT VÀ ỨNG DỤNG 20

2.1 Bài toán hai vật 20

2.1.1 Suy ra định luật 2 Kêple 21

2.1.2 Suy ra định luật 1 Kêple 22

2.1.3 Suy ra định luật 3 Kêple 25

2.2 Bài toán nhiều vật – lực nhiễu loạn 26

2.3 Chuyển động của vệ tinh nhân tạo và trạm vũ trụ 29

2.3.1 Chuyển động của vệ tinh nhân tạo 29

2.3.2 Chuyển động của các trạm vũ trụ 30

2.4 Ứng dụng bài toán nhiều vật trong việc phát hiện thiên thể 33

2.4.1 Phát hiện sao Hải Vương 33

2.4.2 Phát hiện sao diêm vương 36

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP 38

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1 1: Mô hình thu nhỏ của hệ Mặt trời 3

Hình 1.2: Đám mây Oort “giới hạn” của hệ Mặt Trời 4

Hình 1.3: Hệ địa tâm Aristotle 6

Hình 1.4: Hệ địa tâm Ptolemy 7

Hình 1.5: Nhà thiên văn học Côpecnic 10

Hình 1.6: Hệ nhật tâm Côpecnic 10

Hình 1.7: Giải thích quỹ đạo hình nút của các hành tinh 11

Hình 1.8 –a: 13

Hình 1.8 –b: 13

Hình 2.1: Các yếu tố quỹ đạo 25

Hình 2.2: Gia tốc của Trái Đất 28

sẽ không khớp với số liệu Ông cho là số liệu không thể sai được, mà hệ nhật tâm Copernicus là chưa chính xác

Johannes Kepler công bố hai định luật đầu tiên của ông vào năm 1609, sau khi phân tích các dữ liệu từ những quan sát lâu năm của Tycho Brahe Một vài năm sau Kepler mới phát hiện ra định luật thứ ba và công bố nó vào năm 1619 Các định luật Kepler là những khám phá căn bản ở thời của ông, vì từ lâu các nhà thiên văn vẫn tin rằng quỹ đạo của các hành tinh có hình tròn hoàn hảo Đa số các hành tinh được biết đến trong Hệ Mặt Trời ở thời đó có quỹ đạo xấp xỉ hình tròn, do đó nếu chỉ quan sát sơ lược thì sẽ khó phát hiện ra quỹ đạo hành tinh là hình elíp Những tính toán chi tiết từ dữ liệu quan sát của quỹ đạo Sao Hỏa lần đầu tiên cho Kepler thấy quỹ đạo của nó phải là hình elíp thì mới phù hợp với dữ liệu quan sát, và từ đây ông suy luận tương tự cho các hành tinh khác quay quanh Mặt Trời cũng phải có quỹ đạo elip Ba định luật Kepler và kết quả phân tích dữ liệu quan sát của ông là một thách thức lớn cho mô hình địa tâm của Aristotle và Ptolemy đã được chấp thuận từ rất lâu, và ủng hộ cho mô hình nhật tâm của Nicolaus Copernicus (mặc dù quỹ đạo elip theo Kepler khác với các quỹ đạo tròn theo Copernicus), bằng chứng tỏ Trái Đất quay quanh Mặt Trời, vận tốc của các hành tinh trên quỹ đạo là biến đổi, và quỹ đạo có hình elip hơn là hình tròn

Khoảng tám thập kỷ sau, Isaac Newton chứng minh rằng các định luật Kepler có thể được áp dụng trong những điều kiện lý tưởng và là dạng xấp xỉ tốt cho quỹ đạo của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, hay những định luật này là hệ quả của các định

2

luật về chuyển động và định luật vạn vật hấp dẫn của ông Bởi vì khối lượng của hành tinh khác không và sự ảnh hưởng nhiễu loạn của các hành tinh khác, ba định luật Kepler chỉ áp dụng một cách xấp xỉ và không miêu tả độ chính xác cao chuyển

động của vật thể trong hệ Mặt Trời Cuốn sách Eléments de la philosophie de Newton (Những nguyên lý của triết học Newton) của Voltaire xuất bản năm 1738 là

cuốn đầu tiên gọi các định luật Kepler là "các định luật" Cùng với các lý thuyết của Newton, các định luật Kepler có vai trò quan trọng trong thiên văn học và vật lý học cũng như ứng dụng cho các vệ tinh nhân tạo

Vì vậy nên em chọn đề tài: “Sử dụng bài toán hai vật để tìm lại ba định luật Keple và ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các

vệ tinh”

