Chuỗi Fourier Và Ứng Dụng Cho Bài Toán Dao Động Của Sợi Dây

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM PHƯỚC HUY CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG CHO BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 846.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2018 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Phản biện 1: TS Lương Quốc Tuyển Phản biện 2: TS Trần Đức Thành Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Toán học họp Trường Đại học Sư Pham - Đại học Đà Nẵng vào ngày 17 tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng; - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu chuỗi Fourier bắt nguồn từ toán Vật lý cụ thể toán liên quan đến dao động toán truyền nhiệt J Fourier người nghiên cứu chuỗi lượng giác theo cơng trình trước Euler, D’Alembert Daniel Bernoulli J Fourier áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt cơng trình ông công bố vào năm 1807 1811 Trong Lí thuyết giải tích nhiệt học (Théorie analytique de la chaleur) ông công bố vào năm 1822 trình bày cách đầy đủ việc giải toán truyền nhiệt dao động chuỗi Fourier, nhiều nhà tốn học tiếng, có Riemann, Cantor Lebesgue gắn liền với hướng nghiên cứu Hồn tồn nói rằng, thời đại chúng ta, với sức hấp dẫn phát triển mình, chuỗi Fourier chiếm vị trí quan trọng giải tích Mục đích nghiên cứu + Hệ thống kiến thức chuỗi Fourier + Sử dụng kiến thức chuỗi Fourier để giải toán dao động sợi dây với điều kiện ban đầu Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu cách giải toán dao động sợi dây phương pháp chuỗi Fourier 2 Phạm vi nghiên cứu Giải toán dao động sợi dây với điều kiện ban đầu điều kiện biên phương pháp chuỗi Fourier Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn sử dụng kiến thức nằm lĩnh vực sau đây: Giải tích, Giải tích hàm, Giải tích Fourier, Phương trình đạo hàm riêng, Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho đối tượng quan tâm đến toán dao động sợi dây Cấu trúc luận văn Bố cục luận văn bao gồm: mục lục, mở đầu, nội dung chính, kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn chia thành chương: Chương 1, trình bày kiến thức sở chuỗi Fourier Trong chương tác giả nhắc lại số kiến thức chuỗi Fourier, chuỗi lượng giác, đẳng thức Parseval, dạng phức chuỗi Fourier Chương 2, trình bày ứng dụng chuỗi Fourier ba toán dao động sợi dây 3 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ CHUỖI FOURIER 1.1 Chuỗi lượng giác Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi lượng giác chuỗi hàm số có dạng ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) (1.1) n=1 a0 , an , bn số Số hạng tổng quát un (x) = an cos nx + bn sin nx hàm số tuần 2π , liên tục khả vi cấp Nếu chuỗi (1.1) hội tụ tổng n hàm số tuần hồn chu kì 2π hồn chu kì 1.2 Chuỗi Fourier Giả sử hàm số f (x) tuần hồn chu kì 2π , khả tích [−π, π], khai triển đoạn [−π, π], thành chuỗi lượng giác dạng: ∞ a0 (an cos nx + bn sin nx), (1.2) f (x) = + n=1 π a0 = f (x)dx, (1.3) π −π π ak = f (x) cos