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về việc sử dụng bài toán hai và nhiều vật để tìm lại ba định luật Keple, tìm hiểu ứng dụng trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh

3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán hai và nhiều vật

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Giải bài toán hai để tìm lại ba định luật Keple

Tìm hiểu việc ứng dụng của bài toán 2 và nhiều vật trong việc phát hiện vật thể và nghiên cứu chuyển động của các vệ tinh

Phân loại, đưa ra phương pháp giải các bài tập liên quan trong môn Thiên văn học

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu, tra cứu tài liệu và giải bài tập

3

CHƯƠNG 1: MẶT TRỜI TRONG VŨ TRỤ 1.1 Tổng quan về hệ mặt trời (Solar system)

1.1.1 Vị trí của hệ Mặt Trời trong dải Ngân Hà (Milky Way)

Hệ Mặt Trời là một phần của thiên hà có tên gọi là Ngân Hà, đây là một thiên

hà xoắn ốc với đường kính khoảng 100000 năm ánh sáng chứa khoảng 200 tỷ ngôi sao, trong đó Mặt Trời của chúng ta là một ngôi sao thông thường điển hình [1] Khoảng cách từ hệ

Mặt Trời tới tâm của Ngân

Hà khoảng từ 25000 đến

28000 năm ánh sáng Vận

tốc của hệ Mặt Trời trên

quỹ đạo là khoảng 220

km/s, và nó hoàn thành

một chu kỳ quay khoảng

226 triệu năm Tại vị trí

của hệ Mặt Trời trong dải

Ngân Hà thì vận tốc vũ trụ

cấp bốn là khoảng 1000

km/s [1]

1.1.2 Sơ lược về hệ Mặt Trời

Hệ Mặt Trời là một hệ có Mặt Trời ở trung tâm và các thiên thể nằm trong phạm vi lực hấp dẫn của Mặt Trời gồm:

- Tám hành tinh chính (planet) quay xung quanh, 6 trong số các hành tinh này

có vệ tinh riêng của chúng, cùng một lượng lớn các vật thể khác gồm các hành tinh lùn, tiểu hành tinh, sao chổi, bụi và plasma Từ trong ra ngoài, hệ Mặt Trời gồm Mặt Trời và các hành tinh là Thủy tinh, Kim tinh, Trái Đất, Hỏa tinh, Mộc tinh, Thổ tinh, Thiên Vương tinh, Hải Vương tinh Các hành tinh còn có các vật thể bay quanh chúng như các vệ tinh tự nhiên, các vành đai của vài hành tinh lớn, các vệ tinh nhân tạo Một vài tiểu hành tinh cũng có các vệ tinh của chúng

Hình 1 1: Mô hình thu nhỏ của hệ Mặt trời

4

- Năm hành tinh lùn (dwarf planet) là Ceres, Sao Diêm Vương, Eris, Makemake và Haumea Một số rất lớn các tiểu hành tinh phân bố chủ yếu trong khoảng giữa Hỏa tinh và Mộc tinh Ngoài cùng là vòng đai Kuiper, đĩa phân tán và đám mây Oort Xen kẽ giữa các hành tinh có các thiên thạch và bụi cùng các sao chổi Sự ảnh hưởng của từ trường của Mặt Trời đối với không gian giữa các hành tinh tạo nên kết cấu lớn nhất trong hệ Mặt Trời, gọi là nhật quyển

Khoảng cách trong Hệ Mặt

Trời thường được đo bằng các

đơn vị thiên văn Một đơn vị

thiên văn (AU) là khoảng cách

giữa Trái Đất và Mặt Trời, hay

149 598 000 kilômét

Đa số các vật thể chuyển

động trên quỹ đạo quanh Mặt

Trời đều nằm trong mặt phẳng

quỹ đạo gần nhau, và gần mặt

phẳng hoàng đạo

Các vật thể trong hệ Mặt

Trời được chia thành ba vùng

Các hành tinh Thủy tinh, Sao Kim, Trái Đất, vành đai các tiểu hành tinh chính và Hỏa tinh lập thành các hành tinh vòng trong, gọi là vùng I Các hành tinh còn lại cùng các vệ tinh của chúng tạo các hành tinh vòng ngoài, vùng II Vùng III gồm vùng của các vật thể bên ngoài của Sao Hải Vương như vành đai Kuiper, đĩa phân tán và đám Oort

Mặt Trời, một sao thuộc dãy chính G2, chiếm 99,86% khối lượng hiện được biết đến của cả hệ Hai vật thể có đường kính lớn nhất của hệ là Mộc tinh và Thổ tinh chiếm khoảng 91% phần vật chất còn lại Đám Oort có thể chiếm một phần đáng kể, nhưng hiện nay còn chưa được xác định một các chính xác

Hình 1.2: Đám mây Oort “giới hạn” của hệ

Mặt Trời

5

1.2 Đặc điểm chuyển động nhìn thấy của các thiên thể

Toàn bộ thiên cầu sao nhật động đều quanh Trái Đất và vị trí tương đối giữa các sao không đổi Nếu chú ý quan sát trong nhiều ngày thì ta có thể nhận thấy Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh từ từ thay đổi vị trí đối với các chòm sao Sau đây

là các kết luận về chuyển động nhìn thấy của Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh trên nền trời sao như sau:

- Mặt Trời và Mặt Trăng từ từ dịch chuyển đối với các sao theo chiều ngược với chiều nhật động - tức là từ Tây sang Đông Mặt Trời dịch chuyển trọn một vòng trong khoảng 365 ngày Mặt Trăng dịch chuyển trọn một vòng mất khoảng trên 27 ngày

- Các hành tinh nói chung cũng dịch chuyển đối với các sao theo chiều ngược với chiều nhật động, nhưng cũng có những thời kì chúng dịch chuyển theo chiều ngược lại nên quỹ đạo của chúng trên nền trời sao có dạng hình nút

- Có 2 hành tinh (Thủy tinh và Kim tinh) luôn ở gần Mặt Trời Theo thời gian Thủy tinh “dao động” quanh Mặt Trời với biên độ không quá 28o còn Kim tinh thì không quá 48o

Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh chuyển động đối với các sao theo quỹ đạo rất gần nhau Từ những đặc điểm nhìn thấy trên và từ khoảng cách ước lượng đến chúng, người ta đã cho rằng Mặt Trời, Mặt Trăng và các hành tinh này tạo ra một hệ - hệ Mặt Trời

1.3 Các mô hình cổ điển về vũ trụ và hệ mặt trời

1.3.1 Mô hình địa tâm

Trong thiên văn học, mô hình địa tâm (geocentric model) của vũ trụ là lý thuyết cho rằng Trái Đất là trung tâm của vũ trụ và Mặt Trời cùng các thiên thể khác quay quanh nó Hệ này được coi là hình mẫu tiêu chuẩn thời Hy Lạp cổ đại

Và nó được cả Aristotle và sau này là Ptolemy, cũng như đa số các nhà triết học Hy Lạp đều cho rằng Mặt Trời, Mặt Trăng, các ngôi sao, và những hành tinh có thể quan sát được bằng mắt thường đều bay quanh Trái Đất Các ý tưởng tương tự cũng

đã xuất hiện ở thời Trung Quốc cổ đại Người Hy Lạp cổ đại và các nhà triết học

6

thời Trung Cổ thường cho mô

hình địa tâm thường đi cùng

với Trái Đất hình cầu Vì thế

nó không giống với mô

hình Trái Đất phẳng từng được

đưa ra trong một số thần thoại

Người Hy Lạp cổ đại cũng tin

rằng những sự chuyển động của

các hành tinh đi theo đường

tròn chứ không phải hình elíp, một quan điểm thống trị văn hoá phương Tây cho tới tận trước thế kỷ 17 [1]

Mô hình địa tâm là quan điểm thống trị thời tiền hiện đại; từ cuối thế kỷ 16 trở về sau nó dần bị thay thế bởi hệ nhật tâm của Côpecnic, Galileo và Kepler

Mô hình địa tâm của Aristotle (384 - 322 TCN)

Aristotle là một nhà triết học vĩ đại thời cổ Những tư tưởng của ông có ảnh hưởng sâu sắc đến nhiều thế hệ Mặc dù ở thời ông người ta không sử dụng toán học và tiến hành thí nghiệm nhưng ông vẫn được coi là cha đẻ của vật lý với tác phẩm “Vật lý học” Theo ông: Vũ trụ được cấu thành bởi 4 yếu tố cơ bản là: đất, nước, không khí và lửa Mỗi nguyên tố đều có vị trí tự nhiên trong vũ trụ Vị trí

tự nhiên của đất là địa cầu, trung tâm bất động của vũ trụ Vị trí tự nhiên của nước là phần khối cầu bao bọc ngoài địa cầu Vị trí tự nhiên của không khí và lửa

là hai phần khối cầu bọc ngoài Mặt cầu ngoài cùng là giới hạn vị trí của lửa, có gắn các sao bất động, đó là giới hạn của vũ trụ Mỗi nguyên tố khi bị cưỡng bức rời khỏi vị trí tự nhiên đều có xu hướng trở về vị trí tự nhiên cũ Thế giới

từ Mặt Trăng trở lên là của trời, là thế giới linh thiêng Chuyển động tự nhiên của các thiên thể ở đây là chuyển động tròn, vì đường tròn là hoàn thiện nhất Thế giới dưới Mặt Trăng là thế giới trần tục nên chuyển động là đường thẳng, một đường không hoàn thiện Tất cả các thiên thể đều có dạng hình cầu (một hình