kxdx, k = 1, 2, (1.4) π −π π f (x) sin kxdx, k = 1, 2, (1.5) bk = π −π Các hệ số a0 , a1 , b1 , a2 , b2 , , an , bn , xác định theo công thức (1.3), (1.4), (1.5) gọi hệ số Fourier hàm số f (x) Chuỗi lượng giác (1.2) hệ số xác định (1.3), (1.4), (1.5) gọi chuỗi Fourier f (x) 4 1.3 Điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier Định lý 1.3.1 Nếu f : R → R hàm số tuần hồn chu kì 2π , khả vi chuỗi Fourier hội tụ có tổng f (x), ∀x ∈ R Định lý 1.3.2 Giả sử f : R → R hàm số tuần hồn chu kì 2π , thỏa mãn hai điều kiện sau đoạn [−π, π]: - f liên tục khúc có đạo hàm f liên tục khúc - f đơn điệu khúc bị chặn Khi chuỗi Fourier f hội tụ điểm Tổng S(x) f (x) điểm liên tục f Tại điểm gián đoạn c f , ta có S(c) = f (c + 0) + f (c − 0) Các điều kiện nêu định lí điều kiện Đirichlet Ví dụ 1.3.3 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x) tuần hoàn chu kì 2π , x khoảng (−π, π) Hàm số f (x) thoả mãn điều kiện Định lí 1.3.2 nên khai triển thành chuỗi Fourier Vì f (x) lẻ, ta có an= 0, n = 0, 1, 2, π π π x cos nt bn = x sin nxdx = − cos nx + dx π π n n 0 n+1 = · (−1) , n = 1, 2, 3, n Vậy ∀x = (2n + 1)π sin nx f (x) = 2(sin x − sin2x + sin 3x − + (−1)n+1 + n Chú ý x = π , tổng chuỗi [f (π + 0) + f (π − 0)] = 0, x = −π 5 Hình 1.1 1.4 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Muốn khai triển f (x) thành chuỗi Fourier, ta xây đựng hàm số tuần hoàn g(x) có chu kì lớn hay (b − a) cho g(x) = f (x), ∀x ∈ [a, b] Nếu hàm số g(x) khai triển thành chuỗi Fourier tổng chuỗi f (x) điểm [a, b] trừ điểm gián đoạn f (x) Ví dụ 1.4.1 Khai triển hàm số f (x) = x với < x < thành chuỗi Fourier theo hàm số cosin Muốn khai triển f (x) thành Chuỗi Fourier theo hàm số cosin ta xây dựng hàm số g(x) chẵn, tuần hồn với chu kì 4, f (x) = với < x < Vì g(x) chẵn (hình 1.2), ta có Hình 1.2 x bn= 0, n = 1, 2, x dx = a0 = 2 2 x nπx x nπx nπx − cos dx = sin sin dx an= 2 nπ nπ 0  0 n chẵn = 2 (cos nx − 1) = − n lẻ n=1,2, πn π n62 Vậy πx 3πx 5πx − (cos + cos + cos + ) π Hệ số số hạng tổng quát chuỗi hàm − nên chuỗi (2k + 1) f (x) = hàm hội tụ R 1.5 Đẳng thức Parseval Giả sử f : R → R hàm số tuần hồn chu kì 2π , thoả giả thiết định lí Jordan - Dirichlet Khi ta có ∞ a0 f (x) = + (an cos nx + bn sin nx), n=1 trừ điểm gián đoạn loại f (x) Bình phương hai vế, lấy tích phân từ −π đến π đẳng thức thu Ta nhân chuỗi Fourier f (x) với nó, lấy tích phân số hạng chuỗi hàm số vế phải Ta ∞ a20 f (x)dx = · 2π + π (a2n + b2n) −π n=1 π hay 2π a20 f (x)dx = + −π π ∞ (a2n + b2n) n=1 Đẳng thức (1.6) gọi Đẳng thức Parseval (1.6) Ví dụ 1.5.1 Tìm khai triển Fourier hàm f (x) = |cos x| Lời giải Với x ∈ R, kết là: f (x) = |cos x| = + π π ∞ n=1 n+1 (−1) cos 2nx (4n2 − 1) 1.6 Dạng phức chuỗi Fourier Đặt a0 an − ibn αn = n ≥ a−n + ib−n αn = n ≤ −1 α0= +∞ Ta f (x) = αneinx n=−∞ ¯ n αn Đó dạng phức chuỗi Fourier Chú ý α−n = α số phức liên hợp αn Ví dụ 1.6.1 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) = ex với −π < x < π f (x) tuần hoàn chu kì 2π Lời giải Vậy ∀x = (2k + 1) π , sinh π f (x) = e = π x n (−1) inx e − in n∈R CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY 2.1 Phương trình dao động dây Xét sợi dây có chiều dài l cố định hai đầu mút Khi trạng thái tĩnh, dây có dạng đường thẳng Ta chọn đường thẳng làm trục Ox xem đầu dây trùng với điểm x = x = l Mỗi điểm sợi dây biểu thị hồnh độ x Ta mơ tả q trình dao động dây theo vị trí điểm cho sợi dây thời điểm khác nhau, cách đưa vectơ dịch chuyển sợi dây vị trí x thời điểm t có dạng → − u = (u1(x; t), u2(x; t), u3(x; t)) Để đơn giản, ta giả sử trình dao động sợi dây nằm mặt phẳng (u, x) vectơ dịch chuyển vng góc với trục Ox thời điểm Như vậy, việc mơ tả q trình dao động cần hàm u(x, t) đặc trưng cho độ dịch chuyển vng góc với sợi dây Hình 2.1 Dao động dây Xét sợi dây sợi đàn hồi dễ uốn, mặt toán học, khái niệm dễ uốn thể chỗ sức căng xuất dây luôn hướng theo tiếp tuyến với dạng đường cong tức thời nó, điều biểu thị dây không bị cản trở uốn cong Ta thu phương trình dao động dây ∂u(x, t) ∂u ∂ 2u ∂u T + w(x, t) − β ρ(x) = ∂t ∂x ∂x ∂t (2.1) Trường hợp 1: Mật độ ρ sức căng T = T0 số với β = 0, w = T = a2, ta thu phương trình sóng chiều ρ ∂ 2u 2∂ u =a (2.2) ∂t2 ∂x2 Trường hợp 2: Mật độ ρ sức căng T = T0 số với w = Đặt β T = a2, k = ta thu phương trình điện báo ρ ρ ∂ 2u ∂u 2∂ u =a +k (2.3) ∂t2 ∂t ∂x2 Trường hợp 3: Mật độ ρ sức căng T = T0 số với β = 0, w = Đặt −ρg , g gia tốc trọng trường Đặt T ρ = a2, ta thu phương trình dao động dây tác dụng trọng lực ∂ 2u 2∂ u +g =a ∂t2 ∂x2 (2.4) Trường hợp 4: Mật độ ρ sức căng T phụ thuộc vào tọa độ ρ = r(x), T = a2p(x) β = w = 0, ta thu ∂ ∂u r(x) ∂ 2u p(x) = · ∂x ∂x a ∂t 10 2.2 CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY Để tìm nghiệm dạng tường minh, cần phải có điều kiện biên cho phương trình dao động Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động dây thường có dạng sau 1) Điều kiện biên Dirichlet: Sự di chuyển đầu dây có dạng u (0, t) = g1 (t) u (l, t) = g2 (t) 2) Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm đầu dây có dạng ∂u(0, t) = g3(t) ∂x ∂u(l, t) = g4(t) ∂x 3) Điều kiện biên Robin: Còn gọi điều kiện biên hỗn hợp, tổ hợp tuyến tính hai điều kiện biên Khi độ dịch chuyển độ dốc đầu dây có dạng ∂u + hu ∂n ∂u + hu ∂n Trong ∂u ∂n x=0 x=l = g5(t) = g6(t) = grad un, n vectơ pháp tuyến đơn vị Điều kiện ban đầu cho tốn dao động dây hình dạng ban đầu vận tốc ban đầu u(x, t) = f (x), ∂u(x, 0) = g(x) ∂x 11 2.3 BÀI TỐN THỨ NHẤT Ta xét tốn dao động tự dây rung với hai đầu mút cố định, tức tìm nghiệm u phương trình: ∂ 2u 2∂ u =a (0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, a > 0) ∂t2 ∂x2 (2.5) thỏa mãn điều kiện biên điều kiện đầu sau u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ (2.6) u(x, 0) = f (x), ut(x, 0) = g(x) (2.7) f g hàm liên tục [0, l] triệt tiêu x = x = l Bài toán chứng minh có nghiệm lí thuyết phương trình đạo hàm riêng Ở ta dùng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm Trước hết ta tìm nghiệm riêng u khơng đồng 0, có dạng tách