Hình 1.3: Hệ địa tâm Aristotle

Mô hình địa tâm Ptolemy

Vào thế kỉ thứ II nhà

khoa học người Hy Lạp

Ptolemy đã bằng trí tưởng

tượng xây dựng nên mô hình

vũ trụ địa tâm Nhằm để giải

- Các hành tinh chuyển động đều theo những vòng tròn phụ mà tâm của các vòng tròn này chuyển động tròn đều quanh Trái Đất Điều này được đưa ra để giải thích quỹ đạo hình nút của các hành tinh

- Trái Đất, Mặt Trời và các vòng tròn phụ của Kim tinh và Thủy tinh luôn luôn nằm trên một đường thẳng Điều này giải thích cho sự “dao động” của hai hành tinh

Hình 1.4: Hệ địa tâm Ptolemy

Mô hình vũ trụ địa tâm giải thích cho những đặc điểm về chuyển động nhìn thấy của các thiên thể trên thiên cầu như đã trình bày ở trên Mặc dù có nhiều phiền toái nhưng do được Giáo hội ủng hộ, mô hình hệ địa tâm Ptolemy vẫn tồn tại nhiều thế kỷ Nó đã khiến khoa học dậm chân tại chỗ Nhiều nhà khoa học đã nghi ngờ về tính xác thực của nó Nhưng trước thế lực nhà thờ chưa ai dám nêu

ra một giả thuyết khác Mãi sau này khi kỹ thuật quan sát tiến bộ hơn cùng với sự dũng cảm của các nhà khoa học thì thuyết địa tâm mới bị bác bỏ Thay vào đó là một thuyết tiến bộ hơn - thuyết nhật tâm [1]

1.3.2 Mô hình nhật tâm

Trong thiên văn học, mô hình nhật tâm là lý thuyết cho rằng Mặt Trời nằm ở trung tâm của vũ trụ hay của hệ Mặt Trời (Sự phân biệt giữa hệ Mặt Trời và Vũ trụ là không rõ ràng cho tới tận thời hiện đại, nhưng đặc biệt quan trọng cho sự tranh cãi về vấn đề vũ trụ học và tôn giáo) Về mặt lịch sử, hệ nhật tâm đối lập với hệ địa tâm - cho rằng Trái Đất là trung tâm Trong thế kỷ 16 và 17, khi lý thuyết này được Côpecnic, Galileo và Kepler đưa ra và ủng hộ, nó đã trở thành trung tâm của những cuộc tranh cãi rất lớn

Thuyết nhật tâm tiền Côpecnic

Đối với bất kỳ một người nào đứng nhìn lên bầu trời, có vẻ rõ ràng rằng Trái Đất đứng yên vị trong khi mọi vật trên bầu trời mọc và lặn hay quay quanh nó hàng ngày Quan sát trong một thời gian lâu hơn, họ sẽ thấy nhiều chuyển động phức tạp

9

hơn như: Mặt Trời chuyển động chậm chạp theo hình tròn trong năm; các hành tinh có các chuyển động tương tự nhau, nhưng thỉnh thoảng chúng có chuyển động hình nút

Những dấu vết sớm nhất về một ý tưởng đi ngược trực giác cho rằng Trái Đất trên thực tế đang quay quanh Mặt Trời và Mặt Trời là trung tâm của hệ Mặt Trời đã được tìm thấy trong nhiều văn bản được viết trong thời Ấn Độ cổ đại Yajnavalkya (khoảng thế kỷ 9–thế kỷ 8 TCN) ghi nhận rằng Trái Đất có hình cầu và rằng Mặt Trời

là "trung tâm của vũ trụ" Trong bài viết về thiên văn học của mình Shatapatha Brahmana cho rằng: "Mặt Trời treo các thế giới như Trái Đất, các hành tinh, khí quyển vào mình bằng một sợi chỉ" Ông nhận rằng Mặt Trời lớn hơn nhiều so với Trái Đất, và đây là điều ảnh hưởng tới khái niệm thuyết nhật tâm sơ khai này Ông cũng đã đo chính xác các khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời và Mặt Trăng bằng

108 lần đường kính các thiên thể đó, khá gần với con số ngày nay là 107,6 với Mặt Trời và 110,6 với Mặt Trăng

Người đầu tiên đề xuất hệ nhật tâm là Aristarchus (khoảng 270 TCN) Không may những ghi chép của ông về hệ nhật tâm không còn nữa Khi Aristarchus viết các tác phẩm của mình, kích thước Trái Đất đã được tính toán khá chính xác Aristarchus cũng đo đạc kích thước Trái Đất, và kích thước cũng như khoảng cách của Mặt Trăng và Mặt Trời, chúng được ghi lại trong một bản luận văn may mắn còn tồn tại Phương pháp hình học của ông là chính xác, nhưng nó đòi hỏi phải vượt qua khó khăn khi đo góc giữa Mặt Trời và Mặt Trăng khi Mặt Trăng nằm ở góc một phần tư thứ nhất và cuối cùng, hơi nhỏ hơn 90 độ Aristarchus đã ước tính góc quá rộng và vì thế ước tính kích thước cũng như khoảng cách của Mặt Trời nhỏ hơn thực

tế (dù các con số của ông về Mặt Trăng khá chính xác) Tuy nhiên, điều quan trọng là cách tiếp cận khoa học của Aristarchus, và kết luận rằng Mặt Trời lớn hơn nhiều so với Trái Đất Có lẽ, như nhiều người đã từng đề xuất, khi xem xét những con số đó Aristarchus đã cho rằng có lẽ cho Trái Đất đang chuyển động thì đúng hơn là Mặt Trời vĩ đại chuyển động quanh Trái Đất

10

Nhà thiên văn học - toán học người Ấn Độ Aryabhata (476-550), trong một cuốn sách của mình đã đề xuất một mô hình nhật tâm theo đó Trái Đất quay quanh trục của nó và quỹ đạo của các hành tinh cũng được tính toán dựa trên mô hình Mặt Trời đứng yên Ông cũng là người đầu tiên khám phá ra rằng ánh sáng từ Mặt Trăng

và các hành tinh là sự phản xạ ánh sáng từ Mặt Trời, và rằng cách hành tinh chuyển động theo một quỹ đạo hình elíp quanh Mặt Trời, và vì thế đề xuất một mô hình quỹ đạo elíp lệch tâm của các hành tinh, dựa theo đó ông đã tính toán chính xác nhiều hằng số thiên văn học, như những khoảng thời gian nhật thực và nguyệt thực, chuyển động ở một thời điểm nào đó của Mặt Trăng [1]

Bhaskara (1114-1185) đã mở rộng mô hình nhật tâm của Aryabhata trong bản

luận thiên văn học Siddhanta-Shiromani của mình, trong đó ông đã đề cập tới định

luật hấp dẫn, khám phá ra rằng các hành tinh không quay quanh Mặt Trời với một tốc độ đồng nhất, và tính toán chính xác nhiều hằng số thiên văn học dựa trên

mô hình đó, như nhật thực và nguyệt thực, các tốc độ và các chuyển động ở một thời điểm nào đó của các hành tinh Bản dịch tiếng Ả Rập trong cuốn sách của Aryabhata đã có từ thế kỷ thứ 8, trong khi các bản dịch tiếng Latinh mãi tới thế kỷ

13 mới xuất hiện, trước khi Côpecnic viết cuốn Về chuyển động quay của các thiên thể, vì thế có lẽ tác phẩm của Aryabhata đã có ảnh hưởng trên ý tưởng của Côpecnic

sau này [1]

Côpecnic Côpecnic

11

Thuyết nhật tâm của Côpecnic

Nicolaus Côpecnic

(hình 1.5), đã mang lại

những bước tiến bộ lớn cho

mô hình nhật tâm Nhưng

cần lưu ý rằng nhờ có các

thương gia, các nhà thám

hiểm, các chiến binh thập tự

chinh nên những ý tưởng về

hệ nhật tâm tiền Côpecnic đã

được người Châu Âu biết

Dù có những vấn đề như vậy, ở thế kỷ XVI lý thuyết nhật tâm được Côpecnic

làm sống lại, ở hình thức thích hợp với những quan sát thực tế thời đó Lý thuyết này đã giải quyết các vấn đề về chuyển động nút của hành tinh bằng cách lập luận rằng chuyển động đó chỉ là cái quan sát thấy bên ngoài và là chuyển động biểu kiến, chứ không phải chuyển động thực tế: đó là một hiệu ứng thị sai, giống như khi ta vượt qua một chiếc xe thì ta có cảm giác chiếc xe đó đang chuyển động lùi về phía chân trời Trong khi phát triển các lý thuyết của mình về chuyển động hành tinh, có

lẽ Côpecnic đã lấy ý tưởng từ trong các công trình của nhà thiên văn học người Ấn