biến u(x, t) = X(x)T (t) (2.8) Thay dạng vào (2.5), ta được: X(x)T (t) = axX (x)T (t) Suy X (x) T (t) = X(x) a T (t) Vế phải phụ thuộc t, vế trái phụ thuộc x, nghĩa cho dù biến số có thay đổi, tỉ số ln ln Nó thỏa mãn số chọn −λ, với λ số Như X(x)T (t) = axX (x)T (t) = −λ (2.9) Ta nhận hai phương trình vi phân X (x) = −λX(x), X(x) = T = −a2λT, T (t) = (2.10) 12 Các điều kiện biên (2.6) cho ta u(0, t) = X(0)T (t) = u(l, t) = X(l)T (t) = ⇒ X(0) = X(l) = 0doT (t)¬0 Để điều kiện đầu thỏa mãn X(0) = X(l) = (2.11) Giải toán đơn giản trị riêng: Tìm giá trị tham số λ để phương trình X + λX = 0, X(0) = X(l) = (2.12) có nghiệm khơng tầm thường Lí thuyết phương trình vi phân cho thấy để (2.12) có nghiệm khơng tầm thường λ phải dương Khi đó, nghiệm tốn (2.12) có dạng √ √ X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx √ X(0) = C1, X(l) = C2 sin λx = 0, (C1 , C2 số) Suy phương trình tìm trị riêng √ √ nπ sin λl = ⇒ λ = l (2.13) Do tốn có nghiệm khơng tầm thường giá trị riêng λ = λn = nπ l (n = 1, 2, 3, ) Tương ứng ta có hàm riêng Xn(x) = sin nπx l (2.14) Với trị riêng cho, nghiệm phương trình (2.10) theo biến t có dạng Tn = An cos nπat nπat + Bn sin l l (2.15) An , Bn số tùy ý Suy nghiệm riêng (2.8) có dạng un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = An cos nπat nπat nπx + Bn sin sin l l l (2.16) 13 Ta tìm nghiệm tổng quát u dạng chuỗi sau ∞ nπx nπat nπat sin + Bn sin (2.17) l l l n=1 Khi điều kiện đầu (2.7) xác định cho ta hệ số tùy ý An , Bn Ta có: ∞ nπx u(x, 0) = An sin = f (x) l n=1 u(x, t) = An cos ∞ ut(x, 0) = Bn n=1 nπa nπx sin = g(x) l l Bằng cách khai triển f g theo chuỗi sin ta l nπx dx l l nπx Bn = g(x) sin dx, anπ l An = l f (x) sin = 1, 2, (2.18) Vậy nghiệm toán cho (2.7) với hệ số An , Bn Ví dụ 2.3.1  Giải tốn  ∂ 2u ∂ 2u   =4 l=1 ∂t2 ∂x2 ∂u   u(0, t) = u(l, t) = u(x, 0) = ex , (x, 0) = x ∂t Lời giải Ta có ∞ An sin u(x, 0) = n=1 ∞ ut(x, 0) = Bn n=1 nπx = ex nπa nπx sin = x 1 Vậy ta l x nπx An = e sin dx 1 2(nπ + e sin(πn) − eπn cos(πn)) = π n2 + 14 l nπx Bn = x sin dx 2nπ 1 sin(πn) − πn cos(πn) ) = ( nπ π 2n2 sin(πn) − πn cos(πn) = π 3n3 2.4 BÀI TOÁN THỨ HAI Ta xét tốn tìm nghiệm u phương trình biểu diễn dao động sợi dây dài l có hai đầu mút cố định, hình dạng ban đầu sợi dây tam giác có độ cao h, chân đường cao x0 = 2l , vận tốc ban đầu khơng Phương trình dao động dây utt = a2uxx (2.19) thỏa mãn điều kiện biên điều kiện ban đầu sau u(0, t) = u(l, t) = u(x, 0) = f (x) =     2hx , l khi0 ≤ x ≤ l 2h l ≤ x ≤ l, (l − x),  l   ut(x, 0) = (2.20) Bài toán chứng minh có nghiệm lí thuyết phương trình đạo hàm riêng Ở ta dùng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm Trước hết ta tìm nghiệm riêng u khơng đồng 0, có dạng tách biến u(x, t) = X(x)T (t) (2.21) Ta có utt = a2 uxx ⇒ X (x)T (t) = a2 X(x)T (t) Suy X (x) a2T (t) = X(x) T (t) Vế phải phụ thuộc t, vế trái phụ thuộc x, nghĩa cho dù biến số có thay đổi, tỉ số ln ln Nó thỏa mãn 15 số chọn −λ, với λ số Như X (x) a2T (t) = = −λ X(x) T (t) (2.22) Ta nhận