Hình 1.7: Giải thích quỹ đạo hình nút của các hành tinh

12

Độ cho thuyết nhật tâm của mình, và các nhà khoa học - thiên văn học Hồi giáo để giải quyết các vấn đề quan trọng trong hệ thống Ptolemy [1]

Nội dung chính trong thuyết nhật tâm của Côpecnic như sau:

- Mặt Trời, chứ không phải là Trái Đất ở trung tâm vũ trụ

- Các hành tinh chuyển động đều quanh Mặt Trời theo quỹ đạo tròn, cùng chiều và gần như trong một mặt phẳng Càng ở xa Mặt Trời hành tinh có vận tốc càng lớn

- Trái Đất cũng là một hành tinh, ngoài chuyển động quanh Mặt Trời; Trái Đất còn tự quay quanh một trục xuyên tâm

- Mặt Trăng chuyển động tròn quanh Trái Đất

- Thủy tinh và Kim tinh có quỹ đạo chuyển động bé hơn quỹ đạo chuyển động của Trái Đất Các hành tinh còn lại có quỹ đạo chuyển động lớn hơn quỹ đạo chuyển động của Trái Đất Theo Côpecnic các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo thứ tự từ Mặt Trời ra xa là: Thủy tinh, Kim tinh, Trái Đất, Hỏa tinh, Mộc tinh, Thổ tinh

Năm 1610, Galilê (Galilé) đã sáng chế kính thiên văn Bằng kính thiên văn này ông đã nhìn rõ dạng cầu của nhiều hành tinh, nhìn rõ nhiều chi tiết trên Mặt Trăng, nhìn được vệ tinh của Mộc tinh Đây là những bằng chứng thực nghiệm quan trọng khẳng định sự đúng đắn trong học thuyết của Côpecnic

Vào cuối thế kỉ XVI, nhà triết học chân chính Bruno (Italia) cho rằng trong vũ trụ, mỗi sao là một Mặt Trời, xung quanh các sao cũng có các hành tinh và trong vũ trụ có thể có sự sống trên các thiên thể khác Bruno đã bị kết án tội phản nghịch và

đã bị giai cấp thống trị thiêu sống vào năm 1600 tại Rôma

Như vậy, về cơ bản hệ nhật tâm trên phù hợp với cấu tạo thực của hệ Mặt Trời Mặc dù còn nhiều điểm thiếu chính xác cần phải hoàn thiện nhưng các nhà khoa học thời đó đã đưa ra một mô hình đúng đắn về hệ Mặt Trời Cho đến nay người

ta đã hoàn toàn công nhận nó Tuy nhiên, để có được thành tựu này nhân loại đã phải vượt qua cuộc đấu tranh đầy khó khăn để khẳng định chân lý, kéo dài hàng chục năm cùng sự dũng cảm hy sinh của nhiều nhà khoa học thời bấy giờ [2]

13

1.4 Các định luật Keple

Kiên trì theo quan điểm của Côpecnic, nhà khoa học nước Đức Keple dựa trên các số liệu quan trắc Hoả tinh trong 20 năm của nhà thiên văn Đan Mạch Tycho Brahe và các số liệu quan trắc trong nhiều năm của chính mình, đã xây dựng nên ba định luật nổi tiếng sau:

I Các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo elip mà Mặt Trời nằm tại một trong hai tiêu điểm của elip quỹ đạo

II Bán kính vectơ của mỗi hành tinh quét những diện tích bằng nhau trong

những khoảng thời gian bằng nhau

III Bình phương chu kỳ chuyển động của hành tinh quanh Mặt Trời tỉ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip

Trên hình 1.8 -a, F1 và F2 là hai tiêu điểm VC = 2a là trục lớn, O là tâm của elip

Giả sử Mặt Trời ở tiêu điểm F1 Theo định luật I thì hành tinh chuyển động trên quỹ đạo elip và như vậy khoảng cách từ hành tinh đến Mặt Trời biến thiên Rõ ràng khi hành tinh ở điểm C thì có khoảng cách đến Mặt Trời bé nhất Điểm C gọi

là cận điểm Khi hành tinh đến điểm V sẽ có khoảng cách đến Mặt Trời xa nhất Điểm V gọi là viễn điểm Khoảng cách từ Mặt Trời đến hàng tinh là r và được gọi là bán kính vectơ của hành tinh (r = F1H)

Tại cận điểm rc = a (1-e)

Tại viễn điểm rv = a (1+ e)

e là tâm sai của elip, a là bán trục lớn, còn b là bán trục bé của elip

Ba định luật Kêple được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:

Định luật I:

p r

ec 



 (1.1)

Trong đó: p là thông số của elip, p = F1P

 là góc cận điểm thực tức là góc hợp bởi bán kính vectơ của hành tinh với bán kính vectơ tại cận điểm

có vận tốc chuyển động lớn hơn so với các vùng khác

Định luật III:  3 

2

2 2 3 1

2 1

a

T a

T

h (hằng số) (1.3)

Trong đó T1, T2 là chu kỳ chuyển động; a1, a2 làbán trục lớn quỹ đạo tương ứng của hai hành tinh một và hai Rõ ràng theo định luật này thì hành tinh ở càng xa Mặt Trời có chu kì chuyển động càng lớn Thí dụ chu kì của Trái Đất vào khoảng 365 ngày, chu kì của Hoả tinh là 686 ngày

Nhận xét: Như vậy Kepler đã hiệu chỉnh quỹ đạo chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời một cách khá đúng đắn Tuy nhiên, cũng như Côpecnic ông không giải thích được nguyên nhân của các chuyển động trên Điều này chỉ được giải thích khi Newton đưa ra định luật vạn vật hấp dẫn

1.5 Xây dựng biểu thức toán học của định luật vạn vật hấp dẫn

Dưới tác dụng của lực hấp dẫn các hành tinh chuyển động theo các định luật Kêple Ngược lại, từ các định luật Kêple ta rút ra được biểu thức của lực hấp dẫn Thật vậy, từ định luật I (1.1) và II (1.2):

15

Và vận dụng thêm phương trình động lực học:

2 2

Trong hệ tọa độ cực thì biểu thức của vận tốc v có dạng:

2 2 2

dr v

d

d d

1 1

r  p p  (1.1a) Lấy vi phân hai lần (1 1a) ta được

1

2 2

p

e r

2

r

m K pr

mC

F     (1.6)

16

với

2

C K p

 = hằng số Hằng số K có giá trị chung cho các hành tinh Quả vậy từ diện tích elip là ab,

Bây giờ ta hãy làm sáng tỏ thêm ý nghĩa của hằng số K Theo định luật 3 Niutơn thì lực Mặt Trời tác dụng lên hành tinh (F) phải bằng và ngược chiều với lực hành tinh tác dụng lên Mặt Trời (F) Rõ ràng lực F’ có dạng:

' '

r

M K

F 

(1.8) trong đó hằng số G được gọi là hằng số hấp dẫn

Rõ ràng lực hấp dẫn giữa hai vật tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ

lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng

17

Trong hệ SI hằng số hấp dẫn G = 6, 67 10-11

2

Nm kg

1.6 Định luật vạn vật hấp dẫn – xác định khối lượng trái đất

1.6.1 Định luật vạn vật hấp dẫn

Ta đã biết các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời và các vệ tinh chuyển động quanh hành tinh Vậy điều gì là nguyên nhân cho những chuyển động này? Câu hỏi này đã được Niutơn giải đáp một cách thỏa đáng Ông giải thích lực tạo cho các hành tinh và các vệ tinh chuyển động quanh hành tinh có bản chất giống như trọng lực trên mặt đất, đó chính là lực hấp dẫn Để chứng minh điều này ông vận dụng vào chuyển động của Mặt Trăng Nếu lực giữ cho Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất là trọng lực thì gia tốc hướng tâm của Mặt Trăng chính là gia tốc hấp dẫn của Trái Đất lên Mặt Trăng Tại mặt đất gia tốc trọng trường là g = 9, 8 m/s2 Biết Mặt Trăng nằm cách Trái Đất một khoảng bằng 60 lần bán kính Trái Đất, nên tại Mặt Trăng thì gia tốc trọng trường g phải bé hơn 602

lần, nghĩa là gia tốc trọng trường tại bề mặt của Mặt Trăng là:

g’ =

0027,03600

81,9

60g2  

m/s2Mặt khác gia tốc hướng tâm g’ của Mặt Trăng cũng được tính trực tiếp theo công thức:

g’ = ω2R = R

T

2 2

trong đó T là chu kì chuyển động của Mặt Trăng quanh Trái Đất (T = 27, 3 ngày), R

là bán kính quỹ đạo của Mặt Trăng (R = 60 6370km) Thay các giá trị vào công thức trên ta được g’ = 0, 0027 m/s2