hai phương trình vi phân X (x) = −λX(x), T = −a2λT, X(x) = (2.23) T (t) = Các điều kiện biên (2.20) cho ta u(0, t) = X(0)T (t) = u(l, t) = X(l)T (t) = ⇒ X(0) = X(l) = 0do T (t) = Để điều kiện đầu thỏa mãn X(0) = X(l) = (2.24) Giải toán đơn giản trị riêng: Tìm giá trị tham số λ để phương trình X + λX = 0, X(0) = X(l) = (2.25) có nghiệm khơng tầm thường Lí thuyết phương trình vi phân cho thấy để (2.25) có nghiệm khơng tầm thường λ phải dương Khi ta có √ √ X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx √ X(0) = C1 = 0, X(l) = C2 sin λx = (C1 , C2 số) Suy phương trình tìm trị riêng √ sin λl = ⇒ √ λ= nπ l (2.26) Do tốn có nghiệm khơng tầm thường giá trị riêng λ = λn = nπ l (n = 1, 2, 3, ) (2.27) Tương ứng ta có hàm riêng Xn(x) = sin nπx l (2.28) 16 Với trị riêng cho, nghiệm phương trình (2.23) theo biến t có dạng Tn = An cos nπat nπat + Bn sin l l (2.29) An , Bn số tùy ý Suy nghiệm riêng (2.21) có dạng un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = An cos nπat nπat nπx + Bn sin sin l l l (2.30) Ta tìm nghiệm tổng quát u dạng chuỗi sau ∞ nπat nπx nπat + Bn sin sin (2.31) l l l n=1 Khi điều kiện đầu (2.30) xác định cho ta hệ số tùy ý An , Bn Ta có: ∞ nπx u(x, 0) = An sin = f (x) l n=1 u(x, t) = An cos ∞ Bn ut(x, 0) = n=1 nπa nπx sin = g(x) = l l Bằng cách khai triển f g theo chuỗi sin ta An = l = l l nπx dx l nπx 2hx sin dx + l l l f (x) sin l l l l 2h(l − x) nπx sin dx l l 4h nπx 4h l nπx = x sin dx + (l − x) sin dx l l l 2l l nπ 8h = 2 sin , n = 1, 2, πn l nπx Bn = g(x) sin dx, n = 1, 2, anπ l Vậy nghiệm toán cho (2.31) với hệ số An , Bn 17 2.5 BÀI TOÁN THỨ BA Ta xét tốn tìm nghiệm u phương trình biểu diễn dao động cưỡng sợi dây có hai đầu mút cố định ∂ 2u ∂ 2u = + x(x − 1) ∂ 2t ∂x (0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0) (2.32) thỏa mãn điều kiện biên điều kiện đầu sau t≥0 u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u t(x, 0) = 0, (2.33) (0 ≤ x ≤ 1) (2.34) Bài tốn chứng minh có nghiệm lí thuyết phương trình đạo hàm riêng Ở ta dùng công cụ chuỗi Fourier để giải nghiệm toán Ta khai triển hàm f (x, t) = x(x − 1) thành chuỗi sin ∞ f (x, t) = bk (t) sin k=1 kπx , l với l = Tích phân phần cơng thức hệ số Fourier bk (t), ta có l kπx f (x, t) sin dx = (x2 − x) sin kπxdx l 0 1 sin(kπx) − = −(x2 − x) cos(kπx) + (2x − 1) cos(kπx) kπ (kπ) (kπ) = (1 − cos(kπ)) (kπ) 0, k = 2m −8 = (m ∈ Z) (2.35) , k = 2m − 1, (2m−1)3 π bk = l l Ta tìm nghiệm toán dạng ∞ kπx = u(x, t) = ck (t) sin l k=1 ∞ ck (t) sin k=1 kπx l Thay (2.36) vào (2.32) ta ∞ [ck (t) + (kπ)2ck (t) − bk (t)] sin(kπx) = k=1 (2.36) 18 Nhân hai vế đẳng thức với sin(kπx) ta ∞ [ck (t) + (kπ)2ck (t) − bk (t)]sin2(kπx) = k=1 Lấy tích phân theo x, ta ck (t) + (kπ)2ck (t) − bk (t) = 0, k = 1, 2, Thay bk vào phương trình vi phân ta + (2mπ)2c2m(t) = c 2m+1(t) + ((2m − 1)π)2c2m−1(t) + 3 = (2m − 1) π c 2m (t) (2.37) (2.38) Sử dụng điều kiện đầu (2.35) ta có ∞ u(x, 0) = ck (0) sin kπx = k=1 ∞ ut(x, 0) = c k (0) sin(kπx) = k=1 Ta suy ck (0) = ck (0) = 0, k = 1, 2, (2.39) Theo lí thuyết phương trình vi phân, ta có nghiệm (2.37) c2m(t) = 0, m = 1, 2, nghiệm tổng quát (2.38) c2m−1(t) = β2m−1 cos(2m − 1)πt + γ2m−1 sin(2m − 1)πt − (2m − 1) π Đối chiếu với điều kiện (2.39), ta suy β2m−1 = Vậy , (2m − 1) π γ2m−1 = ∞ − cos(2m − 1)πt u(x, t) = − sin(2m − 1)πx π m=1 (2m − 1) 19 KẾT LUẬN Sau thời gian dài tìm hiểu nghiên cứu, luận văn với đề tài “ Chuỗi Fourier toán dao động sợi dây” thực nội dung sau: Trong chương I, luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết chuỗi Fourier: Định nghĩa, chứng minh chi tiết Định lý 1.3.1, 1.3.2 xây dựng cơng thức tính hệ số chuỗi Fourier, điều kiện đủ để triển khai thành chuỗi Fourier, dạng phức chuỗi Fourier Luận văn trình bày chi tiết ví dụ minh họa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier Hầu hết ví dụ tác giả tự đưa lấy đề từ tài liệu tham khảo [2], [5] sau giải chi tiết luận văn, ví dụ điển hình cho nội dung khác Ở phần 1.4 việc khai triển hàm số thành chuỗi Fourier, luận văn bước thực cụ thể số ví dụ minh họa rõ ràng Cuối chương I, tác giả đề cập đến dạng phức chuỗi Fourier Tùy theo hàm số đề cho mà ta áp dụng cơng thức tính hệ số Fourier dạng phức dạng thực để tính tốn đơn giản Trong chương II, luận văn trình bày tốn dao động sợi dây, phương trình dao động sợi dây, điều kiện biên điều kiện ban đầu cho phương trình dao đơng sợi dây, ba tốn dao động sợi dây Các ví dụ chương tác giả sưu tầm từ tài liệu tham khảo [4], sau giải chi tiết Qua nội dung trên, thấy chuỗi Fourier công cụ tốt để giải toán dao động sợi dây mà luận văn đề cập 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngơ Xn Sơn (2007), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (1998), Toán cao cấp Tập 1, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng tập I II, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Duy Bằng (2013), Giáo trình tốn cho vật lý, Nhà xuất Hà Nội [5] Nguyễn Đình Trí (2011), Tốn học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục [6] Nguyễn Công Tâm (2001), Nhập mơn phương trình vật lý – tốn, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [7] Edwards C.Hendry, David E.Penney (2007), Elementary diferential equations with boundary value problem, Prentice Hall [8] Matthew J.H (2005), Linear Partial Differential Equations, Fall [9] Ander Vretblad (2003), Fourier Analysis and Its Applications, Springer  ... Nghiên cứu cách giải toán dao động sợi dây phương pháp chuỗi Fourier 2 Phạm vi nghiên cứu Giải toán dao động sợi dây với điều kiện ban đầu điều kiện biên phương pháp chuỗi Fourier Phương pháp... sở chuỗi Fourier Trong chương tác giả nhắc lại số kiến thức chuỗi Fourier, chuỗi lượng giác, đẳng thức Parseval, dạng phức chuỗi Fourier Chương 2, trình bày ứng dụng chuỗi Fourier ba toán dao động. .. BIÊN VÀ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY Để tìm nghiệm dạng tường minh, cần phải có điều kiện biên cho phương trình dao động Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động dây