Kết quả như nhau về trị số của g’ tính theo hai cách trên chứng tỏ lực buộc Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất chính là trọng lực Theo đó suy luận thêm rằng lực buộc các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời cũng có bản chất giống như trọng lực Từ đó Niutơn đã khái quát và phát biểu một định luật chung của tự nhiên - định luật vạn vật hấp dẫn: các vật trong vũ trụ đều hấp dẫn nhau Lực hấp

18

dẫn giữa hai vật tỉ lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng

1.6.2 Xác định khối lượng Trái Đất

Sau khi xây dựng định luật vạn vật hấp dẫn, người ta có khả năng xác định được khối lượng của Trái Đất Đã có nhiều phương pháp xác định khác nhau và sau đây là một trong các phương pháp ấy

Trên 2 đĩa của một cân chính xác định, người ta đặt hai quả cầu có khối lượng bằng nhau (m1) và cán cân nằm thăng bằng (hình 1.9)

Người ta đặt dưới một đĩa cân (đĩa bên trái) một quả cầu nặng có khối lượng

m Do lực hấp dẫn của m lên quả cầu m1 (bên đĩa trái) mà cân lệch xuống Để lấy lại thăng bằng người ta phải bỏ thêm một quả cân lên đĩa bên phải, giả dụ quả cân này có khối lượng m2 Lúc này lực hấp dẫn tác dụng lên các quả cân ở đĩa phải và đĩa trái sẽ phải bằng nhau:

là bán kính của Trái Đất, d là khoảng

cách từ tâm quả cầu m đến quả cân m1

bên đĩa trái

m mR M

m d

 (1.10) Trong 1 lần thí nghiệm người ta đã sử dụng:

m

f

20

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN HAI VẬT VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Bài toán hai vật

Giả sử có hai vật với khối lượng tương ứng mo và m1 được coi như hai chất điểm và cách nhau một khoảng r Ta hãy khảo sát chuyển động của chúng dưới tác dụng của lực hấp dẫn tương hỗ F = G (mo m1)/r2

Phương trình chuyển động của mỗi vật thành lập trong hệ toạ độ cố định (quán tính) OXYZ là:

Z

Đối với hệ hai vật này có 6 phương trình vi phân hạng hai Muốn giải ta phải thực hiện 12 phép tính tích phân Trong thực tế người ta thường xét chuyển động của một vật đối với vật kia được coi như nằm yên Muốn vậy, ta sử dụng hệ toạ độ Oxyz gắn với một vật, ví dụ với vật m0 Trường hợp này thì toạ độ của vật m sẽ là

x, y, z và ta có:

x = X – X0; y = Y – Y0; z = Z – Z0; r2 = x2 + y2 + z2

Vận dụng hệ phương trình (2.1) và (2.2) ta sẽ được hệ phương trình chuyển động tương đối của vật m đối với vật m0

Từ hệ phương trình (2.3) ta rút ra được quy luật chuyển động tương đối của vật

m đối với m0 Cần biết rằng dưới tác dụng của lực hấp dẫn các hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời theo 3 định luật Kêple Dĩ nhiên việc ta giải bài toán hai vật này nhất định sẽ thu được các định luật ấy, song còn tổng quát hơn nữa

2.1.1 Suy ra định luật 2 Kêple

Trước hết cần biết bằng chuyển động của một vật trong trường lực xuyên tâm (bài toán 2 vật ta đang xét cũng là xét chuyển động của một vật (m) trong trường lực xuyên tâm có tâm của lực tại m0) diễn ra trong một mặt phẳng chứa tâm của lực Như vậy đối với các hệ (2.1), (2.2), (2.3) ta chỉ cần hai toạ độ

Lần lượt nhân hai phương trình đầu của hệ (2.3) với –y và x rồi cộng hai phương trình ta thu được:

Nghĩa là ta đã rút ra được định luật 2 mà Kêple đã xây dựng, định luật tốc độ

diện tích không đổi

2.1.2 Suy ra định luật 1 Kêple

Lần lượt nhân hai phương trình đầu trong hệ (2.3) với dx

dt và dy

dt rồi cộng hai phương trình này ta thu được:

K dt

dy dt

dx dt

d

3

2 2

21

d K v

2

r d

dr dt

d v

4 d